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Mecânica dos Fluidos

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Mecânica dos Fluidos

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Controle Preditivo com Observadores de Estados.
ENG730: Tópicos Especiais em Eng. Elétrica
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Universidade Federal da Bahia - UFBA
08 de setembro de 2014
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 27
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 27
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 27
Introdução
Observadores de estados em estratégias MPC
Objetivos da aula de hoje:
Introduzir a noção de observadores de estados de tempo discreto;
Discutir a utilização do estimador de Luenberger no contexto
MPC;
Apresentar exemplos ilustrativos.
Principais referências:
J. M. Maciejowski. Predictive Control with Constraints. Prentice
Hall, 2002.
L. Wang Model Predictive Control System Design and
Implementation using MATLAB Springer-Verlag, 2009.
Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 27
Introdução
Considerações
Modelo de predição sem ação integral
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k)
com x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ Rm, z(k) ∈ Rp e y(k) ∈ Rm.
Sáıdas controladas - y(k) (par (A,C ) detectável).
Sáıdas mensuráveis - z(k):
Estados mensuráveis: z(k) = x(k) (H = I );
Sáıdas mensuráveis: z(k) (par (A,H) detectável).
O sistema pode ser estabilizado (par (A,B) estabilizável).
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Introdução
Considerações
Modelo de predição sem ação integral
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k)
com x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ Rm, z(k) ∈ Rp e y(k) ∈ Rm.
Sáıdas controladas - y(k) (par (A,C ) detectável).
Sáıdas mensuráveis - z(k):
Sáıdas mensuráveis: z(k) = Hx(k) (H 6= I );
Sáıdas mensuráveis: z(k) (par (A,H) detectável).
O sistema pode ser estabilizado (par (A,B) estabilizável).
Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 27
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 27
Controlabilidade
Definição
Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados e q
entradas descrito por:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
com A ∈ Rn×n e B ∈ Rn×q.
Definição
A equação de estado acima ou o par (A,B) é controlável, se para qualquer
estado inicial x(0) = x0 e para qualquer estado final x(tf ) = xf , existe uma
entrada u(k) finita que transfere o estado de x0 para xf em tempo finito.
A controlabilidade é uma propriedade que depende da relação da
entrada u(k) com os estados x(k).
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 27
Controlabilidade
Definição
Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados e q
entradas descrito por:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
com A ∈ Rn×n e B ∈ Rn×q.
Definição
A equação de estado acima ou o par (A,B) é controlável, se para qualquer
estado inicial x(0) = x0 e para qualquer estado final x(tf ) = xf , existe uma
entrada u(k) finita que transfere o estado de x0 para xf em tempo finito.
A controlabilidade é uma propriedade que depende da relação da
entrada u(k) com os estados x(k).
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 27
Controlabilidade
Observações importantes
A matriz U = [B AB A2B ... An−1B] é chamada de matriz de
controlabilidade.
O sistema é controlável se o posto de U é igual ao número de estados n
(ρ(U) = n).
Se o sistema tem apenas uma entrada (q = 1), a matriz U é quadrada,
e a condição de controlabilidade recai na condição det(U) 6= 0.
Pode-se utilizar a decomposição de Kalman para dividir o sistema em
modos controláveis e modos não-constroláveis.
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Observabilidade
Definição
Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados, q
entradas e p sáıdas descrito por:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
com A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×q e H ∈ Rp×n .
Definição
A equação de estado acima ou o par (A,H) é observável, se para qualquer
estado inicial x(0), existir um tempo finito k tal que o conhecimento da
entrada u(k) e da sáıda z(k) no intervalo [0, t1] seja suficiente para se
determinar x(0).
A observabilidade é uma propriedade que depende da relação da sáıda
z(k) com os estados x(k).
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Observabilidade
Definição
Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados, q
entradas e p sáıdas descrito por:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
com A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×q e H ∈ Rp×n .
Definição
A equação de estado acima ou o par (A,H) é observável, se para qualquer
estado inicial x(0), existir um tempo finito k tal que o conhecimento da
entrada u(k) e da sáıda z(k) no intervalo [0, t1] seja suficiente para se
determinar x(0).
A observabilidade é uma propriedade que depende da relação da sáıda
z(k) com os estados x(k).
Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 27
Observabilidade
Observações
A matriz V =





H
HA
...
HAn−1





é chamada de matriz de observabilidade.
O sistema é observável se o posto de V é igual ao número de estados n
(ρ(V ) = n).
Se o sistema tem apenas uma sáıda (p = 1), a matriz V é quadrada, e
a condição de observabilidade recai na condição det(V ) 6= 0.
Pode-se utilizar a decomposição de Kalman para dividir o sistema em
modos observáveis e modos não-observáveis.
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Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
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Observador de estados
Discussão preliminar
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k)
com x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ Rm, z(k) ∈ Rp e y(k) ∈ Rm.
Sáıdas controladas - y(k).
Sáıdas mensuráveis - z(k).
Se o sistema for observável, pode-se estimar o valor de x(k) num
intervalo de tempo finito.
Se o sistema for não observável, mas detectável, pode-se obter uma
estimativa para x(k), tal que Hx̂(k) → z(k).
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Observador de estados
Observardor de Luenberger
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meio de um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Dinâmica do erro de estimação (e(k) = x(k)− x̂(k)):
e(k + 1) = Ae(k)− LHe(k) = (A− LH)e(k).
A solução deste sistema dinâmico é dada por:
e(k) = (A− LH)ke(0).
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Observador de estados
Observardor de Luenberger
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meio de um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Dinâmica do erro de estimação (e(k) = x(k)− x̂(k)):
e(k + 1) = Ae(k)− LHe(k) = (A− LH)e(k).
A solução deste sistema dinâmico é dada por:
e(k) = (A− LH)ke(0).
Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 27
Observador de estados
Observardor de Luenberger
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meio de um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Dinâmica do erro de estimação (e(k) = x(k)− x̂(k)):
e(k + 1) = Ae(k)− LHe(k) = (A− LH)e(k).
A solução deste sistema dinâmico é dada por:
e(k) = (A− LH)ke(0).
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Observador de estados
Matriz de ganho L
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meiode um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
A solução deste sistema dinâmico é dada por:
e(k) = (A− LH)ke(0).
Autovalores de (A− LH) → velocidade de convergência do erro.
A matriz de ganho L é o parâmetro de sintonia.
Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 27
Observador de estados
Matriz de ganho L
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meio de um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
A solução deste sistema dinâmico é dada por:
e(k) = (A− LH)ke(0).
Autovalores de (A− LH) → velocidade de convergência do erro.
A matriz de ganho L é o parâmetro de sintonia.
Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 27
Observador de estados
Sintonia
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meio de um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Em Matlab:
Sistemas observáveis: Lt = place(A′,H ′, v), L = Lt ′.
Sistemas não-observáveis: [Lt, S , v ] = dlqr(A′,H ′,Q,R), L = Lt ′.
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Observador de estados
Sintonia
Considere um modelo sem incertezas e sem ação integral:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
z(k) = Hx(k)
y(k) = Cx(k).
Uma estimativa do valor de x(k) pode ser obtida de forma dinâmica
por meio de um observador como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Em Matlab:
Sistemas observáveis: Lt = place(A′,H ′, v), L = Lt ′.
Sistemas não-observáveis: [Lt, S , v ] = dlqr(A′,H ′,Q,R), L = Lt ′.
Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 27
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
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Observador de estados
Perturbação constante
Na prática existem incertezas:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k)
z(k) = Hx(k) + v(k)
y(k) = Cx(k).
A estimativa do valor de x(k) continua sendo dada como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Neste caso, erro de estimação (e(k) = x(k)− x̂(k)) passa a ser
descrito por:
e(k+1) = Ae(k)+w(k)−LHe(k)−Lv(k) = (A−LH)e(k)+w(k)−Lv(k).
Há erro de estimação em regime permanente caso w(k) 6= 0 ou
v(k) 6= 0.
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Observador de estados
Perturbação constante
Na prática existem incertezas:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k)
z(k) = Hx(k) + v(k)
y(k) = Cx(k).
A estimativa do valor de x(k) continua sendo dada como segue:
x̂(k + 1) = Ax̂(k) + Bu(k) + L(z(k)− Hx̂(k)).
Neste caso, erro de estimação (e(k) = x(k)− x̂(k)) passa a ser
descrito por:
e(k+1) = Ae(k)+w(k)−LHe(k)−Lv(k) = (A−LH)e(k)+w(k)−Lv(k).
Há erro de estimação em regime permanente caso w(k) 6= 0 ou
v(k) 6= 0.
Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 27
Observador de estados
Inclusão da Ação Integral
Modelo incremental:
[
∆x(k + 1)
y(k + 1)
]
=
[
A 0
CA I
]
︸ ︷︷ ︸
Aa
[
∆x(k)
y(k)
]
+
[
B
CB
]
︸ ︷︷ ︸
Ba
∆u(k)
y(k) = [0 I ]
︸︷︷︸
Ca
[
∆x(k)
y(k)
]
Fazendo ξ(k) = [∆x(k)′ y(k)′]′ chegamos a
ξ(k + 1) = Aaξ(k) + Ba∆u(k)
y(k) = Caξ(k)
z(k) = Haξ(k)
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Observador de estados
Inclusão da Ação Integral
Modelo incremental:
[
∆x(k + 1)
y(k + 1)
]
=
[
A 0
CA I
]
︸ ︷︷ ︸
Aa
[
∆x(k)
y(k)
]
+
[
B
CB
]
︸ ︷︷ ︸
Ba
∆u(k)
y(k) = [0 I ]
︸︷︷︸
Ca
[
∆x(k)
y(k)
]
Fazendo ξ(k) = [∆x(k)′ y(k)′]′ chegamos a
ξ(k + 1) = Aaξ(k) + Ba∆u(k)
y(k) = Caξ(k)
zm(k) = ∆z(k) = [H 0]
︸ ︷︷ ︸
Ha
ξ(k).
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Observador de estados
Inclusão da Ação Integral - assumindo y(k) mensurável
Modelo incremental:
[
∆x(k + 1)
y(k + 1)
]
=
[
A 0
CA I
]
︸ ︷︷ ︸
Aa
[
∆x(k)
y(k)
]
+
[
B
CB
]
︸ ︷︷ ︸
Ba
∆u(k)
y(k) = [0 I ]
︸︷︷︸
Ca
[
∆x(k)
y(k)
]
Fazendo ξ(k) = [∆x(k)′ y(k)′]′ chegamos a
ξ(k + 1) = Aaξ(k) + Ba∆u(k)
y(k) = Caξ(k)
zm(k) =
[
∆z(k)
y(k)
]
=
[
H 0
0 I
]
︸ ︷︷ ︸
Ha
ξ(k).
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Observador de estados
Inclusão da Ação Integral
Considere um modelo incremental como segue:
ξ(k + 1) = Aaξ(k) + Ba∆u(k)
y(k) = Caξ(k)
zm(k) = Haξ(k).
Neste caso o estimador é dado como segue:
ξ̂(k + 1) = Aaξ̂(k) + Ba∆u(k) + L(zm(k)− Haξ̂(k)).
Num dado instante k , calcula-se ξ̂(k) como segue:
ξ̂(k) = Aaξ̂(k − 1) + Ba∆u(k − 1) + L(zm(k − 1)− Haξ̂(k − 1)).
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Sumário
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2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
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Exemplo de simulação
Motor DC
Exemplo: Seja o modelo de um motor DC dado por
[
i̇a(t)
ω̇r (t)
]
=
[
−R/L −K/L
K/L −b/J
] [
ia(t)
ωr (t)
]
+
[
1/L
0
]
Va(t)
y(t) = ωr (t)
com R = 2.7 Ω, L = 0.004 H, K = 0.105 Nm/A, J = 10−5Kg ·m2 e
b = 9.3 · 10−6 N ·ms/rad .
Obter o controlador preditivo com modelo incremental para Ts = 0.1 s,
yr = 50 rpm, Qy = 1, R = 10, N1 = 1, N2 = 20 e Nu = 5.
Restrições: y(k) < 60, |u(k)| < 10 e |∆u(k)| < 4.
Não se mede a corrente do estator.
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Exemplo de simulação
Motor DC
Resposta:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
20
40
60
 
 
ref
Sem observador
Com observardor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
 
 
Sem observador
Com observardor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−2
0
2
4
 
 
Sem observador
Com observardor
Prof. Tito Luís Maia Santos 25/ 27
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Observador de estados
4 Presença de perturbações constantes
5 Exemplo de simulação
6 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 27
Comentários Finais
Introduziu-se a noção de observador de estados;
Discutiu-se a respeito da dinâmica do erro de estimação/sintonia;
Tratou-se a respeito do problema de perturbações constantes;
Apresentou-se um exemplo de simulação.
Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 27
	Introdução
	Revisão
	Observador de estados
	Presença de perturbações constantes
	Exemplo de simulação
	Comentários Finais