Apostila_Lugar das Raízes

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1- Métodos de análise de sistemas e considerações de projeto 
Seja um sistema em malha fechada dado pelo seguinte diagrama de blocos: 
 
Como já visto, a função de transferência 
Y(s)
U(s)
é dada por 
K.G(s)
1 K.G(s).H(s)+
. Sabemos que a resposta transitória de um 
sistema depende da localização dos seus polos no plano complexo. A equação característica do sistema que 
fornecerá os polos é dada por 1 K.G(s).H(s) 0+ = . Note que, se variarmos o ganho K, os polos do sistema também 
variarão, alterando a sua condição transitória e podendo chegar a um ponto definido como de desempenho 
satisfatório para o sistema. Se, mesmo variando o ganho K, o sistema não alcançou a posição de desempenho 
desejada, então outras estruturas poderão ser desenvolvidas para que os objetivos sejam alcançados, por exemplo, 
os compensadores. Essas estruturas de compensação serão vistas mais adiante. 
Para a análise de sistemas levando em conta considerações de projeto, foram desenvolvidas algumas ferramentas 
bastante úteis aos projetistas. Neste material serão vistas as seguintes ferramentas: 
• Método do Lugar das Raízes; 
• Método do Diagrama de Bode. 
 
1.1. Método do lugar das raízes 
 
O desempenho de um sistema realimentado pode ser descrito em função da localização das raízes do polinômio do 
denominador da sua função de transferência, também chamado de polinômio característico. Quando igualamos este 
polinômio a zero para acharmos os seus polos, a equação formada é dita equação característica do sistema. 
 
Sabemos que a resposta de um sistema realimentado à malha fechada pode ser ajustada para alcançar o 
desempenho desejado através da seleção criteriosa de um ou mais parâmetros do sistema. 
 
Seria útil, portanto, determinar como as raízes da equação característica (polinômio do denominador da função de 
transferência) deslocam ao longo do plano (s) à medida que se varia o valor de um dado parâmetro, geralmente o 
ganho K da função de transferência. 
 
O método do lugar das raízes nos mostra como as raízes da equação característica variam no plano (s) à medida que 
variamos o ganho K da função de transferência em malha fechada. 
 
O método do lugar das raízes nos fornece um desenho no plano (s) e pode ser obtido através de processo gráfico ou 
através do uso de computadores utilizando-se, por exemplo, o software MATLAB. 
 
É possível utilizar o método do lugar das raízes para projetos de sistemas de controle quando dois ou mais 
parâmetros variam, por exemplo, um controlador PID que possui três parâmetros ajustáveis (ganho proporcional, 
tempo integral e tempo derivativo). 
 
1.1.1. Conceito do lugar das raízes 
 
Seja a função de transferência T(s) que representa o desempenho dinâmico do sistema de controle à malha fechada 
mostrado a seguir: 
 
Y(s) k.G(s)
T(s)
R(s) 1 k.G(s)
= =
+
 
As raízes do polinômio característico são dadas por: 
 
1 k.G(s) 0+ = (I) 
 
Onde o ganho k é o parâmetro variável e as raízes devem satisfazer a equação (I) as quais são posicionadas no 
plano (s). Sendo s uma variável complexa, então: 
 
1 k.G(s) 0 k.G(s) 1 k.G(s) 1 j0+ = ⇒ = − ⇒ = − + ou k.G(s) k.G(s) k.G(s) 1 j0= = − + 
 
Logo, 
(II) 
k.G(s) 1
k.G(s) 180 p.360 sendo p 1, 2, ... 
 =

= °± ° = ± ±
 
 
Para cada valor de k teremos valores de s que satisfazem a equação (I) dada por (II). 
 
O lugar das raízes é, portanto, o percurso das raízes da equação característica traçado no plano (s) à medida que um 
parâmetro do sistema é alterado, no caso, o ganho k da função de transferência. 
 
Exercício resolvido 
Considere o sistema realimentado dado pelo seguinte diagrama de blocos: 
 
Determine o lugar das raízes da função de transferência 
Y(s)
R(s)
. 
A função de transferência do sistema será: 
 
k
Y(s) ks 1
kR(s) s 1 k
1
s 1
+= =
+ ++
+
, e o polinômio característico é dado por: s 1 k 0+ + = , 
logo, 
 
s 1 k s (1 k) j0= − − ⇒ = − + + 
 
Pose-se ver facilmente, neste caso, o lugar das raízes do polinômio. Fazendo k = 0 temos s = -1 +j0 e fazendo k = ∞ 
temos s = - ∞ + j0. O gráfico do lugar das raízes fica: 
 
 
 
1.1.2. Procedimento gráfico para obtenção do lugar das raízes 
Há um método para a obtenção do gráfico do lugar-das-raízes de um dado sistema. O procedimento a seguir mostra 
a obtenção passo a passo desse gráfico. O MATLAB possui uma função “rlocus” que determina, rapidamente, o 
lugar-das-raízes de qualquer sistema. O método gráfico será mostrado para que o aluno tenha consciência de como o 
lugar-das-raízes é obtido, sendo mais interessante o uso do software, considerando que o método do lugar-das-
raízes é apenas uma ferramenta de projeto. Desta forma, a predominância de tempo ficaria para a análise do projeto 
ao invés de levantar o gráfico do lugar das raízes, que além do tempo para o levantamento, teríamos imprecisões 
devido às alocações de pontos e traçados de curvas do gráfico. 
 
 
Método gráfico de obtenção passo a passo do lugar-das-raízes. 
 
Passo 1 
Escrever a equação característica como 1 + F(s) = 0 e reorganizar a equação, se necessário, de modo que o 
parâmetro de interesse k, apareça como fator multiplicativo sob a forma 1 + k.G(s) = 0. 
O parâmetro k poderá ser qualquer parâmetro da função de transferência, exemplo: ganho de uma função de 
transferência em malha aberta, ganho de qualquer ação de controle PID, constante de tempo, etc. 
 
Obs. Para o uso da função “rlocus” do MATLAB, basta utilizar apenas esse passo. 
Fazendo 
P(s)
G(s)
Q(s)
= . O código MATLAB fica: 
P=[an an-1...a2 a1 a0]; 
Q=[ bn bn-1...b2 b1 b0]; 
rlocus(P,Q) 
 
Os termos a e b deverão estar na ordem decrescente do grau do polinômio e, se algum deles for zero, este deverá 
ser considerado no vetor. 
 
Passo 2 
Fatorar G(s), se necessário, e escrever o polinômio na forma de polos e zeros como se segue: 
 
1 2 m
1 2 n
(s z ).(s z )...(s z )
1 k 0
(s p ).(s p )...(s p )
+ + +
+ =
+ + +
, com n > m 
 
Passo 3 
Localizar os polos e zeros no plano (s) com símbolos selecionados (x) para polos e (o) para zeros: 
O lugar-das-raízes é determinado à medida que k varia de zero a infinito e inicia sempre nos polos e termina sempre 
nos zeros, como mostrado a seguir: 
 
1 2 m 1 2 m
1 2 n 1 2 n
1 2 m 1 2 n
1 2 m 1 2 n
(s z ).(s z )...(s z ) (s z ).(s z )...(s z )
1 k 0 k 1
(s p ).(s p )...(s p ) (s p ).(s p )...(s p )
k.(s z ).(s z )...(s z ) (s p ).(s p )...(s p )
k.(s z ).(s z )...(s z ) (s p ).(s p )...(s p ) 0 (s
+ + + + + +
+ = ⇒ = − ⇒
+ + + + + +
+ + + = − + + + ⇒
+ + + + + + + = ⇒ 1 2 np ).(s p )...(s p ) 0+ + + =
 
 
A expressão nos mostra que quando k = 0 as raízes da equação serão os polos do sistema. 
 
Por outro lado, quando k tende a infinito as raízes serão os zeros do sistema como visto a seguir: 
 
1 2 m 1 2 m
1 2 n 1 2 n
1 2 m 1 2 n 1 2 m
(s z ).(s z )...(s z ) (s z ).(s z )...(s z )
1 k 0 k 1
(s p ).(s p )...(s p ) (s p ).(s p )...(s p )
1
(s z ).(s z )...(s z ) .(s p ).(s p )...(s p ) (s z ).(s z )...(s z ) 0
k
+ + + + + +
+ = ⇒ = − ⇒
+ + + + + +
+ + + = − + + + ⇒ + + + =
 
 
Se n = m então cada ramo do lugar das raízes será iniciado em um pólo e terminado em um zero definido. 
 
Se n > m o número de polos ultrapassa o número de zeros ⇒ terá ramo com zero no infinito. 
 
Obs. O lugar-das-raízes definido por pólos terminando em zeros, sejam estes zeros definidos ou no infinito, recebem 
o nome de “RAMOS” do lugar-das-raízes. 
 
Passo 4 
Localizar os segmentos do eixo real que fazem parte do lugar-das-raízes: 
O lugar-das-raízes, no eixo real, estará sempre em uma seção à esquerda de um número ímpar de polos e zeros a 
partir do eixo imaginário. 
 
Passo 5 
Determinar o número de ramos: 
Como os ramos do lugar das raízes iniciam nos polos e terminam nos zeros, o número de ramos é igual ao número 
de polos, uma vez que, o número de polos é sempre maior ou igual ao número de zeros. 
 
Passo 6 
O lugar-das-raízes deverá ser sempre simétrico em relação ao eixo real: 
Isso ocorre pelo fato das raízes complexas aparecerem sempreaos pares de raízes complexas conjugadas. 
 
Passo 7 
Os ramos do lugar das raízes avançam em direção aos zeros no infinito segundo assíntotas centradas em sA 
com ângulo aA. 
 
Quando o número de zeros finitos de G(s) , nz, é menor do que o número de polos, np, de um número N= np - nz, 
então N ramos devem finalizar em zeros localizados no infinito. 
 
Esses ramos vão para os zeros no infinito através das assíntotas à medida que k tende ao infinito. Essas assíntotas 
estão centradas em um ponto no eixo real dado por: 
 
sA = [Soma da parte real de todos os polos de G(s) – Soma da parte real de todos os zeros de G(s)] / (np - nz) 
 
aA = [(2q+1).180°] / (np - nz) sendo q = 0, 1, 2,...(np-nz-1) 
 
Passo 8 
Determinar o ponto no qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário (caso isso ocorra): 
Utiliza-se o critério de Routh-Hurwitz ou outro critério, por exemplo, substituindo o valor de s na equação 
característica por jω . Com isso determina-se o valor da parte imaginária para parte real nula e o ganho para o qual 
ocorre o cruzamento com o eixo imaginário. 
 
Passo 9 
Determinar o ponto de saída do eixo real, se existir, do lugar das raízes: 
 
O lugar das raízes deixa o eixo real onde existirem raízes múltiplas, tipicamente duas. As tangentes aos ramos no 
ponto de saída são igualmente espaçadas sobre 360°. 
 
O método mais direto de cálculo do ponto de saída envolve a reorganização da equação característica para isolar o 
ganho k. Então, a equação característica é escrita como k = G(s). 
Fazendo 
dk(s) dG(s)
0
ds ds
= = , encontramos o ponto onde o lugar-das-raízes deixa o eixo real , ou seja, é quando k=G(s) 
atinge seu valor máximo enquanto está no eixo real. 
Estima-se o ponto provável que o lugar-das-raízes deixará o eixo real e monta-se uma tabela com alguns valores 
antes e após o ponto estimado com intervalos que dê uma boa precisão. 
 
Condição para ter k máximo 
Seja o sistema mostrado abaixo 
 
 
Colocar o polinômio característico na forma abaixo: 
 
1 G(s).H(s) A(s) k.B(s) 0+ = + = 
 
Substituímos valores de s (real) na expressão abaixo até obtermos um máximo de k. 
 
ou, 
 
derivamos a expressão de k e igualamos a 0 como indicado abaixo: 
 
Com isso, determinados o valor de s para o qual k será máximo. Este será o ponto de saída do lugar-das-raízes do 
eixo real. 
 
Passo 10 
Determinar o ângulo de saída dos ramos que partem de polos complexos conjugados e os ângulos de 
chegada nos zeros. 
 
Ângulo de partida de um pólo = 180° - (Soma de todos os ângulos entre os outros polos e este pólo) + (Soma de 
todos os ângulos entre os zeros e este pólo). 
 
Obs: todos os ângulos são medidos com referência ao ângulo 0° no sentido anti-horário. Esta informação é 
particularmente útil, pois ajuda muito a complementação do lugar-das-raízes. 
 
Exemplo 
O ângulo de saída do pólo p1 mostrado abaixo é dado por: 180° - a1 - a2 + b1 
 
 
Resumo 
 
O lugar–das-raízes atenderá, basicamente, os seguintes critérios: 
 
Regra nº1 – O lugar das raízes possui n=max(np,nz) ramos onde np é o número de pólos finitos da malha da função 
de transferência e nz é o número de zeros finitos da malha da função de transferência. 
 
Regra nº2 – O lugar-das-raízes é simétrico com relação ao eixo real do plano complexo s. 
 
Regra nº3 – O ramo do lugar-das-raízes começa sempre (k 0)= nos pólos da função de transferência da malha e 
termina (k )= ∞ nos zeros da função de transferência da malha, sendo que esses últimos podem estar no infinito. 
 
Regra nº4 – O lugar das raízes no eixo real existe, se existir um número ímpar de polos e zeros (da malha da função 
de transferência) à esquerda do eixo imaginário. 
 
Regra nº5 – Se existirem zeros no infinito, os ramos do lugar-das-raízes tendem a esses zeros através de linhas 
retas (assíntotas) determinadas através de expressões bem definidas. 
 
 
Exercício resolvido 1 
Um registrador de fita possui um sistema de controle de velocidade com realimentação negativa tal que H(s)=1. 
e 
k
G(s)
s.(s 2).(s² 4s 5)
=
+ + +
 (em malha aberta). Determine: 
 
a) O esboço do lugar das raízes para variações de k e mostrar que as raízes dominantes são s=-0,35+j0,8 e 
s=0,35-j0,8 quando K=6,5. 
 
b) Para as raízes dominantes, do item (a), determinar o tempo de assentamento e a ultrapassagem para uma 
entrada em degrau. 
 
Item a 
O denominador da função de transferência em malha fechada fica: 
 
1 + G(s).H(s) = 1 + K.[1 / s.(s+2).(s2+4s+5)] = 0 sendo H(s)=1 
 
Para traçar o lugar das raízes no MATLAB, o código fica: 
p=1; 
q=conv([1 0],conv([1 2],[1 4 5])); 
rlocus(p,q) 
 
O gráfico, utilizando o MATLAB fica: 
 
 
 
 
 
 
 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
ramo 3 
ramo 4 
ramo 1 
ramo 2
 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 System: sys 
 Gain: 6.5 
 Pole: -0.343 - 0.796i 
 Damping: 0.396 
 Overshoot (%): 25.8 
 Frequency (rad/sec): 0.867 
 System: sys 
 Gain: 6.49 
 Pole: -2.65 - 1.23i 
 Damping: 0.907 
 Overshoot (%): 0.115 
 Frequency (rad/sec): 2.92 
 System: sys 
 Gain: 6.53 
 Pole: -0.342 + 0.798i 
 Damping: 0.394 
 Overshoot (%): 26.1 
 Frequency (rad/sec): 0.868 
 System: sys 
 Gain: 6.49 
 Pole: -2.65 + 1.23i 
 Damping: 0.907 
 Overshoot (%): 0.115 
 Frequency (rad/sec): 2.92 
Grafico do Lugar das Raizes
K/s.(s+2).(s2+4s+5)
Eixo real
E
ix
o 
im
ag
in
ar
io
 
Continuando o processo de obtenção gráfica do lugar-das-raízes, deveremos chegar ao gráfico com 4 ramos indicado 
acima. Observe que o lugar-das-raízes deverá ser simétrico em relação ao eixo real. Observe também que, para um 
mesmo valor de ganho, cada ramo fornecerá uma das 4 raízes, uma vêz que, a equação característica é de quarta 
ordem. Observando o gráfico vemos que para a parte real, aproximadamente, igual a -0,6, o lugar-das-raízes deverá 
sair do eixo real (isto será visto no passo 9 a seguir). 
 
Passo 2 
As raízes do polinômio característico s.(s+2).(s2+4s+5) são: 
s1 = 0; 
s2 = -2; 
s3 = -2 + j 
s4 = -2 – j 
 
Logo, a equação característica em termos dos polos e zeros, fica: 
 
1
1 k. 0
s.(s 2).(s 2 j).(s 2 j)
+ =
+ + − + +
 
 
Passo 3 
Localização dos polos e zeros no plano complexo. Número de polos np = 4 e Número de zeros nz = 0 
 
Passo 4 
 
 
Passo 5 
Temos 4 polos, logo 4 ramos distintos (temos que ter isso em mente). 
 
Passo 6 
Lugar das raízes deverá ser simétrico (somente como lembrete). 
 
Passo 7 
sA = [0 – 2 – 2 – 2] / (4 - 0) = -1,5 
 
Com np = 4 e nz = 0 tem-se: 
 
aA = [(2q+1).180°] / (np - nz) , Sendo q = 0, 1, 2, 3 
 
q = 0 → a0 = 45°; 
q = 1 → a1 = 135°; 
q = 2 → a2 = 225°; 
q = 3 → a3 = 315°; 
 
 
Passo 8 
1 1
1 k. 0 k. 1 k s.(s 2).(s² 4s 5)
s.(s 2).(s² 4s 5) s.(s 2).(s² 4s 5)
+ = ⇒ = − ⇒ = − + + +
+ + + + + +
 
Desenvolvendo os termos e igualando a zero temos: 4 3 2s + 6s + 13s + 10s + k = 0 
 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, para acharmos o limite de estabilidade, situação na qual o lugar-das-raízes 
estará passando pelo eixo imaginário, indo para a região de instabilidade, ou seja, região do plano s onde a parte real 
dos polos será positiva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6x13-10x1
b1 11,3
6
= = b2 k= 
(11, 3 x 10) (6 x k)
c1 0 113 6k k 18,8
11,3
−
= > ⇒ = ⇒ = 
Os valores de k que deixam o sistema estável é, portanto, 0 < k < 18,8. 
Para k=18,8 o lugar-das-raízes estará em cima do eixo imaginário, portanto, no limite da estabilidade. 
 
Substituindo esse valor na linha 3 do diagrama de Routh-Huewitz, temos: 
 
11,3s2 + 18,8 = 0 
Logo, os pontos no eixo imaginário que são cortados pelo lugar das raízes são: 
 
s1 = j1,3 e s2 = - j1,3 
 
S4 1 13 K 
S3 6 10 
S2 11,3 K 
S1 C1 
S0 K 
 
 
Passo 9 
Do passo 8 temos: 
4 3 2k -(s 6s 13s 10s)= + + + ( I ) 
 
Então: 
 
dk
4s³ 18s² 26s 10 0
ds
= − − − − = ( II ) 
 
Para sabermos o ponto onde o lugar deixa o eixo real, ou fazemos uma tabela com os valores mais prováveis para 
um máximo de k utilizando a expressão ( I ) ou derivamos k eigualamos a 0 e obtermos o valor real de s que torna k 
máximo. Neste caso, se usarmos a opção II, teríamos que resolver uma equação do 3° grau, portanto, vamos 
escolher a opção (I). 
 
Sabemos que, a saída do lugar das raízes do eixo real deve ocorrer entre os pontos -1,5 e 0. 
 
Traçando alguns pontos nessa região e calculando os valores de k temos a seguinte tabela: 
 
s -1,3 -1,2 -1,1 -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 
k 1,35 1,58 1,78 2,00 2,18 2,34 2,45 2,49 2,44 2,27 1,98 x x 
 
Para s = -0,6 o lugar das raízes deixa o eixo real, pois apresenta máximo valor de ganho k. Observe que esse valor 
máximo de ganho ocorre enquanto o lugar-das-raízes se encontra no eixo real. Quando ele sair do eixo real o ganho 
continua aumentando, agora com raízes complexas. 
 
Por outro lado, utilizando uma calculadora que tenha recurso para o cálculo de raízes, obtemos os seguintes valores 
para a equação obtida na opção (II). 
-1.9491 + 0.5958i 
-1.9491 - 0.5958i 
-0.6018 
 
Observa-se que, para s real aproximadamente -0,6, obtemos um máximo para o valor de k. 
 
Obs. Não utilizamos o MATLAB para calcular as raízes porque, se o fizéssemos, ao invés disso calcularíamos 
diretamente o lugar das raízes como fizemos, a título de demonstração da função rlocus(p,q), no passo 1. 
 
 
Passo 10 
O ângulo de saída do ramo que parte do polo complexo -2 + j é dado por: 
 
Ângulo de partida do pólo -2 + j = 180° - 153,4 – 90 – 90 = -153,4° ou 206,6° 
 
Ângulo de partida do pólo -2 - j = 180° - 206,6° - 270 - 270 = -566,6 = - 206,6 ou 153,4° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçado do lugar das raízes baseado nas informações obtidas dos passos 
 
 
 
Item b 
Para k = 6,5 temos s4 + 6s3 + 13s2 + 10s + 6,5 = 0 
 
Utilizando uma calculadora científica para determinar as raízes da equação obtemos s1, s2, s3 e s4: 
 
s1 = -2,65 + j1,23 
s2 = -2,65 – j1,23 
 
As raízes acima não interferem muito na resposta do sistema, pois estão afastadas do eixo imaginário (relação entre 
as partes reais próximas de 10). Durante o transitório, decrescem mais rapidamente que as raízes indicadas abaixo. 
2, 65
7, 6
0,35
−
=
−
 
 
s3 = -0,35 + j0,80 
s4 = -0,35 – j0,80 
 
As raízes acima possuem maior interferência na resposta do sistema são as chamadas raízes dominantes, pois estão 
mais próximas do eixo imaginário. 
 
Considerando então apenas as raízes dominantes temos: 
 
(s+s3).(s+s4) = (s + 0,35 + j0,8).(s + 0,35 – j0,8) = s
2 + 0,7s + 0,7625 
 
Os polos s3 e s4 são dominantes, pois a sua parte é cerca de 8 vezes menor que a parte real dos polos s1 e s2 e 
podemos, portanto, calcular o overshoot e o tempo de assentamento para 2% de erro como se fosse um sistema de 
segunda ordem com denominador dado por s2 + 0,7s + 0,7625. 
 
Fazendo 2xzxωn = 0,7 e ωn
2 = 0,7625, achamos para o overshoot 25,4% e para o tempo de assentamento com 2% de 
erro = 11,4 seg. Utilize as expressões já estudas para cálculo do overshoot (Mp) e do tempo de assentamento (Ts). 
 
A simulação no MATLAB da resposta ao degrau unitário para o sistema completo e aproximado fica: 
 
num=6.5; 
den=[1 6 13 10 6.5]; 
t=0:0.01:16; 
y1=step(num,den,t); % Sistema completo 
den=[1 0.7 0.7625]; 
y2=step(num,den,t); % Sistema simplificado, somente com os polos dominantes. 
plot(t,y1,’r’,t,y2’b’) ; 
grid; 
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Sistema completo 
Sistema simplificado 
 
Constata-se, portanto, da observação dos gráficos, que a diferença entre as respostas, considerando o sistema 
completo e simplificado, não é tão acentuada e, dependendo dos propósitos, pode perfeitamente ser aceita. 
 
Exercício resolvido 2 
Dado um sistema representado pelo diagrama de blocos a seguir, determine, utilizando o MATLAB e baseado no seu 
gráfico do lugar-das-raízes: 
 
a) a faixa de valores de k que faz com que o sistema fique estável. 
A função de transferência do sistema será: 
4
2k.(s 1)
Y(s) s².(s 5).(s 2) 2k.(s 1) 2k.(s 1)
2k.(s 1)U(s) s².(s 5).(s 2) 2k.(s 1) s 7s³ 10s² 2ks 2k
1
s².(s 5).(s 2)
+
+ + + +
= = =
+ + + + + + + + ++
+ +
 
Colocando a equação característica na forma 
P(s)
1 k
Q(s)
+ , tem-se: 
Dividindo a equação característica pelo polinômio independente de k, tem-se 
4
4
4 4
s 7s³ 10s² 2k(s 1) 2(s 1)
s 7s³ 10s² 2ks 2k 1 k
s 7s³ 10s² s 7s³ 10s²
+ + + + +
+ + + + = = +
+ + + +
 
Portanto, 
4
P(s) 2s 2
Q(s) s 7s³ 10s²
= +
= + +
 
O código de somente uma linha fica: 
rlocus([2 2],[1 7 10 0 0]); 
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
ramo 1 
ramo 2 
ramo 3 
ramo 4 
Região estável Região instável 
 
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
 System: sys 
 Gain: 10.5 
 Pole: 0.0027 + 1.74i 
 Damping: -0.00156 
 Overshoot (%): 100 
 Frequency (rad/sec): 1.74 
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 
Este limite de estabilidade poderia ser obtido através do procedimento gráfico mostrado, ou através do critério de 
estabilidade de Routh-Hurwitz. Para revisão, determine o limite de estabilidade deste sistema, utilizando o critério 
de Routh-Hurwitz e confirme o resultado obtido através do lugar-das-raízes. 
 
b) Para um ganho de aproximadamente 6,1, determine o overshoot e o tempo de estabelecimento do sistema. 
Para esse ganho obtemos do lugar-das-raízes as seguintes raízes: 
s1=-5,52; s2=-1,35; s3=-0,0641+j1,29; s4=-0,0641-j1,29 
Verifica-se que as raízes reais -5,52 e -1,35 estão muito afastadas da parte real dos polos complexos s3 e s4, 
portanto, podemos considerar apenas o efeito dos polos complexos dominantes s3 e s4. 
A simulação a uma entrada degrau unitário dos sistemas completo e simplificado fica: 
O código para simulação: 
k=6.12; 
num=2*[k k]; 
den=[1 7 10 2*k 2*k]; 
t=0:0.01:90; 
y1=step(num,den,t); 
num=1.6682; % Ajuste do ganho para que o sistema simplificado também tenha valor final igual a 1 
den=conv([1 0.0641+1.29j],[1 0.0641-1.29j]); 
y2=step(num,den,t); 
plot(t,y1,'r',t,y2,'b'); 
grid; 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Pico superior - sistema completo 
Pico inferior - sistema aproximado 
 
O overshoot e o tempo de estabelecimento, baseando-se no sistema simplificado fica: 
A função de transferência aproximada fica: 
Y(s) 1,6682
U(s) s² 0,1282.s 1, 6682
=
+ +
 
Comparando com a forma canônica
n
n n
Y(s) ²
U(s) s² 2. . .s ²
ω
=
+ ζ ω +ω
 
n
n n
2. . 0,1282
² 1, 6682 1, 2916 rd/seg
0,1282
= 0, 0496
2.(1,2916)
ζ ω =
ω = ⇒ ω =
ζ =
 
Logo, 
n
2 2
. 0,0496.1,2916
1 1 0,0496Mp(%) e e x100 0, 9379x100 93,8%
−ζ ω −
−ζ −= = = = 
n
4 4
Ts 62, 5 seg
. (0, 0496).(1, 2916)
= = ≅
ζ ω
 
 
Exercício resolvido 3 
Seja o sistema de controle de altitude de um satélite mostrado através do seu diagrama de blocos, onde T(s) é o 
torque, gerado pelos propulsores, e θ(s) é o ângulo de altitude do satélite. O modulador k é um dispositivo que 
converte o sinal elétrico de erro no torque propulsor que é diretamente proporcional ao sinal de erro. 
 
O modelo do satélite é dado pela função de transferência 
1
1
1 1
k
(s) ks²
kT(s) s² k
1
s²
θ
= =
++
 
A transformada inversa de Laplace da função de transferência será uma senóide de freqüência k para todo k>0. 
Esta estrutura, portanto, é inaceitável, como pode ser visto no lugar-das-raízes a seguir: 
1 1.
1
s² k 1 k
s²
P(s) 1
Q(s) s²
⇒+ +
=
=
 
Ganho k1 variando de 0 a infinito 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Ramo 2 
Ramo 1 
 
Veja que não existe parte real das raízes que fazem com que ocorra o amortecimento. Portanto, a resposta será 
sempre oscilante sem amortecimento (raízes complexas conjugadas e imaginárias puras), para qualquer que seja o 
valor de k1 
 
Mostre, utilizando o lugar-das-raízes, que se fizermos uma realimentação do sinal de velocidade multiplicadopor uma 
constante k2 (realimentação tacométrica) e adicionando este sinal ao sinal de posição, como mostrado no diagrama 
de blocos a seguir, obteremos uma estrutura estável para todo k>0. 
 
A função de transferência do sistema fica: 
1 1
1
1. 2 1 1. 2. 1 1. 2. 1
k k
(s) ks² s²
k k k s² k k s kT(s) s² k k s k
1
s s² s²
θ
= = =
+ + + ++ +
 
O lugar das raízes será dado por: 
1. 2. 1s² k k s k 0+ + = 
Dividindo por s², 
1. 2 1 1. 2. 1 2
1. 2.
1
s
k k k k k s k k1 0 1 1 k k
s s² s² s²
 + +
+ + = ⇒ + ⇒ +  
  
 
 
Fazendo, arbitrariamente, K2=2 temos a seguinte equação característica e o lugar-das-raízes fica: 
1.
s 0, 5
1 2.k
s²
+ +  
 
 Considere o termo variante no lugar-das-raízes como sendo K = 2.K1. 
P(s) s 0, 5
Q(s) s²
= +
=
 
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
Ramo 1 
Ramo 2 
 
Veja que todo o lugar-das-raízes está do lado esquerdo do plano complexo, portanto estável para todo 0<k1<infinito 
 
Exercício resolvido 4 
Dado o sistema: 
 
 
A - Determine, utilizando o MATLAB, o gráfico do “lugar das raízes”. 
B – Determine, utilizando o método de Routh-Hurvitz, a faixa de valores de K para os quais o sistema será 
estável e confirme verificando no gráfico do lugar das raízes (utilize a “mão deslizante” do matlab). 
C – Verifique a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitário para ganhos K nas regiões instável e 
estável. 
 
Respostas 
a) A função de transferência em malha fechada fica: 
2
2
( 4 8)
( ) 27
( 4 8) 1( )
1 .
( 27) ( 1)
k s s
Y s s
k s sU s
s s
− +
+=
− +
+
+ −
 ⇒ 
2
2
( ) ( 4 8).( 1)
( ) ( 27).( 1) ( 4 8)
Y s k s s s
U s s s k s s
− + −
=
+ − + − +
 (I) 
O polinômio característico será dado por: 2( 27).( 1) ( 4 8) 0s s k s s+ − + − + = 
Colocando na forma 
( )
1 0
( )
p s
k
q s
+ = para ser usado pelo MATLAB, temos: 
2 2
2
( 4 8) ( 4 8)
1 . 1 .
( 27).( 1) ( 26 27)
s s s s
k k
s s s s
− + − +
+ = +
+ − + −
 
 
Código MATLAB: 
p=[1 -4 8]; 
q=[1 26 -27]; 
rlocus(p,q); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
 System: sys 
 Gain: 0 
 Pole: -27 
 Damping: 1 
 Overshoot (%): 0 
 Frequency (rad/sec): 27 
 System: sys 
 Gain: Inf 
 Pole: 2 - 2i 
 Damping: -0.707 
 Overshoot (%): 2.31e+003 
 Frequency (rad/sec): 2.83 
 System: sys 
 Gain: 3.43 
 Pole: -0.0352 
 Damping: 1 
 Overshoot (%): 0 
 Frequency (rad/sec): 0.0352 
 System: sys 
 Gain: 5.5 
 Pole: -0.302 + 1.58i 
 Damping: 0.188 
 Overshoot (%): 54.8 
 Frequency (rad/sec): 1.61 
 System: sys 
 Gain: 4 
 Pole: -0.996 + 0.108i 
 Damping: 0.994 
 Overshoot (%): 0 
 Frequency (rad/sec): 1 
 System: sys 
 Gain: 3.4 
 Pole: -2.81 
 Damping: 1 
 Overshoot (%): 0 
 Frequency (rad/sec): 2.81 
 System: sys 
 Gain: 4 
 Pole: -0.997 - 0.107i 
 Damping: 0.994 
 Overshoot (%): 0 
 Frequency (rad/sec): 1 
 System: sys 
 Gain: 5.5 
 Pole: -0.299 - 1.58i 
 Damping: 0.186 
 Overshoot (%): 55.2 
 Frequency (rad/sec): 1.61 
Grafico do Lugar das Raizes
Eixo real
E
ix
o
 i
m
a
g
in
a
ri
o
 
b) Trabalhando o denominador da expressão (I) e utilizando o método de Routh-Hurwitz, obtemos: 
2 2 2( 27).( 1) ( 4 8) 26 27 4 8s s k s s s s ks ks k+ − + − + = + − + − + = 2(1 ) (26 4 ) 8 27k s k s k+ + − + − 
 
O método de Routh-Hurwitz fica: 
2
1
0
1
......(1 )...........8 27
......(26 4 ).......0
......
s k k
s k
s b
+ −
− 
 
1
(26 4 ).(8 27) (1 ).0
(8 27)
(26 4 )
k k k
b k
k
− − − +
= = −
−
 
1ª condição: (1 ) 0 1k k+ > ⇒ > − 
26
2ª condição: (26 4 ) 0 26 4 6,5
4
k k k k− > ⇒ > ⇒ < ⇒ < 
27
3ª condição: (8 27) 0 8 27 3,375
8
k k k k− > ⇒ > ⇒ > ⇒ > 
Fazendo a interseção de todos os intervalos encontramos a faixa de valores do ganho K para os quais o 
sistema será estável: 
 
3,375 6,5
Valores fora da faixa Sistema instável
Valores dentro da faixa Sistema estável
k< <
→
→
 
 
Obs. - A região estável é todo semi-plano esquerdo do plano complexo (Raízes reais e negativas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região instável ⇒ K 3,375 ou K 6, 5≤ ≥ . 
0 2 4 6 8 10 12
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Resposta do sistema K=6,5
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
 
 
 
0 5 10 15 20 25 30
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Resposta para K=3,375
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região estável ⇒ 3,375 < K < 6,5 
0 2 4 6 8 10 12
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Resposta para K=4,0 (Estavel)
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
 
0 5 10 15 20 25 30
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Resposta para K=5,5 (Estavel)
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Dado o sistema abaixo determine, graficamente, o lugar-das-raízes para variações do parâmetro k 0≥ 
situado na realimentação da malha. Confira o seu gráfico traçando-o utilizando o MATLAB. 
 
As informações a seguir serão obtidas utilizando o lugar-das-raízes elaborado através do MATLAB. 
a - Para quais valores de k o sistema será estável. 
b – Para quais valores de k o sistema será superamortecido? 
c – Para qual valor de k o sistema terá o menor tempo de subida sem a ocorrência de overshoot? 
d – Para ganho k = 10, determine o overshoot e o tempo de estabelecimento do sistema. 
e – Verifique se a resposta ao degrau unitário, para algum valor de k, apresenta overshoot superior a 2%. 
 
 
2) Deseja-se determinar o lugar das raízes do sistema dado pelo diagrama de blocos a seguir: 
 
 
a) Coloque a equação característica na forma ( )1
( )
p s
k
q s
+ ; 
b) Faça um código MATLAB para a determinação do lugar das raízes. 
 
3) Considere o sistema indicado pelo diagrama de blocos abaixo onde K representa uma constante de tempo de 
uma planta de primeira ordem. A saída do controlador PI dado pela sua função de transferência, está sujeita 
a um distúrbio D(s). Para o estudo considerado, deseja-se saber as posições das raízes da equação 
característica do sistema à medida que k varia. Para isso determine: 
 
a) A equação característica do sistema 
( )
( )
Y s
D s
 na forma 
( )
1 0
( )
p s
k
q s
+ = 
b) Faça um esboço, à mão, do lugar das raízes indicado no item anterior. 
 
 
 
4) Considere o sistema indicado pelo diagrama de blocos abaixo onde K representa um ganho do sistema. 
Deseja-se obter o lugar das raízes do sistema à medida que K varia (k=0→ ∞) e para isso: 
 
a) Determine a equação característica do sistema 
( )
( )
Y s
U s
 na forma 
( )
1 0
( )
p s
k
q s
+ = 
Obs. lembre-se que o polinômio característico do sistema é o polinômio do denominador da função de 
transferência do sistema. 
 
b) Faça um esboço, à mão, do lugar das raízes indicado no item anterior. 
 
 
5) Seja o sistema de controle PI abaixo, no qual a função de transferência da planta já inclui o atuador. 
 
 
 
Desejamos corrigir o erro de regime permanente do sistema em malha aberta através do uso de um 
controlador PI e ajustar Ti de forma a obtermos os itens d e e. 
 
Utilizando os recursos do lugar das raízes e de simulação, determine: 
 
a) O lugar das raízes do sistema, considerando que 4 é o valor máximo de Kp suportado pelo sistema e como 
parâmetro, Ki. 
Sugestão: 
Achar a função de transferência e colocar na forma 
( )
1 .
( )
p s
k
q s
+ . Digitar o código MATLAB e obter o gráfico 
do lugar das raízes. 
 
b) O valor de ganho Ki para o qual o sistema será criticamente amortecido (utilize o gráfico do lugar das 
raízes). 
Sugestão: Indicar os ganhos para os quais teremos somente raízes reais e pelo menos duas iguais. 
 
c) A resposta do sistema através de simulação, considerando os valores de Kp dado e Ki encontrado, à 
entrada degrau unitário. 
 
d) O valor do tempo Ti e o tempo de assentamento Ts (critério 2%) para a situação do item c. 
 
e) O valor do tempo Ti e o tempo de assentamento considerando um overshoot de, no máximo, 5%. 
Sugestão: Através de simulação utilizando tentativae erro fazendo Kp fixo e Ki variável. 
 
 
6) (BRASPETRO-2005) O gráfico mostrado na figura abaixo ilustra o diagrama do lugar-das-raízes de um 
sistema de 3ªordem, com três pólos, nenhum zero finito e com realimentação de saída. Com base nas 
informações contidas no gráfico, o valor do ganho k 0≥ que posiciona os pólos de malha fechada no limiar 
da instabilidade é: 
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
+4j
-4j
0-2-8
 
Item adicional à questão: Determine o valor indicado como resposta, utilizando o MATLAB. 
Resp: 160