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Unidade III
7 A MATEMÁTICA NOS SÉCULOS XVI A XX E A ESCOLA BRASILEIRA
7.1 A matemática nos séculos XVI a XVIII
Como visto no capítulo anterior, para se entender como esse período foi importante para a ciência 
e a matemática, foi preciso analisar o panorama cultural dessa época, ou seja, como os séculos, com 
seus avanços políticos, econômicos e sociais criaram as condições para que a sociedade estivesse em um 
formato tal que propiciasse as condições necessárias às novas mudanças.
Os trabalhos de Scipione del Ferro, Tartaglia e Cardano, por exemplo, iniciaram o estudo dos números 
complexos, que surgiram inicialmente no estudo da resolução de equações de terceiro grau.
François Viète (1540‑1603)
Eves comenta que o maior matemático francês do século XVI foi um advogado, membro 
do parlamento provincial da Bretanha, e que dedicava a maior parte de seu tempo de lazer à 
matemática. Segundo Boyer, Viète foi membro do conselho do rei, servindo primeiro sob Henrique 
III e depois sob Henrique IV.
Viéte serviu a D. Henrique de Navarra durante a guerra. Nesta ocasião, ele teve tanto sucesso ao 
decifrar as mensagens em códigos dos inimigos que os espanhóis o acusaram de ter pacto com o 
demônio. Eves afirma que sua vasta obra compreende trabalhos de trigonometria, álgebra e geometria.
Em 1579, Viète escreveu Canon mathematicus seu ad triangula, em que há contribuições notáveis 
à trigonometria. Foi o primeiro livro na Europa ocidental a desenvolver sistematicamente métodos para 
a resolução de triângulos planos e esféricos com o auxílio de seis funções trigonométricas. Viète foi 
um dos matemáticos que muito contribuiu com o desenvolvimento da simbologia algébrica, aplicando 
a álgebra à trigonometria e à geometria. Eves aponta que o mais famoso trabalho de Viète no qual o 
simbolismo algébrico é notadamente trabalhado é In artem.
Boyer constata que uma das mais importantes contribuições de Viète no campo da álgebra foi 
a introdução de uma convenção muito simples e que chegou muito perto das ideias modernas: 
o estudioso usou uma vogal para representar uma quantidade supostamente desconhecida ou 
indeterminada e uma consoante para representar a grandeza ou os números supostos conhecidos 
ou dados. Ele distinguia claramente parâmetro de incógnita. Na aritmética, ainda defendia o uso de 
frações decimais em vez de sexagesimais.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Viète sugeriu novas formas de resolução das cúbicas. Seu método consistia em reduzi‑las à 
forma padrão x3 + 3ax = b e introduzir uma nova quantidade desconhecida y relacionada com x 
pela equação y² + xy = a. A equação cúbica em x era transformada em uma equação quadrática em 
y2. Ele estudou algumas das relações entre raízes e coeficiente de uma equação, mas não avançou 
mais por se recusar a aceitar a existência de coeficientes ou raízes negativos, ou seja, ele só admitia 
a existência de raízes positivas. Coube a Albert Girard, em 1629, enunciar claramente as relações 
entre raízes e coeficientes, pois ele admitiu raízes negativas e imaginárias em Invention nouvelle 
en l’álgébre.
Boyer indica que Girard percebia que as raízes negativas são orientadas em sentido oposto ao dos 
números positivos, antecipando assim a ideia de reta numérica. Parece que se deve também a ele a 
percepção de que uma equação pode ter tantas raízes quanto indica seu grau.
A invenção dos logaritmos
O desenvolvimento da astronomia, da navegação, do comércio e da engenharia e as múltiplas 
guerras demandaram resoluções matemáticas que possibilitassem cálculos rápidos e eficientes. 
Segundo Eves, quatro invenções vieram atender sucessivamente a essas demandas crescentes: 
a notação indo‑arábica, as frações decimais, os logaritmos e os modernos computadores. O 
terceiro desses dispositivos, os logaritmos, foram inventados por John Napier, perto do início do 
século XVII.
John Napier (1550‑1617) e Henry Briggs (1561‑1631)
De acordo com informações de Eves, Napier era escocês, descendente de uma família nobre 
e viveu a maior parte de sua vida na majestosa propriedade da família, nas proximidades de 
Edimburgo, Escócia.
Durante algum tempo, Napier esteve envolvido com controvérsias políticas e com o combate 
ao catolicismo. Além de gostar do estudo da matemática, apreciava fazer previsões sobre o final do 
mundo e sobre máquinas infernais de guerra – que acabaram por se concretizar na Primeira Guerra 
Mundial sob a forma de metralhadora, submarino e tanque de guerra.
Segundo Eves, o legado do estudioso à matemática foram: a) os logaritmos; b) um dispositivo 
mnemônico, conhecido como regra das partes circulares, usado para reproduzir fórmulas 
usadas na resolução de triângulos esféricos; c) pelo menos duas fórmulas trigonométricas de 
um grupo de quatro conhecidas como analogias de Napier, úteis na resolução de triângulos 
esféricos obliquângulos; e d) a criação de um instrumento conhecido como barras de Napier 
ou ossos de Napier, usados para efetuar mecanicamente multiplicações, divisões e extração de 
raízes quadradas.
5Luis Carlos Prestes foi militar e secretário‑geral do Partido Comunista Brasileiro.
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Figura 46–Bastões de Napier
Boyer considera que a invenção dos logaritmos deve datar aproximadamente de 1594. Essa 
estimativa se deve ao fato de ele ter afirmado que trabalhou na invenção dos logaritmos durante 
20 anos antes de publicar seus resultados. Napier procurou uma relação de correspondência entre as 
sequências de potências sucessivas de um dado número (como na Arithmetica integra de Stifel e nas 
obras de Arquimedes):
Em tais sequências, era evidente que as somas e as diferenças dos 
índices das potências correspondiam a produtos e quocientes das 
próprias potências; mas uma sequência de potências inteiras de uma 
base, tal como dois, não podia ser usada para computações porque 
as grandes lacunas entre termos sucessivos tornavam a interpolação 
demasiado imprecisa. (...) Dr. John Craig, médico de James VI, da Escócia, 
falou‑lhe no uso da prostaférese na Dinamarca (...) em computações 
no observatório; e a informação sobre isto encorajou Napier a redobrar 
seus esforços e finalmente a publicar em 1614 o Mirifi Logarithmorum 
Canonis descriptio (uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos) 
(BOYER, 2003, p. 213‑214).
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Figura 47 – Mirifi Logarithmorum Canonis descriptio, de John Napier
Eves aponta que essa obra de Napier contém uma tábua que fornece os logaritmos dos senos 
de ângulos para minutos sucessivos de arco. A obra despertou interesse imediato, tanto que, no ano 
seguinte à sua publicação, Henry Briggs (1561‑1631), professor de geometria do Gresham College de 
Londres e, posteriormente, professor de Oxford, viajou até Edimburgo para que ambos discutissem sobre 
o material publicado. Nessa visita, ambos chegaram à conclusão de que as tábuas seriam mais úteis 
se fossem alteradas de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência 
conveniente de 10. Nasceram assim os logaritmos briggsianos ou comuns, utilizados atualmente. Esses 
logaritmos, essencialmente de base 10, mostraram‑se superiores em cálculos numéricos pelo fato de 
nosso sistema de numeraçãoser decimal. Eves conclui que, para outro sistema de numeração de base b 
e para propósitos computacionais, tábuas de logaritmos de base b seriam mais convenientes.
Eves ainda acrescenta que Briggs publicou Arithmetica logarithmica em 1624 e que a obra 
continha uma tábua de logaritmos comuns com 14 casas decimais, dos números de 1 a 20.000 e de 
90.000 a 100.000. A lacuna foi preenchida com a ajuda de Adriaen Vlacq (1600‑1660), um livreiro e 
editor holandês.
Edmund Gunter (1581‑1626), um dos colegas de Briggs, publicou em 1620 uma tábua de logaritmos 
comuns de senos e tangentes de ângulos para intervalos de um minuto de arco, com sete casas 
decimais. Eves afirma que foi Gunter o inventor dos termos cosseno e co‑tangente. Por fim, Briggs e 
Vlacq publicaram quatro tábuas de logaritmos fundamentais, apenas superadas recentemente quando, 
em 1924 e em 1949, foram publicadas extensas tábuas de 20 casas decimais.
Eves coloca que a palavra logaritmo significa “número de razão” e foi adotada por Napier 
depois de ele ter usado inicialmente a expressão “número artificial”. Briggs introduziu a palavra 
mantissa, que significava inicialmente “adição” ou “contrapeso” e que, no século XVI, passou a 
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significar “apêndice”. Briggs sugeriu também o termo característica, que chegou a ser usado por 
Vlacq. As primeiras tábuas de logaritmos comuns apresentavam tanto a característica quanto a 
mantissa. Somente no século XVIII a forma de apresentação atual de só se imprimir a mantissa 
teve início.
Eves ressalva, por fim, que a invenção de Napier foi amplamente divulgada na astronomia. O único 
rival em relação às ideias de Napier foi Jobst Bürgi (1552‑1632), na Suíça. Bürgi publicou seu trabalho 
seis anos depois de Napier, mas a abordagem de Napier era geométrica e a de Bürgi, algébrica.
 Observação
Atualmente, o logaritmo é considerado universalmente como um 
expoente. Assim, Eves considera que, se n = bx, então x é o logaritmo 
de n na base b. No entanto, os logaritmos foram inventados antes de se 
usarem expoentes.
Figura 48 – Ábaco de Napier
A primeira tábua de logaritmos foi publicada por Napier em 1614. Para ilustrar o funcionamento da 
tábua, utilizaremos, como exemplo, um logaritmo de base 2, porém, é preciso salientar que o método se 
aplica a qualquer base.
 Saiba mais
Atualmente, os estudantes, acostumados ao uso de calculadoras, poderão 
entender melhor o funcionamento de uma tábua de logaritmos acessando a 
página <http://www.somatematica.com.br/emedio/tablog.php>. Acesso em: 
18 maio 2011.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Exemplo: Ao consultar o site Somatemática (GRUPO, s. d.), obtém‑se os valores da tabela 
abaixo. A primeira coluna é uma progressão geométrica da base 2 e a segunda coluna, seus 
valores correspondentes.
Número Potências na base 2
2 1,0000
3 1,5850
4 2,0000
5 2,3219
6 2,5850
7 2,8074
8 3,0000
9 3,1699
10 3,3219
.
.
.
.
.
.
16 2,0000
Observe que, se considerarmos os valores exatos da primeira coluna (para facilitar visualização), 
obtém‑se:
Número Potências na base 2
2 = 21 1,0000
4 = 22 2,0000
8 = 23 3,0000
16 = 24 4,0000
Para exemplificar o cálculo do produto usando a tabela acima, temos que, para se obter o produto 
de 2 por 8, escrevemos esses números em potências de base 2. A seguir, somamos os expoentes e 
procuramos o resultado na coluna da tabela.
Assim:
2 = 21 e 8 = 23
A soma dos expoentes resulta 4.
A partir do exemplo, é possível notar que a ideia genial de transformar produto em somas permitiu 
a aplicação de logaritmos em cálculos de várias áreas.
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Geometria analítica, Descartes e O Discurso do Método
Como foi descrito no início deste capítulo, a Europa nesse período histórico estava envolvida em 
guerras que destruíam cidades, empobreciam as sociedades e modificavam a forma de viver e de pensar, 
levando à consolidação do Estado moderno. Eves indica que é nesse contexto que Desargues e Pascal 
abriram um novo campo, a geometria projetiva, e Descartes e Fermat conceberam as ideias da geometria 
analítica moderna. A geometria projetiva é um ramo da geometria e a geometria analítica moderna é 
um método.
(...) esse novo e poderoso método de enfrentar problemas geométricos. 
A essência da ideia, quando aplicada ao plano, lembre‑se, consiste em 
estabelecer uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados 
de números reais, viabilizando assim uma correspondência entre curvas do 
plano e equações em duas variáveis, de maneira tal que para cada curva 
do plano está associada uma equação bem definida f (x,y) = 0 e para cada 
equação dessas está associada uma curva (ou conjunto de pontos) bem 
definida do plano. Estabelece‑se, além disso, uma correspondência entre as 
propriedades algébricas e analíticas da equação f(x,y) = 0 e as propriedades 
geométricas da curva associada. Transfere‑se assim, de maneira inteligente, 
a tarefa de provar um teorema em geometria para a de provar um teorema 
correspondente em álgebra ou análise (EVES, 2004, p. 382).
 Lembrete
A essência real desse campo reside na transferência de uma investigação 
geométrica para uma investigação algébrica correspondente.
René Descartes (1596‑1650) era de família nobre e estudou 16 anos com os jesuítas. Eves aponta 
que, a partir de 1617, Descartes iniciou uma carreira militar de vários anos, servindo sob as ordens 
de Maurício de Orange e, após abandonar a vida militar, passou quatro ou cinco anos viajando pela 
Alemanha, Dinamarca, Holanda, Suíça e Itália. Viveu dois anos em Paris, local em que voltou aos seus 
estudos de filosofia e matemática. Depois desse período, mudou‑se para a Holanda, onde viveu cerca de 
20 anos consagrando‑se inteiramente aos seus estudos. Em 1649, foi para a Suécia a convite da rainha 
Cristina e, poucos meses depois, morreu em decorrência de uma infecção pulmonar.
Eves informa que Descartes produziu sua obra durante o intervalo de tempo em que viveu na 
Holanda. Nos quatro primeiros anos, ele escreveu para o jornal Le Monde sobre a descrição física do 
Universo, que acabou sendo abandonada quando Galileu foi condenado pela Igreja.
O tratado filosófico sobre a ciência universal Discours de la méthode pour bien conduire sa raison 
et chercher la verité dans les sciences (discurso do método para bem conduzir sua razão e procurar a 
verdade nas ciências) foi a obra que o tornou mais conhecido. Nessa obra, publicada em 1637, ele lança 
as bases do racionalismo. Três apêndices acompanharam esse tratado: La dioptrique, Les météores e La 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
géométrie, sendo que as contribuições à geometria analítica aparecem no último apêndice. Em 1641, ele 
publicou um trabalho intitulado Meditationes e, em 1644, lançou o Principia philosophiae.
No entanto, Eves observa que o apêndice La géométrie não é um desenvolvimento sistemático do 
método analítico e, portanto, obriga o leitor a construir o método por si mesmo a partir de algumas 
informações. O livro é de difícil leitura e, por esse motivo, uma tradução latina da obra com notas 
explanatórias de F. de Beaune e editada e comentada por Frans van Schooten teve ampla circulação. 
Somente após um século ou mais o assunto adquiriu a forma atual.No sentido técnico de hoje, as 
palavras coordenadas, abscissa e ordenada foram contribuições de Leibniz em 1692.
Segundo Boyer, em La géométrie Descartes mostrou que percebia que as propriedades de uma curva 
tais como sua área ou a direção de sua tangente ficam bem determinadas quando é dado uma equação 
em duas incógnitas, contudo, o estudioso não explorou completamente essa percepção. Curiosamente, 
Descartes não estabelecia em sua obra um sistema de coordenadas a fim de localizar pontos nem as 
pensava como pares de números. Assim, o sintagma “produto cartesiano” é um anacronismo.
Pierre de Fermat (1601?‑1665)
Boyer pontua que Fermat tinha muita capacidade matemática, porém, não era matemático 
profissional. Ele estudou Direito em Toulouse, onde serviu no parlamento local primeiramente como 
advogado e, num momento seguinte, como conselheiro. Ele estudava matemática por lazer e, por 
essa razão, se dedicou a estudar obras da Antiguidade com base nos tratados clássicos preservados. 
Ele se propôs a reconstruir a obra Lugares planos de Apolônio com base em alusões contidas na 
Coleção Matemática de Papus. Dessa forma, ele descobriu em 1636 o princípio fundamental da 
geometria analítica:
Sempre que numa equação final encontram‑se duas quantidades incógnitas, 
temos um lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha, reta 
ou curva (BOYER, 2003, p. 238).
Em seu estudo, Fermat começou com a equação linear, escolheu um sistema de coordenadas 
arbitrário e obteve o gráfico – uma semi‑reta –, uma vez que, como Descartes, ele não usava abscissas 
negativas. Eves observa que aparecem no tratado de Fermat a equação geral da reta e da circunferência 
e uma discussão sobre hipérboles, elipses e parábolas. Em 1637, Fermat terminou um novo estudo sobre 
tangentes e quadraduras no qual definiu muitas novas curvas analiticamente.
 Observação
Descartes partia de um lugar geométrico e então encontrava sua equação; 
Fermat partia da equação e então estudava o lugar correspondente.
Eves ainda informa que, dentre as variadas contribuições de Fermat à matemática, a mais importante 
é a fundação da moderna teoria dos números.
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Blaise Pascal (1623‑1662)
Blaise Pascal nasceu na província francesa de Auvergne e, no curto espaço de tempo que foi sua 
vida, escreveu seu nome na história da matemática. Quando menino, era considerado pelo pai como 
muito frágil fisicamente e, portanto, inapto para o estudo de matemática.
Eves conta que, no entanto, isso estimulou a curiosidade de Pascal, que perguntou ao seu preceptor 
sobre geometria. Aquele teve como resposta que a geometria era o estudo de figuras exatas e das 
propriedades de suas diferentes partes. Através de dobraduras em papel, Pascal descobriu por conta 
própria muitas das propriedades das figuras geométricas. Em particular, descobriu que a soma dos 
ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso. Quando seu pai notou suas habilidades, deu‑lhe um 
exemplar de Os Elementos, de Euclides, que Pascal dominou rapidamente.
Aos 16 anos, o jovem teórico escreveu um trabalho sobre secções cônicas que Descartes duvidou 
ser o trabalho de um adolescente e atribuiu a autoria da obra ao pai de Pascal. Esse trabalho se perdeu, 
porém, também foi visto por Leibniz. Entre seus 18 e 19 anos, o jovem ainda inventou o que pode ser 
considerada a primeira máquina de calcular, isso para ajudar o pai nas funções de fiscal do governo.
Eves afirma que, na física, Pascal deixou como resultado seu princípio da hidrodinâmica.
A partir de 1647, Pascal dedicou‑se apenas à aritmética. Ele desenvolveu em parceria com Fermat a 
teoria das probabilidades, a fórmula de geometria do acaso, o triângulo de Pascal e o tratado sobre as 
potências numéricas.
O triângulo de Pascal
O Traité du triangle arithmétique, de Pascal, foi escrito em 1653, mas só foi publicado em 1665. Eves explica 
que Pascal construía seu triângulo aritmético conforme a figura abaixo. Nele, qualquer elemento (da segunda 
linha em diante) é obtido como soma de todos os elementos da linha precedente situados exatamente acima 
ou à esquerda do elemento desejado. Assim, na quarta linha, obtém‑se 35 = 15 + 10 + 6 +3 +1.
Figura 49 – Triângulo de Pascal, no manuscrito original
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Uma das maiores contribuições de Pascal se deu no campo das probabilidades. Segundo Eves, até o 
início do século XVI não havia existido nenhum tratamento matemático da probabilidade, isso até que 
alguns matemáticos italianos tentaram avaliar as possibilidades em alguns jogos de azar. 
Fermat trocou correspondências com Blaise Pascal sobre o problema dos pontos e ambos chegaram 
a uma mesma resposta por caminhos diferentes. Essa correspondência entre os dois estudiosos lançou 
os fundamentos da moderna teoria das probabilidades.
Eves informa ainda que o último trabalho de Pascal foi sobre a cicloide, a curva descrita por um 
ponto da circunferência em um círculo conforme este se desloca ao longo de uma reta sem escorregar.
α
P
círculo rodante cicloide
C
P
2πα
Figura 50 – Cicloide
Descoberta e desenvolvimento do Cálculo (Newton e Leibniz)
Eves considera que a realização mais notável do século XVII foi a invenção do cálculo por Isaac 
Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, já ao final do mesmo século. Com eles, a matemática criativa 
passou a um plano superior e a história da matemática elementar essencialmente terminou. O 
desenvolvimento histórico do cálculo não corresponde à ordem normalmente utilizada em cursos e 
livros didáticos. Primeiramente, surgiu o cálculo integral e só muito tempo depois o cálculo diferencial. 
Apenas posteriormente verificou‑se que a integração e a diferenciação estão relacionadas.
Isaac Newton (1642 –1727)
Eves relata que Isaac Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe no Natal de 1642, ano da morte 
de Galileu. Filho de um proprietário rural, Newton deveria ter seguido a mesma profissão do pai se, 
desde pequeno, não fosse extremamente inventivo. Aos 18 anos, ingressou no Trinity College, em 
Cambridge. Durante sua graduação, leu Os Elementos, de Euclides (obra que considerou muito óbvia), 
e La Géometrie, de Descartes (considerada difícil por Newton). Leu também os trabalhos de Kepler, 
Viète e a Arithmetica infinitorum, de Wallis. Em pouco tempo, Newton começou a produzir sua própria 
matemática, inicialmente descobrindo o teorema do binômio generalizado e, em seguida, o método dos 
fluxos – denominação dada por ele ao cálculo diferencial. Durante o período compreendido pelo final do 
verão de 1665 até o final do verão de 1667, salvo por um pequeno período de reabertura, a Universidade 
esteve fechada em decorrência de uma epidemia de febre bubônica.
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Em 1667, Newton retornou a Cambridge e, por dois anos, pesquisou sobre ótica. Em 1669, ele 
iniciou um período de 18 anos de docência na universidade. Em 1687, o teórico publicou Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, um tratado com novos conceitos em física e astronomia. Era a primeira 
sistematização completa da dinâmica e uma formulação completa do movimento (terrestre e celeste). 
Eves avalia que a repercursão da obra na Europa foi imediata e impressionante. Boyer, por sua vez, 
constata que o tratado científico foi o mais admirado de todos os tempos.
Boyer acresce que, na primeira edição de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton 
reconheceu que Leibniz estava deposse de um método semelhante ao seu, contudo, na terceira 
edição, em 1726 – após amarga disputa entre aderentes dos dois cientistas quanto à independência 
e prioridade da descoberta do cálculo –, Newton omitiu as referências aos cálculos de Leibniz. 
No entanto, a descobreta de Leibniz foi independente da de Newton e, além disso, aquele havia 
publicado suas descobertas anteriormente, em 1684, na Acta Eruditorum, uma espécie de periódico 
científico mensal.
Eves indica que, em 1692, Newton foi acometido de uma forma de distúrbio mental e suas pesquisas 
em matemática praticamente cessaram. Em 1703, o estudioso foi eleito presidente da Royal Society e 
reeleito até sua morte. Em 1705, Newton recebeu o título de cavaleiro e faleceu em 1727, aos 84 anos 
de idade. Seu corpo foi enterrado na abadia de Westminster.
Gottfried Wilhenm Leibniz (1646 – 1716)
Segundo Boyer, Leibniz nasceu em Leipzig. Com apenas 15 anos, entrou na universidade e, com 17, 
obteve o grau de bacharel. Ele estudou teologia, direito, filosofia e matemática e, aos 20 anos, já poderia 
receber o grau de doutor em direito, mas este lhe foi recusado em razão de sua pouca idade. Por essa 
razão, ele ingressou na Universidade de Altdorf, em Nüremberg, onde obteve seu grau de doutor. Ele não 
quis seguir a carreira docente e preferiu seguir a carreira diplomática.
Eves aponta que foi em uma missão diplomática a Paris que Leibniz teve aulas de matemática com 
Huygens e, antes de deixar a cidade, já havia descoberto o teorema fundamental do cálculo, desenvolvido 
grande parte de sua notação para o assunto e estabelecido fórmulas elementares de diferenciação.
Em seguida, o teórico assumiu um serviço público em Hanover que lhe proporcionava tempo para 
seus estudos prediletos. Ele foi fundador e editor‑chefe de uma revista denominada Acta eruditorum. Em 
1700, ele criou a Academia de Ciências de Berlim e, posteriormente, se empenhou em criar academias 
semelhantes em Dresden, Viena e São Petersburgo.
Em suas pesquisas, Leibniz formulou as principais propriedades da adição, multiplicação e negação 
lógicas e ainda considerou a classe vazia e a inclusão de classes.
De acordo com Eves, o estudioso inventou seu cálculo entre 1673 e 1676 e, em 1675, usou pela 
primeira vez o símbolo de Integral como é empregado atualmente (utilizando a primeira letra da palavra 
latina summa, que significa soma). Seu objetivo era indicar uma soma de indivisíveis. Algumas semanas 
depois, Leibniz já escrevia diferenciais e derivadas como elas são atualmente, do mesmo modo como já fazia 
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também com as integrais. Seu primeiro artigo sobre cálculo diferencial só apareceu em 1684 e a forma da 
derivada enésima do produto de duas funções é geralmente conhecida hoje por regra de Leibniz.
Leonhard Euler (1707‑1783)
Boyer afirma que Leonhard Euler foi o mais importante matemático nascido na Suíça. Seu pai era 
ministro religioso e desejava que o filho seguisse o mesmo caminho. Assim, Euler estudou teologia na 
Universidade de Basileia, na Suíça, e lá aprendeu matemática com um dos mais famosos professores de 
sua época: Johann Bernoulli.
Eves aponta que, a partir da convivência com seu professor Bernoulli, Euler conheceu dois de seus 
filhos: Nicolaus e Daniel Bernoulli, que foram fundamentais em sua carreira. Então com apenas 20 anos, 
eles o indicaram para trabalhar na Academia de São Petersburgo.
Com o retorno de Daniel ao seu país, Euler se tornou chefe da seção de matemática da Academia. 
Posteriormente, ele aceitou um convite do rei da Prússia, Frederico, o Grande, para chefiar a seção de 
matemática de Berlim e lá permaneceu por 25 anos. Em 1766, retornou à Academia de São Petersburgo, 
onde trabalhou os 17 anos seguintes. Euler morreu subitamente com 76 anos de idade.
Além de matemática, Euler estudou línguas orientais, medicina, física, botânica, química e astronomia.
Eves ainda informa que o estudioso passou os últimos 17 anos de sua vida completamente cego, 
no entanto, isso não o impediu de continuar produzindo até o final de sua vida com a ajuda de um 
secretário. Euler publicou 530 trabalhos durante a vida e, ao morrer, deixou diversos manuscritos que 
enriqueceram as publicações da Academia de Ciências de São Petersburgo durante 47 anos.
Euler implantou as seguintes notações utilizadas em matemática:
• f(x) para funções;
• e para base dos logaritmos naturalis;
• i para a unidade imaginária;
• Σ para somatória;
• dn y para derivadas de grau n etc.
São devidas a Euler as seguintes fórmulas:
eix = cos x + isenx
Se x = π, então: eix + 1 = 0
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A equação diferencial em que os expoentes indicam a ordem da derivada é conhecida como equação 
diferencial de Euler:
xny(n) + a1x
n–1y(n–1) + ... + any
(0) = f(x)
Um momento de reflexão para o futuro professor
Como foi analisado anteriormente, surgiram importantes descobertas na área da matemática nesse 
período. Porém, como destaca Ávila (2006), não havia ainda uma fundamentação adequada para o 
cálculo. A mais importante das tentativas de que se tem notícia para modificar essa situação foi a de 
Lagrange, ao final do século XVIII, com o estudo de séries de funções.
É preciso entender as razões históricas dessa época. No século XVIII, não havia ainda muita motivação 
para o estudo desses fundamentos. O autor analisa que os matemáticos desse tempo estavam mais 
empenhados em desenvolver novas técnicas e usá‑las na formulação e solução de problemas aplicados 
em mecânica, hidrodinâmica, elasticidade, acústica, balística, ótica, transmissão de calor e mecânica 
celeste. Portanto, não havia preocupação em separar a análise matemática e a física matemática. A 
preocupação com rigor, nesse momento, não fazia sentido porque os resultados empíricos faziam o 
papel de teste de valor desses métodos.
Ávila ainda constata que, em meados do século XVIII, surgiu um dos problemas que se tornou o 
mais fértil no desenvolvimento da análise no século seguinte: em seu estudo da corda vibrante, Daniel 
Bernoulli colocava a questão de, dado o perfil inicial da corda, expressar a função como série de senos. 
A fundamentação teórica existente de funções e noção de continuidade não apresentava generalidade 
suficiente para dar conta do problema. Ávila observa que os matemáticos de então lidavam com funções 
desenvolvidas em séries do tipo particular – as séries de potências –, como se fossem “polinômios 
infinitos”, e derivavam e integravam tais séries termo a termo. Com o estudo de Bernoulli, essa situação 
se tornou desconfortável porque, diferentemente das “séries bem comportadas” com as quais os 
matemáticos estavam envolvidos, as séries do teórico eram trigonométricas. Essas questões, por fim, só 
foram esclarecidas na metade do século XIX.
Situação‑problema: Pelo exposto, percebe‑se que as noções de função e continuidade foram um 
fator importante. O futuro professor de ensino médio deve se preocupar com o desenvolvimento inicial 
das construções desses conceitos.
No entanto, a noção de continuidade que é desenvolvida no cálculo dado no ensino superior é 
difícil para estudantes de ensino médio. Mas isso não deve constituir em desculpa para não se iniciar 
corretamente esse estudo.
Como a definição que deu certo e frutificou foi a definição local de continuidade, ou seja, aquela 
em que as funções são consideradas contínuas em intervalos, a sugestão de Ávila é empenhar‑se 
em desenvolver essa noção contida na visualização geométrica de não ruptura do gráfico da função 
definida num intervalo. Segundo o autor, aqui reside a concepção mais rudimentar e visual doconceito 
de continuidade.
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Partindo dessa concepção, como o gráfico a seguir deveria ser analisado com alunos de Ensino 
Médio? Observe que, nesse momento, não há a necessidade de os alunos conhecerem a lei da função a 
partir da qual o gráfico é apresentado.
1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6
–1
–2
–3
–4 
1
1
2
3
4
x
y
7.2 A matemática nos séculos XIX e XX
Panorama cultural
Eves resume as condições globais que propiciaram alterações profundas na cultura e na sociedade 
humanas em todo o mundo em duas grandes revoluções: a Revolução Agrícola do terceiro milênio a.C. 
e a Revolução Industrial no século XIX d.C. Por esse motivo, retomaremos o que foi desenvolvido nos 
tópicos anteriores intitulados e, com o auxílio do que foi desenvolvido em Bernardes (2009), procuraremos 
entender essas condições.
Segundo Hobsbawm (2003), ao final do século XVIII e início do XIX a Inglaterra possuía uma economia 
forte e um Estado suficientemente agressivo para conquistar o mercado de seus competidores. Os 
britânicos virtualmente eliminaram do mundo não europeu todos os rivais, exceto, até certo ponto, os 
jovens Estados Unidos da América. Além disso, a Inglaterra possuía uma indústria ajustada à Revolução 
Industrial pioneira sob condições capitalistas e uma conjuntura econômica que permitia que se lançasse 
à indústria algodoeira e à expansão colonial.
No entanto, apesar de toda a agressividade britânica no setor algodoeiro, Hobsbawm (Ibidem) 
observa que, depois de 1815, houve uma redução na margem de lucros. Em primeiro lugar, isso se deu 
porque a Revolução Industrial e a competição provocaram uma queda dramática e constante no preço 
dos artigos acabados, porém, isso não ocorreu em vários custos de produção. Em segundo lugar, depois 
de 1815 a situação geral dos preços era de deflação, ou seja, os lucros, longe de um impulso extra, 
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sofriam um leve retrocesso. Houve ainda uma redução nos salários, contudo, havia um limite fisiológico 
nessas reduções, caso contrário, os trabalhadores morreriam de fome, como de fato ocorreu com 500 
mil tecelões manuais.
Em tempos de crise da acumulação de capital, a vida de alguns não é prioridade. Contudo, não 
apenas a vida do trabalhador individual estava em jogo: surgiu a figura da centralização de capitais e, 
nesse processo, cada capitalista “mata” muitos outros.
Marx aponta que, paralelamente a isso, desenvolve‑se a forma de cooperativa do processo de 
trabalho em escala sempre crescente, a aplicação técnica da ciência, a exploração planejada da terra, a 
transformação dos meios de trabalho em meios utilizáveis apenas coletivamente, a economia de todos os 
meios de produção mediante uso de um trabalho social combinado e o entrelaçamento de todos os povos 
na rede do mercado mundial e, com tudo isso, tem‑se o caráter internacional do regime capitalista.
Assim, essa crise criou uma enorme pressão para que a indústria se mecanizasse, isto é, baixasse os 
custos através da redução do emprego de mão de obra e, simultaneamente, se voltasse a uma perspectiva 
mundial para seus negócios. A acumulação de capital passa a ser acompanhada simultaneamente por 
sua concentração e sua centralização.
O advento da grande indústria, ou seja, dessa forma superior do trabalho social combinado, deu 
à acumulação dos corpos sãos uma eficácia de produção num grau exponencialmente mais elevado 
do que qualquer outro modo de produção anterior. Em relação à formação da força de trabalho com 
habilidades para participar das nascentes formas de divisão técnica do trabalho necessárias à grande 
indústria, tem‑se a constituição de uma escola que, lentamente, se torna obrigatória para a maioria da 
população. O conhecimento das bases mínimas de escrita, leitura e cálculo passa a ser necessário para 
uma grande massa de trabalhadores se inserir na produção industrial. A educação escolar das séries 
iniciais que, além do aprendizado da disciplina e da obediência, passa a incluir um mínimo de saber 
técnico, vai ao longo do tempo sendo englobada nas leis dos países pelo mundo todo como educação 
obrigatória. Em 1864, na Inglaterra, a Lei Fabril instituiu como obrigatória a instrução escolar para 
crianças trabalhadoras.
Constituído de classes médias que não tinham o mesmo gosto por extravagâncias e luxos das 
sociedades aristocráticas e feudais, o principal público investidor necessitava de novos investimentos 
lucrativos. Além de economizarem, as classes médias eram virtualmente livres de impostos. Como 
bem observa Hobsbawm (2003), foi por isso que as primeiras duas gerações da Revolução Industrial 
acumularam renda tão rapidamente e em tão grandes quantidades que excediam todas as possibilidades 
disponíveis de gasto e investimento. Essa acumulação ocorreu em meio a uma população faminta cuja 
fome era o reverso daquela acumulação (Ibidem, p. 75).
As indústrias existentes tinham se tornado demasiadamente baratas para absorver mais do que uma 
fração do excedente disponível para investimento. A aplicação estrangeira foi uma possibilidade óbvia. Os 
velhos governos, desgastados pela guerra, e os novos governos desejavam o crédito disponibilizado pelos 
investidores ingleses. No entanto, o retorno do capital investido no exterior nos booms especulativos 
de 1825 e 1835‑7 foi decepcionante porque muitos governos não pagavam de acordo com o que fora 
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estabelecido por ocasião dos empréstimos. Assim, os investidores passaram a desejar soluções domésticas 
que estariam mais sujeitas ao controle.
Hobsbawm (2003) constata que, em uma feliz conjuntura, as indústrias de bens de capital estimularam 
a construção de ferrovias. A mineralogia, por exemplo, necessitava não só de máquinas a vapor de grande 
potência e em grande quantidade, mas também de meios de transporte eficientes para a extração no 
interior das minas e distribuição da produção. Dessa forma, o capital encontrou as ferrovias, que não 
podiam ser construídas tão rapidamente e em tão larga escala sem grandes investimentos.
A primeira das modernas ferrovias foi a ligação entre o campo de carvão de Durham e o litoral 
(StocktonDarlington, 1825). Mal as ferrovias tinham provado ser tecnicamente viáveis e lucrativas na 
Inglaterra (por volta de 1825‑30) e já existiam planos para a construção de ferrovias em outros países. 
Como a instalação de ferrovias necessitava de imensa quantidade de ferro e aço, maquinaria pesada, 
mão de obra e investimento de capital, essa passou a ser a demanda necessária às indústrias de bens de 
capital para se transformarem tão profundamente quanto a indústria algodoeira.
Dessa forma, os investidores aplicavam seu dinheiro em certas empresas que beneficiavam a 
industrialização e, assim, construiu‑se a primeira economia industrial de vulto. Marx sintetiza bem a 
mudança de perspectiva que sofreu o sistema comercial quando as relações capitalistas do período 
manufatureiro foram encaminhadas para um período industrial naqueles países que, sobre essa base, 
irão se tornar imperialistas:
Hoje em dia, a supremacia industrial traz consigo a supremacia comercial. 
No período manufatureiro propriamente dito, é, ao contrário, a supremacia 
comercial que dá o predomínio industrial. Daí o papel preponderante que o 
sistema comercial desempenhava então. Era o “deus estranho” que se colocava 
sobre o altar ao lado dos velhos ídolos da Europa e que,um belo dia, com um 
empurrão e um chute, jogou‑os todos por terra (MARX, 1985, p. 288).
Esse é o modelo do capitalismo nos países ditos centrais do sistema capitalista. Em termos gerais, a 
Inglaterra forneceu o modelo para as ferrovias e fábricas, um explosivo modelo econômico que rompeu 
com as estruturas tradicionais do mundo não europeu, entretanto, Hobsbawm (2003) esclarece que foi 
a França que desenvolveu a política liberal e radical‑democrática que acompanharia o modelo.
A junção desses dois “modelos”, própria de países imperialistas como a Inglaterra em torno da 
segunda metade do século XIX, criou diferentes perspectivas econômicas para sociedades não europeias, 
inclusive para a sociedade brasileira, porém, essas perspectivas quase sempre foram utópicas.
Carl Friedrich Gauss (1777‑1855)
Eves aponta que o alemão Gauss é considerado universalmente como um dos maiores matemáticos 
de todos os tempos e, por esse motivo, foi apelidado de “príncipe da matemática”. Foi um menino 
prodígio: conta‑se que, aos três anos de idade, detectou um erro aritmético no cálculo do pagamento 
de funcionários no borrador de seu pai.
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Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. Seu pai era trabalhador braçal e não dava muito valor à 
educação, entretanto, sua mãe, embora inculta, estimulava seu filho nos estudos.
Tanto Eves quanto Boyer contam a seguinte história sobre Gauss, quando este estava com dez anos 
de idade e frequentando a escola primária: para manter a turma ocupada, o professor de Gauss passou 
como tarefa somar todos os números de um a cem, com instruções para que cada um colocasse sua 
ardósia sobre a mesa logo que completasse a tarefa. Quase que imediatamente, Gauss escreveu em 
sua lousa o resultado: 5050. A única resposta correta na sala foi a dele e não havia nenhum cálculo 
auxiliar: Carl havia calculado mentalmente a soma da progressão aritmética 1 + 2 + 3 +... + 99 + 100, 
observando que 100 + 1 = 101, 99 + 2 = 101 e assim por diante. Com cinquenta pares possíveis dessa 
maneira, a soma era o resultado da operação 50 x 101 = 5050.
Assim, Gauss foi encaminhado por seus professores ao duque de Brunswick, que financiou seus 
estudos e pesquisas. Eves informa que o jovem entrou no colégio de Brunswick com 15 anos e na 
Universidade de Göttingen, com 18 anos de idade, em 1795. Em 1796, fez uma incrível descoberta: 
como construir, usando apenas régua e compasso, um polígono regular de 17 lados. Isso significa dizer 
que ele conseguiu dividir a circunferência em 17 partes iguais para, nela, inscrever o polígono regular, 
feito esse que era tentado pelos matemáticos desde a Grécia. Boyer afirma que Gauss comemorou o 
resultado iniciando um diário em que anotou muitas de suas descobertas nos 18 anos seguintes.
Eves aponta que, da mesma maneira que Newton, Gauss era lento para publicar seus resultados e, 
assim, muitas questões de prioridade foram levantadas. Ou seja, nem sempre é possível ter certeza sobre 
quem obteve um determinado resultado primeiro. Esse diário só se tornou público após a morte de Gauss, 
em 1898, quando a Sociedade Real da cidade de Göttingem o recebeu emprestado de um dos netos do 
matemático. O diário contém 146 registros de descobertas e cálculos. Boyer observa que, entre esses registros, 
estão vários teoremas estabelecidos por matemáticos anteriores, como Euler e Lagrange, os quais Gauss 
redescobriu e, ainda, outros teoremas acompanhados de demonstrações completamente novas. Entre as 
descobertas mais significativas de seu tempo de estudante, estão a prova da lei de reciprocidade quadrática 
da teoria dos números e o desenvolvimento do método de determinação dos mínimos quadrados.
De acordo com Eves, com apenas 20 anos Gauss escreveu sua tese de doutorado na Universidade 
de Helmsädt, apresentando a primeira demonstração plenamente aceitável do teorema fundamental da 
álgebra. Com 24 anos, ele publicou sua obra unitária mais importante, Disquisitiones arithmeticae, um 
trabalho fundamental na moderna teoria dos números.
Boyer demarca que o livro Disquisitiones é organizado em sete seções, sendo que nas quatro primeiras 
ele reformula de modo mais compacto a teoria dos números do século XVIII, discutindo os conceitos de 
congruência e de classes de restos. A quinta seção é dedicada à teoria das formas quadráticas binárias. 
Na seção de número seis, há diversas aplicações práticas e, na última seção, o que inicialmente mais 
chamou a atenção foi a resolução da equação ciclotômica geral de grau primo.
Boyer aponta que as Disquisitiones Arithmeticae de Gauss ficaram esquecidas até o fim dos anos 
1820, quando os estudos de C. G. Jacobi (1804‑1851) e P. G. Dirichlet (1805‑1859) trabalharam com 
algumas das consequências mais profundas que derivaram dessa obra.
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Além de grande estudioso da matemática, Gauss foi também um grande estudioso de física e astronomia. 
Foi a astronomia, por exemplo, que lhe trouxe fama imediata, segundo informações de Boyer. Gauss calculou 
a órbita do planeta Ceres, que havia sido recentemente descoberto por Giuseppe Piazzi (1746‑1826), diretor 
do observatório de Palermo, e que, sendo um planeta longínquo e pequeno, os astrônomos não conseguiam 
localizar exatamente. Para tanto, ele desenvolveu um esquema conhecido como método de Gauss, que ainda é 
usado para acompanhar satélites. A determinação da órbita de Ceres tornou Gauss famoso internacionalmente. 
Ele foi diretor do observatório de Göttingen e se dedicou muito a estudos do campo magnético da Terra. Como 
astrônomo, teve um importante colaborador, o físico e astrônomo Heinrich Wilhelm Webers (1758‑1840), e 
as últimas publicações de Gauss foram, em sua maioria, relativas à astronomia.
O início do cálculo diferencial
Boyer informa que, em 1827, Gauss iniciou um novo ramo da geometria denominado de geometria 
diferencial. No entanto, esse trabalho pertence mais à análise do que propriamente ao campo tradicional 
da geometria. Genericamente, a geometria usual se interessa pela totalidade de um diagrama ou figura, 
ao passo que a geometria diferencial se concentra nas propriedades de uma curva ou superfície na 
vizinhança imediata de um ponto.
Gauss estendeu a obra de Huygens e Clairaut sobre a curvatura de uma curva plana ou reversa, definindo 
a curvatura de uma superfície num ponto – a curvatura gaussiana ou curvatura total. Foi a partir desse 
trabalho que Bernhard Riemann e geômetras posteriores transformaram a geometria diferencial.
Segundo Boyer, um importante trabalho de Gauss foi publicado pela Sociedade Göttingen em 1812. 
Nele, há a representação geométrica de Gauss para os números complexos. A importância desse artigo 
residiu em abrir caminho para a extensão da teoria dos números do corpo dos números reais para o dos 
números complexos.
Augustin‑Louis Cauchy (1789‑1857)
Ávila afirma que, no século XVIII, sobretudo no estudo de séries infinitas, surgiram métodos que 
produziam resultados contraditórios ou absurdos na matemática. Isso gerou nos matemáticos uma 
atitude crítica em relação aos conceitos matemáticos básicos. Iniciada por Gauss e Lagrange, a 
revisão crítica dos fundamentos da matemática teve como consequência o desenvolvimento do rigor 
matemático, que foi uma das características marcantes da matemática no século XIX e, nessa questão, 
uma das figuras principais foi o francês Cauchy.
Boyer relata que Cauchy nasceu no ano da Revolução Francesa e foi filho de pais instruídos. Ele 
estudou na École Polytecnique, de Paris, e trabalhou como engenheiro até 1813, quando decidiu 
abandonar a engenharia civil em favor daciência pura e aceitou um cargo de professor na escola 
Politécnica, de acordo com dados de Eves.
Segundo Ávila, apesar de seus inegáveis méritos e influência no desenvolvimento da análise 
matemática, Cauchy foi beneficiado pelas posições que ocupava e por trabalhar no importante centro 
europeu que era Paris.
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Ávila ainda afirma que a demonstração que Cauchy publicou do teorema do valor intermediário 
no texto de seu Cours d’Analyse não passa de uma simples justificativa baseada na visualização 
geométrica. De acordo com o autor, por volta de 1820 Cauchy definiu a Integral em termos de 
soma, mas esse estudo foi muito incompleto. No entanto, a partir dessa época, intensificaram‑se as 
investigações sobre os fundamentos do cálculo, levando ao desenvolvimento da análise matemática 
e da teoria das funções.
Bernhard Riemann (1826 – 1866)
Filho de um pastor luterano, Bernhard Riemann nasceu em 1826, numa aldeia de Hanover. 
Estudou na Universidade de Berlim e posteriormente na de Göttingen, escola em que foi professor. 
Também foi em Göttingen que o teórico obteve seu doutorado com a brilhante tese no campo das 
funções complexas.
Ávila aponta que, por volta de 1854, Riemann realizou um estudo aprofundado da Integral e 
como nunca fora empreendido antes. Em decorrência, as somas usadas na definição de Integral são 
denominadas somas de Riemann e a própria Integral é chamada de Integral de Riemann.
Ávila ainda constata que Riemann trabalhou com o intento de criar uma teoria que unificasse 
os fenômenos óticos, elétricos e magnéticos. Seus esforços não foram de todo felizes, mas indicaram 
um caminho. O grande físico e matemático escocês James Clerk Maxwell descobriu as equações do 
eletromagnetismo com a unificação que Riemann imaginara.
Riemann morreu de tuberculose antes de completar 40 anos.
Resumidamente, no período histórico compreendido nesta unidade, a matemática se transformou 
enormemente e, como foi visto na unidade anterior, no século XVI houve o início do uso dos números 
complexos, fundamentais no desenvolvimento do eletromagnetismo (EVES, 2004).
No século XVII, o desenvolvimento da astronomia, da navegação, do comércio e da engenharia 
demandou cálculos matemáticos, o que fez com que a pesquisa voltasse a ser intensamente incentivada. 
Uma das preocupações centrais passou a ser um método de simplificação de cálculos rápido e eficiente. 
Para responder a essa necessidade, vieram atender sucessivamente essas crescentes demandas a notação 
indo‑arábica, as frações decimais, os logaritmos e os modernos computadores. 
A geometria analítica moderna foi desenvolvida por Descartes e Fermat estabeleceu os fundamentos 
da moderna teoria dos números. Huygens contribuiu de forma importante com a teoria das probabilidades. 
Ao final do século XVII, em decorrência do desenvolvimento criado pelos matemáticos do próprio século, 
o cálculo infinitesimal e o integral são construídos por Newton e Leibniz.
Na matemática, mudaram‑se os próprios fundamentos e desenvolveu‑se o conceito de rigor 
matemático. Gauss forneceu uma explicação geométrica para os números complexos e contribuiu em 
praticamente todos os ramos da matemática, especialmente na teoria dos números. Por fim, com as 
contribuições de Cauchy o campo da análise matemática se desenvolveu enormemente.
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O século XIX
O século XIX é extremamente profícuo em matemática, pois nele ocorreu a Revolução Industrial, que 
provocou uma enorme mudança no modo de produção humana e na vida econômica e social.
Surgiu também no século XIX a geometria diferencial. Abel demonstrou que é impossível determinar 
uma fórmula genérica para a resolução de equações de quinto grau e foram desenvolvidos por Hamilton 
os quatérnios. No campo da geometria, ocorreu uma verdadeira revolução com o desenvolvimento 
das geometrias não euclidianas, tais como a hiperbólica e a elíptica. No final do século, apareceu a 
teoria dos conjuntos com Cantor, Dedekind e Bolzano e o desenvolvimento dessa teoria provocou novas 
reformulações na matemática, principalmente a partir das contribuições de De Morgan, Peano e Jonh 
Venn. Boole construiu uma lógica matemática estruturada em conjuntos e isso levou a uma evolução 
também no campo da teoria das probabilidades.
No século XIX, houve também grandes mudanças no campo da aritmética e da álgebra. A resolução 
de equações algébricas de grau maior ou igual a quatro por fórmulas com radicais era um dos problemas 
que ocupava os matemáticos na época. Esse problema surgiu por ser conhecido que esse tipo de solução 
existia para equações algébricas tanto de segundo quanto de terceiro graus. Lagrange e Vandermonde 
haviam iniciado estudos tentando determinar soluções com radicais para as equações algébricas de 
quarto grau, mas nada conseguiram. Coube ao jovem matemático Niels Henrik Abel resolver o problema, 
ao provar que é impossível resolver por radicais equações de grau maior ou igual a quatro.
A partir de estudos iniciados por Évariste Galois, surgiu a teoria dos grupos, que impulsionou a 
teoria dos números e originou a álgebra moderna. O próprio conceito de álgebra mudou e surgiu então 
a álgebra não comutativa. Estabeleceu‑se, assim, uma distinção entre a álgebra linear – dos espaços 
vetoriais e transformações lineares – e a álgebra dos conjuntos – das estruturas, tais como os grupos, 
anéis e corpos.
No final do século, Peano apresentou contribuições na aritmetização da análise, que havia sido 
iniciada por Cauchy e Bolzano, axiomatizando a maior parte da matemática.
As geometrias não euclidianas abriram novas possibilidades para a ciência do século XX. Pelo fato de 
o universo ser curvo, Albert Einstein usou as ideias da geometria elíptica de Riemann em sua teoria da 
relatividade. Einstein considerou o universo com quatro dimensões, e não três (o tempo seria a quarta 
dimensão). Nesse contexto, as geodésias são as retas do espaço‑tempo.
Assim, as geometrias não euclidianas são de grande valia em diversos campos, tais como a física 
atômica, a óptica, a ondulatória e nos estudos de grandes distâncias.
William Rowan Hamilton
No início do século XIX, parecia inconcebível que pudesse haver uma álgebra diferente da comum e 
da aritmética. Eves cita como exemplo a dificuldade que os matemáticos da época tinham em imaginar 
uma álgebra em que a lei comutativa da multiplicação não se aplicasse.
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Hamilton contava a história de que a ideia de abandonar a lei comutativa 
da multiplicação ocorreu‑lhe num átimo, após quinze anos de cogitações 
infrutíferas, enquanto caminhava com a esposa ao longo do Royal Canal 
perto de Dublin, pouco antes de escurecer. Essa ideia tão pouco ortodoxa 
impressionou‑o tanto que pegou seu canivete e com ele cravou a parte 
fundamental da tábua de multiplicação dos quatérnios numa das pedras da 
Ponte Broughm. Hoje uma placa engastada de pedra da ponte conta‑nos a 
história. Dessa forma perpetua‑se um dos grandes momentos da matemática 
(EVES, 2004, p. 551).
Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William 
Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental 
formula for quaternion multiplication
i2 = j2 = k2 = ijk = –1
and cut it in a stone of this bridge.
Figura 51
Tradução livre: Aqui estava caminhando em 16 de outubro de 1843 Sir William Rowan Hamilton 
quando, em um lampejo de genialidade, descobriu a fórmulafundamental para a multiplicação dos 
quatérnios i2 = j2 = k2 = ijk = –1 e a cravou em uma pedra desta ponte.
Assim, Eves observa que pode‑se escrever o quatérnio (a, b, c, d) do seguinte modo:
a + bi + cj + dk
Quando se representa dois quatérnios como no modo anterior, eles podem ser multiplicados 
como polinômios em i, j e k e o produto resultante pode ser colocado na mesma forma por meio 
da tábua de multiplicação:
Tabela 1
x 1 I J k
1 1 I J k
i I ‑i K ‑j
j J ‑k ‑1 i
k K J ‑i ‑1
Niels Henrik Abel (1802‑1829) e Évariste Galois (1811‑1832)
Eves esclarece que, na história da matemática, às vezes se associam nomes aos pares. Niels Henrik 
Abel e Évariste Galois constituem um exemplo dessa associação, não por nacionalidade ou por interesse 
matemático comum, mas por suas mortes prematuras e pelo material que cada um legou às gerações 
futuras de matemáticos.
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• Niels Henrik Abel (1802‑1829)
Abel nasceu em 1802, em Findö, na Noruega, onde seu pai era pastor religioso. Tanto Eves quanto 
Boyer comentam que, quando estudante, Abel acreditou ter conseguido a solução algébrica 
geral das equações quínticas, mas, em 1824, publicou o artigo “Sobre a resolução algébrica de 
equações”, no qual chegou à conclusão oposta: provou que não existia a possibilidade de haver 
fórmula geral expressa em operações algébricas explícitas sobre os coeficientes de uma equação 
polinomial e para as raízes da equação com grau maior do que quatro. Por conta desse trabalho, 
Abel ganhou uma bolsa que lhe permitiu viajar para a Alemanha, a Itália e a França. Eves observa 
que, durante esse período, Abel escreveu vários artigos em diversas áreas da matemática, como a 
área de convergência de séries finitas, a de integrais abelianas e de funções elípticas.
As pesquisas de Abel no campo das funções elípticas se deram em excitante e amigável competição 
com Carl Cristov Jacobi. Ambos publicavam suas descobertas na recém‑fundada publicação 
Journal für die reine und angewandte Mathematik (mais conhecida como Journal de Crelle).
Eves aponta que, no campo da análise encontra‑se a equação integral de Abel e o teorema de 
Abel sobre a soma de integrais das funções algébricas que leva às funções abelianas. Em séries 
infinitas, há o teste de convergência de Abel e o teorema de Abel sobre séries de potências. Os 
grupos comutativos da álgebra abstrata são denominados atualmente de grupos abelianos.
Abel morreu de tuberculose e subnutrição em Froland, na Noruega, aos 26 anos de idade, sem 
saber que a Universidade de Berlim lhe enviara um convite de trabalho, que chegou tardiamente. 
No entanto, Eves comenta que o estudioso deixou um material de valor extraordinário para ser 
trabalhado por matemáticos de gerações futuras. Quando indagado sobre a fórmula para avançar tão 
rapidamente aos primeiros escalões, Abel respondeu: “Estudando os mestres, e não seus discípulos”.
• Évariste Galois (1811‑1832)
Eves constata que a vida desse matemático foi mais curta e mais trágica que a de Abel. Évariste 
Galois nasceu em 1811, perto de Paris. Seu talento por matemática surgiu pouco tempo depois 
de completar 15 anos. Por duas vezes, ele tentou entrar na Escola Politécnica, mas seu preparo 
para cumprir determinadas formalidades o reprovou. Por outro lado, faltou aos examinadores a 
perspicácia para perceber seu gênio.
Um grande golpe em sua vida foi o suicídio do pai. Em 1829, Galois entrou na escola normal para 
ser professor. No entanto, envolveu‑se em agitações da Revolução de 1830 e, em decorrência 
disso, foi expulso da escola e preso. Pouco tempo depois de sua libertação, em 1832, então com 
22 anos incompletos, uma manobra envolvendo um caso amoroso levou‑o a um duelo à pistola, 
no qual foi morto.
Galois dominou os grandes textos de matemática de seu tempo, como os de autoria de Legendre, 
Jacobi e Abel. Com 17 anos de idade, obteve resultados importantes, mas dois de seus trabalhos 
enviados à Academia de Ciências se extraviaram. O valor de sua obra é decorrente do estudo de 
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grandes matemáticos a partir de descobertas não publicadas, porém, indicadas em um “testamento 
científico” escrito pelo estudioso na noite anterior à sua morte.
Eves comenta que várias das memórias e manuscritos de Galois encontrados entre seus papéis após 
sua morte foram publicados por Joseph Liouville (1809‑1882) em 1846, em seu Journal de Mathématique.
O estudo de grupos começou com Galois: ele foi pioneiro no uso da palavra “grupo” em seu sentido 
técnico a partir de 1830 e essa noção foi um fator de grande importância para a ascensão da álgebra 
abstrata no século XX.
Carl Cristov Jacobi (1804‑1851) e Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805‑1859)
Como foi visto nos tópicos anteriores, a Alemanha estava em plena ascensão no período histórico do 
qual estamos tratando e, segundo Eves, Carl Cristov Jacobi e Peter Gustav Lejeune foram dois eminentes 
matemáticos que participaram dessa fase.
Eves informa que Jacobi era descendente de judeus e nasceu em Potsdam, em 1804. Estudou na 
Universidade de Berlim e obteve seu doutorado em 1825. Foi professor em Königsberg, mas renunciou 
e transferiu‑se para Berlim, onde viveu até sua morte prematura, em 1851.
Além de pesquisador, Jacobi foi o maior professor de sua geração. Como já mencionado anteriormente, 
ele e Abel participaram independente e simultaneamente de pesquisas referentes às funções elípticas. 
Jacobi e Cauchy, por sua vez, ainda contribuíram para a teoria dos determinantes e aquele foi o 
responsável pela aceitação da palavra determinante, conceito este que mais tarde seria conhecido pela 
designação jacobiano.
O estudioso contribuiu também para a teoria dos números e das equações diferenciais tanto ordinárias 
como parciais, para o cálculo de variações e em problemas de dinâmica. Jabobi foi um homem generoso 
na apreciação do trabalho de seus contemporâneos.
Dirichlet nasceu em Düren, em 1805, e exerceu o magistério em Breslau e Berlim. Foi aluno de Gauss e, 
com a morte do mestre, foi convidado a sucedê‑lo em Göttingen. Eves aponta que a morte prematura de 
Dirichlet o impediu de concretizar o projeto que tinha de terminar os trabalhos incompletos de Gauss.
Como era proficiente em alemão e francês, o estudioso foi um elo entre os matemáticos das duas 
nações. Eves informa que a realização mais celebrada de Dirichlet foi a generalização do conceito 
de função, mas ele também colaborou com a teoria dos números a partir da aplicação de métodos 
infinitesimais.
O século XX
No final do século XIX, havia um intenso intercâmbio de ideias matemáticas por meio de 
encontros internacionais de matemáticos e pela fundação de sociedades matemáticas com reuniões 
periódicas e publicações sistemáticas. São exemplos dessas sociedades a London Mathematical 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Society, a Société Mathématique de France e o Circolo Matematico di Palermo. Essa facilidade de 
contato com as mais revolucionárias teorias e descobertas fez com que ocorresse um novo impulso 
de desenvolvimento matemático.
No início do século XX, o alemão David Hilbert (1862‑1943) era um dos matemáticos que participava 
de congressos, estava ciente das questões que ocupavam os principais centros ligados à área e conhecia 
o método axiomático. Ele estava impregnado pela atitude crítica e revisionista dos fundamentos da 
matemática e empreendeu a tarefa de revisar Os Elementos,de Euclides, pelo método axiomático.
Desse modo, ele percebeu que existiam falhas lógicas, hipóteses implícitas e definições sem sentido 
na obra de Euclides. Ele analisou e reescreveu toda a geometria plana euclidiana agregando todas as 
descobertas posteriores ao autor grego. Em vez dos cinco axiomas e cinco postulados de Euclides, Hilbert 
formulou 21 axiomas, sendo oito deles de incidência, quatro sobre ordem, cinco sobre congruência, três 
sobre continuidade e o último intitulado Postulado das Paralelas.
Em 1901, Hilbert publicou o livro Grundlagen der Geometrie (fundamentos da geometria), no qual ele 
apresenta essa geometria, que expõe a maior reforma da geometria plana euclidiana, nela incorporando 
a axiomatização e a teoria dos conjuntos.
Dez anos depois, surgiu Principia Mathematica, de Bertrand Russel e Alfred Whitehead, desenvolvendo 
de forma axiomática os fundamentos da aritmética e, também, lançando as bases para o desenvolvimento 
da álgebra abstrata.
A partir de estudos sobre o Principia Mathematica, o austríaco Kurt Gödel demonstrou 
que, mesmo num sistema lógico de aritmética como o de Russel‑Whitehead, existem teoremas 
indemonstráveis e existem enunciados sobre os quais não se pode dizer se são verdadeiros ou 
falsos. Por extensão, Gödel argumentou que existem teoremas na matemática dos quais não se 
pode demonstrar a veracidade e que, também, por absurdo, não se pode provar a não validade. A 
partir dessa declaração, Kurt Gödel eliminou a certeza matemática e levou um novo olhar sobre 
esse campo de estudo.
Ainda nas primeiras décadas do século, desenvolve‑se intensamente a análise funcional, com novas 
teorias, e a topologia, que se desenvolve sobretudo pelas contribuições de matemáticos americanos. O cálculo 
diferencial é utilizado por Albert Einstein (1879‑1955) para a resolução de suas equações gravitacionais, o 
que estimula o estudo da geometria diferencial.
A matemática no século XX se torna cada vez mais abstrata e passível de compreensão apenas para 
iniciados, ultrapassando os limites de um curso de história da matemática para iniciantes. Pode‑se dizer 
que a física moderna é matemática aplicada e os computadores permitem desenvolvimentos antes 
sequer imaginados.
Depois da Segunda Guerra Mundial, aparece a teoria dos fractais e a dos jogos. Fractal, do latim 
fractus, significa fracionado ou quebrado, e esse elemento foi assim denominado em 1975 por Benoit 
Mandelbrot. No entanto, tais assuntos haviam sido estudados por matemáticos anteriores, especialmente 
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entre 1857 e 1913. Os mais conhecidos hoje são: o floco de neve de Koch, o conjunto de Cantor, a curva de 
Peano, o triângulo de Sierpinski, o conjunto de Julia e o conjunto de Mandelbrot.
Em 1977, o americano Robert Stetson Shaw criou a teoria do caos.
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845‑1918) e Jules Henri Poincaré (1854–1912)
Esses dois matemáticos se situam parte no século XIX, parte no século XX. Eles exerceram influência 
considerável em uma área muito extensa da matemática dos tempos atuais.
Segundo Eves, Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, filho de pais dinamarqueses, nasceu em São 
Petersburgo, Rússia, em 1845. Em 1846, sua família mudou‑se para Frankfurt, Alemanha. Cantor estudou 
em Zurique, em Göttigen e em Berlim. De 1869 a 1905, o estudioso trabalhou na Universidade de Halle 
e morreu em 1918, em um hospital para doentes mentais.
Inicialmente, seu interesse em matemática esteve voltado para a teoria dos números, equações 
indeterminadas e séries trigonométricas. Eves informa que, em 1874, Cantor começou seu revolucionário 
trabalho em teoria dos números e do infinito.
Jules Henri Poincaré nasceu em Nancy, França, em 1854. Era um escritor talentoso, combinando 
lucidez de comunicação e estilo. A excelência literária de seus escritos populares deu a ele a honra mais 
alta que um escritor francês pode alcançar: foi eleito membro da seção literária do Institut francês.
Deficiências lógicas de Os Elementos, de Euclides
Segundo Eves, o exame dos fundamentos e da estrutura lógica da matemática constitui grande 
parte do trabalho desenvolvido nessa ciência no século XX. Em decorrência dessa nova postura, surgiu 
a axiomática, isto é, o estudo dos sistemas de postulados e suas propriedades.
A obra Os Elementos, de Euclides, passou pelo crivo da axiomática e apresentou muitos 
defeitos lógicos. A geometria euclidiana, plana e espacial, ganhou nova fundamentação a partir 
de novos postulados.
Axiomática
O desenvolvimento da axiomática se deve ao esforço das pesquisas modernas visando encontrar um 
conjunto de postulados aceitável para a geometria euclidiana e ao esforço da descoberta de geometrias 
não euclidianas igualmente consistentes.
David Hilbert (1862‑1943)
David Hilbert nasceu em Königsberg, na Prússia Oriental. Segundo Boyer, ele era figura constante 
nos congressos internacionais de matemática. Hilbert estudou na Universidade de Königsberg durante 
quase toda sua formação acadêmica, tendo ficado afastado dela apenas durante um semestre, cursado 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
na Universidade de Heidelberg. Muito da pesquisa que o estudioso realizou em Königsberg aplicava 
métodos de teoria das funções de Riemann a problemas de álgebras, especialmente funções algébricas. 
Hilbert mudou‑se para Zurique em 1892 e lá passou o resto de sua vida. Ele realizou importantes 
contribuições à teoria dos números algébricos e dos corpos numéricos.
A matemática moderna e Bourbaki
• A matemática moderna
Eves afirma que as duas características principais da matemática do século XX — a ênfase na 
abstração e a preocupação crescente com a análise das estruturas e modelos subjacentes — 
chamaram a atenção dos interessados no ensino de matemática. Vários deles acharam importante 
adaptar tais características ao ensino e, dessa forma, nasceu a matemática moderna.
A matemática moderna se inicia com uma introdução elementar à teoria dos conjuntos e prossegue 
com uma utilização persistente de suas notações e fundamentos. Eves constata que a matemática 
moderna também enfatiza as estruturas matemáticas subjacentes. Assim, na álgebra elementar as 
leis básicas da álgebra (comutativa, associativa, distributiva e outras) são valorizadas de forma a 
constituir as diversas estruturas algébricas.
• Bourbaki
Nicolas Bourbaki é um nome fictício dado a um grupo de matemáticos, quase exclusivamente franceses, 
que tem sido associado desde 1939 a uma série de obras matemáticas da mais alta abrangência.
Eves assegura que o nome Nicolas Bourbaki começou a aparecer inicialmente em algumas notas e 
artigos publicados nos Comptes Rendus da Academia de Ciências da França e em outros veículos. 
Depois disso, apareceu em volumes de uma grande obra que é escrita permanentemente, Éléments 
de mathématique, cujo objetivo é veicular toda a matemática válida.
Boyer comenta que a apresentação do assunto por Bourbaki é caracterizada por uma adesão 
sem concessões ao tratamento axiomático e a uma forma secamente abstrata e geral que retrata 
claramente a estrutura lógica de seu pensamento.
 Observação
Uma norma seria seguida regularmente pelo grupo sob o nome de Nicolas 
Bourbaki: o jubilamento compulsório dos membros aos 50 anos de idade.
Um momento de reflexão para o futuro professor
Durante este texto, foi construída a possibilidade de a história da matemática ser um catalisador para outras 
atividades no processo de ensino‑aprendizagem. Em verdade, toda a sua história é permeada por questões 
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referentes à memória (esquecimentos, lapsos, civilizações destruídas etc.); às compreensões em relação ao par 
“poder e saber”; e à forma de construção do saber, que deságua em concepções como a do grupo Bourbaki, 
em que a “matemática que vale a pena” é só aquela que “é caracterizada por uma adesão sem concessões ao 
tratamento axiomático”, e a do grupo da educação matemática (como nos mostram alguns artigos indicados no 
texto), que coloca em dúvida as razões de uma postura positivista como a aqui presente.
 Saiba mais
Em um contexto tal austero, a sugestão de leitura é necessária e mais amena: 
KUBRUSLY, R. S. Uma viagem informal ao texto de Gödel. In: CARVALHO, E. A.; 
MENDONÇA, T. (orgs.) Ensaios de Complexidade 2. Porto Alegre: Sulina, 2004. 
Disponível em <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/diversos/godel.html>. 
Acesso em: 16 abr. 2011.
Evolução da ciência e as filosofias da matemática
Neste tópico, serão analisadas as formas que constituem a teoria do conhecimento na Idade Moderna 
e na Idade Contemporânea.
• O racionalismo cartesiano
Ghiraldelli Jr. (2003) observa que Descartes, Rousseau e Kant afirmam que o homem deve exercer 
a condição de sujeito autêntico, pois, se consegue tal façanha, ou seja, se participa dessa instância 
chamada subjetividade autêntica, o homem se coloca no real e fica com a verdade.
Quando discorre sobre Descartes, Ghiraldelli Jr. inicia sua preleção com o título “Descartes e o 
sujeito epistemológico”. Como já esclarecido neste texto, René Descartes produziu o Discurso do 
Método e ele produziu também Meditações Metafísicas. Segundo Ghiraldelli Jr., ambas as obras 
expressam a tendência de preocupação com o problema das “bases sólidas do conhecimento”.
Aranha & Martins (1999) colocam que o ponto de partida de Descartes é a busca de uma verdade 
primeira que não apresenta espaço para a dúvida. Assim, a dúvida é convertida em método. O 
início, portanto, é a dúvida sobre as afirmações do senso comum, dos argumentos de autoridade, 
do testemunho dos sentidos, das informações, da consciência, das verdades deduzidas pelo 
raciocínio, da realidade do mundo exterior e da realidade do próprio corpo.
Ghiraldelli Jr. afirma que o que Descartes deseja, segundo sua própria expressão, é um “ponto 
arquimediano”, uma verdade indubitável para dedutivamente construir as ciências. Para o filósofo, 
o princípio era: “Penso, logo existo”.
Aranha & Martins ilustram que, a partir da intuição primeira (a existência do ser que pensa), as ideias claras 
e distintas são as gerais, que não derivam do particular e já se encontram no espírito, como instrumentos 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
de fundamentação para apreensão de outras verdades. São as ideias inatas, não no sentido que o ser 
humano tenha nascido com elas, mas no sentido de que elas tenham se originado na capacidade de 
pensar. A verdadeira ciência se perfaz no espírito. A capacidade de atingir verdades universais e eternas 
está no ser humano, isto é, como conclui Ghiraldelli Jr., para Descartes o saber e as ciências como saber 
verdadeiro passam a estar assentados no eu, isto é, em um sujeito que se caracteriza por possuir um 
núcleo não contingente e que, portanto, está além das vicissitudes da história: o cogito.
Ghiraldelli Jr. observa também que Rousseau, por sua vez, acredita em outro tipo de subjetividade: se, para 
Descartes, a evidência é algo exclusivamente intelectual, Rousseau coloca a evidência na dependência do 
que entende ser a “sinceridade do coração”. Portanto, a verdade só encontra porto seguro no sujeito moral, 
na medida em que ela é avaliada por uma subjetividade que nada mais é do que uma consciência moral 
organizada à base dos sentimentos. Ou seja, Rousseau moraliza o sujeito epistemológico.
Ghiraldelli Jr. ainda aponta que Immanuel Kant (1724‑1804) fez o trabalho da crítica da razão na 
medida em que investigou as condições de possibilidade do aparato cognitivo subjetivo. Para ele, 
tempo e espaço não são dados dos sentidos, mas condições a priori para que qualquer coisa possa 
ser um objeto percebido. Ou seja, Kant subjetiva o espaço e o tempo: eles se tornam lentes sem as 
quais o mundo não pode ser percebido pelo sujeito.
• O empirismo
Aranha & Martins esclarecem que a palavra empirismo vem do grego empeiria, que significa 
“experiência”. Ao contrário do racionalismo, o empirismo enfatiza o papel da experiência sensível 
no processo de conhecimento. A experiência é fundamental e o trabalho da razão é posterior e 
está subordinado a ela. Os empiristas questionam o caráter absoluto da verdade, uma vez que o 
conhecimento parte de uma realidade em transformação constante, sendo, portanto, tudo relativo ao 
espaço, ao tempo e ao humano. São empiristas Francis Bacon (1561‑1626), John Locke (1632‑1704) 
e Scot David Hume (1711‑1776).
Para Ghiraldelli Jr., Scot David Hume é um dos representantes máximos do empirismo e resume 
seu método à seguinte tarefa:
O que se quer é averiguar se sentenças fornecem proposições analíticas, 
sintéticas ou simples non sense. Isso deve revelar o quadro do que se pode 
confiar e do que não se pode considerar relevante. A primeira pergunta do 
método objetiva saber se um enunciado dado é analítico; para tanto, o que 
se observa é se sua negação gera uma autocontradição. Não sendo analítico, 
a segunda pergunta é se o enunciado é sintético; para saber, deve ser notado 
se tal enunciado possui uma ideia que remete ao empírico, à experiência. 
Em caso positivo, tal ideia, segundo Hume, está na mente humana como 
uma impressão – uma impressão sensível, um dado inicial exterior que 
impressionou os sentidos por meio do contato com um determinado objeto 
do mundo empírico, “exterior”. Se um enunciado não é nem analítico nem 
sintético, é um simples non sense (GHIRALDELLI Jr., 2003, p. 59‑60).
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Assim, conclui Ghiraldelli Jr., Hume é um dos primeiros a questionar a ideia moderna de sujeito 
ao dizer que “não há nenhuma ideia tal como a de eu”. O que existe, para ele, são as coleções de 
percepções das mais diferentes ordens, como quente e frio, dor e prazer, escuro e claro etc. Essas 
sensações, sentimentos e experiências ocorrem em um fluxo, não se coagulando em nenhum eu.
• Positivismo
Como já analisado neste texto, a Revolução Industrial do século XVIII demonstrou a eficácia do novo saber 
inaugurado pela ciência moderna no século anterior. Aranha & Martins acrescentam que ciência e técnica 
tornaram‑se aliadas, provocando modificações no ambiente humano nunca antes suspeitadas. A exaltação 
desse novo saber e desse novo poder leva à concepção de cientificismo, segundo a qual a ciência é o único 
conhecimento possível e o método das ciências da natureza é considerado o único válido e deve, portanto, 
ser estendido a todos os campos da indagação e atividade humanas. Nesse cenário, desenvolveu‑se no 
século XIX o pensamento positivista, cujo principal representante é August Comte (1798‑1857).
Filosofias da matemática
Eves observa que, atualmente, são consideradas três as principais filosofias da matemática: a logicista, 
cujas figuras centrais são Russel e Whitehead; a escola intuicionista, liderada por Brouwer; e a escola 
formalista, cujo desenvolvimento se deve a Hilbert.
• Logicismo
Eves explica que a tese do logicismo é a de que a matemática é um ramo da lógica. Assim, ao invés 
de ser apenas um instrumento da matemática, a lógica passa a ser considerada como a geradora 
da matemática. Todos os conceitos dessa áreado conhecimento têm de ser formulados nos termos 
dos conceitos lógicos e todos os teoremas matemáticos têm de ser desenvolvidos como teoremas 
da lógica. Essa visão ilustra, consequentemente, a tênue distinção entre matemática e lógica.
• Intuicionismo
Eves esclarece que a tese do intuicionismo é a de que a matemática tem de ser desenvolvida 
apenas por métodos construtivos finitos sobre a sequência dos números naturais dada de forma 
intuitiva. Essa escola nasceu com o matemático holandês L. E. J. Brouwer.
• Formalismo
A tese do formalismo é a de que a matemática é essencialmente o estudo dos sistemas simbólicos formais. 
Sua base não está plantada na lógica, mas apenas em uma coleção de sinais ou símbolos pré‑lógicos.
Albert Einstein (1879‑1955)
O mais célebre cientista do século XX, Albert Einstein nasceu na Alemanha em uma família judaica 
não observante. Quando Einstein tinha um ano de idade, a família se mudou para Munique.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Einstein cursou o ensino superior na ETH, em Zurique, onde mais tarde foi docente.
Entre 1909 e 1913, Einstein lecionou em Berna, Zurique e Praga. Voltou à Alemanha em 1914, 
pouco antes do início da Primeira Guerra Mundial. Participou de um projeto de pesquisa na Academia 
Prussiana de Ciências, ao mesmo tempo em que ocupou uma cadeira na Universidade de Berlim. O 
cientista também assumiu a direção do Instituto Wilhelm de Física, também em Berlim.
Inicialmente, Einstein apresentou sua teoria da relatividade geral em uma série de conferências e 
somente no ano seguinte a publicou na obra Fundamento Geral da Teoria da Relatividade. Em 1919, sua 
teoria foi comprovada em experiência realizada durante um eclipse solar. Em 1921, Einstein ganhou o 
Prêmio Nobel de Física e foi indicado para integrar a Organização de Cooperação Intelectual da Liga das 
Nações. No mesmo ano, publicou Sobre a teoria da relatividade especial e geral.
Devido ao fato de Hitler ter chegado ao poder na Alemanha, em outubro de 1933 o cientista partiu para 
os Estados Unidos, onde passou a integrar o Instituto de Estudos Avançados da Universidade de Princeton.
Einstein não teve participação no Projeto Manhattan que, em 1941, visava o desenvolvimento da 
bomba atômica pelos americanos. Em 1945, ele renunciou ao cargo de diretor do Instituto de Estudos 
Avançados da Universidade de Princeton, no entanto, continuou a trabalhar na instituição. Einstein 
morreu em 18 de abril de 1955, em Princeton, Nova Jersey, aos 76 anos (UOL, s. d.).
8 ESCOLA BRASILEIRA: OS GRANDES MATEMÁTICOS DO PAÍS
Levantamento histórico‑crítico sobre a escola brasileira
Ao apresentar a trajetória do ensino de matemática na escola brasileira do período colonial até o 
início da década de 1990, Barbosa (1992) fez uma incursão pelo quadro institucional escolar brasileiro 
ao investigar as variações da legislação que o rege e o reflexo desta nas grades curriculares. Embora sua 
análise da educação tenha sido desenvolvida com ênfase apenas no viés de uma possível discriminação 
social, em Cunha (1981) o levantamento da legislação é mais detalhado por ser focado apenas no 
período que abrange o Estado Novo (1937‑1945) até a década de 1970.
A leitura desses levantamentos permite identificar na própria legislação e nos próprios termos 
fixados pelo Estado (e não em textos cujos autores “possam ser contestados”) a preocupação histórica 
com a formação e a educação de membros das classes privilegiadas.
 Observação
Barbosa aponta a Revolução de 1930 como responsável por importantes 
mudanças no cenário da Educação, com a criação de novos órgãos 
administrativos como o Ministério da Educação e Saúde Pública (Decreto nº 
19.402, de 14 de novembro de 1930). O autor observa ainda que o sistema 
educacional era até então de domínio de uma classe privilegiada através de um 
sistema de ensino visando à formação de uma elite para as escolas superiores.
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A possibilidade de leitura talvez seja a mesma aventada por Foucault (1988) em relação ao dispositivo 
da sexualidade: um possível racismo dinâmico, da expansão, ou seja, a busca por parte das classes 
dominantes da garantia da força, da perenidade, da proliferação secular do corpo pela organização 
de dispositivos para a perpetuação da condição de condutores das massas, tudo isso através de uma 
preparação educacional privilegiada.
Um indicativo dessa situação é o recorte feito por Cunha na Lei Orgânica do Ensino Secundário, de 1942:
O ensino secundário se destina à preparação das individualidades condutoras, 
isto é, dos homens que deverão assumir as responsabilidades maiores da 
sociedade e da nação, dos homens portadores das concepções e atitudes 
espirituais que é preciso difundir nas massas, que é preciso tornar habituais 
entre o povo (CUNHA, 1981, p. 237).
É possível também relacionar as muitas variações ocorridas na legislação com a existência de 
movimentos externos ao sistema de ensino, isto é, a existência de necessidades estratégicas decorrentes 
de repercussões sociais, econômicas e políticas. Assim como ocorreu na história da sexualidade, a 
existência de conflitos e urgências econômicas determinaram essas variações. Em Barbosa:
Os grandes movimentos de renovação e reconstrução foram propiciados 
pelas repercussões sociais, econômicas e políticas que se irradiaram por 
todos os continentes – inclusive no campo educacional, onde surgiram 
novas doutrinas–causadas pela Primeira Guerra Mundial, sendo que de 1915 
a 1919, verifica‑se o maior surto industrial na economia brasileira, motivado 
pela paralisação do comércio internacional (BARBOSA, 1992, p. 76).
A partir do descobrimento, durante 250 anos a educação no Brasil coube predominantemente aos 
jesuítas. Em 1750, em decorrência da subida do Marquês de Pombal ao poder, em Portugal, os jesuítas 
foram expulsos e o controle da educação escolar passou para o Estado português. Embora essa tenha 
sido efetivamente a primeira reforma educacional brasileira, o foco permaneceu nas classes privilegiadas, 
pois as aulas régias criadas foram de latim, grego e retórica.
Apesar de o Manifesto Republicano de 1870 ter clamado por uma transformação política através da 
educação, foi somente no final do século XIX que a educação popular passou a ter alguma importância, 
com a criação do primeiro grupo escolar.
Barbosa (1992) constata que foram as influências internas e externas decorrentes da Primeira Guerra 
Mundial a razão da existência de uma época de grandes debates no parlamento e na imprensa marcados 
pelo Congresso Brasileiro de Instrução Secundária e Superior, em 1922, e pela fundação da Associação 
Brasileira de Educação (ABE), em 1924.
Segundo Silva (2003), esses grandes debates ocorreram porque a década de 1920 constituiu um 
período da história do país no qual uma parte expressiva da intelectualidade brasileira se mobilizara 
em movimentos para conscientizar a nação da necessidade de solução dos grandes problemas da 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
época em determinados campos, a saber: economia, política, educação, saúde pública, saneamento 
básico, emprego, moradia, entre outros. Na visão de Silva, a década de 1920 foi de preparação para os 
acontecimentos que emergiram no país a partir da década de 1930, uma vez que a Associação Brasileira 
de Educação (ABE) começou a promover cursos de extensão e conferências sobre temas diversos para 
professores. Além disso, a ABE passoua estimular seus membros a publicarem nos jornais da cidade 
artigos expositivos versando sobre temas educacionais e científicos dedicados ao leitor leigo.
Ainda segundo Silva, a Associação Brasileira de Educação (ABE) congregou vários intelectuais 
brasileiros, dentre eles alguns professores da Escola Politécnica do Rio de Janeiro e, talvez em decorrência 
disso, tenha se iniciado no Brasil o que o autor denominou de “segundo período de desenvolvimento 
da matemática superior”, a partir da década de 1930. Esse novo período foi marcado pela fundação 
da Universidade de São Paulo (USP), em 1934, com a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras (FFCL). A 
USP foi fundada pelo governo paulista e com localização em São Paulo. Essa nova unidade de ensino 
tinha por finalidade desenvolver um tipo de ensino superior diferente do ensino profissionalizante das 
grandes escolas até então existentes. O objetivo era formar profissionais ligados ao magistério e à 
pesquisa científica básica e com atuação nas áreas das ciências exatas, humanas e biológicas, dentre 
outras. Era o início de um novo ciclo do ensino e desenvolvimento da matemática superior fora das 
escolas de engenharia.
Silva ainda afirma que, antes da década de 1930, havia alguns matemáticos brasileiros preocupados com 
a pesquisa, entre eles estavam Otto de Alencar Silva, M. Amoroso Costa, Lélio Gama e Theodoro Ramos.
Porém, um novo fôlego em relação à importância da pesquisa surgiu com a USP. O autor argumenta 
que, apesar de ser uma instituição pertencente à elite paulista, ela foi concebida com a filosofia própria 
de preocupação com a pesquisa científica. O curso de matemática da USP contou desde o início com a 
colaboração de matemáticos italianos e instituiu na comunidade matemática brasileira a cultura de fazer 
pesquisa científica continuada e considerar a importância para a comunidade matemática internacional 
dos resultados obtidos nos estudos realizados.
Ainda na década de 1930, na cidade do Rio de Janeiro, vários educadores liderados por Anísio 
Teixeira (1900‑1971) fundaram a Universidade do Distrito Federal (UDF), em 1935. Silva aponta que essa 
instituição era constituída de faculdades voltadas para o ensino e para a pesquisa básica continuada. A 
Faculdade de Ciências era responsável pelo ensino de matemática. No entanto, ela foi extinta em 1939 
para ser criada a Faculdade Nacional de Filosofia (FNFi), da Universidade do Brasil.
Os membros da comunidade matemática brasileira passaram a se congregar em associações de 
âmbito local ou nacional, bem como a criar periódicos especializados na área com o objetivo de criar 
espaço de publicação para pesquisas em matemática. Silva observa, além disso, que havia preocupação 
por parte dos professores de matemática em formar discípulos em suas áreas de pesquisas e, para isso, 
eles realizavam seminários de formação com alunos.
Alguns membros da comunidade matemática brasileira se envolveram no projeto de publicar e divulgar 
no país bons livros didáticos sobre matemática, escritos por matemáticos brasileiros ou estrangeiros. O 
objetivo era iniciar uma bibliografia sobre matemática em língua portuguesa.
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Assim como os processos externos das grandes guerras, os processos internos como a Revolução de 
1930, o Estado Novo e o fim do Estado Novo determinaram mudanças na Legislação.
Grande (1998) ressalta que o final do século XIX até 1930 representou o período áureo do chamado 
“ciclo do café”. O café, sobretudo, consolidou a hegemonia política e econômica do centro‑sul, 
transformando‑o na região brasileira na qual o capitalismo foi pioneiro e mais acentuado. Apesar da 
queda do preço internacional do café, decorrente do crack da Bolsa de Nova York (1929), o governo 
federal empenhou‑se em uma política de valorização do produto até 1946. Barbosa observa que esse 
cenário de grandes transformações abalou o sistema educacional, que até então era domínio das classes 
privilegiadas. Porém, a reforma instituída por Francisco Campos (primeiro ministro do Ministério da 
Educação e Saúde Pública), embora tenha atingido a estrutura do ensino por ter sido a primeira a ser 
imposta a todo território nacional, continuou a privilegiar a educação para a elite. Tal evidência residia 
principalmente nos conteúdos dos programas relativos ao ensino secundário.
Barbosa ainda aponta que as reformas parciais no ensino secundário, denominadas Leis Orgânicas do Ensino 
(o conjunto ficou conhecido por Reforma Capanema), foram decretadas no período de 1942 a 1946. Segundo 
Grande, a queda dos preços do principal produto de exportação – o café – e a Segunda Guerra Mundial geraram 
o desenvolvimento de indústrias nacionais (Usina de Volta Redonda, Cia. Siderúrgica Nacional e Cia. Vale do Rio 
Doce são exemplos da indústria pesada instalada), alterando a hegemonia das oligarquias do Centro‑Sul. Barbosa 
ainda acrescenta que o então Ministro da Educação e Saúde, Gustavo Capanema, passou a defender a criação de 
escolas técnicas profissionalizantes destinadas a construir um “exército de trabalho”. Foram executados, então, 
entre outros, os Decretos‑Leis Senai (Decreto nº 4.048, de 22 de janeiro de 1942), Industrial (Decreto nº 4.073, de 
30 de janeiro de 1942) e Senac (Decreto nº 8.621 e nº 8.622, de 10 de janeiro de 1946).
Barbosa aponta que a Constituição de 1946 estabelecia que a União deveria legislar sobre as diretrizes e 
bases da educação nacional. No entanto, o projeto subscrito pelo então Ministro da Educação e Saúde, Clemente 
Mariani, em 1948, foi transformado em lei somente 13 anos depois, a 20 de dezembro de 1961: a Lei de Diretrizes 
e Bases da Educação Nacional (LDBEN), sob o nº 4.024/61. A principal característica da LDBEN nº 4.024/61 era a 
descentralização, ou seja, cada Estado passaria a ser responsável por seu sistema educacional.
Com o surto industrial e à medida que o trabalho fabril tornava‑se mais complexo, surgiu a necessidade 
de trabalhadores alfabetizados e que dominassem as operações aritméticas mais elementares. Não por 
acaso, a universalização da educação escolar e a possibilidade de acesso à escola para a maioria da 
população iniciou‑se justamente com a Constituição de 1946, que determinava que o ensino primário, 
de quatro anos de duração, era obrigatório a todos.
O ensino médio era, até então, na sua maioria, delegado às instituições de iniciativa privada, caracterizando 
seu caráter altamente seletivo. Montou‑se, também nessa época, um tipo especial de escola secundária com 
o objetivo de qualificação para os quadros médios no trabalho industrial. No entanto, Cunha constata que as 
escolas secundárias frequentadas por jovens da classe dominante e das camadas médias continuavam com 
currículos centrados nos estudos literários, base para o ingresso nos cursos superiores.
Em meio a esse cenário, Silva aponta que a partir da década de 1940 as sociedades científicas de 
matemática foram fundadas. A primeira delas foi a Sociedade de Matemática de São Paulo (SMSP), criada em 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
1945 dentro da USP e extinta em 1969. No mesmo ano, foi fundada a Sociedade Brasileira de Matemática 
(SBM). A terceira sociedade a ser fundada foi a Sociedade de Matemática e Física do Rio Grande do Sul, em 
1947. A quarta foi a Sociedade Paranaense de Matemática, criada na cidade de Curitiba, em 1953. Em 1978, 
foi criada a Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC). Por fim, na década de 
1980 foi fundada a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), que tem por objetivo congregar 
profissionais da matemática e está voltada paraos profissionais da área de educação matemática.
Silva indica que outro fato importante ocorrido na década de 1940 foi o início de cursos de pós‑graduação 
em matemática na USP. O decreto n° 12.511, de 21 de janeiro de 1942, do interventor federal no Estado de 
São Paulo, reorganizou a FFCL da USP e instituiu a concessão do grau de doutor por aquela faculdade. Para 
o caso da matemática, foi instituído o grau de doutor em ciências. O autor cita um dos artigos do decreto, 
no qual fica explicitado que a concessão de grau de doutor era feita de outra forma:
Art. 64
1o Será conferido o diploma de doutor ao bacharel que defender tese de notável 
valor, depois de dois anos, pelo menos, de estudos sob a orientação do professor 
catedrático da disciplina sobre que versarem os seus trabalhos, e for aprovado 
no exame de duas disciplinas subsidiárias da mesma secção ou secção afim.
2o Será concedido o título de doutor igualmente a todos os aprovados em 
concurso catedrático (SILVA, 2003, p. 143).
Nessa fase, denominada pelo autor de “primeira fase de doutoramentos na USP”, foram poucos os 
que obtiveram o doutorado em matemática, segundo a listagem de Silva:
Quadro 5
Ano Professor Instituição
1944 Omar Catunda Concurso de cátedra na FFCL
1951 Benedito Castrucci Concurso de cátedra na FFCL
1943
1951
Candido Lima da Silva Dias
Concurso de cátedra na Politécnica
Concurso de cátedra na FFCL
1950 Luiz Henrique Jacy Monteiro Grau de doutor pela FFCL
1950 Elza Furtado Gomide Grau de doutor pela FFCL
1950
1954
Edison Farah
Grau de doutor pela FFCL
Concurso de cátedra na FFCL
1950 João Batista Castanho Grau de doutor pela FFCL
1951 Fernando Furquim de Almeida Concurso de cátedra na FFCL
1952 Chaim Samuel Hönig Grau de doutor pela FFCL
1956 Domingos Pisanelli Grau de doutor pela FFCL
1957 Nelson Onuchic Grau de doutor pela FFCL
1958 Carlos Benjamin de Lyra Grau de doutor pela FFCL
(SILVA, 2003, p. 143‑144)
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É interessante comentar que, entre os primeiros doutorados, estava a professora Elza Furtado Gomide, 
graduada em matemática pela FFCL da USP. Ela foi a primeira brasileira a obter o grau de doutora em 
ciências (matemática) em uma instituição do país.
 Saiba mais
O artigo a seguir mostra a participação das mulheres na história da matemática:
FERNANDES M. C. V.; VASCONCELOS, M. B. F. A História de Mulheres no 
Campo da Matemática. VI Encontro Paraibano de Educação Matemática, 
Monteiro, Paraíba, de 09 a 11 nov. 2010. Disponível em: <http://www.
sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC‑12058626.pdf>. Acesso em 
03 jun. 2011. 
Durante a década de 1940, logo após o término da Segunda Guerra Mundial, foram contratados 
matemáticos estrangeiros para lecionar em vários Estados. Com a chegada à USP desses matemáticos 
estrangeiros, os alunos de São Paulo tomaram contato com as principais correntes de desenvolvimento 
da matemática na época.
Silva denomina de “segunda fase de doutoramentos na USP” o período após 1952. O decreto estadual 
n° 21.780, de 15 de outubro de 1952, instituiu novo regimento de doutoramento na FFCL da USP.
O primeiro artigo, citado por Silva:
Será conferido o diploma de doutor:
a) a todos os candidatos aprovados em concurso para Professor Catedrático 
nos termos do Art. 64, parágrafo segundo do Regulamento da Faculdade de 
Filosofia; e
b) aos bacharéis que forem aprovados em defesa de tese, depois de, pelo 
menos, dois anos de estudos sob a orientação do docente da disciplina 
escolhida, e em exame de duas disciplinas subsidiárias da mesma secção, 
ou de secção afim, ou das matérias do concurso de Especialização que fizer 
(SILVA, 2003, p. 144).
Para o caso da matemática, o decreto estabelecia que seria conferido o título de doutor em ciências.
É dessa segunda fase Ofélia Teresa Alas, graduada em matemática pela FFCL da USP em 1968 e 
a segunda brasileira a obter o grau de doutora em matemática. A partir da década de 1950, a Escola 
de Engenharia de São Carlos da USP instituiu programas de pós‑graduação em matemática e, assim, 
obtiveram o grau de doutor:
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Quadro 6
Ano Professor
1959 Gilberto Francisco Loibel
1959 Rubens G. Lintz
1963 Ubiratan D’Ambrosio
1968 Odelar Leite Linhares
(SILVA, 2003, p. 145)
Silva indica ainda que, em 1952, foi fundado o Instituto de matemática Pura e Aplicada (Impa), na 
cidade do Rio de Janeiro, como um órgão do CNPq e tendo como pesquisadores os professores Leopoldo 
Nachbin, Maurício Matos Peixoto, Maria Laura Mousinho L. Lopes, Carlos Benjamin de Lyra, José Leite 
Lopes e Paulo Ribenboim. O primeiro diretor do Impa foi o professor Lélio I. Gama.
No final da década de 1950, algumas instituições de ensino sediadas no eixo Rio de Janeiro/São Paulo já 
tinham implantado bons programas de graduação (bacharelado) em matemática. O Instituto Tecnológico de 
Aeronáutica (ITA) criou programas de pós‑graduação stricto sensu em matemática e, em 1956, começou a 
funcionar na cidade de Rio Claro o Departamento de Matemática da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras.
Cunha constata que a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, de 1961, confirmou a 
obrigatoriedade do ensino primário da Constituição de 1946, mas a restringiu ao especificar a 
obrigatoriedade a crianças com mais de sete anos de idade.
O Golpe Militar de 1964 determinou profundas mudanças no cenário da educação nacional. Cunha 
observa que, após as manifestações de descontentamento de 1968, uma série de atos oficiais expressou 
a nova política educacional. O Decreto‑Lei nº 477, de 26 de fevereiro de 1969, é um exemplo importante 
da regulação instituída pelo Regime Militar. Este decreto atribuía às autoridades educacionais o poder 
de desligar e suspender (por três anos) estudantes envolvidos em atividades consideradas subversivas, 
isto é, perigosas para a segurança nacional. Funcionários e professores, caso fossem relacionados a tais 
atividades, eram impedidos de trabalhar no ensino superior brasileiro durante cinco anos.
A Constituição de 1969 delimitou a obrigatoriedade do ensino primário para a população de sete a 14 anos6, 
embora o ensino primário continuasse a ter quatro anos de duração. Posteriormente, a Lei nº 5.692/71 estendeu 
o período de obrigatoriedade e gratuidade escolar – garantida pelo governo – para oito anos, ao especificar a 
ligação entre idade e grau de ensino (o ensino primário corresponderia ao ensino de primeiro grau).
Segundo Silva, a partir da década de 1960 houve um substancial incremento na oferta e na 
demanda de cursos de graduação em matemática em quase todo o país. Faltavam professores de 
matemática nas escolas secundárias, bem como nas universidades. Departamentos de matemática de 
várias universidades contratavam, além de graduados em matemática, engenheiros (civil, mecânico, 
químico, agrônomo, florestal etc.) que desejassem ser professores da área. Universidades sediadas no 
eixo Rio de Janeiro/São Paulo e a Universidade de Brasília foram mais cuidadosas em suas contratações 
de professores de matemática.
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A partir do que foi exposto, é possível notar como os acontecimentos da história (e os desdobramentos 
aos quais a educação e o processo de ensino estiveram e permanecem sujeitos) sempre estiveram 
relacionados a alguma circunstância: existe uma razão, ou seja, houve necessidades estratégicas e não 
necessariamente apenas interesses.
Cunha informa queum importante documento é o relatório do grupo de trabalho que foi formado 
pelo MEC (Ministério de Educação e Cultura) em julho de 1968. Sua importância deriva das consequências 
decorrentes das recomendações implícitas para o ensino superior e, também, para o ensino médio 
(principalmente pela sua profissionalização surgida como lei, mais tarde, em 1971).
O ensino de pós‑graduação foi institucionalizado pela Lei nº 5.540, de 28 de novembro de 1968, 
chamada Lei da Reforma Universitária. Os objetivos atribuídos a essa modalidade de ensino eram os de 
formar professores para suprir o ensino superior (de graduação) em grande expansão; formar pessoal de 
alta qualificação para as empresas públicas e privadas e para a burocracia governamental; e, finalmente, 
estimular estudos e pesquisas que servissem ao desenvolvimento do país.
No entanto, como observa Cunha a partir de um recorte feito da obra Reforma Universitária: 
relatório do grupo de trabalho, é possível perceber nos textos oficiais proposições mais ou menos 
veladas a respeito de outro objetivo da pós‑graduação: “manutenção da alta cultura que permanece 
privilégio de alguns”. Em contraposição à marca de raridade (mestre e doutor) concedida pelo ensino 
de pós‑graduação, nota‑se, no mesmo texto, a fragmentação do grau acadêmico de graduação 
através da criação das denominadas “licenciaturas curtas”. Esses cursos correspondiam a uma parcela 
da habilitação que o curso completo conferia e visavam suprir a carência de profissionais no ensino 
de primeiro grau, isso em decorrência da modificação introduzida pela Lei de Diretrizes e Bases de 
1971 (Lei nº 5.692/71).
Em razão dessa modificação na legislação no início da década de 1970, foi iniciado por parte do 
governo federal um forte programa de incentivo financeiro para alunos de pós‑graduação e para jovens 
docentes que desejassem complementar sua formação acadêmica. Silva ilustra que, a partir daí, jovens 
docentes de várias instituições de ensino do país se interessaram por cursos de mestrado e/ou doutorado 
em matemática. Ainda nesse período, o governo instituiu o regime de trabalho para docentes em tempo 
integral e dedicação exclusiva, embora o tenha feito de modo restrito.
Medidas com o objetivo de suprir as deficiências do ensino regular foram adotadas no decorrer da 
história de forma a atingir um grande número de pessoas através do uso de novas tecnologias. Exemplos 
históricos foram o Movimento Brasileiro de Alfabetização (Mobral, criado pela Lei n.º 5.370, de 15 de 
dezembro de 1967), o Projeto Minerva e as televisões educativas. Dispositivos que evidenciam maneiras 
de destinar ensinos distintos para grupos distintos.
(...) tendo em vista as dificuldades que o sistema educacional encontra para o 
atendimento das necessidades de todos aqueles que têm direito à educação 
através das metas educacionais, estabeleceu a Lei n.º 5.692, de 11 de agosto 
de 1971, em seu artigo 24, § 2º, que o rádio e a televisão, o ensino por 
correspondência e os outros meios de comunicação serão usados para alcançar 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
um número maior de alunos” (Programa Nacional de Telecomunicações, Plano 
Nacional de Tecnologias Educacionais, apud CUNHA, 1981, p. 255).
No sentido menos amplo da educação, a qualificação como conceito de empregabilidade não é um 
mero instrumento utilizado na camuflagem dos processos de exclusão, mas é também utilizada como linha 
de demarcação, elemento diferenciador no processo de criação de frações de classes e categorias.
O ensino da matemática, particularmente, permite um bom entendimento dessa questão quando o 
foco é o embate entre dois grupos identificados por matemáticos e educadores matemáticos. A matemática 
pensada como prática científica, através de sua linguagem e forma de comunicação, detém‑se a grupos 
restritos e em modos específicos e cifrados de ação. A linguagem da pesquisa em educação, tanto quanto 
a linguagem de pesquisa em matemática, não é uma forma corriqueira de comunicação. Ou seja, é viável 
a desconfiança da existência de um mecanismo que produz o saber (pesquisa em educação) com foco nos 
mecanismos de poder, mas, ao mesmo tempo, utilizam‑se desse saber para criar demarcações no interior 
da categoria. É uma forma de luta pelo poder do qual se quer apoderar.
Silva aponta uma situação que ilustra bem o que foi dito acima: o fato de o Instituto Tecnológico 
de Aeronáutica (ITA), não subordinado ao Ministério da Educação (MEC), ter sido a primeira instituição 
brasileira a oferecer um programa de mestrado em matemática, física e engenharias aeronáutica, 
eletrônica e mecânica, em 1961.
 Saiba mais
Vale a pena ler o artigo indicado a seguir, resultado da posição de quatro 
autores:
MIGUEL, A.; GARNICA, A. V. M.; IGLIORI, S. B. C.; D’AMBRÓSIO, U. A 
educação matemática: breve histórico, ações implementadas e questões 
sobre sua disciplinarização. In: Revista Brasileira de Educação, Rio de 
Janeiro, n. 27, set. a dez. 2004. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/
rbedu/n27/n27a05.pdf>. Acesso em 02 jun. 2011.
 Resumo
O estudante deve ter notado que esta última unidade é diferente das 
outras – as demais são muito mais extensas e apresentam um tratamento 
mais minucioso. Essa construção foi intencional. Inúmeros trabalhos 
acadêmicos atestam que, atualmente, há uma valorização muito grande 
do tempo presente e consequente desvalorização do passado, como se uma 
cultura não devesse nada a ele. Ou seja, neste texto, buscou‑se amenizar a 
realidade de os acontecimentos mais recentes serem disseminados de uma 
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forma mais rápida ao priorizar um foco mais no passado, em particular nas 
épocas que se constituíram como berço do conhecimento matemático que 
foi produzido no decorrer da história da humanidade.
Uma situação que ilustra o atual descompromisso com a história da 
antiguidade foi o ocorrido em uma apresentação feita pelo professor que 
foi meu orientador no mestrado e doutorado. Na ocasião, ele comentava 
um texto de Jorge L. Borges – autor argentino que defendia infinitas 
possibilidades de reescrita de textos literários antigos. Nesse texto, sobre o 
qual o professor tecia comentários, o Minotauro da mitologia grega era um 
personagem que olhava o mundo a partir de seu castelo – o labirinto. Em 
certo momento, ele notou que repentinamente havia um certo desconforto 
na plateia e, então, perguntou aos presentes se todos conheciam o 
personagem em questão. A resposta da maioria foi negativa.
Desse episódio surgiu a linha de construção deste texto sobre história da 
matemática. Durante o curso de licenciatura em matemática, o estudante 
terá muito mais acesso ao que foi construído em termos de conhecimento 
matemático nos últimos séculos e terá apenas dois momentos em que terá 
contato com os primórdios da história da matemática: nesta disciplina, 
História da Matemática, e em Teoria dos Números.
 Exercícios
Questão 1. O conhecimento de história da matemática é um instrumento facilitador e 
fundamental para o aprendizado dessa ciência. A respeito da matemática nos séculos XVI e XVII, 
têm‑se as seguintes afirmativas:
I – No século XVI aconteceu o início do uso dos números complexos que foram fundamentais no 
desenvolvimento do eletromagnetismo.
II – No século XVII há um deslocamento da atividade matemática da Itália para a França e a 
Inglaterra. O desenvolvimento da astronomia, da navegação, do comércio e da engenharia demandou 
cálculos matemáticos, o que fez com que a pesquisa voltasse a ser intensamente incentivada. Uma 
das preocupações centrais passou a ser um método de simplificação de cálculosrápido e eficiente. 
Para responder a essa necessidade, quatro invenções vieram atender sucessivamente essas demandas 
crescentes: a notação indo‑arábica, as frações decimais, os logaritmos e os modernos computadores. 
O terceiro desses dispositivos, o logaritmo, foi inventado por Bhaskara perto do início do século XVII.
III – A partir do século XVII, Gauss forneceu uma explicação geométrica para os números complexos, 
contribuiu em praticamente todos os ramos da matemática – especialmente na teoria dos números – e 
desenvolveu enormemente o campo da análise matemática com Cauchy.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Assinale a alternativa que contém a(s) afirmativa(s) correta(s):
A) I.
B) I e II.
C) I e III.
D) II e III.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa C.
Análise das afirmativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: mesmo que no século XVI realmente tenha ocorrido o início do uso dos números 
complexos que foram fundamentais no desenvolvimento do eletromagnetismo, a afirmativa I não é a 
única correta dentre as três afirmativas expostas.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a afirmativa II é incorreta, já que, no século XVII, houve um deslocamento da atividade 
matemática da Itália para a França e a Inglaterra. O desenvolvimento da astronomia, da navegação, do 
comércio e da engenharia demandou cálculos matemáticos, o que fez com que a pesquisa voltasse a 
ser intensamente incentivada. Uma das preocupações centrais passou a ser um método de simplificação 
de cálculos rápido e eficiente. Para responder a essa necessidade, quatro invenções vieram atender 
sucessivamente essas demandas crescentes: a notação indo‑arábica, as frações decimais, os logaritmos 
e os modernos computadores. O terceiro desses dispositivos, o logaritmo, foi inventado perto do início 
do século XVII por John Napier, e não por Bhaskara.
C) Alternativa correta.
Justificativa: ambas as afirmativas I e III estão corretas. Na afirmativa III, a informação exposta corretamente 
é a de que, a partir do século XVII, Gauss forneceu uma explicação geométrica para os números complexos e 
contribuiu em praticamente todos os ramos da matemática – especialmente na teoria dos números –, e, além 
disso, desenvolveu enormemente o campo da análise matemática com Cauchy.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: como explicitado nas justificativas anteriores, a afirmativa II está errada e sua presença 
na alternativa D a invalida.
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E) Alternativa incorreta.
Justificativa: como explicitado nas justificativas anteriores, a afirmativa II está errada e sua presença 
na alternativa E a invalida.
Questão 2. “Blaise Pascal nasceu na província francesa de Auvergne em 19 de julho de 1623 e foi um 
prodígio matemático. A princípio, seu pai, que também tinha inclinação para essa ciência, não lhe deu acesso 
a livros de matemática para que desenvolvesse outros interesses, mas, aos 12 anos, o menino mostrou muito 
talento para a geometria e, a partir daí, sua inclinação passou a ser encorajada pelo pai. Aos 14 anos, Pascal 
já participava de uma reunião semanal com matemáticos franceses e, aos 16, escreveu um trabalho sobre 
secções cônicas tão completo que Descartes preferiu acreditar que fosse de autoria de seu pai. Entre os 18 e os 
19 anos, Pascal inventou a primeira máquina de calcular. Aos 20, aplicou seu talento à física, pois se interessou 
pelo trabalho de Torricelli sobre pressão atmosférica, deixando como resultado o Princípio de Pascal sobre a 
lei das pressões num líquido, que foi publicado em 1653 no seu Tratado do equilíbrio dos líquidos. Em 1650, 
por estar com a saúde debilitada, Pascal resolveu abandonar suas pesquisas e se dedicar à contemplação 
religiosa. Porém, três anos mais tarde, ele retornou à matemática. Nesse período, escreveu Traité du Triangle 
Arithmétique, conduziu diversas experiências sobre a pressão dos fluidos e, juntamente com Fermat, lançou 
os fundamentos da teoria da probabilidade. O Traité du Triangle Arithmétique foi escrito em 1653, mas só foi 
publicado em 1665. Ao construir seu “triângulo aritmético”, Pascal expôs que qualquer elemento é a soma 
de todos os elementos da linha anterior situados exatamente acima ou à esquerda do elemento desejado” 
(Disponível em <http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pascal.html>. Acesso em 15 abr. 2011).
O triângulo de Pascal está representado a seguir:
1 1 1 1 1 ...
1 2 3 4 5 ...
1 3 6 10 15 ...
1 a 10 20 35 ...
1 5 b 35 c ...
De acordo com a lógica de construção do triângulo de Pascal, os valores de a, b e c são, respectivamente:
A) 2, 15 e 24.
B) 4, 15 e 69.
C) 2, 15 e 70.
D) 4, 15 e 70.
E) 4, 15 e 69.
Resolução desta questão na Plataforma.
153
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
BERNARDES, M. R. Machado de pedra encontrado no Sítio Santa Clara, município de Engenheiro 
Beltrão. 2011. 1 fotografia.
Figura 2
PEÑA_ESCRITA_FUENCALIENTE_(CIUDAD_REAL).JPG. Largura: 462 pixels. Altura: 402 pixels. 76 
KB. Formato: JPEG. Disponível em <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pe%C3%B1a_Escrita_
Fuencaliente_(Ciudad_Real).jpg>. Acesso em: 28 mar. 2011.
 
Figura 3
BABYLONIAN_NUMERALS.JPG. Largura: 500 pixels. Altura: 324 pixels. 29 KB. Formato: JPEG. Disponível 
em <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.jpg>. Acesso em: 28 mar. 2011.
Figura 4
NUBI_T~1.PNG. Largura: 400 pixels. Altura: 831 pixels. 134 KB. Formato: PNG. Disponível em <http://
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/57/Nubi%C3%AB_tegenwoordig.png?uselang=pt‑br>. 
Acesso em: 28 mar. 2011.
Figura 5
EGYPT‑HIEROGLYPHS.JPG. Largura: 337 pixels. Altura: 480 pixels. 39 KB. Formato: JPEG. Disponível em 
<http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Egypt‑Hieroglyphs.jpg>. Acesso em: 28 mar. 2011.
Figura 6
PAPYRUS_ANI_CURS_HIERO.JPG. Largura: 592 pixels. Altura: 695 pixels. 143 KB. Formato: JPEG. 
Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Papyrus_Ani_curs_hiero.jpg>. Acesso em: 28 
mar. 2011.
Figura 7
SHABTISPURCHASEDOCUMENT‑BRITISHMUSEUM‑AUGUST21‑08.JPG. Largura: 2.541 pixels. 
Altura: 1.746 pixels. 3,72 MB. Formato: JPEG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.
org/wiki/File:ShabtisPurchaseDocument‑BritishMuseum‑August21‑08.jpg>. Acesso em 28 
mar. 2011
Figura 8
ROSETTA STONE IN BRITISH MUSEUM.JPG. Largura: 1.000 pixels. Altura: 1.202 pixels. 484 KB. Formato: 
JPEG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rosetta_Stone_in_British_Museum.
jpg>. Acesso em: 28 mar. 2011.
154
Figura 9
420PX‑ROSETTA_STONE._(1874)_‑_TIMEA.JPG. Largura: 718 pixels. Altura: 1.024 pixels. 80 KB. 
Formato: JPEG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rosetta_Stone._(1874)_‑
_TIMEA.jpg>. Acesso em: 28 mar. 2011.
Figura 10
DA AUTORA.
Figura 11
DA AUTORA.
Figura 12
DA AUTORA.
Figura 13
DA AUTORA.
Figura 14
RHIND_MATHEMATICAL_PAPYRUS.JPG. Largura: 578 pixels. Altura: 363 pixels. 58 KB. Formato: JPEG. 
Disponível em: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.
jpg>. Acesso em: 28 mar. 2011.
Figura 15
MESOPOTAMIA.PNG. Largura: 450 pixels. Altura: 364 pixels. 198 KB. Formato: PNG. Disponível em: 
<http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Mesopotamia.PNG>. Acesso em: 28 mar. 2011.
Figura 16
BABYLONIAN_NUMERALS.JPG. Largura: 500 pixels. Altura: 324 pixels. 29 KB. Formato: JPEG. Disponível 
em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.jpg>. Acesso em: 10 mai. 2011.
Figura 17
PLIMPTON_322.JPG. Largura: 907 pixels. Altura: 629 pixels. 293 KB. Formato: JPEG. Disponível em: 
<http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Plimpton_322.jpg>. Acessoem: 28 mar. 2011.
Figura 18
BERNARDES, M. R. Objeto de decoração reproduzindo momento de reflexão de um membro de uma 
horda primitiva. 2011. 1 fotografia.
155
Figura 19
EU_LOCATION_GRE.PNG. Largura: 1.600 pixels. Altura: 1.200 pixels. 470 KB. Formato: PNG. Disponível 
em: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/EU_location_GRE.png>. Acesso em: 28 
mar. 2011.
Figura 20
TALES_DE_MILETO_TT.JPG. Largura: 720 pixels. Altura: 540 pixels. 29 KB. Formato: JPEG. Disponível em: 
<http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tales_de_Mileto_TT.jpg>. Acesso em: 05 abr. 2011.
Figura 21
THALES_THEOREM_1.PNG‎. Largura: 583 pixels. Altura: 575 pixels. 27 KB. Formato: PNG. Disponível 
em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thales_theorem_1.png>. Acesso em: 30 mar. 2011.
Figura 22
THALES THEOREM 6.PNG. Largura: 800 pixels. Altura: 496 pixels. 59 KB. Formato: PNG. Disponível em: 
<http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thales_theorem_6.png>. Acesso em: 30 mar. 2011.
Figura 23
PYTHAGORAS ADVOCATING VEGETARIANISM (1618‑20); PETER PAUL RUBENS.JPG. Largura: 1.506 
pixels. Altura: 1.062 pixels. 239 KB. Formato: JPEG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/
wiki/File:Pythagoras_advocating_vegetarianism_(1618‑20);_Peter_Paul_Rubens.jpg>. Acesso em: 30 
mar. 2011.
Figura 24
VITRUVIAN.JPG. Largura: 949 pixels. Altura: 1.300 pixels. 203 KB. Formato: JPEG. Disponível em: 
<http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vitruvian.jpg>. Acesso em: 05 abr. 2011.
Figura 25
JOCONDE.GIF. Largura: 500 pixels. Altura: 801 pixels. 69 KB. Formato: GIF. Disponível em: <http://
commons.wikimedia.org/wiki/File:Joconde.gif>. Acesso em: 05 abr. 2011.
Figura 26
DIAGRAM_OF_PYTHAGORAS_THEOREM.PNG. Largura: 544 pixels. Altura: 279 pixels. 11 KB. Formato: 
PNG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diagram_of_Pythagoras_Theorem.
png>. Acesso em: 30 mar. 2011.
Figura 27
YBC7289‑BW.JPG. Largura: 338 pixels. Altura: 315 pixels. 20 KB. Formato: JPEG. Disponível em: 
<http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ybc7289‑bw.jpg>. Acesso em: 30 mar. 2011.
156
Figura 28
SOLIDOS_PLATONICOS.JPG. Largura: 508 pixels. Altura: 366 pixels. 16,6 KB. Montagem feita pela 
autora. Figuras disponíveis em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/Platonic_solid>. Acesso em: 10 
maio 2011.
Figura 29
PACIOLI.JPG. Largura: 643 pixels. Altura: 537 pixels. 131 KB. Formato: JPEG. Disponível em: <http://
commons.wikimedia.org/wiki/File:Pacioli.jpg>. Acesso em: 06 abr. 2011.
Figura 30
TRISEC~1.PNG. Largura: 938 pixels. Altura: 642 pixels. 70 KB. Formato. PNG. Disponível em: <http://
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Trisec%C3%A7ao.png>. Acesso em: 10 maio 2011. 
Figura 31
ARCHIMEDES_LEVER_%28SMALL%29.JPG. Largura: 640 pixels. Altura: 427 pixels. 116 KB. Formato: 
JPEG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_lever_(Small).jpg>. Acesso 
em: 07 abr. 2011.
Figura 32
626PX‑COMIC_HISTORY_OF_ROME_P_186_ARCHIMEDES_TAKING_A_WARM_BATH.JPG. Largura: 561 
pixels. Altura: 537 pixels. 499 KB. Formato: JPEG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Comic_History_of_Rome_p_186_Archimedes_taking_a_Warm_Bath.jpg>. Acesso em: 07 abr. 
2011. 
Figura 33
426PX‑ARCHIMEDES_SPHERE_AND_CYLINDER.SVG.PNG. Largura: 426 pixels. Altura: 461 pixels. 62 
KB. Formato: PNG. Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_sphere_and_
cylinder.svg>. Acesso em: 07 abr. 2011.
Figura 34
669PX‑ARCHIMEDE_BAIN.JPG. Largura: 2.231 pixels. Altura: 1.998 pixels. 1,49 MB. Formato: JPEG. 
Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimede_bain.jpg>. Acesso em: 07 abr. 
2011.
Figura 35
750PX‑ARCHIMEDES_PI.SVG.PNG. Largura: 750 pixels. Altura: 250 pixels. 48 KB. Formato: PNG. 
Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_pi.svg>. Acesso em: 09 abr. 2011.
157
Figura 36
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