Lista 2 - Análise II

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Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matemática - ICEX
Análise II - 2020
Lista 2 - Teorema da Função Inversa e Impĺıcita
1. Seja U ⊂ Rn. Se f : U → R atinge um máximo (ou mı́nimo) relativo no ponto x ∈ U , e f é diferenciável no
ponto x, então f ′(x) = 0.
2. Sejam U ⊂ Rm aberto, ϕ : U × [a, b] → Rn cont́ınua, com derivada parcial cont́ınua ∂1ϕ : U × [a, b] →
L(Rm;Rn), e α, β : U → [a, b] funções de classe C1. Considere a aplicação f : U → Rn, definida por
f(x) =
∫ β(x)
α(x)
ϕ(x, t)dt.
Prove que f ∈ C1 e calcule f ′(x) · h para x ∈ U e h ∈ Rm arbitrários.
3. Seja f : U → Rn duas vezes diferenciável no aberto U ⊂ Rm. Prove que, para todo x ∈ U e quaisquer
h, k ∈ Rm tem-se
f ′′(x) · h · k = lim
t→0
f(x+ t(h+ k))− f(x+ th)− f(x+ tk) + f(x)
t2
.
e conclua dáı que f ′′(x) · h · k = f ′′(x) · k · h obtendo assim uma versão mais forte do Teorema de Clairaut-
Schwarz.
4. Se f : Rn → Rn é diferenciável e f(0) = 0, prove que existem funções gi : Rn → R para i = 1, . . . , n tal que
f(x1, . . . , xn) =
n∑
i=1
xigi(x1, . . . , xn).
5. Seja U ⊂ Rn aberto e f : U → Rn injetiva de classe C1 tal que det f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ U . Prove que f(U)
é aberto e f−1 : f(U) → U é diferenciável. Prove também que f(V ) é aberto, para qualquer subconjunto
aberto V ⊂ U .
6. Uma função f : Rn → R é homogênea de grau m se f(tx) = tmf(x) para todo x ∈ Rn e todo t ∈ R. Se f é
diferenciável, mostre que
m∑
i=1
xi
∂f
∂xi
(x) = mf(x).
7. Se f : U → R3 é de classe C1 e tem posto 3 em todos os pontos do aberto U ⊂ R4 então |f(x)| não assume
valor máximo para x ∈ U .
8. Seja f : U → Rn de classe Ck (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm. Se, num ponto a ∈ U , a derivada f ′(a) : Rm → Rn
tem posto p, então existe um mergulho ϕ : V → U de classe Ck, definido num aberto V ⊂ Rp, tal que
f ◦ ϕ : V → Rn é um mergulho.
9. Se U ⊂ Rm aberto. Se a função diferenciável f : U → R cumpre a condição de Lipschitz |f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|
então |df(x) · v| ≤ c|v| para x ∈ U e v ∈ Rm.
10. Seja f : R2 → R duas vezes diferenciável. Suponga que ∂f∂y2 = c
2 ∂f
∂x2 em todos os pontos de R
2, onde c
é uma constante. Prove que existem funções ϕ : R → R, ψ : R → R, duas vezes diferenciáveis, tais que
f(x, y) = ϕ(x− cy) + ψ(x+ cy).
11. Sejam f : R2 → R de classe C1, com ∂f∂y 6= 0, e ζ : I → R tal que f(x, ζ(x)) = 0 para todo x ∈ I. Prove que
ζ é de classe C1.
12. Seja f : U → R cont́ınua no aberto U ⊂ R2, tal que (x2 + y4)f(x, y) + f(x, y)3 = 1 para qualquer (x, y) ∈ U .
Prove que f ∈ C∞.
13. Sejam f, g : Rn → R tais que g(x) = f(x) + (f(x))5. Se g ∈ Cr então f ∈ Cr.
14. Sejam α > 1 e c ∈ R. Se f : U → Rn, definida no aberto U ⊂ Rm, cumpre a condição |f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|α
para quaisquer x, y ∈ U então f é constante em cada componente conexa de U .
15. Sejam f : U → Rn Lipschitziana no aberto U ⊂ Rm, com a ∈ U , e g : V → Rp diferenciável no aberto
V ⊂ Rn, com f(U) ⊂ V e b = f(a). Se g′(b) = 0 então g ◦ f : U → Rp é diferenciável no ponto a, com
(g ◦ f)′(a) = 0.
16. Seja f : U → Rm diferenciável no aberto U ⊂ Rm. Se |f(x)| é constante quando x varia em U então o
determinante do jacobiano de f é identicamente nulo.
17. Seja g : U → Rk diferenciável em U ⊂ Rm. Defina ζ : U → Rk pondo ζ(x) = g(x)/|f(x)|, onde f : U → Rn é
diferenciável e f(x) 6= 0 para todo x ∈ U . Calcule ζ ′(x) · v, para todo x ∈ U e v ∈ Rm.
18. Seja f : Rm → Rm de classe C1 tal que para cada x, v ∈ Rm quaisquer tem-se 〈f ′(x) · v, v〉 ≥ |α||v|2, onde
α > 0 é uma constante. Prove que |f(x) − f(y)| ≥ α|x − y| para todo x, y ∈ Rm arbitrários. Conclua que
f(Rm) é fechado, e dáı, que f é um difeomorfismo de Rm sobre si mesmo.
19. Prove o Lema de Morse (veja o Elon Lima Vol 2. página 285): Seja a um ponto cŕıtico não-degenerado
de uma função f : U → R de classe Ck (k ≥ 3) num aberto U ⊂ Rn. Existe um sistema de coordenadas
ζ : V →W , de classe Ck−2, com a ∈W ⊂ U , 0 ∈ V e ζ(0) = a, tal que
f ◦ ζ(y) = f(a) +
m∑
i,j=1
aijyiyj
para todo y = (y1, . . . , yn) ∈ V , onde aij = 12 ·
∂2f
∂xi∂xj
(a).
Professor Arturo Fernández - Livro E. Lima e M. Spivak.
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