APX1-ALI-2020-2-CEDERJ

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
APX1 – Álgebra Linear I – 2/2020 
Gabarito
Questão 1  5.1 Considerando ,0det 



dc
ba encontre a inversa da matriz 











dc
ba
dc
ba
A
00
00
00
00
, por 
qualquer método válido. 
 
Solução. 
 
,.
det
11 A
A
A  onde TCA  é a matriz adjunta da matriz A e C a matriz dos cofatores de A. 
 
Temos,   ,det 2bcadA     






























ac
bd
ac
bd
bcadA
ab
cd
ab
cd
bcadC
00
00
00
00
,
00
00
00
00
. Logo a 
matriz inversa da matriz A é 
 
  

















ac
bd
ac
bd
bcad
bcad
A
00
00
00
00
1
2
1
  .
00
00
00
00
1















ac
bd
ac
bd
bcad
 
 
Questão 2  0.2 
a) Mostre que o conjunto 


























 21
01,412
80,01
10,63
63B é uma base de .
22x
M 
b) Prove que a diagonal principal de uma matriz antissimétrica é formada inteiramente por zeros. 
 
Solução. 
 
a) Suponha 




















 00
00
21
01
412
80
01
10
63
63 dcba . 
Cujo sistema ,
0246
0123
086
03









dca
dcba
cba
da
 tem como única solução .0 dcba Logo as matrizes são 
linearmente independentes. Como o conjunto B é formado por 4 matrizes LI, e a dimensão do espaço 
22x
M
é 4, então B é uma base para 
22x
M . 
b) Se 
nxnij
aA 


 uma matriz antissimétrica, ,TAA  .,, jiaa
jiij
 Fazendo ,
iiii
aa 
concluímos que .0,,0 niia
ii
 Ou seja, os elementos da diagonal principal são iguais a zero. 
 
 
Questão 3  5.1 Para quais valores reais de  os vetores 




 
2
1
,
2
1
,u , ,
2
1
,,
2
1





  v





  ,
2
1
,
2
1
w formam um conjunto linearmente dependente em .3 
Solução. 
Temos que o
  
.
4
1441
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
det
2 
























 Os vetore u, v e w serão LD se 
  
.0
4
1441 2

 
 Logo .1,
2
1
  
 
Questão 4  0.2 
 
a) Considere U e V subespaços vetoriais e U o complemento ortogonal de V. Demonstre que o único 
vetor comum entre eles é o vetor nulo, ou seja,  .0VU 
 
b) Crie uma matriz 
33A , na qual não haja zeros, e cujas colunas sejam simultaneamente 
perpendiculares. Calcule .AAT Por que esta matriz é diagonal? 
 
c) Se V é um subespaço gerado por  1,0,1,1 e  0,1,0,0 , encontre uma base para o subespaço V , o 
complemento ortogonal de V. 
 
Solução. 
a) Suponha ,VU e . VVv Então  VvVv , , e .0,
2
 vvv 
Logo, VUv  implica .0v Ou seja,  .0VU Por outro lado, sendo U e V espaços vetoriais, 
VU 0 , ou seja   .0 VU  Concluímos que  .0VU 
 
b) Considere 












3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
A . Observe que       323132313232 ,,,,,
     323231313232 ,,,,,     .0,,,,, 323231323132  
 
 AAT












3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
. 












3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
.
100
010
001








 
Se 



ij
aA ,
jiijij
T abbA 


 , , a matriz produto 






kjikij
T abcAAC .,0 jiaa
kjki



 
Logo a matriz 



ij
T cAA é diagonal. 
c) Considere   .,,, Vtzyx Então     1,0,1,1,,,, tzyx     .00,1,0,0,,,, tzyx Daí 
0 tyx e 0z . Logo   ,,/,0,,  yxyxyxV e uma de suas bases é o conjunto
    .1,0,1,0,1,0,0,1  
 
Questão 5  5.1 
Determine a dimensão e encontre uma base do espaço-solução do sistema .
056
034
0223
0









zyx
zyx
zyx
zyx
 
 
Solução. Vamos encontrar um sistema equivalente. 













156
134
223
111














510
510
510
111
 













510
510
510
111
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 + 5𝑧 = 0
  ⟹ O espaço solução é dado por 
 
S= {(4𝑧, −5𝑧, 𝑧)/𝑧 ∈ ℜ} Logo uma base para S é o conjunto   1,5,4  e .1dim S 
 
Questão 6  5.1 Seja V um espaço vetorial com subespaços U e W. 
a) Dê um exemplo com 2V para mostrar que WU  não é necessariamente um subespaço vetorial 
de V. 
b) Se 2V , U é o eixo x e W é o eixo y, o que representa o conjunto ?WU  
Solução. 
a) Considere UV ,2 o eixo x e W o eixo y. Observe que fazendo   Uu  0,1 e   ,1,0 Ww 
temos que   .1,1 WUwv  Logo WU  não é um subespaço vetorial de V. 
b) Considere   ,/0,,2  xxUV   ./,0  yyW   ,,/,  yxyxWU ou seja, 
.2WU