PROVA CEDERJ - AD1-ALI-2015-1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de 
Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Primeira Avaliação a Distância de Álgebra Linear I - 02/03/2015 
Gabarito 
1ª Questão. ( )0.2 
(a) ( )0.1 Determine a inversa de 




 −
=
41
23
A 
(b) ( )0.1 Use a inversa da matriz, do item (a), para resolver o sistema 



=+
=−
24
623
yx
yx
. 
Solução. 
(a) Temos que .014det ≠=A 
Portanto, A é inversível e .
31
24
14
1
14
3
14
1
7
1
7
2
1






=





−
=
−
−A 
(b) Esse sistema é equivalente a ,bAv = de modo que 
== − bAv 1 2
0
2
2
6
14
3
14
1
7
1
7
2
=⇒





=











−
x e .0=y 
 
2ª Questão. ( )0.2 Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas: 
a) ( )0.1 22))(( BABABA −=+− quaisquer que sejam A e B matrizes quadradas de 
mesma ordem. 
Solução. A igualdade é falsa. 
Observe que: 
22 BBAABA)BA)(BA( −−+=+− , logo a igualdade acima será válida se 
BAAB = , o que nem sempre é verdadeiro. Mas para mostrar que uma afirmação é 
falsa, é suficiente exibir pelo menos um exemplo onde esta afirmação falha, ou seja, 
apresentar um contra exemplo. Então, considere 




−
=





=
13
01
10
11
BeA . 
Verificamos que =





≠





−
=+−
00
20
30
43
))(( BABA .BA 22 − 
 
b) ( )5.0 Sejam A , B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Se B é inversível e 
CBAB = , então CA = . 
Solução. A afirmação é verdadeira. 
Neste caso, não é suficiente apresentar um exemplo que verifique, pois para mostrar que 
a implicação é verdadeira, precisamos mostrar que é válida para quaisquer matrizes A , 
B e C nas condições acima. 
Seja 1−B a inversa de B, 
.).().()()( 1111 CABBCBBABCBBABCBAB =⇒=⇒=⇒= −−−− 
 
c) ( )5.0 )det()det()det( BABA +=+ quaisquer que sejam A e B matrizes quadradas de 
mesma ordem. 
Solução. A afirmação é falsa. 
Sejam 





=
10
10
A e 





−
−
=
10
01
B . 





−
=+
00
11
BA , 0)det( =+ BA e .110)det()det( =+=+ BA 
 
3ª Questão. ( )5.1 
Aplique operações elementares para determinar a inversa da matriz 










−
=
224
301
200
A . 
Solução. 
↔










−
=
100224
010301
001200
)(AI ↔










−
001200
100224
010301
↔










−−−
001200
1401020
010301
 
↔










−
001200
20510
010301
2
1 ↔










−
00100
20510
010301
2
1
2
1 .
00100
2010
01001
2
1
2
1
2
5
2
3










−−
−
 
Como A é equivalente a I, A é inversível e










= −−
−
−
00
2
01
2
1
2
1
2
5
2
3
1A . 
 
4ª Questão. ( )0.1 Verifique se o subconjunto { }1/),,( 3 ==ℜ∈= zeyxzyxS é um 
subespaço vetorial do .3ℜ Justifique sua resposta. 
 
Solução. Observe que os vetores ( )1,3,3− e ( )1,3,3 são elementos de S. 
No entanto a adição destes vetores nos fornece o vetor (6,0,2), que não é um elemento 
de S. Logo a adição não é fechada em S, o que implica que S não é um subespaço 
vetorial do .3ℜ 
 
5ª Questão. ( )0.1 
Mostre que o subconjunto ( ){ }zyxzyxS +=ℜ∈= |,, 3 é um subespaço do espaço 
vetorial de 3ℜ relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. 
 
Solução. S é subespaço. S não é vazio, (0,0,0) pertence à S, pois, 0 = 0 + 0. 
E as duas condições abaixo são satisfeitas. 
(i) Se (a, b, c) e (e, f, g) são elementos de S ⇒ a = b + c e e = f + g ⇒ 
 a + e = (b + c) + (f + g) = (b + f) + (c + g) ⇒ (a, b, c) + (e, f, g) = (a + e, b + f, c + g) 
é um elemento de S. 
(ii) Se (a, b, c) é um elemento de S e α um escalar, a = b + c e α.a = α.b + α.c, ou 
seja, (αa, αb, αc) é um elemento de S. 
 
6ª Questão. ( )5.1 Determine o valor de k de modo que o vetor ( )3,,0 ku = em 3ℜ seja 
combinação linear dos vetores ( )0,2,3−=v e ( )1,2,1 −=w ? 
 
Solução. Faça ( ) aku == 3,,0 ( ) b+− 0,2,3 ( ) ( )bbaba −+−+=− ,22,31,2,1 
Forme o sistema





=−
=+−
=+
3
22
03
b
kba
ba
. 
Da primeira e da terceira equação, 1=a e .3−=b Substituindo na segunda equação 
obtemos 8−=k . 
 
7ª Questão. ( )0.1 Mostre que os vetores ( )1,1=u e ( )1,0=v geram o .2ℜ 
 
Solução. Seja ( )yx, um vetor qualquer do .2ℜ Observe que ( ) ( ) ( )( )1,01,1, xyxyx −+= . 
Ou seja, qualquer vetor do 2ℜ é combinação linear dos vetores dados. Logo, os vetores 
u e v geram o 2ℜ .