Resumo: Limites

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Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 
 
Atividade VI – Limites: Definição 
 
𝟏. Consideremos a função 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
6 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
 
 
Sabemos que lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 5 
 
Quão próximo de 3 deverá estar de 𝑥 para que 𝑓(𝑥) 
seja diferente de 5 por menos de 0,01? 
 
 
A distância de 𝑥 a 3 é |𝑥 − 3|, e a distância de 𝑓(𝑥) a 5 é |𝑓(𝑥) − 5|, logo, nosso problema é achar um número 
tal que 
 
|𝑓(𝑥) − 5| < 0,01 se |𝑥 − 3| < 𝛿 mas 𝑥 ≠ 3 
 
Se |𝑥 − 3| > 0, então 𝑥 ≠ 3; portanto uma formulação equivalente de nosso problema é achar um número 𝛿 tal 
que 
 
|𝑓(𝑥) − 5| < 0,01 se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 
 
Isto é, 
 
|(2𝑥 − 1) − 5| < 0,01 se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 
 
Temos que 
 
|(2𝑥 − 1) − 5| = |2𝑥 − 6| = |2(𝑥 − 3)| = 2|𝑥 − 3| 
 
Logo 
2|𝑥 − 3| < 0,01 ⇒ |𝑥 − 3| <
0,01
2
⇒ |𝑥 − 3| < 0,005 
 
Dessa forma 
 
2|𝑥 − 3| < 2(0,005) ⇒ 2|𝑥 − 3| < 0,01 
 
Isto é 
 
|𝒇(𝒙) − 𝟓| < 𝟎, 𝟎𝟏 se 𝟎 < |𝒙 − 𝟑| < 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 
2. Use o gráfico dado de 𝑓 para encontrar um 
número 𝛿 > 0 tal que 
 
se |𝑥 − 1| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 1| < 0,2 
 
 
Se |𝑓(𝑥) − 1| < 0,2 então −0,2 < 𝑓(𝑥) − 1 < 0,2 ⇒ 0,8 < 𝑓(𝑥) < 1,2. 
 
Desse modo, 0,8 < 𝑓(𝑥) < 1,2 se 0,7 < 𝑥 < 1,1. 
 
Podemos escolher 𝛿 como o menor entre (1 − 0,7) e (1,1 − 1), ou seja, 𝛿 = min{0.3,0.1} = 0,1. 
 
Logo 
 
se |𝒙 − 𝟏| < 𝟎, 𝟏 então |𝒇(𝒙) − 𝟏| < 𝟎, 𝟐 
ou qualquer valor menor positivo de 𝜹 
 
3. Use o gráfico dado de 𝑓 para encontrar 
um número 𝛿 > 0 tal que 
 
se 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 2| < 0,5 
 
 
Se |𝑓(𝑥) − 2| < 0,5 então −0,5 < 𝑓(𝑥) − 2 < 0,5 ⇒ 1,5 < 𝑓(𝑥) < 2,5. 
 
Desse modo, 1,5 < 𝑓(𝑥) < 2,5 se 2,6 < 𝑥 < 3,8 com 𝑥 ≠ 3. 
 
Podemos escolher 𝛿 como o menor entre (3 − 2,6) e (3,8 − 3), ou seja, 𝛿 = min{0.4,0.8} = 0,4. 
 
Logo 
 
se 𝟎 < |𝒙 − 𝟑| < 𝟎, 𝟒 então |𝒇(𝒙) − 𝟐| < 𝟎, 𝟓 
ou qualquer valor menor positivo de 𝜹 
 
OBS: Observe que aqui não há a exigência 
0 < 𝑥 − 1 pois a função se comporta da 
mesma forma todo o domínio (não é uma 
função por partes) e 𝑥 = 1 pertence ao seu 
domínio. 
OBS: Observe que aqui existe a exigência 
0 < |𝑥 − 3| pois a função está definida 
de outra maneira para 𝑥 = 3. O ponto 
𝑥 = 3 não pertence a curva a qual 
estamos analisando. 
4. Seguindo o exemplo do slide 10, prove que lim
𝑥→1
(5𝑥 − 3) = 2. 
 
Seja 𝜀 um número positivo dado. Queremos encontrar um número 𝛿 tal que 
 
se 0 < |𝑥 − 1| < 𝛿 então |(5𝑥 − 3) − 2| < 𝜀 
 
Temos que |(5𝑥 − 3) − 2| = |5𝑥 − 5| = |5(𝑥 − 1)| = 5|𝑥 − 1| 
 
Logo, queremos 𝛿 tal que 
 
se 0 < |𝑥 − 1| < 𝛿 então 5|𝑥 − 1| < 𝜀 
 
Isto é, 
 
se 0 < |𝑥 − 1| < 𝛿 então |𝑥 − 1| <
𝜀
5
 
 
Isto sugere que deveríamos escolher 𝛿 = 𝜀/5. 
 
 
 
Demonstração: 
 
Dado 𝜀 > 0, e tomando-se 𝛿 = 𝜀/5, temos que 
 
se 0 < |𝑥 − 1| < 𝛿 então |(5𝑥 − 3) − 2| < 𝜀 
 
pois, 
 
|(5𝑥 − 3) − 2| = |5𝑥 − 5| = |5(𝑥 − 1)| = 5|𝑥 − 1| < 5𝛿 = 5 (
𝜀
5
) = 𝜀 
 
Portanto, pela definição de limite, 
 
lim
𝑥→1
(5𝑥 − 3) = 2 
𝟓. Demonstre, usando a definição de limite abaixo, que lim
𝑥→−3
1
(𝑥 + 3)4
= ∞. 
 
 
Seja 𝑀 um número positivo dado. Queremos encontrar 𝛿, tal que 
 
se 0 < |𝑥 + 3| < 𝛿 então
1
(𝑥 + 3)4
> 𝑀 
 
Observe que 
 
1
(𝑥 + 3)4
> 𝑀 ⇔ (𝑥 + 3)4 <
1
𝑀
⇔ |𝑥 + 3| <
1
√𝑀
4 
 
Assim, se escolhermos δ =
1
√𝑀
4 , temos: 
 
se 0 < |𝑥 + 3| <
1
√𝑀
4 então 
1
(𝑥 + 3)4
> 𝑀 
 
Portanto, pela definição de limite, 
 
lim
𝑥→−3
1
(𝑥 + 3)4
= ∞ 
 
 
 
Seja 𝑓 uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑎, 
exceto possivelmente o próprio 𝑎. Então 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ 
 
Significa que, para todo número positivo 𝑀, há um número positivo 𝛿 tal que 
 
se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então 𝑓(𝑥) > 𝑀 
DEFINIÇÃO