Mecânica das Estruturas II

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FEITEP – FACULDADE DE ENGENHARIAS E ARQUITETURA 
ENGENHARIA CIVIL 
MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - PROF. MARCOS SCHMIDT 
AULA REMOTA 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
 
É um método clássico de resolução de estruturas (reações, esforços, deslocamentos) que se 
baseia nas soluções do Método das Forças. Tendo soluções genéricas para uma peça estrutural 
submetida a qualquer tipo de solicitação (carga direta, recalque, temperatura), segundo sua 
vinculação (apoios), teremos outro tipo compatibilidade a ser realizada, nesse caso de reações ou 
esforços. A incógnita a ser compatibilizada são os deslocamentos nodais desconhecidos da 
estrutura. 
Toda a estruturas pode ter uma série de deformações e deslocamentos, mas utilizaremos apenas 
o deslocamento de um nó para ser compatibilizado a fim de que no final teremos o cálculo das 
reações ou esforços reais que existam nesse nó. 
O raciocínio deste método está em verificar quantas deslocabilidades a estrutura possui, e 
vitualmente bloqueá-las (tornar todos os nós indeslocáveis/engastes = processo virtual = sistema 
hipergeométrico), calculamos as reações/esforços que aparecem nesses engastes devido as 
solicitações reais (estado [0]), e depois calculamos as reações/esforços para liberar os 
deslocamentos bloqueados. Como não são conhecidas as deslocabilidades, elas serão liberadas 
com valores de deslocamentos unitários (como se fosse recalques unitários = Estados [1], [2]...). A 
compatibilização nesse caso é sobrepor o efeito virtual do bloqueio das deslocabilidades com o da 
liberação de cada uma. No final encontramos os deslocamentos reais de cada nó, e a partir do 
mesmo tipo de compatibilização podemos encontrar as reações de apoio. 
Vantagens do método dos deslocamentos: rotina de cálculo é mais mecânica (pode ser 
programa de forma matricial = matriz de rigidez da estrutura), depende de soluções prontas da 
método das forças e não precisamos calcular deslocamentos por PTV. 
A B 
PROCEDIMENTO 
 
 
1) Cálculo do grau de deslocabilidade (Gd) dos nós da estrutura ou grau de indeterminação 
cinemática (Gc) = quantidade de deslocabilidades (graus de liberdade) de cada nó da 
estrutura (apenas o início e fim das peças no método dos deslocamentos). 
Cada nó de uma estrutura aporticada ou reticulada (formada por barras) pode ter até 6 graus de 
liberdade no domínio tridimensional de 3 graus de liberdade no plano. 
𝑁ó 𝑑𝑒 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 3𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çõ𝑒𝑠(∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧)𝑒 3 𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠(𝜃𝑥, 𝜃𝑦, 𝜃𝑧) 
 
𝑁ó 𝑑𝑒 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑏𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 2𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çõ𝑒𝑠(∆𝑥, ∆𝑦)𝑒 1𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠( 𝜃𝑧) 
 
Nos nós que tiverem apoios, cada reação bloqueará naturalmente alguma deslocabilidade. Nos nós 
sem apoio, a deslocabilidade nodal será sempre 3 para estruturas planas. 
Os nós serão definidos por início e final de cada barra (não somar mais de uma vez os nós comuns) 
e pontos de apoio. 
 
 
Ex: Calcule Gd das estruturas abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gd, A = (3 nós) sendo 1 nó com 0 deslocabilidades (engaste) e 2 nós (cada um) com 
3 deslocabilidades = 6 deslocabilidades nodais 
Gd, B = 6 
Gd, C = (nas rótulas não devemos bloquear cada rotação isolada das barras, mas 
consideramos ainda nos encontros rotulados 3 graus de liberdade) = 4 nós x 3 = 12 
deslocabilidades (circuitos fechados não entram no cálculo). 
Gd, D = 2 nós do apoio com 1 rotação cada e 6 nós destravados com 3 
deslocabilidades cada = 20 deslocabilidades nodais. 
C 
D 
OBS: O NÚMERO DE NÓS NÃO É ALTERADO POR TER MAIS DE UMA RÓTULA 
NO MESMO NÓ. PORÉM PONTOS DE RÓTULA SÃO NÓS, ASSIM COMO 
APOIOS, ASSIM COMO FINAL E INÍCIO DE PEÇAS. 
Gd >0 Nós Deslocáveis (nas extremidades das barras) 
Gd = 0 Nós Indeslocáveis (nas extremidades das barras) (ESTRUTURA 
SUPERINDESLOCÁVEL OU HIPERGEOMÉTRICA) 
 
 
Virtualmente bloqueamos todos os nós com deslocabilidades (tornar todos os nós 
engastados, ADICIONANDO VIRTUALMENTE REAÇÕES DE APOIO), 
denominando cada uma delas como uma incógnita de deslocamento D 
(equivalente ao X do método das forças). Para o caso abaixo Gd seria de 3 rotações 
e 1 deslocamento horizontal. A nomenclatura das incógnitas poderia ser: 
 
 
 
 
 
2) Estado [0]: CALCULAR AS REAÇÕES DE ENGASTAMENTO PERFEITO 
(VIRTUAIS ou FICTÍCIAS) DEVIDO ÀS SOLICITAÇÕES REAIS. Se refere ao 
efeito de restrição virtual dos deslocamentos/deslocabilidades/graus de 
liberdade (D) reais. 
Como todos os nós serão virtualmente engastados, as barras podem ser tomadas 
separadamente uma das outras. As reações calculadas serão das extremidades das 
barras. Calculando todas as reações, é necessário fazer o cálculo da reação 
resultante nos pontos onde as deslocabilidades foram bloqueadas. Essas reações 
resultantes serão parâmetros de compatibilização, que no final do processo devem 
resultar em zero, pois não existe reações reais em pontos deslocáveis da estrutura. 
No estado [0] as reações resultantes de bloqueio dos nós serão representadas pela 
letra beta grega e terão índices semelhante aos métodos das forças. O primeiro dígito 
se refere a incógnita (D) e o segundo se refere ao estado em que está sendo 
calculada a reação. 
 
 
𝛽𝑖0 = 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖, 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 0 
Se o deslocamento i, for vertical por exemplo, somaremos as reações verticais 
naquele nó. Se o deslocamento i foi horizontal, somaremos as reações horizontais, 
e se for rotação, somaremos os momentos de reação. 
A soma das reações considera o sinal. 
Usaremos as soluções fundamentais que vêm do método das forças para casos 
de barras biengastadas com suas solicitações genéricas: 
 
 
 
As tabelas acima denotam os resultados reações de apoios para a configuração de 
barra biengastada, ou engaste/apoio. No caso deve se tomar atenção que as 
solicitações das tabelas têm sentidos prévios estabelecidos. Se ao usar a tabela a 
solicitação estiver no sentido contrário, basta trocar o sinal das fórmulas de reação 
respectivas. 
Convenção de Grinter para sinais de reações no método dos deslocamentos: + 
direita, cima e anti-horário. 
Se no final do método dos deslocamentos encontrarmos reações negativas, não 
estão no sentido do contrário ao equilíbrio, mas sim, para baixo, ou para esquerda 
ou horária. Porque o método dos deslocamentos automaticamente corrige o sentido 
de equilíbrio. (não precisamos ficar preocupados com o sentido das reações, ou com 
o sentido arbitrado dos deslocamentos unitários) 
 
 
 
 
No caso do pórtico acima, a barra engastada inclinada, não tem carga sobre ela, e 
logo não terá reação. Então na soma de reações no engaste fictício acabou sobrando 
somente a da barra com carga distribuída. 
Va (esquerda) = pL/2 = 5KN/m.6m/2 = 15KN (cima) = Vb (direita) 
Ma = pL²/12 = 5.6²/12 = 15KN.m (anti-horária); Mb = -pL²/12 = -15KN.m (horária) 
 
 
3°) ESTADOS UNITÁRIOS (1, 2, 3,...D): são relativos ao número de 
deslocabilidades. Se calculam reações nos apoios fictícios, porém relativas a 
liberação do respectivo deslocamento do estado. Isto é, se estivermos no estado 1, 
liberaremos o deslocamento D1. Como este não é conhecido, será feito de forma 
unitária: 1m para translações e 1 rad para rotações. 
Obs: o sentido dos deslocamentos liberados pode ser qualquer um, no final o método 
o automaticamente se corrige para que as reações calculadas estejam no sentido 
correto. Assim se recomenda sempre usar sentido positivos de deslocamento (cima, 
direita e anti-horário.). 
Ao invés de continuarmos denominado as reações resultantes fictícias de beta, 
chamaremos agora K, pois estão associadas aos coeficientes de rigidez das peças. 
E o conjunto desses coeficientes no sistema de compatibilidade é denominado matriz 
de rigidez da estrutura. 
A reações dos estados unitários correspondem aos casos de recalques dos métodos 
das forças (nos desenhos abaixo o sinal é referido ao sentido): 
 
 
 
 
 
E=1,2⋅107kN/m2 
A = 1,2⋅10-2 m2 
I = 1,2⋅10-3 m44°) SISTEMA DE COMPATIBILIDADE 
Os parâmetros a serem compatibilizados são as reações resultantes de cada estado 
relativas aos deslocamentos bloqueados D1, D2, D3.... 
𝛽𝑖0 + ∑ 𝑘𝑖,𝑗.. 𝐷 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙 
𝛽𝑖0: reações de restrição 
∑ 𝑘𝑖,𝑗.. 𝐷: reações de liberação 
Rreal: reações reais 
𝛽10 + 𝑘11.. 𝐷1 + 𝑘12.. 𝐷2 + 𝑘13.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 1 = 0 
𝛽20 + 𝑘21.. 𝐷1 + 𝑘22.. 𝐷2 + 𝑘23.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 2 = 0 
𝛽30 + 𝑘31.. 𝐷1 + 𝑘32.. 𝐷2 + 𝑘33.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 3 = 0 
 
 
PARA 2 INCÓGNITAS: D1 E D2 
𝛽10 + 𝑘11.. 𝐷1 + 𝑘12.. 𝐷2 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 1 = 0 
𝛽20 + 𝑘21.. 𝐷1 + 𝑘22.. 𝐷2+= 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 2 = 0 
 
 
PARA 1 INCÓGNITA: D1 
𝛽10 + 𝑘11.. 𝐷1 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 1 = 0 
a b c 
a b' b’’ c 
No final desse processo o que temos conhecidos são as deslocabilidades dos nós da 
estrutura. Para encontrarmos as reações reais utilizaremos a mesma lógica acima, 
tendo agora os deslocamentos conhecidos. 
 
 
5°) Reações reais 
Aplicar para os pontos onde originalmente haviam apoios ou reações de apoio na 
estrutura. 
Reação real = Reação,0 + Reação, 1. D1 + Reação, 2. D2 + Reação 3. D3...... 
Ex: calcule as reações de apoio da viga abaixo. E = 2500KN/cm², seção do vão 
esquerdo: I = 16875cm4 , e do lado direito: I = 11250cm4. O deslocamento axial não 
será ativado por cargas transversais, assim o parâmetro A (área) não será utilizado. 
 
 
1°) Gd = 1 deslocabilidade nodal: rotação do nó b = D1 (ou falta uma reação de 
momento em b, ou RMB real é nulo) 
2°) [0] reações de engastamento perfeito (porque todos os nós agora estão 
bloqueados) devido às solicitações reais. Separa-se cada uma das barras para 
aplicar as soluções fundamentais do método das forças. E no final, no ponto em 
comum entre as barras se calculam as reações resultantes. 
 
 
RHa = RHb = RHc = 0 porque a viga não tem carga que mobiliza deslocamento 
horizontal. 
Não é porque a carga está para baixo que iremos substituir p ou P negativo, as 
reações das tabelas já estão no sentido de equilíbrio. 
RVa = 10KN/m.7m / 2 = 35KN (cima) 
a b' b’’ c 
RVb’ = 35KN 
Para a segunda barra como existem 2 casos de carga, faremos a sobreposição 
(soma) das reações de cada caso. 
RVb’’ = carga distribuída: 5 . 5 / 2 + carga concentrada : 30.3².(3.2+3) / (5³) = 31,94KN 
Então sobrepondo b’ com b’’: RVb = 35KN +31,94KN = 66,94KN 
RVc = 5 . 5 / 2 + 30.2².(2+3.3) / (5³) = 23,06KN 
RMa = 10. 7²/12 = 40,8333KN.m (anti-horário) 
RMb’ = -40,8333KN.m (horário, não precisa corrigir) 
RMb’’ = carga distribuída: 5 . 5² /12 + carga concentrada 30. 2. 3² / 5² = 32,0167KN.m 
RMb = -40,8333KN.m + 32,0167KN.m = -8,8166KN.m ( 𝛽10 ) 
RMc = -5 . 5² /12 - 30. 3. 2² / 5² = -24,8167KN.m 
 
 
𝛽10 = 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐷1 é 𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑏 = 𝑅𝑀𝑏 = -8,8166KN.m 
A reação vertical resultante em b pode ser calculada mas não é parâmetro de 
compatibilização pois não está associada ao deslocamento bloqueado D1. 
3°) [1] reações de engastamento perfeito (porque todos os nós agora estão 
bloqueados) devido à liberação de D1 de forma unitária (sem cargas reais). Separa- 
se cada uma das barras para aplicar as soluções fundamentais do método das forças. 
E no final, no ponto em comum entre as barras se calculam as reações resultantes. 
Como D1 era a rotação de b, liberaremos uma rotação unitária de 1rad + (antihorária) 
como se fosse um recalque imposto a estrutura. O giro anti-horário é mantido tanto 
para a barra da esquerda quanto da direita, não se pode adotar um sentido diferente 
para cada barra. 
 
EI ab = 2500KN/cm. 16875cm4 /104 = 4218,75KN.m² 
EIbc = 2500.11250/104 = 2812,5KN.m² 
Rha = Rhb = Rhc = 0 
Rva = + 6EI/L² = 6. 4218,75KN.m²/(7m)² = 516,5816KN/ 1rad 
Rvb’ = -6EI/L² = -516,5816 KN/rad 
Rvb’’ = + 6EI/L² = 6. 2812,5/ 5² = 675KN/rad 
Rvb = Rvb’+Rvb’’ = -516,5816+ 675 = 158,4184KN/rad 
Rvc = - 675KN/rad 
Rma = 2EI/L = 2. 4218,75/ 7 = 1205,3571KN.m/rad 
Rmb’ = 4EI/L = 2410,7143KN.m/rad 
Rmb’’ = 4EI/L = 4. 2812,5/ 5 = 2250KN.m/rad 
Rmb = 2410,7143+2250 = 4660,7143KN.m/rad (está associado ao D1 por nesse 
caso liberar a rotação em b) = 𝐾11 
Rmc = 2EI/L = 1125KN.m/rad 
(verificar se calculou todas as reações e todos os parâmetros de compatibilização) 
Como somente há D1, não há mais estado unitários a serem calculados. 
 
5) SISTEMA DE COMPATIBILIDADE 
 
 
 
𝛽10 + 𝑘11. . 𝐷1 = 0 −8,8166KN. m + 4660,7143KN. 
m
 
rad 
. 𝐷1 = 0 
 
D1 = 1,8917.10-3 rad (se desse negativo não precisa corrigir nada, porque no próximo 
passo as reações são automaticamente corrigidas) 
6) REAÇÕES REAIS 
Reação real = Reação,0 + Reação, 1. D1 
As reações horizontais continuam resultando em zero se somarmos [0] + [1]. 
Rva = Rva,0 +Rva,1. D1 = 35KN + 516,5816KN/ 1rad. 1,8917.10-3 rad = 35,9772KN 
Repetindo a sequência de cálculo para as demais reações em planilha eletrônica: 
 
 0 1 D1 REAL 
RVA 35 516,5816 0,0018917 35,9772 Cima 
RVB 66,94 158,4184 0,0018917 67,2397 Cima 
RVC 23,06 -675 0,0018917 21,7831 Cima 
RMA 40,8333 1205,3571 0,0018917 43,1135 AntiH 
RMC -24,817 1125 0,0018917 -22,6885 Horária 
A 
B 
C 
EX: Calcule as reações de apoio do pórtico abaixo. Para todas as peças E = 
2500KN/cm², A = 600cm², I = 80000cm4 (seção 15x40cm) 
 
1°) Gd = 3, TRANSLAÇÃO HORIZONTAL DE B, TRANSLAÇÃO VERTICAL DE B, E 
A ROTAÇÃO DE B. 
 
𝐷1 = ∆𝐻𝐵; 𝐷2 = ∆𝑉𝐵, 𝐷3 = 𝜃𝐵 
Isso é equivalente a dizer que RHB = 0, RVB = 0. RMB = 0. Essas reações associadas 
aos deslocamentos é que serão os parâmetros de compatibilização do sistema. 
2°) [0] reações devidas as solicitações reais para engastar os deslocamentos D1, D2 
E D3. Então virtual são criadas as reações fictícias de B, RHB, RVB e RMB (engaste) 
para bloqueá-lo. Como todas as extremidades agora estarão engastadas (estrutura 
hipergeométrica), podemos calcular as reações em cada barra separadamente (a 
tabela abaixo será adaptado quanto a direção da barra e sentido das ações): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O procedimento correto relativo às carga concentradas em um nó da estrutura é 
deixar essas aplicadas para apenas uma das peças. Não se pode replicar as 
solicitações para cada uma das peças porque isso multiplica as cargas reais e o efeito 
disso não corresponde ao real. Não importa em qual peça decidir manter as cargas, 
o valor final de reação resultante no nó comum é o mesmo. Ou seja, as cargas em 
cima de engastes comuns a mais de uma barra, são absorvidas no mesmo engaste, 
e não transferidas a outras partes da estrutura. 
Como as cargas estão no sentido invertido da tabela, aplicaremos o sinal contrário 
nas reações da tabela de engastamento perfeito: 
RHA = carga distribuída 0 + carga momento 0 + carga horizontal +Q.b/L = 5. 0 . 7 = 
0 (b é 0 pois a carga concentrada está em cima da extremidade direita) 
RHB’ = Q.a/ L = 5KN.7m/7m = 5KN (dir) 
COMO NÃO HÁ CARGAS INCIDINDO DIRETAMENTE EM BC, TODAS AS SUAS 
REAÇÕES SERÃO NULAS EM [0]: 
RHB’’ = 0, ou seja RHB = RHB’+RHB’’ = 5KN 
RHC = 0 
RVA = carga distribuída -pL/2 + carga horizontal 0 +carga momento -6.M.a.b/L³ 
RVA = - 5KN/m.7m / 2 + 0 – 6KN.m. 10KN.m.7m. 0/7³ = -17,5KN 
RVB’ = - 5KN/m.7m / 2 + 0 + 6KN.m. 10KN.m.7m. 0/7³ = -17,5KN 
RVB’’ = 0, ou seja RVB = RVB’+RVB’’ = - 17,5KN 
RVB’’ = RVC = 0 
RMA = carga distribuída -pL²/12 + carga horizontal 0 +carga momento -M.b.(2a-b)/L² 
B’’ 
B’ 
A 
C 
RMA = -5.7²/12 + 0 -M.0.(2a-b)/L² = -20,4167KN.m 
RMB’ = p.L²/12 + 0 - M.a.(2b-a)/L² = 5.7²/12 – 10KN.m.7m.(2.0-7m)/7² = 
30,4167KN.m 
RMB’’ = 0, RMB = 30,4167KN.m 
RMC = 0 
Os parâmetros de compatibilização ( 𝛽_,0 ) são as reações associadas aos 
deslocamentos: 
 
𝐷1 = ∆𝐻𝐵 => 𝑅𝐻𝐵 = 𝛽10 = 5𝐾𝑁 
𝐷2 = ∆𝑉𝐵 => 𝑅𝑉𝐵 = 𝛽20 = −17,5𝐾𝑁 
𝐷3 = 𝜃𝐵 => 𝑅𝑀𝐵 = 𝛽30 = 30,4167𝐾𝑁. 𝑚 
3°) [1]: reações (sem o efeito das solicitações reais) para liberar o deslocamento D1 
de forma unitária. Como 𝐷1 = ∆𝐻𝐵 então será liberado na forma de translação 
horizontal de um metro para qualquer sentido, mas preferencialmente é melhor 
adotar o positivo, mesmo que não seja oreal (isso não importa, o método em si 
corrige o sinal no último passo). Nesse caso não continuamos usando as reações de 
engastamento perfeito para cargas e sim para recalques (deslocamentos induzidos). 
 
 
 
(AS FIGURAS ACIMA SÃO DE BARRAS BIENGASTADAS) 
L = 7m 
A 
 
 
 
 
No esquema acima não há sinais nas fórmulas, mas continua sendo necessário 
representá-los no cálculo. 
E = 2500KN/cm², A = 600cm², I = 80000cm4; EA = 1,5.106 KN; EI = 20000KN.m² 
(para ambas as barras) 
RHA = -EA/L = - 1.500.000KN/7m = -214.285, 7143KN/m 
RHB’ = 1.500.000/7 KN/1m = 214.285,7143KN/m 
RHB’’ = 12 EI/L³ = 12 . 20000/3³ (KN.m²/m³) = 8.888,8889KN/1m 
RHB = 1500000/7 +8.888,8888 = 223.174, 6032KN/1m = K11 
RHC = -8.888,8889KN/1m 
RVA = RVB = RVC = 0 (PARA O MODELO NÃO FORAM ENCONTRADAS 
REAÇÕES VERTICAIS, y global). K21 = RVB = 0 
RMA = RMB’ = 0 
RMB’’ = +6EI/L² = 6. 20000/ 3² (KN.M²/ M²) = 13.333,3333 KN.m/1m 
RMB = 13.333,3333 KN.m/1m = K31 
RMC = 13.333,3333 KN.m/1m 
𝐷1 = ∆𝐻𝐵 => 𝑅𝐻𝐵 = 𝑘11 = 223.174, 6032KN/1m 
𝐷2 = ∆𝑉𝐵 => 𝑅𝑉𝐵 = 𝑘21 = 0 
𝐷3 = 𝜃𝐵 => 𝑅𝑀𝐵 = 𝑘31 = 13.333,3333 KN. m/1m 
C 
L = 3m 
B’ B’’ 
A B 
L = 7m 
C 
L =3m 
4°) [2]: reações (sem o efeito das solicitações reais) para liberar o deslocamento D2 
de forma unitária. Como 𝐷2 = ∆𝑉𝐵 então será liberado na forma de translação 
vertical de um metro para qualquer sentido, mas preferencialmente é melhor adotar 
o positivo, mesmo que não seja o real (isso não importa, o método em si corrige o 
sinal no último passo). 
 
RHA = RHB = RHC = 0 
RVA = -12EI/L³ = -12.20000/7³ = - 699,7085KN/m 
RVB’ = 699,7085KN/m 
RVB’’ = +EA/ L = 1500000/3 = 500.000KN/m 
RVB = 500.699,7085KN/m 
RVC = -500.000KN/m 
RMA = -6EI/L² = -6. 20000/ 7² = -2448,9796KN.m/m 
RMB’ = -2448, 9796KN.m/m 
RMB’’ = 0; RMB = -2448, 9796KN.m/m 
RMC = 0 
𝐷1 = ∆𝐻𝐵 => 𝑅𝐻𝐵 = 𝑘12 = 0 
𝐷2 = ∆𝑉𝐵 => 𝑅𝑉𝐵 = 𝑘22 = 500.699,7085KN/m 
𝐷3 = 𝜃𝐵 => 𝑅𝑀𝐵 = 𝑘32 = −2448, 9796KN. m/m 
 
 
5°) [3]: reações (sem o efeito das solicitações reais) para liberar o deslocamento D2 
de forma unitária. Como 𝐷3 = 𝜃𝐵 então será liberado na forma de rotação de um 
+1rad 
A 
L =3m 
radiano para qualquer sentido, mas preferencialmente é melhor adotar o positivo, 
mesmo que não seja o real (isso não importa, o método em si corrige o sinal no último 
passo). (APÓS REALOCAR A O MODELO DE ROTAÇÃO DE BARRA 
HORIZONTAL PARA BARRA VERTICAL, O SENTIDO DAS REAÇÕES COM TINUA 
CORRETA, NÃO NECESSITANDO FAZER ALTERAÇÕES. SOMENTE FAZ 
ALTERAÇÃO NO SENTIDO DAS REAÇÕES SE INVERTER O SENTIDO DO 
DESLOCAMENTO LIBERADO.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
RHA = 0 = RHB’ 
RHB’’ = +6EI/L² = 6.20000/3² = 13.333,3333KN/m = RHB 
RHC = -13.333,3333KN/1rad 
RVA = +6.20000/7² = 2.448,9796KN/rad 
RVB’ = -2.448,9796KN/rad 
RVB” = 0; RVB = -2.448,9796KN/rad 
RVC = 0 
RMA = 2EI/L = 2.20000/7 = 5.714,2857KN.m/rad 
RMB’ = 4EI/L = 4.20000/7 = 11.428,5714 KN.m/rad 
RMB’’ = 4EI/L = 4. 20000/3 = 26.666,6667KN.m/rad 
RMB = 11.428,5714+26.666,6667 = 38.095,2381 KN.m/rad 
RMC = 2EI/L = 13.333,3333 
𝐷1 = ∆𝐻𝐵 => 𝑅𝐻𝐵 = 𝑘13 = 13.333,3333KN/m 
𝐷2 = ∆𝑉𝐵 => 𝑅𝑉𝐵 = 𝑘23 = −2.448,9796KN/rad 
𝐷3 = 𝜃𝐵 => 𝑅𝑀𝐵 = 𝑘33 = 38.095,2381KN. m/m 
L = 7m 
B 
C 
6°) SISTEMA DE COMPATIBILIZAÇÃO 
𝛽10 + 𝑘11.. 𝐷1 + 𝑘12.. 𝐷2 + 𝑘13.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 1 = 0 
𝛽20 + 𝑘21.. 𝐷1 + 𝑘22.. 𝐷2 + 𝑘23.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 2 = 0 
𝛽30 + 𝑘31.. 𝐷1 + 𝑘32.. 𝐷2 + 𝑘33.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 3 = 0 
223.174, 6032. 𝐷1 + 0. 𝐷2 + 13.333,3333. 𝐷3 = −5 
0. 𝐷1 + 500.699,7085. 𝐷2 + (−2448, 9796). 𝐷3 = 17,5 
13.333,3333. 𝐷1 + (−2448, 9796). 𝐷2 + 38095,2381. 𝐷3 = −30,4167 
D1=0,000025716520m 
D2=0,000031011562m 
D3=-0,00080544556rad (não precisa ser corrigido) 
 
 
7°) REAÇÕES REAIS 
Reação real = Reação,0 + Reação, 1. D1 + Reação, 2. D2 + Reação 3. D3...... 
Organizando os resultandos em uma planilha: 
 
 R0 R1 D1 R2 D2 R3 D3 RREAL 
RHA 0,0000 -214285,7143 0,0000257165 0,0000 0,0000310116 0,0000 -0,0008054456 -5,5107 ESQ 
RHC 0,0000 -8888,8889 0,0000257165 0,0000 0,0000310116 -13333,3333 -0,0008054456 10,5107 DIR 
RVA -17,5000 0,0000 0,0000257165 -699,7085 0,0000310116 2448,9796 -0,0008054456 -19,4942 BAIXO 
RVC 0,0000 0,0000 0,0000257165 -500000,0000 0,0000310116 0,0000 -0,0008054456 -15,5058 BAIXO 
RMA -20,4167 0,0000 0,0000257165 -2448,9796 0,0000310116 5714,2857 -0,0008054456 -25,0952 HOR 
RMC 0,0000 13333,3333 0,0000257165 0,0000 0,0000310116 13333,3333 -0,0008054456 -10,3964 HOR 
a b c 
d 
EXEMPLO: CALCULE AS REAÇÕES DO PÓRTICO ABAIXO: 
E = 2500KN/cm² 
COLUNA: 20X20cm; A = 400cm², I = 13333,3333cm4 
VIGA: 20x40cm; A = 800cm², I = 106666.6667cm4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Gc = n° deslocabilidades nodais (início e fim das barras, conexões, mudanças 
de direção, sendo que não consideraremos nós os pontos de cargas 
concentradas). 
Gc = 3 
𝐷1 = 𝜃𝑎; 𝐷2 = 𝜃𝑏; 𝐷3 = 𝜃𝑐 
Daqui para frente essas rotação estarão bloqueadas por meio de reações de 
momento fictícias, que serão os parâmetros do sistema de compatibilização, pois se 
conhece os valores reações de momento reais nesses pontos: RMA = RMB = RMC 
= 0. 
A B 
b’ b’’’ 
a 
b’’ 
d 
c 
2) [0] reações de engastamento perfeito em relação ás cargas reais: 
Para barras verticias, represente as reações na barra horizontal corresondente e 
depois rotacione até corresponder ao modelo real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RHa = 0 = RHb’ = 0 
RHb’’’ = Rhc = 0 
RHb’’ = P/2 = 5KN = RHd; 
RHB = 5KN 
c 
d 
RVa =- P.b²(3a+b)/L³ - P/2 - P.b²(3a+b)/L³ = 
= - 10.8²(3.2+8)/10³ - 10/2 - 10.2²(3.8+2)/10³ = -15KN 
RVb’ (simetria) = -15KN 
RVb’’’ = RVc = 0 
RVb’’ = RVd = 0 
RVB = -15KN 
RMa = -Pa.b²/L² -PL/8 - Pa.b²/L² = -10.2.8²/10² - 10.10/8 – 10.8.2²/10² = -28,5KN.m 
RMb’ (simetria) = 28,5KN.m 
RMb’’’=RMc = 0 
RMb’’ =PL/8 = 10.4/8 = 5KN.m 
RMd = - 5KN.m 
𝐷1 = 𝜃𝑎 => 𝑅𝑀𝑎 = 𝛽10 = −28,5KN. m 
𝐷2 = 𝜃𝑏 => 𝑅𝑀𝑏 = 𝛽20 = 28,5 + 0 + 5 = 33,5𝐾𝑁. 𝑚 
𝐷3 = 𝜃𝑐 => 𝑅𝑀𝑐 = 𝛽30 = 0 
3°) [1] – reações engastamento para liberar D1 de forma unitária, 𝜃𝑎 => +1rad 
antihorário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como somente o engaste a está liberando giro, somente a barra ab’ é influenciada 
por deformação. A partir do engaste b em diante, as outras duas não estão sendo 
liberadas neste estado, e as barras bc e bd por não estarem conectadas diretamente 
ao ponto a, ficam sem influência, ou sem reações. 
a b’ 
b’’ 
b’’’ 
 
E = 2500KN/cm² 
COLUNA: 20X20cm; A = 400cm², I = 13333,3333cm4 
VIGA: 20x40cm; A = 800cm², I = 106666.6667cm4 
EI coluna = 2500.13333,3334/10000 = 3333,3333KN.m² 
EI viga = 26.666,6667KN.m² 
 
RHa = Rhb = Rhc = Rhd =0 
RVa = 6. 26.666,6667/10² = 1600KN/rad 
RVb’ =-1600KN/rad 
RVb’’’ = RVc = 0 
RVb’’ = RVd = 0 
RVB = -1600 
RMa = 4. 26.666,6667/10 = 10666,6667KN.m/rad 
RMb’ = 2. 26.666,6667/10 = 5333,3334KN.m/rad 
RMb’’’ = RMc =0 
RMb’’ = RMd = 0 
 
𝐷1 = 𝜃𝑎 => 𝑅𝑀𝑎 = 𝑘11 = 10666,6667KN. m/rad 
𝐷2 = 𝜃𝑏 => 𝑅𝑀𝑏 = 𝑘21 = 5333,3334KN. m/rad 
𝐷3 = 𝜃𝑐 => 𝑅𝑀𝑐 = 𝑘31 = 0 
b’ b’’’ 
c 
 
 
 
4°) [2] – reações engastamento para liberar D2 de forma unitária, 𝜃𝑏 => +1rad 
antihorário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RHa = RHb’=RHb’’’=Rhc = 0 
RHb’’ = +6. 3333,3333/ 4² = 1250KN/rad 
RHB = 1250KN/rad 
RHd = -1250KN/rad 
RVa = 6. 26.666,6667/10² = 1600KN/rad 
Rvb’ = -1600KN/rad 
Rvb’’’ = 6. 26.666,6667/2² = 40000KN/rad 
Rvc = -40000KN 
RVb’’ = RVd = 0 
RVB = 38400KN/rad 
RMa = 2. 26.666,67/10 = 5333,3333KN.m/rad = 𝑘12 
RMb’ = 4. 26.666,67/10 = 10.666, 6667KN.m/rad 
RMb’’’ = 4.26.666,6667/2 = 53.333,3334KN.m/rad 
a 
d 
b’’ 
b’ b’’’ c 
d 
RMc = 2EI/L = 26.666,6667KN.m/rad= 𝑘32 
RMb” = 4EI/L = 4. 3.333,3333/4 = 3.333,3333KN.m/rad 
𝑘22 = 𝑅𝑀𝐵 = 67.333,3334 
RMd = 2EI/L = 1666,6666KN.m/rad 
5°) [3] – reações de liberação de D3 de forma unitária, 𝜃𝑐 => +1rad antihorário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como somente a barra bc está conectada no ponto c, as outras barras não sofreão 
deformação na liberação, e não terão reações.RHa = RHb = RHc = RHd = 0 
RVa = RVb’ = 0 
RVb’’’ = 6 . 26.666,6667/2² = 40.000KN/rad = RVB 
RVc = -40000KN/rad 
RVb’’ = RVd = 0 
RMa (𝑘13) = RMb’ = RMb’’ = RMd = 0 
RMb’’’ = 2. 26.666,6667/2 = 26.666,6667KN.m/rad = 𝑘23 
RMc = 4EI/L = 53.333,3334KN.m/rad = 𝑘33 
a b’’ 
6°) SISTEMA DE COMPATIBILIZAÇÃO 
𝛽10 + 𝑘11.. 𝐷1 + 𝑘12.. 𝐷2 + 𝑘13.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 1 = 0 
𝛽20 + 𝑘21.. 𝐷1 + 𝑘22.. 𝐷2 + 𝑘23.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 2 = 0 
𝛽30 + 𝑘31.. 𝐷1 + 𝑘32.. 𝐷2 + 𝑘33.. 𝐷3 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙, 3 = 0 
 
 
10666,6667. 𝐷1 + 5333,3333𝐷2 + 0. 𝐷3 = 28,5 
5333,3333. 𝐷1 + 67333,3334𝐷2 + 26666,6667. 𝐷3 = −33,5 
0. 𝐷1 + 26666,6667𝐷2 + 53333,3334. 𝐷3 = 0 
MATRIZ DE RIGIDEZ É SEMPRE SIMÉTRICA (LADO ESQUERDO DA 
IGUALDADE). O LADO DIREITO SE REFERE AO VETOR DE CARREGAMENTO É 
NÃO É NECESSARIAMENTE SIMÉTRICO. 
Resposta: 
 
 x1=0,0031369724 RAD = D1 
 x2=−0,00093019480 RAD (NÃO DEVE SER CORRIGIDO) = D2 
 x3=0,00046509740 RAD = D3 
7°) REAÇÕES REAIS 
R reais = R0 + R1.D1 + R2.D2 + R3.D3 .... 
 
Com auxílio de planilha eletrônica: 
 
 R0 R1 D1 R2 D2 R3 D3 RREAL 
RHA 0,000 0,000 0,0031370 0,000 -0,0009302 0,000 0,00046510 0,000 
RHB 5,000 0,000 0,0031370 1250,000 -0,0009302 0,000 0,00046510 3,837 dir 
RHC 0,000 0,000 0,0031370 0,000 -0,0009302 0,000 0,00046510 0,000 
RHD 5,000 0,000 0,0031370 -1250,000 -0,0009302 0,000 0,00046510 6,163 dir 
RVA -15,000 1600,000 0,0031370 1600,000 -0,0009302 0,000 0,00046510 -11,469 baixo 
RVB -15,000 -1600,000 0,0031370 38400,000 -0,0009302 40000,000 0,00046510 -37,135 baixo 
RVC 0,000 0,000 0,0031370 -40000,000 -0,0009302 -40000,000 0,00046510 18,604 cima 
RVD 0,000 0,000 0,0031370 0,000 -0,0009302 0,000 0,00046510 0,000 
RMD -5,000 0,000 0,0031370 1666,667 -0,0009302 0,000 0,00046510 -6,550 horária 
 
 
 
EX: CALCULE O GE E GC DA ESTRUTURA ABAIXO 
3-1 = 2 3-1 = 2 
2-1 = 1 2-1 = 1 
 
 
Gc = grau de indeterminação cinemática ou deslocabilidade = n° deslocabilidades nodais 
 
(extremidades, conexões entre peças (contínuas ou rotuladas) ou mudanças de direção, pontos de apoio) 
 
Ge =N° reações – N° condições de equilíbrio – N° equações de contorno de rótula + N° esforços 
indeterminados. N° circuitos 
 
Ge =11 – 3 – 12 + 3 (N, V, M). 4 = 8X HIPERESTÁTICA 
 
 
 2-1 = 1 3-1 = 2 3-1 = 2 2-1 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Ge =N° reações – N° condições de equilíbrio – N° equações de contorno de rótula + N° esforços 
indeterminados. N° circuitos 
 
Ge =11 – 3 – 12 + 3. 4 = 8X HIPERESTÁTICA 
 
2 
 
2 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
Gc = n° de deslocabilidades nodais = 28 deslocamentos nodais 
 
Não contamos a rotação relativa das rótulas como uma deslocabilidade a mais, a não ser que a rótula esteja 
em cima de engaste. 
 
 
 3 
3 
3 3 
3 3 
3 1 
0 
0