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Estática e dinâmica de uma escada apoiada em duas 
paredes perpendiculares. 
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana 
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas 
simulações. A página original, que considero muito boa é: 
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica 
Autor: (C) Ángel Franco García 
 Sólido rígido
Dinâmica de rotação 
Equação da 
dinâmica de rotação 
Momentos de inércia 
Dinâmica de rotação 
e balanço energético 
Pêndulo de torção 
Pêndulo composto 
O balanço 
Atrito no 
movimento de rotação 
O oscilador de 
"Atwood" 
Varinha inclinada 
Lápis que cai (I) 
Lápis que cai (II) 
Escada que desliza 
Escada, estática e 
dinâmica 
 
Escada apoiada em duas paredes perpendiculares 
Escada apoiada em duas paredes perpendiculares pela qual sobe uma pessoa 
Referências 
Código fonte 
 
Nesta página, vamos estudar o comportamento de uma escada homogênea apoiada em duas paredes 
perpendiculares. Supomos que a parede vertical não exerce nenhuma força de atrito sobre o apoio. 
 
Escada apoiada em duas paredes perpendiculares 
Estática 
Suponhamos uma escada homogênea de massa m e comprimento L apoiada em duas paredes 
perpendiculares. As forças sobre a escada são as desenhadas na figura. 
A situação de equilíbrio somente nos proporciona três equações (duas para as forças e uma para os 
momentos), no entanto, temos quatro incógnitas, o problema é indeterminado. Veja o primeiro artigo 
citado nas referências. 
Para resolver o problema temos que supor por exemplo que Fy=0, na parede vertical não tem atrito.
 
 Fy e Fr são as forças de atrito que exercem as paredes vertical e 
horizontal nos respectivos apoios. 
 Fx e N são as reações da parede 
 
 mg é o peso que atua no centro de massas da escada suposta 
homogênea. 
Quando a escada forma um ângulo θ com a vertical as equações de 
equilíbrio são: 
1. A resultante das forças deve ser zero. 
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2. O momento das forças relativo a qualquer ponto (por exemplo o extremo inferior da escada) é 
zero. 
 
Conhecido o ângulo θ, explicitamos a força de atrito Fr que impede que o extremo inferior deslize ao 
longo da parede horizontal 
 
A medida que se incrementa o ângulo θ, é inclinada cada vez mais a escada, a força de atrito aumenta. 
Alcança seu valor máximo quando 
Fr=μsN= μsmg
 
Onde μs é o coeficiente estático de atrito
 
O ângulo limite θl a partir do qual a escada começa a deslizar é
 
tanθl=2μs
 
Dinâmica 
1.- O extremo superior da barra permanece em contato com a parede vertical 
 Movimento de translação do cm. 
 
 Movimento de rotação ao redor de um eixo perpendicular ao plano da figura que passa pelo 
centro de massas 
 
 
Se o ângulo que forma a escada é maior que o limite, θ0>θl a escada começa 
a deslizar. A força de atrito Fr=μN no extremo inferior da escada diminui 
ligeiramente, já que o coeficiente cinético μ só pode ser menor que o estático 
μs 
O movimento da escada consta de duas etapas: 
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com Ic=mL
2/12, supomos que a escada é uma varinha homogênea de massa m e 
comprimento L 
A posição do centro de massas é (x, y). Enquanto o extremo superior da barra está apoiada na parede 
vertical Fx>0, tem uma relação entre x, y e o ângulo θ. 
 
Derivamos duas vezes relativo ao tempo 
 
Explicitamos Fx e N nas equações do movimento do c.m. 
 
 
Introduzimos N, Fx e Fr=μN na equação da dinâmica de rotação. 
 
 
Resolvemos a equação diferencial por procedimentos numéricos com as seguintes condições iniciais: 
No instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0. 
Observamos que a força horizontal que exerce a parede vertical Fx vai diminuindo até que se anula no 
instante t1. O ângulo que forma a escada com a vertical é θ1 e a velocidade angular de rotação é 
(dθ/dt)1. A velocidade horizontal do centro de massas é 
 
2.- O extremo superior da barra deixa de estar em contacto com a parede vertical 
 
As equações do movimento são 
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 Movimento de translação do centro de massas 
 
 Movimento de rotação ao redor de um eixo que passa pelo centro de massas 
 
A ordenada y do centro de massas é 
 
Derivamos duas vezes relativo ao tempo 
 
Explicitamos a reação N 
 
Introduzimos a expressão de N na equação da dinâmica de rotação e na de translação do c.m. 
Obtemos um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem 
 
´Resolvemos este sistema de duas equações diferenciais com as seguintes condições iniciais: no 
instante t1, o ângulo que forma a escada com a vertical é θ1, a velocidade angular de rotação é (dθ/dt)1 
e a velocidade horizontal do centro de massas é 
 
É detido o movimento quando a escada forma um ângulo θ=π/2 com a direção vertical, quando a 
escada está tombada no solo. 
Atividades 
Introduza 
 O ângulo θ0 que forma a escada com a vertical, atuando na barra de deslocamento titulada 
Ângulo 
 O coeficiente estático de atrito μs, atuando na barra de deslocamento titulada C. estático. 
 
 O coeficiente cinético de atrito μ, atuando na barra de deslocamento titulada C. cinético 
 São fixados o comprimento da barra em L=10 m e a massa m=10 kg 
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Clique no botão titulado Começar 
Se o ângulo θ0 é menor que o ângulo limite tanθl=2μs
 
 A escada permanece em equilíbrio 
 Em caso contrário, observamos o movimento da escada e as forças sobre a mesma. 
 
 
Escada apoiada em duas paredes perpendiculares pela qual sobe 
uma pessoa. 
Suponhamos uma escada homogênea de massa m e comprimento L apoiada em duas paredes 
perpendiculares. Um homem de massa M sobe pela escada até um degrau situado a uma distância d do 
extremo inferior da escada, vamos estudar o comportamento do sistema formado pela escada suposta 
uma varinha homogênea e o homem suposto uma massa pontual. 
Estática 
Quando a escada forma um ângulo θ com a vertical as equações de equilíbrio são: 
A resultante das forças deve ser zero. 
 
O momento das forças relativo a qualquer ponto (por exemplo o extremo inferior da escada) é zero. 
As forças sobre a escada são as desenhadas na figura. 
 Fx é a reação da parede vertical suposta lisa (sem atrito) 
 
 N é a força que exerce a parede horizontal 
 mg é o peso que atua no centro de massas da escada 
 Mg é o peso do homem. 
 Fr é a força de atrito que impede o extremo inferior da escada deslizar 
 
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Conhecido o ângulo θ, explicitamos a força de atrito Fr que está sujeito o extremo inferior da escada.
 
 
A medida que o homem sobe pelos degraus da escada, se incrementa d, a força de atrito aumenta. 
Alcança seu valor máximo quando 
Fr=μsN= μs(mg+Mg)
 
Onde μs é o coeficiente estático de atrito
 
O valor máximo do deslocamento dm do homem ao longo da escada é
 
 
Dinâmica 
Aplicando o teorema de Steiner calculamos o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que 
passa pelo centro de massas 
 
A força de atrito Fr=μN no extremo inferior da escada diminui ligeiramente, já que o coeficiente 
cinético μ só pode ser menor que o estático μs 
O movimento da escada consta de duasetapas: 
1.- O extremo superior da barra permanece em contato com a parede vertical 
A posição do centro de massas do sistema formado pelo homem 
e a escada se encontra a uma distância xc medida desde o 
extremo inferior da escada 
 
Movimento de translação do cm. 
 
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Movimento de rotação ao redor de um eixo que passa pelo centro de massas 
 
A posição do centro de massas é (x, y). Enquanto o extremo superior da barra está apoiada na parede 
vertical Fx>0, tem uma relação entre x, y e o ângulo θ. 
 
Derivamos duas vezes relativo ao tempo 
 
Explicitamos Fx e N nas equações do movimento do c.m. 
 
 
Introduzimos N, Fx na equação da dinâmica de rotação. Obtemos a equação diferencial 
 
 
Resolvemos a equação diferencial por procedimentos numéricos com as seguintes condições iniciais: 
No instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0. 
Observamos que a força horizontal que exerce a parede vertical Fx vai diminuindo até que se anule no 
instante t1. O ângulo que forma a escada com a vertical é θ1 e a velocidade angular de rotação é (dθ/dt)
1. 
A velocidade horizontal do centro de massas é 
 
2.- O extremo superior da barra deixa de estar em contato com a parede vertical 
As equações do movimento são 
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Movimento de rotação ao redor de um eixo que passa pelo centro de massas 
 
A ordenada y do centro de massas é 
Derivamos duas vezes relativo ao tempo 
 
Explicitamos a reação N 
 
Introduzimos a expressão de N na equação da dinâmica de rotação e na de translação do c.m. 
Obtemos o sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem 
 
Resolvemos este sistema de duas equações diferenciais com as seguintes condições iniciais: no instante 
t1, o ângulo que forma a escada com a vertical é θ1 e a velocidade angular de rotação é (dθ/dt)1 e a 
velocidade horizontal do centro de massas é 
 
É detido o movimento quando a escada forma um ângulo θ=π/2 
Atividades 
Introduza 
 O ângulo θ que forma a escada com a vertical, atuando na barra de deslocamento titulada Ângulo 
Movimento de translação do centro de massas 
 
 
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Referências 
Mendelson K. S. Statics of a ladder leaning against a rough wall. Am. J. Phys. 63 (2) February 1995. pp. 148-150. 
 
Código fonte 
 O coeficiente estático de atrito μs, atuando na barra de deslocamento titulada C. estático. 
 
 O coeficiente cinético de atrito μ, atuando na barra de deslocamento titulada C. cinético 
 A massa do homem M em kg, no controle de edição titulado Massa 
 Foram fixados o comprimento da escada em L=10 m e a massa m=10 kg 
Clique no botão titulado Começar 
A escada permanece em equilíbrio 
Em caso contrário, observamos o movimento do sistema formado pela escada e uma massa pontual e as 
forças sobre a mesma. 
 
public abstract class State { 
 double t; 
 double x; 
 double vx; 
public State(double t, double x, double vx) { 
 this.t=t; 
 this.x=x; 
 this.vx=vx; 
} 
} 
public class Estado extends State{ 
public Estado(double t, double x, double vx) { 
 super(t, x, vx); 
} 
} 
public class Estado1 extends State{ 
 double y; 
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 double vy; 
public Estado1(double t, double x, double y, double vx, double vy) { 
 super(t, x, vx); 
 this.y=y; 
 this.vy=vy; 
} 
} 
public interface RK { 
abstract public void resolver(State e); 
} 
public abstract class RungeKutta implements RK{ 
 double h; 
RungeKutta(double h){ 
 this.h=h; 
} 
public void resolver(State e){ 
//variables auxiliares 
 double k1, k2, k3, k4; 
 double l1, l2, l3, l4; 
 double q1, q2, q3, q4; 
 double m1, m2, m3, m4; 
//condiciones iniciales 
 double x=e.x; 
 double v=e.vx; 
 double t=e.t; 
 
 k1=h*v; 
 l1=h*f(x, v, t); 
 k2=h*(v+l1/2); 
 l2=h*f(x+k1/2, v+l1/2, t+h/2); 
 k3=h*(v+l2/2); 
 l3=h*f(x+k2/2, v+l2/2, t+h/2); 
 k4=h*(v+l3); 
 l4=h*f(x+k3, v+l3, t+h); 
//nuevo estado del sistema 
 x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; 
 v+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; 
//cambia el estado de la partícula 
 e.x=x; 
 e.vx=v; 
 e.t=t+h; 
} 
abstract public double f(double x, double v, double t); 
} 
public abstract class RungeKutta1 implements RK{ 
 double h; 
RungeKutta1(double h){ 
 this.h=h; 
} 
public void resolver(State e){ 
//variables auxiliares 
 double k1, k2, k3, k4; 
 double l1, l2, l3, l4; 
 double q1, q2, q3, q4; 
 double m1, m2, m3, m4; 
//estado inicial 
 double x=e.x; 
 double y=((Estado1)e).y; 
 double vx=e.vx; 
 double vy=((Estado1)e).vy; 
 double t=e.t; 
 
 k1=h*vx; 
 l1=h*f(x, y, vx, vy, t); 
 q1=h*vy; 
 m1=h*g(x, y, vx, vy, t); 
 k2=h*(vx+l1/2); 
 l2=h*f(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2); 
 q2=h*(vy+m1/2); 
 m2=h*g(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2); 
 k3=h*(vx+l2/2); 
 l3=h*f(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2); 
 q3=h*(vy+m2/2); 
 m3=h*g(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2); 
 k4=h*(vx+l3); 
 l4=h*f(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h); 
 q4=h*(vy+m3); 
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 m4=h*g(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h); 
 
 x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; 
 vx+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; 
 y+=(q1+2*q2+2*q3+q4)/6; 
 vy+=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6; 
 t+=h; 
 
//estado final 
 e.x=x; 
 ((Estado1)e).y=y; 
 e.vx=vx; 
 ((Estado1)e).vy=vy; 
 e.t=t; 
} 
abstract public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t); 
abstract public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t); 
} 
public class Sistema extends RungeKutta{ 
 double mInercia; 
 final double m=10.0; 
 final double lonVarilla=1.0; 
 double mu; 
Sistema(double mu, double h){ 
 super(h); 
 this.mu=mu; 
 this.mInercia=m*lonVarilla*lonVarilla/12; 
} 
public double f(double x, double v, double t){ // x es ángulo, v es velocidad angular 
 double seno=Math.sin(x); 
 double coseno=Math.cos(x); 
 double A=mInercia+m*lonVarilla*lonVarilla/4-m*lonVarilla*lonVarilla*mu*seno*coseno/2; 
 double B=m*lonVarilla*lonVarilla*mu*coseno*coseno/2; 
 double C=m*9.8*lonVarilla*seno/2-m*9.8*mu*lonVarilla*coseno; 
 return ((B*v*v+C)/A); 
} 
public double fuerza_X(double x, double v){ 
 double Fx=mu*9.8+(-mu*Math.sin(x)+Math.cos(x))*f(x, v, 0.0)*lonVarilla/2- 
 (mu*Math.cos(x)+Math.sin(x))*v*v*lonVarilla/2; 
 return (m*Fx); 
} 
public double fuerza_Y(double x, double vx){ 
 double temp=9.8-(f(x, vx, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2; 
 return (m*temp); 
} 
} 
public class Sistema1 extends RungeKutta1{ 
double mInercia; 
 final double m=10.0; 
 final double lonVarilla=1.0; 
 double mu; 
Sistema1(double mu, double h){ 
 super(h); 
 this.mu=mu; 
 this.mInercia=m*lonVarilla*lonVarilla/12; 
} 
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){ 
 return (-mu*fuerza_Y(x, vx)/m); 
} 
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){ 
 double seno=Math.sin(x); 
 double coseno=Math.cos(x); 
 double A=mInercia+m*lonVarilla*lonVarilla*seno*(seno-mu*coseno)/4; 
 double B=-m*lonVarilla*lonVarilla*coseno*(seno-mu*coseno)/4; 
 double C=m*9.8*lonVarilla*(seno-mu*coseno)/2; 
 return ((B*vx*vx+C)/A); 
} 
 
public double fuerza_Y(double x, double vx){ 
 double temp=9.8-(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2; 
 return (m*temp); 
} 
} 
 
public class MiCanvas extends Canvas { 
 //objeto sistema 
 RK sistema; 
 double angInicial=Math.PI/6;State estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0); 
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//otros miembros dato... 
//funciones miembro 
 void setNuevo(int ang, double muEst, double muDin){ 
 this.angInicial=ang*Math.PI/180; 
 this.mu=muDin; 
 tipo=1; 
 estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0); 
 if(angInicial>=Math.atan(2*muEst)){ 
 sistema=new Sistema(mu, dt); 
 tipo=1; 
 }else{ 
 tipo=3; 
 } 
 xExtremo=lonVarilla*Math.sin(angInicial); 
 repaint(); 
} 
 
void mover(){ 
 switch(tipo){ 
 case 1: 
 sistema.resolver(estado); 
 xExtremo=lonVarilla*Math.sin(estado.x); 
 double fX=((Sistema)sistema).fuerza_X(estado.x, estado.vx); 
 if(fX<0){ 
 double fY=((Sistema)sistema).fuerza_Y(estado.x, estado.vx); 
 sistema=new Sistema1(mu, dt); 
 double x0=lonVarilla*Math.sin(estado.x)/2; 
 double vx0=lonVarilla*Math.cos(estado.x)*estado.vx/2; 
 estado=new Estado1(estado.t, estado.x, x0, estado.vx, vx0); 
 fY=((Sistema1)sistema).fuerza_Y(estado.x, estado.vx); 
 tipo=2; 
 } 
 break; 
 case 2: 
 sistema.resolver((Estado1)estado); 
 xExtremo=((Estado1)estado).y+lonVarilla*Math.sin(estado.x)/2; 
 double vPunta=((Estado1)estado).vy+estado.vx*lonVarilla*Math.cos(estado.x)/2; 
 double dist=((Estado1)estado).y-lonVarilla*Math.sin(estado.x)/2; 
 if(dist<0){ 
 parent.hilo.putMsg(Hilo.PAUSE); 
 System.out.println("vuelve a tocar"); 
 } 
 if(estado.x>Math.PI/2){ 
 estado.x=Math.PI/2; 
 parent.hilo.putMsg(Hilo.PAUSE); 
 } 
 if(vPunta<0){ 
 parent.hilo.putMsg(Hilo.PAUSE); 
 System.out.println("se para"); 
 } 
 break; 
 case 3: 
 break; 
 default: 
 break; 
 } 
 repaint(); 
} 
Página 12 de 12Estática e dinâmica de uma escada apoiada em duas paredes perpendiculares.
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