Métodos+de+Análise+de+Investimentos+-+Taxa+Interna+de+Retorno+Modificada

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Métodos de Análise 
de Investimentos(5)
 
5. Taxa Interna de Retorno modificada 
O método da taxa interna de retorno (TIR) pressupõe que todos 
os fluxos de caixa positivos são reinvestidos à taxa de retorno do 
projeto. Essa premissa é válida desde que não haja uma grande 
discrepância entre a taxa interna de retorno e a taxa de 
desconto utilizada para o projeto. Quando isso ocorre, os 
resultados obtidos tendem a ser menos confiáveis, e podem 
induzir a erros de avaliação. Além disso, o método da taxa 
interna de retorno pode levar a múltiplas taxas internas para um 
mesmo projeto, caso haja mais de uma inversão de sinal no fluxo 
de caixa do projeto. A existência de taxas múltiplas, embora 
matematicamente corretas, não tem significado financeiro 
relevante para o processo de decisão de investimento. 
O método da taxa interna de retorno modificada (TIRM) evita 
esses dois problemas. Os fluxos de caixa negativos são trazidos a 
valor presente, com uma taxa de financiamento compatível com as 
do mercado, enquanto que os fluxos positivos são levados a valor 
futuro no último período do fluxo, a partir de uma taxa de 
reinvestimento adequadas com as praticadas no mercado. Com os 
valores concentrados no instante zero e no período final, o 
cálculo da taxa interna de retorno se torna fácil e direto a partir 
da fórmula de juros compostos. 
 
Nota de Ensino preparada por Antonio Carlos S. Sampaio Filho. Agosto de 2002 
 
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AF10-5 - Métodos de Análise de Investimentos (5) 
Para exemplificarmos, considere o fluxo de caixa a seguir: 
Exemplo 1 
Ano Fluxo de Caixa 
0 (1.000,00) 
1 (575,00) 
2 400,00 
3 800,00 
4 1.200,00 
5 3.000,00 
Considerando como 15% ao ano a taxa de financiamento dos 
fluxos de caixa negativos e de 10% ao ano a de reinvestimento 
dos fluxos de caixa positivos, teríamos: 
a) Cálculo do valor presente das parcelas negativas do fluxo de 
caixa, com a taxa de financiamento de 15 % ao ano: 
PV = -1.000 - 575 = - $1.500,00 
 (1,15%)0 (1,15)1
 
b) Cálculo do valor futuro, no ano 5, das parcelas positivas do 
fluxo de caixa, com a taxa de reinvestimento de 10 % ao ano: 
FV = 400 x (1,1)3 + 800 x (1,1)2 + 1.200 x (1,1)1 + 3.000 x (1,1)0 
FV = $5.820,40 
c) Teríamos, pois, um novo fluxo de caixa: 
 
 
 
1.500
5.820,40
0 1 2 3 4 5 anos
 
 
 
 
 
 
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AF10-5 - Métodos de Análise de Investimentos (5) 
Você agora pode utilizar a fórmula de juros compostos ou a 
calculadora financeira, com os parâmetros indicados abaixo, para 
calcular a taxa de juros entre os valores de PV e FV: 
• N (Nº Períodos): 5 
• VP (Valor Presente): -1.500,00 
• VF (Valor Futuro): $5.820,00 
 
Teríamos uma taxa efetiva igual a 31,15% ao ano, ou seja, uma 
taxa interna de retorno modificada de 31,15% ao ano. 
TIRM = 31,15% ao ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AF10-5 - Métodos de Análise de Investimentos (5) 
 Utilizando o Excel 
A função MTIR fornece a taxa interna de retorno modificada de 
fluxos de caixa periódicos cujos valores apresentam mais de uma 
variação de sinal e que podem, portanto, apresentar mais de uma 
taxa interna de retorno. 
Essa função especial considera o custo do investimento e os juros 
recebidos no reinvestimento do capital, e tem a seguinte sintaxe: 
Versão em português Versão em inglês 
MTIR (valores; taxa_financ; 
taxa_reinves) 
MTIR (values; finance_rate; 
reinvest_rate) 
Valores Seqüência de valores do fluxo de caixa ou uma 
referência às células que contêm esses valores. 
Esses valores representam uma série de 
pagamentos (valores negativos) e receitas (valores 
positivos) que ocorrem em períodos regulares, 
incluindo a parcela inicial, colocada no ponto zero 
da escala de tempo do fluxo de caixa. 
Taxa_financ Taxa de juros paga sobre o dinheiro usado nos 
fluxos de caixa. 
Taxa_reinvest Taxa de juros recebida nos fluxos de caixa ao 
reinvesti-los. 
Comentários: 
• O argumento "Valores" deve conter pelo menos um valor positivo e 
um negativo para calcular a taxa interna de retorno modificada. 
Caso contrário, a função MTIR retornará o valor de erro 
#DIV/0!; 
• Se um argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou 
células vazias, estes valores serão ignorados; no entanto, as 
células com valor nulo serão incluídas; 
• A função MTIR utiliza a ordem de valores para interpretar a 
ordem dos fluxos de caixa. Certifique-se de inserir os valores na 
seqüência desejada e com os sinais corretos. 
 
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AF10-5 - Métodos de Análise de Investimentos (5) 
Aplicando a função MTIR 
A função MTIR fornece o valor da taxa modificada de retorno de 
fluxos de caixa periódicos através das seguintes operações: 
• todos os fluxos de caixa negativos são "puxados" para valor 
presente, com uma taxa de financiamento; 
• todos os fluxos de caixa positivos são "empurrados" para o 
valor futuro, com uma taxa de reinvestimento; 
• a função, finalmente, retorna o valor da taxa de retorno 
correspondente aos valores de PV e FV obtidos nos passos 
anteriores. 
Para exemplificar, suponha que você é o dono de uma empresa que 
acaba de completar o quinto ano de operação. Cinco anos atrás, 
você pediu um empréstimo no valor de $120.000, a 10 % de juros 
ao ano, para comprar novos equipamentos. Durante esses anos, 
você lucrou $39.000, $30,000, $21.000, $37.000 e $46.000 e 
reinvestiu esses valores a uma taxa de juros de 12% ao ano. 
Se os valores correspondentes ao empréstimo inicial e aos cinco 
lucros anuais estão inseridos, respectivamente, nas células de B1 
a B6 de uma planilha Excel, a taxa modificada de retorno do 
investimento é calculado da seguinte forma: 
MTIR(B1:B6; 10%; 12%) = 12,61% ao ano. 
Para calcular a taxa modificada de retorno após três anos, 
podemos fazer: 
MTIR(B1:B4; 10%; 12%) = -4,80% ao ano. 
Para calcular a taxa modificada de retorno para cinco anos, 
utilizando uma taxa de reinvestimento de 14% ao ano: 
MTIR(B1:B6; 10%; 14%) = 13,48% ao ano. 
 
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AF10-5 - Métodos de Análise de Investimentos (5) 
Para finalizar, suponha uma expansão da sua empresa, durante o 
sexto ano, no valor de $10.000,00 para aquele ano. A taxa interna 
de retorno modificada depois de seis anos, a uma taxa de 
reinvestimento de 12% ao ano, é dada por: 
MTIR(B1:B7; 10%; 12%) = 11,65% ao ano. 
No exemplo acima, utilizamos a função financeira MTIR para 
calcular a taxa interna de retorno modificada de um investimento 
bastante simples. Considere agora o exemplo de um investimento 
representado pelo seguinte fluxo de caixa: 
ANO VALOR 
0 (58.600,00) 
1 210.950,00 
2 (252.080,00) 
3 100.000,00 
Como os valores do fluxo de caixa apresentam três variações de 
sinal, a regra de sinal de Descartes garante que ele pode ter até 
três taxas internas de retorno, com valores reais e positivos. 
Se você utilizar a função TIR (IRR) para calcular a taxa interna 
de retorno desse fluxo de caixa verificará que o resultado obtido 
depende da taxa de juros informada no parâmetro dessa função 
como "Estimativa" (Guess) para a taxa. 
Registre esse fluxo de caixa numa planilha Excel e confirme os 
resultados da taxa interna de retorno, em % ao ano, indicados na 
tabela a seguir. 
ESTIMATIVA TIR 
0% 7,19% 
15% 18,92% 
30% 33,87% 
 
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Agora, aplique a função MTIR no fluxo de caixa do exemplo, 
adotando as seguintes taxas de juros: 
- Taxa de financiamento: 8% ao ano; 
- Taxa de reinvestimento: 12% ao ano. 
A aplicação da função MTIR, com essas duas taxas de juros como 
parâmetros, retorna uma taxa modificada de retorno de 9,90% 
ao ano. 
Podemos confirmar o conceito envolvido nessa resposta por meio 
das seguintes operações: 
d) Cálculo do valor presente das parcelas negativas do fluxo de 
caixa, com a taxa de financiamentode 8 % ao ano: 
PV = -58.600,00 – 252.080,00/ (1,08)2 = -$274.717,97 
e) Cálculo do valor futuro, no ano 3, das parcelas positivas do 
fluxo de caixa, com a taxa de reinvestimento de 12 % ao ano: 
FV = 100.000,00 + 210.950,00 x (1,12)2 = $364.615,68 
Você agora pode utilizar a função TAXA (RATE), com os 
parâmetros indicados abaixo, para calcular a taxa de juros entre 
os valores de PV e FV: 
• NPER (Nº Períodos): 3 
• PGTO (Prestação): 0 
• VP (Valor Presente): -274.717,97 
• VF (Valor Futuro): 364.615,68 
• TIPO (Tipo de Série): 0 
A função TAXA fornece a taxa de juros de 9,90% ao ano, que 
coincide com o valor obtido diretamente pela aplicação da função 
MTIR. 
 
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AF10-5 - Métodos de Análise de Investimentos (5) 
Exercícios de fixação 
1. Na tabela abaixo, são apresentados os fluxos de caixa de 
quatro projetos de investimento: 
Anos Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
0 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 -1.000,00 
1 3.650,00 -1.300,00 250,00 4.510,00 
2 -4.410,00 500,00 -400,00 -6.673,00 
3 1.764,00 700,00 350,00 3.241,20 
4 950,00 450,00 
5 1.150,00 520,00 
Pede-se, para cada projeto: 
a) Verificar a existência de taxas internas de retorno múltiplas; 
b) Calcular o valor presente líquido, considerando-se que a taxa 
de juros que mede o custo de capital da empresa é igual a 10% 
ao ano; 
c) Calcular a(s) taxa(s) interna(s) de retorno; 
d) Calcular a taxa interna de retorno modificada, considerando: 
• taxa de financiamento: 12% aa; 
• taxa de reinvestimento: 10% aa.