Matemática Financeira Básica - Juros Compostos

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Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) i 
 
Matemática Financeira Básica 
com HP 12C 
Juros e Capitalização Composta. 
 
Sumário 
Conceitos básicos. ............................................................................................................... 1 
Juros compostos e capitalização composta ........................................................................ 2 
Diagrama de fluxo de caixa .............................................................................................. 3 
Fórmula vs calculadora ..................................................................................................... 4 
Montante ou Valor Futuro (S ou FV) ................................................................................ 4 
Exercícios resolvidos. ....................................................................................................... 6 
Exercícios propostos......................................................................................................... 7 
Representação Gráfica ..................................................................................................... 8 
Valor presente (P ou PV) .................................................................................................. 9 
Exercícios resolvidos ........................................................................................................ 9 
Exercícios propostos....................................................................................................... 11 
Cálculo do prazo. ............................................................................................................ 12 
Exercícios resolvidos ...................................................................................................... 13 
Exercícios propostos....................................................................................................... 15 
Cálculo da Taxa .............................................................................................................. 16 
Exercícios resolvidos ...................................................................................................... 17 
Exercícios propostos....................................................................................................... 17 
Taxas equivalentes ......................................................................................................... 18 
Exercícios resolvidos ...................................................................................................... 25 
Exercícios propostos....................................................................................................... 28 
Desconto composto ........................................................................................................ 29 
Exercícios propostos....................................................................................................... 30 
Comparação entre juros simples e juros compostos ........................................................ 31 
Apêndice: Introdução ao uso da HP 12C. ......................................................................... 33 
Referências Bibliográficas .................................................................................................. 39 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 1 
 
Este texto apresenta de forma resumida os principais conceitos da 
matemática financeira baseada nos autores relacionados na seção Referências 
Bibliográficas e não tem o objetivo de substituir as referências apresentadas. Deve 
ser utilizado como material complementar do livro texto adotado. 
Importante saber que a Matemática Financeira pode ser entendida como a 
disciplina que estuda o valor do dinheiro em um intervalo de tempo. 
Conceitos básicos. 
Capital: qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada 
época. 
Juros: é a remuneração do capital empregado (aluguel pago pelo uso do 
dinheiro). Pode ser entendida como uma espécie de “aluguel sobre o dinheiro”. 
Quando se aplica um capital durante um determinado período de tempo, ao 
fim do prazo o capital se transformará em um valor, o montante, que será igual ao 
capital aplicado mais a remuneração obtida durante o período de aplicação. 
Montante: Montante (S) = capital (P) ou aplicação + juros ganhos (J). 
Remuneração, rendimento ou jutos ganhos: é a diferença entre o montante 
(S) e a aplicação (P). 
Taxa de juros: é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um 
determinado período de tempo e o capital inicialmente aplicado ou emprestado. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 =
𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
= 𝑖 =
𝐽
𝑃
 
 Como a taxa de juros é definida pela razão entre a remuneração do capital e 
o capital aplicado, os juros ganhos em uma aplicação financeira também podem ser 
entendidos como o produto das taxas de juros pelo capital (J = Pi). 
As taxas de juros podem ser representadas na forma percentual (taxa de 
juros percentual) e na forma fracionária. A forma fracionária é que se utiliza para 
fazer cálculos financeiros. 
Forma percentual: 10%. 
Forma fracionária: 0,10. 
Para os cálculos com a calculadora financeira HP12C o usuário indica a forma 
percentual e a calculadora converte internamente na forma fracionária. 
Se o prazo da operação considera o ano composto por meses de 30 dias (360 
dias), os juros são chamados juros comerciais; caso seja considerado o ano civil 
(365 dias) os juros são chamados juros exatos. Os textos de matemática financeira 
trabalham com os anos comerciais (360 dias), salvo menção em contrário. 
 
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Juros compostos e capitalização composta 
Capitalização composta: 
 É a capitalização em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial e 
aos juros acumulados até o período anterior. 
 A taxa de juros incide sobre o montante produzido no período anterior. 
 O valor dos juros cresce exponencialmente em função do tempo. 
Vamos ver como funciona. Suponha um capital de $1.000,00 aplicado a uma 
taxa de 2% ao mês durante seis meses. 
Mês 
Capital no 
início do mês 
Juros do mês 
Montante 
ao final do 
mês 
1 1.000,00 1.000,00 × 0,02 = 20,00 1.020,00 
2 1.020,00 1.020,00 × 0,02 = 20,40 1.040,40 
3 1.040,40 1.040,40 × 0,02 = 20,81 1.061,21 
4 1.061,21 1.061,21 × 0,02 = 21,22 1.082,43 
5 1.082,43 1.082,43 × 0,02 = 21,65 1.104,08 
6 1.104,08 1.104,08 × 0,02 = 22,08 1.126,16 
 
Forma de cálculo muito trabalhosa. 
Dedução da fórmula: 
Considere: 
P = valor do capital inicial ou principal. 
i = taxa de juros. 
n = prazo. 
S = Montante. 
Montante ao final do mês 1: é a soma do capital inicial com os juros desse 
período. 
𝑆1 = 𝑃 + 𝑃𝑖 
𝑆1 = 𝑃(1 + 𝑖) 
Montante ao final do mês 2: o montante do período anterior é o capital do 
início do mês seguinte. 
𝑆2 = 𝑆1(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) 
𝑆2 = 𝑃(1 + 𝑖)
2 
Montante ao final do mês 3: 
𝑆3 = 𝑆2(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)
2(1 + 𝑖) 
𝑆3 = 𝑃(1 + 𝑖)
3 
Repetindo o processo temos 
 
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Montante ao final do mês 4: 
𝑆4 = 𝑆3(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)
3(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)4 
Montante ao final do mês 5: 
𝑆5 = 𝑆4(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)
4(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)5 
Montante ao final do mês 6: 
𝑆6 = 𝑆5(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)
5(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)6 
Então: 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
Essa fórmula geral pode ser utilizada para o cálculo do montante ao final de 
qualquer período desejado. 
Exemplo: Qual o montante ao final do quinto e do sexto mês? 
𝑆5 = 𝑃(1 + 𝑖)
5 = 1.000(1 + 0,02)5 = 1,000(1,10408) = 1.104,08 
𝑆6 = 𝑃(1 + 𝑖)
6 = 1.000(1 + 0,02)6 = 1,000(1,12616) = 1.126,16 
Diagrama de fluxo de caixa 
Mostra graficamente as transações financeiras emum período de tempo. O 
tempo é o eixo horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para a 
análise. 
Facilita a representação de operações financeiras 
Representa o movimento do capital a cada período 
Convenção: 
a) Entradas ou recebimentos ou receitas: são representadas por setas 
verticais apontadas para cima (dinheiro recebido). 
b) Saídas ou pagamentos: são representadas por setas verticais 
apontadas para baixo (dinheiro pago). 
Observação: O valor do capital na data zero é chamado de Valor Presente. 
 
 
Para utilização da calculadora HP12C a convenção é a seguinte: 
a) Fluxos de entradas: valores positivos. 
b) Fluxos de saídas: valores negativos. 
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Para resolução correta dos exercícios, indique o tipo de fluxo (entrada ou 
saída) na HP-12C. Caso contrário aparecerá no visor uma mensagem de erro (Error 
5). 
Fórmula vs calculadora 
Montante (S) = capital + juros = FV (valor Futuro) 
P (capital inicial) = PV (valor presente) 
i (taxa de juros na forma decimal) = i (taxa de juros %) 
n (prazo) = n 
 
Montante ou Valor Futuro (S ou FV) 
Fórmula geral: 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
Observação: i e n devem estar na mesma unidade de tempo. 
Montante = capital + juros. S = P + J 
Fator de acumulação de capital: (1 + i)n 
Exemplo: Qual o montante ao final do sexto mês? 
 
𝑆6 = 𝑃(1 + 𝑖)
6 = 1.000(1 + 0,02)6 = 1,000(1,12616) = 1.126,16 
 
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Cálculo com a HP12C. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
Limpar os registros da memória (inclusive os 
financeiros). 
1000 CHS PV – 1.000,00 
Inclusão do capital inicial e troca o sinal para 
segui a convenção do fluxo de caixa. 
2 i 2,00 Inclusão da taxa na forma percentual. 
6 n 6,00 Inclusão do prazo. 
FV 1.126,16 Cálculo do montante ou valor futuro. 
Resposta: O montante ao final de seis meses é $1.126,16. 
A ordem de inclusão dos dados não é importante. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
6 n 6,00 
2 i 2,00 
1000 CHS PV – 1.000,00 
FV 1.126,16 
Caso seja necessário ajustar as unidades de tempo, use as seguintes 
equivalências: 
Equivalência das unidades de tempo: 
1ano = 12 meses = 360 dias e 1 mês = 30 dias. 
Outras equivalências muito usadas: 
1 bimestre = 2 meses. 
1 trimestre = 3 meses. 
1 semestre = 6 meses. 
Configuração para cálculo com prazos fracionados na HP: teclas [STO] e 
[EEX]. Aparecerá uma letra “C” embaixo e à direita no visor. Mantenha esse recurso 
ativado. Se não usar este recurso a HP calcula os juros compostos para períodos 
inteiros. 
Exemplo: Considere um empréstimo de $10.000, à taxa de 40% ao ano pelo 
prazo de 3,5 anos. Determinar o valor do resgate. 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 = 10.000(1 + 0,4)3,5 = 32.467,45 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpeza da memória. 
STO EEX 0,00 Configuração para períodos fracionários. 
10000 CHS PV – 10.000,00 
Inclusão do capital inicial e troca o sinal 
para segui a convenção do fluxo de caixa. 
40 i 40,00 Inclusão da taxa na forma percentual. 
3,5 n 3,50 Inclusão do prazo. 
FV 32.467,45 Cálculo do montante ou valor futuro. 
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Exercícios resolvidos. 
1) Exemplo: Calcular o montante de uma aplicação de $15.000,00, pelo prazo 
de 6 meses, à taxa de 3% ao mês. 
P = PV = $15.000,00; n = 6 meses; i =3% a.m.0,03 a.m.; S = ? 
Como i e n estão na mesma unidade de tempo, podemos substituir na 
fórmula. 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 = 15.000,00(1 + 0,03)6 = 17.910,78 
Resolução com a HP12C: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
Limpar os registros da memória (inclusive os 
financeiros). 
15000 CHS PV – 15.000,00 
Inclusão do capital inicial e troca o sinal para 
segui a convenção do fluxo de caixa. 
6 n 6,00 Inclusão do prazo. 
3 i 3,00 Inclusão da taxa na forma percentual. 
FV 17.910,78 Cálculo do montante ou valor futuro. 
Resposta: o montante é de $17.910,78. 
Observe a utilização da convenção de fluxo de caixa na resolução. Ao 
pressionar a tecla CHS o valor 15.000 é apresentado como um número negativo, 
indicando a saída de capital (capital investido), e a resposta apresentada como um 
valor positivo, entrada de capital, o quanto o correntista deverá receber ao final do 
período de aplicação. Caso não se troque o sinal do capital inicial, a calculadora 
aplicará automaticamente a convenção de fluxo de caixa. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
15000 PV 15.000,00 
6 n 6,00 
3 i 3,00 
FV – 17.910,78 
 
2) Um capital de $78.024,29 foi aplicado por dois anos a uma taxa de 4% ao 
mês. Calcule o montante e os rendimentos da aplicação. 
Dados: P = 78.024,29; i = 4% a.m. = 0,04 a.m., n = 2 anos. S = ?; J = ? 
Como i e n estão em unidades de tempo diferentes, vamos transformar n para 
o equivalente em meses: n = 2 anos = 24 meses. 
S = 78.024,29(1 + 0,04)24 = 199.999,9875 = 200.000,00, S = 200.000,00. 
Rendimentos: S = P + J → J = S – P = 200.000,00 – 78.024,29 = 121.975,71. 
Resposta: Montante(S) = 200.000,00 e Rendimentos(J) = 121.975,71. 
 
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Com HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG Limpar a memória. 
78024,29 CHS PV – 78.024,29 
Inclusão do capital inicial e troca o sinal 
para segui a convenção do fluxo de 
caixa. 
24 n 24,00 Inclusão do prazo. 
4 i 4,00 Inclusão da taxa na forma percentual. 
FV 199.999,9875 Cálculo do montante ou valor futuro. 
78024,29 – 121.975,71 Cálculo dos rendimentos (juros). 
 
3) Qual o valor de resgate relativo à uma aplicação de um capital de 
$500.000,00, por 18 meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês? 
Dados: P = 500.000,00; n = 18 meses; i = 10% a.m. = 0,1 a.m.; S = ? 
Observação: n e i estão na mesma unidade de tempo. 
S = 500.000,00(1 + 0,1)18 = 2.779.958,66 
Com HP: 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
78024,29 CHS PV – 500.000,00 
18 n 18,00 
10 i 10,00 
FV 2.779.958,66 
 
Exercícios propostos 
1) Determinar o montante no final de 10 meses, resultante da aplicação de um 
capital de $100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. 
Resposta: S = 144.504,39 
2) Qual é mais vantajoso: aplicar $10.000,00 por 3 anos, a juros compostos 
de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 
5% ao mês? 
Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. 
3) Um banco oferece aplicação com prazo de 18 meses remuneradas a 
1,25% ao mês. Calcule o valor a ser resgatado por uma aplicação de $1.000,00 ao 
final do período. 
Resposta: S = $1.250,58. 
4) Para um capital de 25.000, aplicado durante 77 dias a juros de 5% a.m., 
calcular o montante. 
Resposta: S = $228.335,17. 
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5) Determine o valor do resgate de uma aplicação realizada na caderneta de 
poupança há 3 anos. Considere o valor aplicado de $3.000,00 e a taxa média de 
rendimento 0,84% ao mês. 
Resposta: S = $4.054,18 
6) Você deve deixar $1.400,00 aplicados por 36 meses. Se a taxa de juros for 
de 6,4% ao semestre, quanto será o resgate ao final do período? 
Resposta: S = $2.031,32. 
7) Uma dívida de $1.200,00 é contraída hoje. Se a taxa de juros é igual a 
0,0557% ao dia, qual o valor a ser pago no prazo de 175 dias? 
Resposta: S = 1.322,82 
8) Uma calculadora custa $340,00 à vista. Ela pode ser paga em 30 ou 60 
dias. Considerando a taxa de juros de 5% ao mês, determine o valor a ser pago em 
cada um dos prazos. 
Respostas: $357,00 (30 dias) e $374,85 (em 60 dias) 
9) Uma empresa obtém um empréstimo de $700.000,00 que será liquidado, 
de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao 
semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 
Resposta: $1.708.984,38 
10) Uma pessoa aplica $15.000,00num título de renda fixa com vencimento 
no final de 61 dias, a uma taxa de 72% ao ano. Calcular o seu valor de resgate e o 
rendimento. 
Resposta: S = $16.443,73 e J = 1.443,73 
Representação Gráfica 
P = 1.000,00; i = 10% a..m.; S = 1.000(1+0,1)n = 1.000(1,1)n. 
 
 
0,00
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
7.000,00
0 5 10 15 20
M
o
n
ta
n
te
 
mês 
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Valor presente (P ou PV) 
Suponha que uma aplicação a uma taxa de 10% ao mês produziu um 
montante de $1.610,51 em cinco meses. Calcule o valor aplicado. 
Nesse caso já sabemos o montante e queremos calcular qual o valor que o 
originou. 
Como 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
Então 
𝑃 = 
𝑆
(1 + 𝑖)𝑛
 
O diagrama de fluxo de caixa para esse tipo de problema é: 
 
Podemos pensar que estamos “voltando no tempo”. 
Resolvendo o problema: 
S = 1.610,51; n = 5 meses; i = 10% ao mês = 0,1 a.m.; P = ? 
Como i e n estão na mesma unidade de tempo, é só substituir na fórmula: 
𝑃 = 
𝑆
(1 + 𝑖)𝑛
=
1.610,51
(1 + 0,1)5
= 1.000,00 
Teclas Visor 
f FIN f REG 0,00 
1610,51 FV 1.610,51 
10 i 10,00 
5 n 5,00 
PV – 1.000,00 
Resposta: O valor presente é igual $1.000,00. 
Exercícios resolvidos 
1) Um estudante precisará de $20.000,00 daqui a 2 anos para fazer uma 
viagem ao exterior. Quanto é preciso aplicar hoje para receber essa quantia, se a 
taxa que o banco paga é de 1% ao mês? 
 
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Dados: S = 20.000,00, n = 2 anos, i = 1% a.m. = 0,01a.m.; P = ? 
Obs.: i e n devem estar na mesma unidade de tempo, logo n = 2 anos = 24 
meses. 
𝑃 = 
20.000,00
(1 + 0,01)24
= 15.751,32 
Com HP: 
Teclas Visor 
f FIN f REG 0,00 
20000 FV 20.000,00 
1 i 1,00 
24 n 24,00 
PV – 15.751,32 
Resposta: É preciso aplicar P = $15.751,32. 
 
2) Um determinado capital, aplicado a juros de 40% a.a durante 4 anos e 11 
meses, resultou em um montante de $10.000,00. Determinar o valor do capital. 
Dados: S = 10.000,00; i = 40% a.a. = 0,40 a.a.; n = 4 anos e 11 meses; P = ? 
Obs.: i e n devem estar na mesma unidade de tempo, logo n = 4 anos e 11 
meses = 4 × 12 + 11 = 48 + 11 = 59 meses e fazendo regra de três: 
1 ano = 12 meses 
n = 59 meses 
Multiplicando cruzado: 12n = 59 e n = 59 /12 anos. 
𝑃 = 
10.000,00
(1 + 0,4)
59
12
= 1.912,22 
Com HP: 
Teclas Visor 
f FIN f REG 0,00 
10000 FV 10.000,00 
40 i 40,00 
59 ENTER 59,00 
12 ÷ n 4,91667 
PV – 1.912,22 
Resposta: O capital aplicado é $1.912,22. 
 
3) Um empréstimo foi pago em parcela única de $2.347,94. Qual o valor 
inicial, se o empréstimo foi feito a 9 meses à taxa contratada de 6% a.m? 
Dados: S = $2.347,94; n = 9 meses; i = 6% a.m. = 0,06 a.m.; P = ? 
𝑃 = 
2.347,94
(1 + 0,06)9
= 1.389,74 
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Com HP: 
Teclas Visor 
f FIN f REG 0,00 
2347,94 FV 2.347,94 
6 i 40,00 
9 n 9,00 
PV – 1.389,74 
 
Resposta: O valor do empréstimo foi de $1.389,74. 
Exercícios propostos 
1) Uma pessoa está devendo à sua operadora de cartão de crédito há 5 
meses. Como nenhum pagamento foi efetuado, o valor da dívida hoje é de 
$1.587,00. Se a taxa cobrada foi de 8% a.m., qual o valor que deu origem a sua 
dívida? 
Resposta: P = $1.080,09. 
2) Uma dívida com a Financeira XYZ atualmente é de $28.224,08. Se ela foi 
contraída há 4 trimestres, com taxa de 7,5%a.m. qual o valor originalmente devido? 
Resposta: P = $11.850,00 
3) Uma empresa está recebendo hoje 3 duplicatas, X, Y e Z de um mesmo 
cliente. Mas devido à necessidade de caixa elas devem ser descontadas em um 
banco. Os valores de resgate e prazo são: 
Duplicata Valor de resgate Prazo 
X $50.000,00 6 meses 
Y $90.000,00 9 meses 
Z $200.000,00 1 ano 
O banco cobra 4,2% a.m. a juros compostos para esse tipo de operação. 
Determine quanto a empresa receberá hoje pelas duplicatas. 
Resposta: 
Duplicata Valor Presente 
X $39.062,83 
Y $62.148,84 
Z $122.072,37 
Total 223.284,04 
 
4) Um empréstimo feito há 5 meses, a uma taxa de 5,4% a.m. deve ser pago 
hoje. Se o valor a ser pago é de $1.200,00, qual o Valor Presente desse 
empréstimo? 
Resposta: P = $922,53. 
5) Um banco remunerou uma aplicação que você efetuou à taxa de 1,60% ao 
mês. Após 8 meses, você resgatou $6.300,00. Calcule o valor aplicado. 
Resposta: P = 5.548,70. 
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Paulo Nacaratti (organizador) 12 
 
6) Uma aplicação financeira realizada há 10 meses, gerou o montante de 
$26.894,30. Qual o capital inicialmente aplicado? (Taxa média de rendimento de 
1,8% ao mês). 
Resposta: P = $22.500,00 
7) Hoje você resgata $7.215,26 após aplicação de 3 anos e 3 meses. Durante 
todo esse período, a taxa média de rendimento foi de 9,5% ao semestre. Determine 
o valor aplicado. 
Resposta: P = $4.000,00. 
8) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 
181 dias, produziu um montante de $5.000,00? 
Resposta: P = $3.584,32. 
9) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um 
montante de $820.000,00 no final de 1ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 
Resposta: J = $396.288,79 
10) Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante 
de $100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês? 
Resposta: P = $78.849,32 
Cálculo do prazo. 
Calcule o prazo com a fórmula, pois a calculadora mostra sempre, no visor, 
um número inteiro que pode ser o prazo exato ou arredondado para mais. 
Como o prazo é um expoente, é preciso aplicar logaritmo e suas 
propriedades. Com a HP vamos aplicar o logaritmo neperiano (LN), que é ativado 
com a tecla azul (g). 
Como calcular? 
Use a taxa na forma fracionária. 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
𝑆
𝑃
= (1 + 𝑖)𝑛 
𝐿𝑁
𝑆
𝑃
= 𝐿𝑁(1 + 𝑖)𝑛 
𝐿𝑁
𝑆
𝑃
= 𝑛𝐿𝑁(1 + 𝑖) 
𝑛 =
𝐿𝑁
𝑆
𝑃
𝐿𝑁(1 + 𝑖)
 
Adaptando para o tecado da calculadora: 
𝑛 =
𝐿𝑁
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝐿𝑁(1 + 𝑖)
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 13 
 
Exemplo: Um capital de $1.000 é aplicado em uma taxa composta de 2% ao 
mês, gerando um montante de $1.500. Qual o prazo da aplicação? 
P = 1.000,00; S = 1.500,00; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.; n = ? 
𝑛 =
𝐿𝑁
1.500,00
1.000,00
𝐿𝑁(1 + 0,02)
=
𝐿𝑁1,5
𝐿𝑁1,02
=
0,4056
0,1980
= 20,48 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
Ou 20 meses e 14 dias. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
1500 ENTER 1.500,00 Inclusão do montante (S). 
1000 ÷ 1,5 Inclusão do capital (P). 
g LN 0,4054 Cálculo do LN do numerador. 
1,02 g LN 0,1980 Cálculo do LN do denominador. 
÷ 20,475 Cálculo do prazo. 
Resposta: 20,48 meses. 
Exercícios resolvidos 
1) Um capital de $1.000,00 aplicado a juros compostos com taxa de 10% ao 
mês, produziu um montante de $1.610,51. Calcule o prazo da aplicação. 
Dados: P = $1.000,00; S = 1.610,51, i = 10% a.m. = 0,1 a.m.; n = ? 
Resolução pela fórmula: 
𝑛 =
𝐿𝑁
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝐿𝑁(1 + 𝑖)
 → 𝑛 =
𝐿𝑁
1.610,51
1.000,00
𝐿𝑁(1 + 0,1)
=
𝐿𝑁1,61051
𝐿𝑁1,1
=
0,4765
0,0953
= 5 
Resolução com a HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
1610,51ENTER 1.610,51 Inclusão do montante (S). 
1000 ÷ 1,61051 Inclusão do capital (P). 
g LN 0,476551 Cálculo do LN do numerador. 
1,1 g LN 0,95310 Cálculo do LN do denominador. 
÷ 5,00 Cálculo do prazo. 
Resposta: O prazo da aplicação é de 5 meses. 
2) Uma aplicação de $4.000,00 a 2,5% a..m. depois de alguns meses 
produziu um valor de resgate de $4.873,61. Calcule o tempo dessa operação. 
Dados: P = 4.000,00; S = 4.873,61; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.; n = ? 
𝑛 =
𝐿𝑁
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝐿𝑁(1 + 𝑖)
 → 𝑛 =
𝐿𝑁
4.873,61
4.000,00
𝐿𝑁(1 + 0,025)
=
𝐿𝑁1,21840
𝐿𝑁1,025
=
0,1975
0,02469
= 8 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
PauloNacaratti (organizador) 14 
 
Resolução com a HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
4873,61 ENTER 4.873,61 Inclusão do montante (S). 
4000 ÷ 1,2184 Inclusão do capital (P). 
g LN 0,1975 Cálculo do LN do numerador. 
1 ENTER 0,025 + 0,0247 Cálculo do LN do denominador. 
g LN ÷ 8,00 Cálculo do prazo. 
Com as funções financeiras da HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
4000 CHS PV 4.000 Inclusão do valor presente (P). 
4873,61 FV 4.873,61 Inclusão do montante (S). 
2,5 i 2,50 Inclusão da taxa (i). 
n 8,00 Cálculo do prazo (n). 
Resposta: O tempo da operação é de 8 meses. 
3) Um capital de $2.000,00 aplicado a taxa de juros compostos de 1,5% ao 
ano, produziu um montante de $ 2.075,85. Calcule o prazo dessa aplicação. 
Dados: P = 2.000,00; S = 2.075,85 i = 1,5% a.a.; n = 2,5 anos 
𝑛 =
𝐿𝑁
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝐿𝑁(1 + 𝑖)
 → 𝑛 =
𝐿𝑁
2.075,85
2.000,00
𝐿𝑁(1 + 0,015)
=
𝐿𝑁1,0379
𝐿𝑁1,015
=
0,0372
0,0149
= 2,5 
Com as funções financeiras da HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
2000 CHS PV 2.000 Inclusão do valor presente (P). 
2075,85 FV 2.075,85 Inclusão do montante (S). 
1,5 i 1,50 Inclusão da taxa (i). 
n 3,00 
Cálculo do prazo (n). O prazo foi 
arredondado para mais. 
Como se pode ver, o valor do prazo calculado pelas funções financeiras da 
HP arredondou o valor para mais (3 anos). Por isso devemos priorizar a fórmula. 
Com ajuda da HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
2075,85 ENTER 2.075,85 Inclusão do montante (S). 
2000 ÷ 1,0379 Inclusão do capital (P). 
g LN 0,0372 Cálculo do LN do numerador. 
1 ENTER 0,015 + 1,015 Cálculo do LN do denominador. 
g LN ÷ 2,50 Cálculo do prazo. 
O valor exato do prazo (igual ao valor da fórmula). Por isso que se deve 
priorizar o cálculo do prazo por meio da fórmula. 
Resposta: O prazo da aplicação é de 2,5 anos. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 15 
 
A comparação entre os exercícios resolvidos 2 e 3 mostra que se o prazo for 
um período de tempo inteiro a HP apresentará o resultado correto, mas caso 
contrário ela arredonda para mais e apresenta um resultado que não corresponde a 
situação estudada. 
Exercícios propostos 
1) Em quanto tempo uma aplicação de $500,00 gera um montante de 
$580,00? Considere que essa aplicação foi remunerada a 5,83% a.m. 
Resposta: O prazo será igual a 2,62 meses. 
2) Em que prazo um empréstimo de $30.000,00 pode ser quitado em um 
único pagamento de $51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao 
mês? 
Resposta: n = 11 meses. 
3) Hoje o valor de uma dívida contraída em um financeira é de $4.236,00. 
Sabendo que o valor devido originalmente era de $3.450,00 e que foi cobrada uma 
taxa de juros de 2,3067% a.m., quantos meses se passaram até que a dívida 
atingisse seu valor atual? 
Resposta: n = 9 meses. 
4) Um consumidor comprou um aparelho à vista por 449,80. O mesmo bem 
poderia ser pago algum tempo depois por $600,00. A loja opera com uma taxa de 
5% a.m. Qual o prazo disponibilizado pela loja para tal pagamento? 
Resposta: n = 5,9 meses 
5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor 
se aplicado a 3,755% ao mês? 
Resposta: n = 11 meses 
6) No fim de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, 
quadruplica seu valor: 
a) No regime de capitalização composta; 
b) No regime de capitalização simples. 
Respostas: a) 35,35 meses b) 75 meses. 
7) Certa aplicação rede 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá 
receber o dobro da sua aplicação? 
Resposta: n = 308 dias aproximadamente. 
8) Em que prazo um capital de $18.000,00 acumula um montante de 
$83.743,00 à taxa efetiva de 15% a.m.? 
Resposta: n = 11 meses 
9) A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a. Se os juros 
ganhos forem de $27.473 sobre um capital investido de $83.000, quanto tempo o 
capital ficará investido? 
Resposta: n = 3 anos 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 16 
 
10) Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio 
capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% a.m.? 
Resposta: n = 14,21 meses aproximadamente (14 meses e 6 dias) 
Cálculo da Taxa 
Exemplo: Uma aplicação de $1.000,00 durante 5 meses gerou um montante 
de $1.610,51. Calcule a taxa de juros da aplicação. 
Dados: P = 1.000,00; S = 1.610,51; n = 5 meses, i = ? 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
1.610,51 = 1.000(1 + 𝑖)5 
1.610,51
1.000
= (1 + 𝑖)5 
(
1.610,51
1.000
)
1/5
= ((1 + 𝑖)5)1/5 
(
1.610,51
1.000
)
1/5
= 1 + 𝑖 
𝑖 = (
1.610,51
1.000
)
1/5
− 1 
𝑖 = 0,1 𝑎. 𝑚. = 10% 𝑎. 𝑚. 
Também pode ser calculada pela seguinte fórmula: 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
𝑆
𝑃
= (1 + 𝑖)𝑛 
(
𝑆
𝑃
)
1/𝑛
= ((1 + 𝑖)𝑛)1/𝑛 
(
𝑆
𝑃
)
1/𝑛
= 1 + 𝑖 
𝑖 = (
𝑆
𝑃
)
1/𝑛
− 1 
Com HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpa a memória. 
1000 CHS PV – 1.000,00 Inclusão do capital. 
1610,51 FV 1.610,51 Inclusão do montante. 
5 n 5,00 Inclusão do período. 
i 10,00 Cálculo da taxa. 
Resposta: i = 10% a..m. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 17 
 
Exercícios resolvidos 
1) Determine a taxa de juros compostos mensal cobrada por um banco em 
um empréstimo no valor de $600.000,00, por 8 meses, cujo valor final pago foi de 
$1.025.000,00. 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 → 1.025.000 = 600.000(1 + 𝑖)8 →
1.025
600
= (1 + 𝑖)8 
 
(
1.025
600
)
1/8
= ((1 + 𝑖)8)1/8 → (
1.025
600
)
1/8
= 1 + 𝑖 → (
1.025
600
)
1/8
− 1 = 𝑖 
𝑖 = 0,0692𝑎. 𝑚. = 6,92% 𝑎. 𝑚. 
Com HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpa a memória. 
600000 CHS PV – 600.000,00 Inclusão do capital. 
1.025.000FV 1.025.000,00 Inclusão do montante. 
8 n 8,00 Inclusão do período. 
i 6,92 Cálculo da taxa. 
 
2) Uma aplicação de $1.000,00 gera em 5 meses um montante de $1.610,51. 
Determine o valor da taxa? 
Dados: S = 1.610,51; P = 1.000,00; n = 5 meses; i = ? 
𝑖 = (
𝑆
𝑃
)
1/𝑛
− 1 → 𝑖 = (
1.610,51
1.000,00
)
1
5
− 1 
𝑖 = 0,1 𝑎. 𝑚. = 10% 𝑎. 𝑚. 
Com HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpa a memória. 
1000 CHS PV – 1000,00 Inclusão do capital. 
1610,51 FV 1.610,51 Inclusão do montante. 
5 n 5,00 Inclusão do período. 
i 10,00 Cálculo da taxa. 
Resposta: A taxa da aplicação é 10% a.m. 
Exercícios propostos 
1) O saldo final de uma aplicação de $800,00 é de $1.200,00 após 7 meses. 
Calcule a taxa de juros dessa aplicação. 
Resposta: i = 5,963% a.m. 
2) O valor de $670,00 deveria ser pago por um empréstimo de $550,00 após 
dois meses. Qual o valor da taxa de juros cobrada nesse empréstimo? 
Resposta: i = 10,371% a.m. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 18 
 
3) Uma aplicação de $3.200,00 em um fundo de ações foi resgatada um ano 
depois. O valor disponível para resgate foi de $5.750,00. Qual a taxa média mensal 
de rendimento apurada nessa operação? 
Resposta: i = 5,005% a.m. 
4) Uma pessoa investiu $80.000,00 hoje para receber $507.294,46 no final de 
dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse investimento. 
Respostsa: i = 8% a.m. e i = 151,817% a.a. 
5) A que taxa de juros um capital pode ser resgatado, no final de 17 meses, 
pelo dobro do seu valor? 
Resposta: i = 4,162% 
6) A aplicação de $400.000,00 proporcionou um resgate de $610.461,56 no 
final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. 
Respostas: i = 7,3% a.m. e i = 132,91% a.a. 
7) A aplicação de $380.000,00 proporcionou um rendimento de $240.000,00 
no final de 208 dias. Determinar as taxas diárias, mensal, trimestral e anual de juros. 
Respostas: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t. e i = 133,33% a.a. 
8) Uma pessoa deixou de pagar sua fatura do cartão de crédito no valor de 
$540,00. Após um ano e meio a administradora informou-lhe que o valor devido era 
de $4.796,06. Calculea taxa mensal cobrada pela administradora do cartão nesse 
período. 
Resposta: i = 12,90% a.m. 
9) Hoje você aplica $4.150,00 em um banco. Após 4 meses, o valor 
acumulado é de $4.672,00, e 7 meses à frente o valor está em $4.940,00. a) Calcule 
a taxa média do primeiro período; b) Calcule a taxa média de rendimento do 
segundo período; c) Calcule a taxa média de toda a operação. 
Respostas: a) i = 3,006%; b) i = 0,8% a.m.; c) i = 1,597% a.m. 
10) A que taxa um capital aplicado por 14 meses e 6 dias gera um rendimento 
igual ao próprio capital? 
Resposta: i = 5,00 a.m. 
Taxas equivalentes 
Vamos começar a estudar as taxas equivalentes a partir de alguns exemplos: 
Exemplo 1: Calcule o montante produzido por uma aplicação de um capital de 
$100,00 por um ano a taxa de juros compostos de 213,84% ao ano? 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 
213,84 i 213,84 
1 n 1,00 
FV 313,84 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 19 
 
Exemplo 2: Calcule o montante produzido ao final de 12 meses por um capital 
de $100,00, a uma taxa de 10% ao mês. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 
10 i 10,00 
12 n 12,00 
FV 313,84 
 
Exemplo 3: Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de 
$100,00 pelo prazo de 1 ano, a taxa de 21% ao bimestre. 
Nesse exemplo a taxa e o prazo não estão na mesma unidade de tempo. 
Vamos converte o prazo de meses para bimestres: 1 ano = 12 meses = 6 bimestres. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 
21 i 21,00 
6 n 6,00 
FV 313,84 
 
Nesses três exemplos os montantes produzidos são iguais. Eles foram 
produzidos a partir do mesmo capital, em um mesmo intervalo de tempo, mas com 
taxas diferentes. Em situações como essas dizemos que as taxas são 
equivalentes. 
Definição: Duas ou mais taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre o 
mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo montante. 
De acordo com a definição as taxas de 213,84% ao ano, 10% ao mês e 21% 
ao bimestre são equivalentes. 
Agora vamos estudar como calcular taxas equivalentes. 
Importante: o período de tempo deve ser o mesmo. Em vários casos serão 
necessários ajustes nos períodos de tempo (n). 
Primeiro vamos estudar a partir da fórmula de juros compostos. Se uma 
taxa mensal é equivalente a uma taxa anual, pela definição podemos dizer que: 
𝑃(1 + 𝑖𝑚)
12 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎) 
Nessa fórmula i e n devem estar na mesma unidade de tempo, então na 
expressão da taxa mensal o expoente é 12 e no da taxa anual o expoente e 1. 
(1 + 𝑖𝑚)
12 = (1 + 𝑖𝑎) 
Essa igualdade já permite que se calcule a taxa equivalente, pois uma das 
duas taxas já é conhecida. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 20 
 
Exemplo: Qual a taxa anual equivalente à taxa de 10% ao mês? 
(1 + 0,1)12 = (1 + 𝑖𝑎) 
Obs.: 12 meses = 1 ano (mesmo intervalo de tempo). Taxa mensal com 
expoente 12 (meses) e taxa anual com expoente 1 (ano). 
(1,1)12 = (1 + 𝑖𝑎) 
(1,1)12 − 1 = 𝑖𝑎 
𝑖𝑎 = (1,1)
12 − 1 = 2,1384 𝑎. 𝑎. 
𝑖𝑎 = 2,1384 × 100 = 213,84% 𝑎. 𝑎. 
Uma forma de calcular bem simples é combinando a fórmula com a HP. 
Começando pela fórmula 
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
Suponha que o capital a ser aplicado seja igual a 1 (P = 1), então teremos: 
𝑆 = (1 + 𝑖)𝑛 
Como i e n são conhecidos calcula-se S de forma direta. Mas também já 
estudamos que: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 =
𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
= 𝑖 =
𝐽
𝑃
 
Da igualdade S = P + J, obtemos J = S – P. Como P = 1, então J = S – 1. 
Agora vamos substituir na fórmula: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 =
𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
= 𝑖 =
𝐽
𝑃
=
𝑆 − 1
1
= 𝑆 − 1 
Então se P = 1, a taxa procurada será i = S – 1. 
Voltando ao exemplo, qual a taxa anual equivalente à taxa de 10% ao mês? 
Vamos passar de taxa mensal para anual. 
Capital a ser investido (ou valor 
presente) 
P = 1,00 
Como queremos calcular a taxa 
anual equivalente, vamos aplicar o 
capital durante 1 ano. 
1 ano = 12 meses, n = 12 
Montante produzido em 1 ano 
(queremos calcular a taxa anual) 
S = (1 + i)n → S = (1 + 0,1)12 
S = (1,1)12 → S = 3,1384 
Cálculo da taxa equivalente: i = S – 1. i = 3,1384 – 1 = 2,1384 a.a. 
Taxa na forma percentual i = 2,1384 × 100 = 213,84% a.a. 
 
Confirmando a equivalência entre as taxas! 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 21 
 
Operações na HP: 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,1 + 1,10 
12 Yx 3,1384 Cálculo de S = (1+i)12 (montante em 12 meses). 
1 – 2,1384 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 213,84 Taxa na forma percentual. 
 
Ao continuar o desenvolvimento de 
(1 + 𝑖𝑚)
12 = (1 + 𝑖𝑎) 
Também é possível encontrar a seguinte fórmula prática. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
Voltando ao exemplo: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,1)
360
30 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,1)12 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 213,84% 𝑎. 𝑎. 
As funções financeiras da HP também podem ajudar no cálculo das taxas 
equivalentes. Nesse método informamos o Capital, o Montante e o prazo na unidade 
de tempo da taxa desejada e pedimos para calcular qual é a taxa desse período. 
No nosso exemplo temos que calcular a taxa anual equivalente à taxa de 10% 
ao mês. Vamos supor que P = 100 para calcular a taxa equivalente. 
Capital a ser investido (ou valor 
presente) 
P = 100 
Montante produzido em 1 mês 
(período unitário da taxa 
informada). 
S = 100 + 10% de 100 
S = 100 + 0,1 × 100 = 100 + 10 
S = 110 
Como queremos calcular a taxa 
anual equivalente, vamos ajustar 
o tempo para ano. 
1 mês = 1/12 ano , n = 1/12 
Equação (lembre-se que i e n 
devem estar na mesma unidade 
de tempo). 
110 = 100(1 + i)1/12 
 
Com esta equação vamos incluir os dados na calculadora 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 22 
 
Então os dados do problema serão: 
P = 100; S = 110; n = 1/12 ano e i = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 Inclusão de P na convenção do fluxo de caixa. 
100 ENTER 100,00 
Cálculo e inclusão do Montante S. 
10 + FV 110,00 
12 1/x n 0,08333 Inclusão do prazo. 
i 213,84 Cálculo da taxa na forma percentual. 
 
Confirmando a equivalência entre as taxas! 
Exemplo 1: Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 213,84% ao ano? 
Com a fórmula: 213,84% a.a. = 2,1384 a.a. 
(1 + 𝑖𝑚)
12 = (1 + 2,1384) 
Nessa fórmula i e n devem estar na mesma unidade de tempo, então na 
expressão da taxa mensal o expoente é 12 e no da taxa anual o expoente e 1. 
(1 + 𝑖𝑚)
12 = 3,1384 
((1 + 𝑖𝑚)
12)1/12 = 3,13841/12 
1 + 𝑖𝑚 = 3,1384
1/12 
𝑖𝑚 = 3,1384
1/12 − 1 
𝑖𝑚 = 0,09999𝑎. 𝑚. = 0,1𝑎. 𝑚. 
𝑖𝑚 = 0,1𝑎. 𝑚.× 100 = 10% 𝑎. 𝑚. 
Com a fórmula S = (1+i)n e a HP. 
Devemos expressar n na mesma unidade de tempo da taxa informada. Nesse 
exemplo é ano. 
Dados: P = 1; n = 1 mês = 1/12 ano (a taxa informada é anual); i = 213,84% 
a.a. = 2,1384 a.a. 
S = (1 + 2,1384)1/12 (montante produzido em 1 mês). E a taxa será i = S – 1. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
2,1384 + 3,1384 
12 1/x Yx 1,0999 Cálculo de S = (1+ 2,1384)1/12. 
1 – 0,0999 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 9,99 Taxa na forma percentual. 
 
Resposta: A taxa equivalente é 10% a.m. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 23 
 
Com a fórmula prática. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = [(1 + 2,1384)
30
360 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = [(1 + 2,1384)
1
12 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 9,99 % 
Taxa = 10% a.m. 
Com as funções financeiras da HP. 
Sabemos que 213,84% a.a. = 2,1384 a.a. e fazendo P = 100; 
S = 100 + 213,84% × 100 = 313,84; n = 1 ano = 12 meses. 
Equação: 313,84 = 100(1 + i)12. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 Inclusão de P na convenção do fluxo de caixa. 
100 ENTER 100,00 
Cálculo e inclusão do Montante S. 
213,84 + FV 313,84 
12 n 12,00 Inclusão do prazo. 
i 9,99 Cálculo da taxa na forma percentual. 
Resposta: A taxa equivalente é 10% a.m. 
 
Exemplo 2: Qual a taxa anual equivalente a 21% ao bimestre? 
1 ano = 6 bimestres 
(1 + 0,21)6 = (1 + 𝑖𝑎) 
(1,21)6 = (1 + 𝑖𝑎) 
(1,21)6 − 1 = 𝑖𝑎 
𝑖𝑎 = 2,1384 𝑎. 𝑎. 
Multiplicando por 100: 
𝑖𝑎 = 213,84% 𝑎. 𝑎. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 24 
 
Com a fórmula S = (1+i)n e a HP. 
P = 1, i = 21% a.b. = 0,21 a.b.; n = 6 bimestres (pois queremos o montante em 
1 ano) e S = (1 + 0,21)6. E a taxa procurada será i = S – 1 = (1 + 0,21)6 – 1. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,21 + 1,21 
6 Yx 3,1384 Cálculo de S = (1 + 0,21)6. 
1 – 2,1384 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 213,84 Taxa na forma percentual. 
 
Resposta: A taxa equivalente é 213,84% a.a. 
 
Com a fórmula prática. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,21)
360
60 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1,21)6 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 213,84% 𝑎. 𝑎. 
Com as funções financeiras da HP. 
Sabemos que 21% a.b. = 0,21 a.b. e fazendo P = 100; 
S = 100 + 21% × 100 = 121 em 1 bimestre; n = 1 bimestre = 1/6 ano (ajustar 
para unidade de tempo desejada). 
A equação será 121 = 100(1 + i)1/6. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 Inclusão de P na convenção do fluxo de caixa. 
100 ENTER 100,00 
Cálculo e inclusão do Montante S. 
21 + FV 121,00 
6 1/x n 0,16667 Inclusão do prazo. 
i 213,84 Cálculo da taxa na forma percentual. 
 
Resposta: A taxa equivalente é 213,84% a.a. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 25 
 
Exercícios resolvidos 
1) Determinar a taxa anual equivalente a 1% ao mês nos regimes de 
capitalização simples e composta. 
Capitalização simples: as taxas são proporcionais. 
1% ao mês é equivalente a 12% ao ano 
Capitalização composta: 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 0,01)
12 = 1,0112 
𝑖𝑎 = 1,01
12 − 1 = 1,1268 − 1 
𝑖𝑎 = 0,1268 𝑎. 𝑎. = 12,68%𝑎 . 𝑎. 
Com a fórmula S = (1+i)n e a HP. 
S = (1 + 0,01)12. A equação descreve o montante obtido em 1 ano = 12 meses 
e a taxa informada é mensal (n = 12). 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
1 ENTER 1,00 
0,01 + 1,01 
12 Yx 1,1268 
1 – 0,1268 
100 × 12,68 
Resposta: a taxa equivalente é de 0,1268 a.a. ou 12,68% a.a. 
Com a fórmula prática. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,01)
360
30 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,01)12 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 12,68% 𝑎. 𝑎. 
Com as funções financeiras da HP. 
S = 100 + 0,01×100 = 101,00 é o montante em 1 mês e 1 mês = 1/12 ano. 
100,01 = 100(1 + i)1/12. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 
100 ENTER 100,00 
1 + FV 101,00 
12 1/x n 0,0833 
i 12,68 
 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 26 
 
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 
Como 1 ano = 12 meses 
(1 + 0,60103) = (1 + 𝑖𝑚)
12 
(1,60103) = (1 + 𝑖𝑚)
12 
(1,60103)1/12 = ((1 + 𝑖𝑚)
12)1/12 = 1 + 𝑖𝑚 
(1,60103)1/12 − 1 = 𝑖𝑚 
𝑖𝑚 = 0,03999 𝑎. 𝑚. 
𝑖𝑚 = 0,04 𝑎. 𝑚. = 4% 𝑎. 𝑚. 
Com a fórmula prática. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,60103)
30
360 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1,60103)
1
12 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3,99% 𝑎. 𝑚. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 4% 𝑎. 𝑚. 
Com as funções financeiras da HP. 
P = 100 e S = 100 + 60,103% de 100 = 160,103 e n = 12 (12 meses = 1 ano). 
160,103 = 100(1 + i)12. A equação descreve o montante obtido em 1ano, mas 
1 ano = 12 meses (ajuste para a unidade de tempo desejada). 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 
100 ENTER 100,00 
60,103 + FV 160,103 
12 n 12 
i 4,00 
 
Combinando fórmula e HP: 
S = (1 + 0,60103)1/12. A equação descreve o quanto será o montante em 1 
mês, mas 1 mês = 1/12 ano. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
1 ENTER 1,00 
0,60103 + 1,60103 
12 1/x Yx 1,04 
1 – 0,04 
100 × 4,00 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 27 
 
Conclusão: a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano e 4%. 
 
3) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano. 
Por regra de três: 
1 ano = 360 dias 
n = 183 dias 
360n = 183 
n = 183/360 
Vamos fazer 183 dias = z (183 dias não é “padronizado”), então a expressão 
para z tem n = 1 (1 período de 183 dias é igual a z). 
(1 + 𝑖) = (1 + 0,65)183/360 
(1 + 𝑖) = (1,65)183/360 
𝑖 = (1,65)183/360 − 1 = 0,2899 𝑝𝑎𝑟𝑎 183 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Multiplicando por 100: 
𝑖 = 28,99% 𝑝𝑎𝑟𝑎 183 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Com a fórmula prática. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,65)
183
360 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1,65)
183
360 − 1] × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 28,99% 𝑝𝑎𝑟𝑎 183 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Combinando fórmula e HP: 
S = (1 + 0,65)183/360. A equação descreve o montante obtido em 183 dias. 
Ajustando para ano, mesma unidade de tempo da taxa: 183 dias = 183/360 ano 
(ajustar por regra de três). A taxa equivalente será i = S – 1. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
1 ENTER 1,00 
0,65 + 1,65 
183 ENTER 183,00 
360 ÷ Yx 1,2899 
1 – 0,2899 
100 × 28,99 
Taxa equivalente: i = 28,99% para 183 dias. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 28 
 
Com as funções financeiras da HP. 
P = 100 e S = 100 + 65% de 100 = 165 e n = 360/183 ano (aproximadamente 
1,96 períodos de 183 dias). 
165 = 100(1 + i)360/183. A equação descreve o montante obtido em um período 
de 183 dias, mas 183 dias = 360/183 anos. 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
100 CHS PV – 100,00 
100 ENTER 100,00 
65 + FV 165,00 
360 ENTER 183,00 
183 ÷ n 1,9672 
i 28,99 
Conclusão: A taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano é de 28,99% 
Exercícios propostos 
 
1) Um banco cobra 8% ao mês pelo uso do cheque especial de determinado 
tipo de cliente. Calcule a taxa anual equivalente. 
Resposta: i = 151,82% a.a. 
2) A caderneta de poupança paga em média1,2% ao bimestre. Calcule a taxa 
anual. 
Resposta: i = 7,42% a.a. 
3) Determine as seguintes equivalências de taxas: 
a) A taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
b) A taxa anual equivalente a 0,19442 ao dia. 
Respostas: a) i = 26,82% a.a. b) 101,22% a.a. 
4) Determine as seguintes equivalências de taxas: 
a) A taxa trimestral equivalente a 47,746% em 2 anos; 
b) A taxa anual equivalente a 1% à quinzena. 
Respostas: a) i = 5% a.t. b) i =26,97% a.a. 
5) Determine as seguintes equivalências de taxas: 
a) A taxa para 491 dias equivalente a 5% ao mês; 
b) A taxa para 27 dias equivalente a 13% ao trimestre. 
Respostas: a) 122,23% em 491 dias; b) 3,73% para 27 dias. 
6) Um capital foi aplicado a 2% ao mês por 4 anos e meio. Calcule qual será 
seu rendimento percentual em todo o período. 
Resposta: i = 191,35% 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 29 
 
7) A rentabilidade de determinado fundo foi de 0,79% a.m. Qual a taxa 
semestral equivalente? 
Resposta: i = 4,83% a.s. 
8) Uma pessoa aplicou $1.000,00 e resgatou $1.977,98 depois de 8 anos. 
Qual foi a taxa de rendimento anual? 
Resposta: i = 8,90 a.a. 
9) Um renomado instituto divulgou que a inflação no Brasil em 2004 foi de 
aproximadamente 6,5% ao ano. Qual foi a inflação mensal? 
Resposta: i = 0,5262% a.m. 
10) A aplicação de $380.000,00 proporcionou um rendimento de $240.000,00 
no final de 208 dias. Determinar as taxas diárias, mensal, trimestral e anual de 
juros. 
Resposta: 0,24% a.d.; 7,32% a.m.; 23,59 a.t.; 133,33 a.a. 
 
Desconto composto 
É o desconto em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor 
futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. 
Utilização rara. 
O valor líquido (P) de um título é calculado pela expressão: P = S(1 – d)n. 
Onde: 
P é o valor líquido; 
S é o valor do título; 
d é a taxa de desconto; e 
n é o número de períodos unitários (prazo). 
A taxa de desconto (d) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de 
tempo. O prazo é mais fácil de alterar. 
Exemplo: Uma duplicata no valor de $28.800,00, com 120 dias para o seu 
vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito 
de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do 
desconto concedido. 
Dados: S = 28.800,00; d = 2,5% a.m = 0,025 a.m.; n = 120 dias e P = ? 
Observação: d e n não estão na mesma unidade de tempo. Como o prazo é 
mais fácil de transformar, vamos transformar n de dias para meses (unidade de 
tempo da taxa). Então n = 120 dias = 4 meses. 
 P = S(1 – d)n = 28.800(1 – 0,025)4 = 26.026,21 (Valor líquido) 
Desconto: D = 28.800 – 26.026,21 = 2.773,79 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 30 
 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
28800 ENTER 28.800,00 Inclusão do valor do título. 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,025 – 0,975 
4 Yx 0,9036 
× 26.026,21 Cálculo do valor líquido (P). 
STO 1 26.026,21 Armazenando no registrador 1. 
28800 ENTER 28.800,00 Inclusão do valor do título. 
RCL 1 – 2.773,79 Cálculo do desconto (D). 
 
Exercícios propostos 
1) Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, 
produzindo um desconto no valor de $1.379,77. Calcular o valor nominal do título. 
Resposta: S = 15.800,00 
2) Uma empresa descontou um título no valor de $67.300,00, com 51 dias de 
prazo, recebendo um crédito em conta no valor de $61.680,12. Calcular a taxa 
mensal de desconto cobrada pelo banco. Resposta: 5% ao mês. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 31 
 
Comparação entre juros simples e juros compostos 
Vamos estudar a comparação entre juros simples e juros compostos supondo 
que dois capitais de $1.000,00 cada um, sejam aplicados a uma taxa de 2% ao mês, 
uma a juros simples e o outro a juros compostos. 
Os montantes produzidos ao final de diversos prazos estão representados no 
gráfico a seguir. 
 
Já estudamos que no regime de capitalização simples o capital cresce a uma 
taxa linear enquanto que no regime de capitalização composta o capital cresce 
exponencialmente em função do tempo. 
O gráfico apresenta esses comportamentos e vamos fazer a comparação 
considerando três situações: 
Situação 1: Para prazos inferiores a 30 dias. Nessa situação o montante a 
juros simples é maior que a juros compostos. 
Situação 2: Quando o prazo é igual a 30 dias. Os montantes são iguais (no 
nosso exemplo em $1.020,00). Quando o prazo é igual ao período unitário da taxa 
de juros (30 dias = 1mês) os montantes são iguais. Ver onde os gráficos se cruzam. 
Situação 3: Para prazos superiores a 30 dias. Os montantes a juros 
compostos são maiores que a juros simples e essa diferença aumenta conforme o 
prazo aumenta. 
Essa análise pode ser generalizada para qualquer capital inicial de aplicação 
e para qualquer taxa de juros para qualquer período. 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 32 
 
A tabela a segui mostra as diferenças numéricas da comparação e apresenta 
os valores com três casas decimais apenas para mostrar com um pouco mais de 
precisão a diferença entre os montantes produzidos. 
Prazo 
(dias) 
Montante 
Juros 
simples 2% 
ao mês 
Montante 
juros 
compostos 
2% ao mês 
 
Prazo 
(dias) 
Montante 
Juros 
simples 2% 
ao mês 
Montante 
juros 
compostos 
2% ao mês 
0 1.000,000 1.000,000 31 1.020,667 1.020,674 
1 1.000,667 1.000,660 32 1.021,333 1.021,347 
2 1.001,333 1.001,321 33 1.022,000 1.022,022 
3 1.002,000 1.001,982 34 1.022,667 1.022,697 
4 1.002,667 1.002,644 35 1.023,333 1.023,372 
5 1.003,333 1.003,306 36 1.024,000 1.024,048 
6 1.004,000 1.003,968 37 1.024,667 1.024,724 
7 1.004,667 1.004,631 38 1.025,333 1.025,401 
8 1.005,333 1.005,295 39 1.026,000 1.026,078 
9 1.006,000 1.005,958 40 1.026,667 1.026,755 
10 1.006,667 1.006,623 41 1.027,333 1.027,433 
11 1.007,333 1.007,287 42 1.028,000 1.028,112 
12 1.008,000 1.007,953 43 1.028,667 1.028,790 
13 1.008,667 1.008,618 44 1.029,333 1.029,470 
14 1.009,333 1.009,284 45 1.030,000 1.030,150 
15 1.010,000 1.009,950 46 1.030,667 1.030,830 
16 1.010,667 1.010,617 47 1.031,333 1.031,510 
17 1.011,333 1.011,285 48 1.032,000 1.032,191 
18 1.012,000 1.011,952 49 1.032,667 1.032,873 
19 1.012,667 1.012,621 50 1.033,333 1.033,555 
20 1.013,333 1.013,289 
21 1.014,000 1.013,958 
22 1.014,667 1.014,628 
23 1.015,333 1.015,298 
24 1.016,000 1.015,968 
25 1.016,667 1.016,639 
26 1.017,333 1.017,310 
27 1.018,000 1.017,982 
28 1.018,667 1.018,654 
29 1.019,333 1.019,327 
30 1.020,000 1.020,000 
 
 
 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 33 
 
Apêndice: Introdução ao uso da HP 12C. 
Para ligar ou desligar a calculadora pressione a tecla ON. 
Indicação de bateria fraca: um asterisco pisca no canto inferior esquerdo do 
visor. 
Configuração do número de casas decimais: pressionar a tecla f e o 
número de casas decimais desejada. Se você quiser trabalhar com duas casas 
decimais digite f 2. Se quiser aumentar para três casas decimais digite f 3. 
 
 
A tecla amarela f ativa as funções “douradas” que estão escritas acima das 
teclas. Observe que no visor aparecerá uma pequena letra f abaixo dos números 
digitados indicando que a tecla foi pressionada. 
A tecla azul g ativa as funções azuis que estão escritas abaixo das teclas. 
Observe que no visor aparecerá uma pequena letra g abaixo dos números digitados 
indicando que a tecla foi pressionada. 
Configuração para vírgula: ligar a calculadora com a tecla ponto (tecla ao 
lado do zero) pressionada. 
A calculadora mostrará no visor qual a configuração atual e que será a 
configuração padrão de utilização. Para mudar a configuração, basta repetir o 
procedimento de configuração. 
Entrada de dados pelo Sistema RPN (Reverse Polish Notation – notação 
polonesa reversa). Os dados são introduzidos e, em seguida, pressiona-se a tecla 
[ENTER]. É simples e rápido. 
Pilha Operacional: Os dados são “empilhados” na memória. 
Vamos ver de forma bem simples e intuitiva como “empilhamos” na HP12C. O 
conhecimento sobre a pilha ajuda muito o estudante aentender a execução das 
operações na calculadora. 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 34 
 
Exemplo: Calcular 3 + 4  5. Para calcular o valor da expressão, você deve 
seguir os passos indicados pela coluna da esquerda da tabela abaixo. 
Digitar/Teclar Visor 
3 ENTER 3 
4 ENTER 4 
5 5 
Esta sequência de operações cria uma pilha com a seguinte configuração: 
Pilha 
5 (visor) 
4 
3 
Observe que a última entrada (5) está no alto da pilha (como se você 
estivesse empilhando livros, por exemplo) e aparece no visor da calculadora. 
Para calcular a expressão siga os passos indicados pela coluna da esquerda 
da tabela abaixo. 
Digitar/Teclar Visor 
 20 (5  4) 
+ 23 (20 + 3) 
Primeiro foi indicada a multiplicação, a calculadora vai multiplicar os dois 
elementos mais altos da pilha. O resultado da multiplicação fica no alto da pilha e os 
números multiplicados são excluídos. Vamos ver como isso reorganizou a pilha. 
Pilha 
20 (visor) 
3 
Ao teclar + a calculadora completa o cálculo com os elementos que estão na 
pilha (20 + 3) e o resultado é mostrado no visor (23). 
Funções. 
Algumas teclas da HP12C executam três funções diferentes. 
1. Branca (normal ou principal) 
2. Amarela (ativadas pela tecla [f]) 
3. Azul (ativadas pela tecla [g]) 
Corrigir os dados de entrada – limpeza do visor. 
A tecla CLx permite corrigir os dados de entrada. Apenas os dados do visor 
são apagados. 
Trocar o sinal de um número. 
Pressionar a tecla CHS (Change Sign). Com a tecla CHS trocamos o sinal de 
um número de positivo para negativo e vice versa. 
Apagar a memória – limpeza da memória. 
Para apagar todas as memórias ao mesmo tempo, exceto a de 
programação, pressionar f e, em seguida, CLx (REG) (executando a função clear reg 
– limpa registradores). 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 35 
 
Para apagar os registros financeiros pressionar f e, em seguida, X><Y 
(FIN). 
Essas limpezas são feitas antes dos exercícios com o objetivo de garantir que 
a memória da calculadora fique completamente vazia e prevenir erros em 
consequência de valores armazenados na memória de outros problemas resolvidos. 
Operações aritméticas. 
Adição: 
2 + 3 = ? 
Teclas Visor 
2 ENTER 2 
3 + 5 
Use a tecla CLx para apagar o visor/mostrador. 
Subtração: 
5 – 3 = 2 
Teclas Visor 
5 ENTER 5 
3 – 2 
 
Multiplicação: 
7 × 8 = ? 
Teclas Visor 
7 ENTER 7 
8 × 56 
 
Divisão: 
9 ÷ 2 = ? 
Teclas Visor 
9 ENTER 9 
2 ÷ 4,5 
Potenciação: yx 
25 = ? 
Teclas Visor Comentários 
2 ENTER 2 
Indicar primeiro a base e depois o expoente. 
5 yx 32 
 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 36 
 
813/5 = ? 
Para esse cálculo, combine a operação de potenciação com a de divisão. A 
calculadora executa a operação entre os dois últimos números digitados ou 
calculados encontrados na memória. 
Teclas Visor Comentários 
81 ENTER 81 
3 ENTER 3 
5 ÷ 0,6 Calculou 3 ÷ 5 = 0,6 (o expoente de 81). 
yx 13,97 81 elevado a 0,6 é igual 13,97. 
Observe que 81 foi digitado e 0,6 foi calculado. Mas como são os dois 
números disponíveis na memória, a HP12C calculou a operação indicada por yx. 
Para utilizar a HP12C é preciso prestar atenção na ordem em que os números 
são digitados e incluídos na memória. 
Raiz quadrada: 
Para calcular a raiz quadrada o usuário deve pressionar a tecla g (azul) e em 
seguida a tecla √𝑥 (ver a tecla y
x). Observe que ao pressionar a tecla g, uma 
pequena letra g aparecerá no visor abaixo dos números digitados. 
 √49 = ? 
Teclas Visor 
49 ENTER 49 
g √𝑥 7 
 
Inverso de um número: 
½ = ? 
Teclas Visor 
2 1/x 0,5 
 
Raiz cúbica: 
Para esta operação lembre-se da seguinte propriedade: √27
3
= 271/3 . 
Repita o procedimento para raízes com índice maior que 2. 
 √27
3
= ? 
Teclas Visor Comentários 
27 ENTER 27 
3 1/x 0,333 Calculou o inverso de 3 (1/3 = 0,333...) 
yx 3 27 elevado a 1/3 é igual a 3. 
 
 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 37 
 
 √32
5
=? (√32
5
= 321/5) 
Teclas Visor Comentários 
32 ENTER 32 
5 1/x 0,2 Calculou o inverso de 5 (1/5 = 0,2) 
yx 2 32 elevado a 1/5 é igual a 2. 
 
Armazenamento e recuperação 
São dois recursos oferecidos pela calculadora que pode ser de grande 
utilidade em algumas ocasiões. O armazenamento, feito com a tecla STO, é a 
inclusão de um valor em um registrador de memória numerado. A recuperação, feita 
com a tecla RCL. Ao apertar a tecla RCL você consegue ver o conteúdo de um 
registrador. 
Exemplo: Resolva a seguinte expressão 
(2,1 + 1,82 × 0,4) + (√81 – 3,2) = ? 
Teclas Visor 
2,1 ENTER 2,1 
1,8 ENTER 1,8 
2 yx ENTER 3,24 
0,4 × 3,40 
STO 1 3,40 Valor armazenado no registrador 1. 
Essa sequência de operações calcula o valor de (2,1 + 1,82 × 0,4) e armazena 
o seu valor (3,40) no registrador 1. 
Teclas Visor 
81 g √𝑥 9 
ENTER 9 
3,2 – 5,80 
STO 2 5,80 Valor armazenado no registrador 2. 
Essa sequência de operações calcula o valor de (√81 – 3,2) e armazena o 
seu valor (5,80) no registrador 2. 
Teclas Visor 
RCL 1 3,40 Recupera o conteúdo do registrador 1. 
RCL 2 5,80 Recupera o conteúdo do registrador 2. 
+ 9,20 Soma os dois últimos valores recuperados. 
Essa sequência recupera os conteúdos dos registradores 1 e 2 e calcula o 
resultado da expressão (3,40 + 5,80 = 9,20). 
Você pode utilizar até 20 registradores de armazenamento. 
Porcentagem do total 
 Exemplo 1: Um aluno acertou 150 questões das 200 que resolveu. Calcule 
seu aproveitamento. 
Teclas Visor 
200 ENTER 200 
150 %T 75 
Matemática Financeira Básica com HP12C – Juros e Capitalização Composta. 
Paulo Nacaratti (organizador) 38 
 
O aluno acertou 75% do total de questões. Aproveitamento de 75%. 
Aproveitamento = 
150
200
× 100 = 75. 
Exemplo 2: Um prestação no valor de R$ 94,00 foi paga com um desconto de 
2%. Qual o valor do desconto? Qual o valor pago? 
Teclas Visor 
94 ENTER 94 
2 % 1,88 Valor do desconto (2% de 94) 
– 92,12 Valor pago (94 – 1,88 = 92,12) 
Desconto de R$1,88 e valo pago R$92,12. 
Outra resolução 
Teclas Visor 
94 ENTER 94 
98 % 92,12 Valor pago (98% de 94) 
Se o desconto foi de 2%, o cliente pagou 98% do total. 
Valor do descont0 = 94 – 92,12 = 1,88. 
Exemplo 3: Uma mercadoria que custa $100,00 é vendida com lucro de 15%. 
Qual o preço de venda? 
Teclas Visor Comentários 
100 ENTER 100 
15 % 15 Cálculo do lucro 
+ 115 Preço de venda 
 
Variação porcentual 
As vendas de uma importadora que eram de R$ 53.905,00 baixaram para R$ 
23.451,00. Qual a variação porcentual? 
Teclas Visor 
53905 ENTER 53.905 
23451 ∆% – 56,50 
Uma diminuição (variação negativa) de 56,50% nas vendas em relação ao 
mês anterior. 
∆% =
53.905 − 23.451
53.905
=
30.454
53.905
= 0,5650 = 56,50% 
Logaritmo 
Calcular o logaritmo neperiano de 1,728. 
Teclas Visor 
1,728 g LN 0,55 
f 5 0,54696 
 
 
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Paulo Nacaratti (organizador) 39 
 
Funções de Calendário 
As teclas D.MY e M.DY (estão em azul abaixo das teclas dos números 4 e 5 
respectivamente) definem o formato das datas e a ordem de sua apresentação: 
D.MY- DIA, MÊS, ANO (ver tecla do número 4). 
M.DY – MÊS, DIA, ANO (ver tecla do número 5). 
Use as teclas g D.MY para definir o formato usado no Brasil. 
Essas letras aparecerão no visor da calculadora ao final da operação. 
A tecla ΔDYS (acima da tecla ENTER) calcula o número de dias decorridos 
entre duas datas. 
Aplicação: Calcular o número de dias decorridos entre os dias 1 de julho e 31 
de julho de 2012. 
Teclas Visor 
1.072012 ENTER 1,072012 
31.072012 31,072012 
g ΔDYS 30 
Resposta: 30 dias. 
Observação: a entrada de dados referente às datas deve obedecer à ordem 
cronológica, caso contrárioo resultado será mostrado com sinal negativo. 
 
Referências Bibliográficas 
Gimenes, Cristiano Marchi. Matemática financeira. 2.ed. São Paulo: Prentice 
Hall, 2009. 
Pinto, Andrew Carvalho. Matemática Financeira com a HP12C – São Paulo: 
Barros Fischer & Associados: Clio Editora, 2010. 
Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de 
Investimentos – São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
Tosi, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000: 
aplicável também às versões 5.0, 7.0, 97, 2002 e 2003. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 
2008. 
Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7a. edição. São Paulo: 
Atlas, 2010. 
Vieira Sobrinho, José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C: 
Tradicional/Platinum/Prestige. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 2008. 
HP 12C calculadora financeira: guia do usuário. 5ª. edição.