APX1 -C2-2020-2 GabaritoModelo

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX1 – Cálculo II – 2/2020. Prova Questionário 
GABARITO DE UMA PROVA 
 
Observação: Neste gabarito as 5 questões foram escolhidas aleatoriamente, as demais questões são 
resolvidas de forma análoga. 
 
 
Questão 1 (2,0 pontos) Seja R a região limitada pelas duas curvas: 
24 0y x− − = e 
2 0y x− − = . Calcule a área da região R . 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas após a vírgula) 
 
Solução 
Considere-se 
2 2 24 0 4 ( 4)y x y x y x− − =  − = −  = − − que é uma parábola 
aberta para a esquerda que tem o seu vértice no ponto (4,0) e se 0 2x y=  = ± . Logo (0,2) e 
(0, 2)− são pontos de interseção da parábola com o eixo y. Por outro lado 2 0y x− − = é uma 
reta que corta os eixos coordenados em ( 2,0) e (0,2)− . Resolvendo o sistema 
2
2 0
4 0
y x
y x
− − =

− − =
 
temos que (0,2) e ( 5, 3)− − são os pontos de interseção das duas curvas. Veja a Figura 1. 
 
 
Figura 1 
Para calcular a área da região observe-se que se consideramos x em função de y a região R pode ser 
descrita como =R { }2( , ) / . 3 2, 2 4x y y y x y− ≤ ≤ − ≤ ≤ − . Assim 
2
2
3
(4 ) ( 2)A y y dy
−
 = − − − 
22 3 2
2
33
8 27 9
6 6 12 2 18
3 2 3 3 2
y y
y y dy y
−−
    
 = − − = − − = − − − − + −    
   
 
8 9 8 9 114 16 27 125
10 9 19 20,83
3 2 3 2 6 6
− +   
= − − − − = − + = = ≈   
   
 unidades de área. 
 
Cálculo II APX1 - GABARITO 2/2020 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos) Seja 
3
2
3
1
( ) 2 4 3 ( )
x
H x t H t dt
x
 ′= + −
  , onde 0x > . Calcule (3)H ′ . 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas após a vírgula) 
 
Solução 
Considere-se 
3
2
3
1
( ) 2 4 3 ( )
x
H x t H t dt
x
 ′= + −
  . Então 
3 3
2 3
3 3
1 2
( ) 2 4 3 ( ) 2 4 3 ( )
x x
H x t H t dt t H t dt
x x
′          ′ ′ ′= + − + + − −               
  . 
Aplicando a 1ª parte do TFC temos: 
 
{ }3 32 3
3
1 2
( ) 2 4 3 ( ) 2 4 3 ( )
x
H x x H x t H t dt
x x
   ′ ′ ′= + − − + −    
 
Assim 
{ }
3
3 3
3
0
1 2
(3) 2 4 3 3 (3) 2 4 3 ( )
9 27
H H t H t dt
 
   ′ ′ ′= + − − + −  
 
  

�����������
. 
Isto é 
1
9 (3) 2 4 27 3 (3) 12 (3) 2 31 (3) 31
6
H H H H′ ′ ′ ′= + −  =  = 
Ou seja 
5,57
(3) 0,93
6
H ′ ≈ ≈ . 
 
Questão 3 (2,0 pontos) Calcule ( )
4
2
4
1
6
5
x x dx
−
+ − . 
 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas após a vírgula) 
 
Solução 
 
( ) ( ) ( )
4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 1 1
6 6 6
5 5 5
x x dx x x dx x x dx
− − −
+ − = + − = + −   
 
Vamos estudar então o comportamento de ( )( )2( ) 6 2 3f x x x x x= + − = + − 
Lembre-se que 
2 2
2
2 2
6 6 0
6
(6 ) 6 0
x x se x x
x x
x x se x x
 + − + − ≥
+ − = 
− + − + − <
 
Cálculo II APX1 - GABARITO 2/2020 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 3 
 
 
2
2
2
6 (2 )(3 ) 0
6
6 (2 )(3 ) 0
x x se x x
x x
x x se x x
 + − + − ≥
+ − = 
− − + − <
 
 
 2x−∞ < < − 2 3x− < < 3 x< < +∞ 
 (2 )x+ − + + 
 (3 )x− + + − 
(2 )(3 )x x+ − − + − 
 
Logo 
2( ) 6f x x x= + − =
2
2
6 2 3
6 2 3
x x se x
x x se x ou x
 + − − ≤ ≤

− − < − >
 
Assim 
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 3 4
2 2 2 2
4 4 2 3
1 1
6 6 6 6
5 5
x x dx x x dx x x dx x x dx
−
− − −
  
+ − = − − + + − + − − 
  
    
 
( )
2 3 44 3 2 2 3 3 2
2
4 2 34
1 1
6 6 6 6
5 5 3 2 2 3 3 2
x x x x x x
x x dx x x x
−
− −−
       
+ − = − − + + − + − −      
       
 
 
1 8 64 9 8 64 9
2 12 8 24 18 9 12 2 8 24 9 18
5 3 3 2 3 3 2
109
7,27
15
            
= − − + − − − + + + − − − + + + − − − − − =            
            
= ≈
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) Calcule 
32
3
1
dx
x x+ . 
 
(A resposta deve ser dada na forma decimal com duas casas após a vírgula) 
 
Solução 
Considere-se a substituição 
3 23 3u x x u dx u du=  =  = . Por outro lado, fazendo a 
mudança nos limites de integração temos que se 
31 1 1x u=  = = , e se 
38 8 2x u=  = = . 
28 2 2 22 2
2
3 2 23
11 1 1 1
3 3 2 3
3 ln 1
( 1) 2 ( 1) 2
dx u du u du u du
u
u u u u ux x

= = = = + =+ + ++    
 
[ ]2 2
3 3
ln 2 1 ln 1 1 ln 5 ln 2 1,37
2 2
 = + − + = − ≈  . 
 
 
Cálculo II APX1 - GABARITO 2/2020 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 4 
 
Questão 5 (2,0 pontos) Calcule 
2
7
1
ln
100
x
dx
x . 
(A resposta deve ser dada em forma decimal com duas casas após a vírgula) 
 
Solução 
 
Usaremos integração por partes para resolver a integral 
 
Seja 
7 6
100
100ln
1 1
6
u x du dx
x
dv dx v
x x

=  =

 =  = −

 
 
�
22 2 2
7 7 6 7
11 1 1
ln 1 100ln 100
100 100ln .
6 6
u
dv
x x
dx x dx dx
x x x x

= = − +  ���
( ) ( )
2
6 6 6 6
1
6
6
100ln 100 100ln 2 100 100
6 36 6.2 36.2 36
100. 6ln 2 1 2 25. 6ln 2 63
2,55
36.2 576
x
x x
     
= − − = − − + =     
     
+ − − −
= − = ≈