Lista de Exercícios - Revisão Matemática

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Universidade Positivo 
Cursos de Engenharia Elétrica e Engenharia da Computação 
Disciplina: Sinais e Sistemas I Prof. Solivan Valente 
 
Lista de Exercícios – Revisão Matemática 
 
Matemática Básica e Funções 
1. Faça e racionalização das seguintes expressões: 
 a) 
1
√5
 b) 
2
1 + √3
 c) 
5
√7 + √2
 d) 
√3
√5+2
 
 e) 
1
√3 − √2
 f) 
1 − √3
√5 − √3
 g) 
√3 + √5
√3− √5
 h) 
√7
√7 + 1
 
2. Dadas as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 e 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙 − 𝝓), calcule o que se pede: 
 a) 𝑓(3) + 𝑓(−2) b) 𝑔(𝜋/4) para 𝜙 = 𝜋/6 c) 𝑓(𝑔(𝜋/2)) para 𝜙 = 𝜋/3 
 d) 𝑔(𝜋) para todo 𝜙 e) 𝑓(𝑔(−180𝑜)) para todo 𝜙 f) 𝑔(𝑓(0)) para todo 𝜙 
3. Desenhe os gráficos dos sinais abaixo em escala, indicando todos os pontos notáveis. 
 a) 𝑓(𝑡) = 2. cos (4𝑡) b) 𝑔(𝑡) = 3. 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 − 𝜋/4) c) ℎ(𝑡) = −5. cos(2𝑡 + 𝜋/6) 
 d) 𝑖(𝑡) = 8. 𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 𝜋/3) e) 𝑗(𝑡) = −10. cos(10𝑡 − 30𝑜) f) 𝑘(𝑡) = 3𝜋. 𝑠𝑒𝑛(5𝜋𝑡 − 𝜋/17) 
 g) 𝑚(𝑡) = 127√2. cos[2𝜋60(𝑡 + 0,0125)] h) 𝑛(𝑡) = 220√2. sen[2𝜋50(𝑡 − 0,01)] 
 i) 𝑝(𝑡) = 3. 𝑠𝑒𝑛(5𝑡 + 𝜋/3) + 4. cos(5𝑡 − 𝜋/4) j) 𝑞(𝑡) = 12. 𝑐𝑜𝑠2(2𝜋. 100𝑡) 
4. Sobre os sinais do Exercício 3, responda: 
 a) Quais são os deslocamentos temporais dos sinais dos itens (a) a (f)? 
 b) Quais são os deslocamentos angulares (em graus e em radianos) dos sinais dos itens (g) e (h)? 
c) Quais são as frequências em hertz (Hz) dos sinais dos itens (a) a (h)? 
d) Os sinais dos itens (i) e (j) são monotônicos? Se sim, quais são suas frequências em hertz (Hz)? 
Números Complexos e Funções Complexas 
5. Faça as conversões dos números complexos abaixo para a forma polar 𝒛 = |𝒛|. 𝒆𝒋𝜽𝒛 : 
a) 3 + 𝑗5 b) −2 + 𝑗4 c) −3 − 𝑗2 d) 2 − 𝑗3 
e) 1 + 𝑗10 f) −5 + 𝑗5 g) 2. 10−3 + 𝑗. 3. 10−3 h) − cos (
𝜋
4
) − 𝑗. 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) 
 
6. Faça as conversões dos números complexos abaixo para a forma retangular 𝒛 = 𝒂 + 𝒋. 𝒃 : 
 a) 5. 𝑒𝑗
𝜋
4 b) 3. 𝑒𝑗
2𝜋
3 c)−10. 𝑒𝑗
𝜋
2 d) −7. 𝑒−𝑗
𝜋
4 
 e) −1,5. 10−6. 𝑒𝑗
𝜋
10 f) 12. 𝑒−𝑗
7𝜋
6 g) 8. 𝑒
𝑗(
𝜋
4
+
𝜋
3
)
 h) 2. 𝑒−𝑗𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
i) 𝑒𝑗
𝜋
4 + 𝑒−𝑗
𝜋
2 j) 𝑒−𝑗
𝜋
6 − 𝑒−𝑗𝜋 k) 
𝑒𝑗𝜋
𝑒
𝑗
𝜋
4
 l) −3. 𝑒−𝑗
𝜋
3 (
1
𝑒
𝑗
𝜋
4
) 
m) 
𝑒
−𝑗
𝜋
3 − 𝑒
−𝑗
𝜋
2
𝑒
𝑗
𝜋
3
 n) 
𝑒
𝑗
𝜋
8
𝑒
−𝑗
𝜋
8
 o) 𝑒−𝑗
𝜋
3 + 𝑒𝑗
𝜋
3 p) 𝑒−𝑗
𝜋
6 − 𝑒𝑗
𝜋
6 
7. Represente todos os números complexos dos Exercícios 5 e 6 no plano complexo. 
8. Dados os números complexos 𝒙 = 𝟔 + 𝒋𝟖, 𝒚 = −𝟐 + 𝒋𝟑, 𝒛 = −𝟏 − 𝒋 e 𝒘 = 𝟏𝟎 − 𝒋𝟐𝟎, realize as operações 
matemáticas conforme indicado: 
 a) 𝑥 + 𝑦 b) 𝑧 − 𝑤 c) 𝑧. 𝑥 d) 
𝑤
𝑦
 
 e) 
𝑥.𝑦
𝑧
 f) 
𝑦
𝑥+𝑧
 g) 
𝑥+𝑦
𝑧−𝑤
 h) 
𝑥2+𝑦
𝑤
 
9. Dados os números complexos 𝒙 = 𝟏𝟎. 𝒆𝒋
𝝅
𝟒, 𝒚 = 𝟓. 𝒆𝒋
𝟐𝝅
𝟑 , 𝒛 = 𝟖. 𝒆−𝒋
𝟓𝝅
𝟔 e 𝒘 = 𝟏𝟐. 𝒆−𝒋
𝝅
𝟔, realize as operações 
matemáticas conforme indicado: 
 a) 
𝑥
𝑦
 b) 𝑦. 𝑧 c) −
𝑧
𝑤
 d) 𝑥. (−𝑤) 
e) 
𝑥𝑦
𝑤
 f) 
𝑤𝑥
𝑦2
 g) 
𝑤𝑥𝑦
𝑧
 h) 
−𝑥𝑧
𝑦𝑤
 
10. Desenhe os gráficos de módulo e de fase das funções complexas abaixo, em função de 𝝎: 
 a) 𝐴(𝜔) = 2 + j𝜔 b) 𝐵(𝜔) = 𝜔 c) 𝐶(𝜔) = −𝑗 (
𝜔
2
) 
 d) 𝐷(𝜔) =
1
1−𝑗𝜔
 e) 𝐸(𝜔) =
5
1+𝑗𝜔
 f) 𝐹(𝜔) =
𝜔
2+𝑗𝜔
 
g) 𝐺(𝜔) =
1+𝑗𝜔
1−𝑗𝜔
 h) 𝐻(𝜔) =
𝑗𝜔
4−𝑗𝜔
 i) 𝐼(𝜔) =
𝑗𝜔
3+𝑗𝜔
 
j) 𝐽(𝜔) =
𝜔2
1+𝑗𝜔
 k) 𝐾(𝜔) = 2 + j𝜔2 l) 𝐿(𝜔) =
𝑗𝜔2
7−𝑗𝜔
 
m) 𝑀(𝜔) = |𝜔| n) 𝑁(𝜔) = j|𝜔| o) 𝑂(𝜔) = 𝜔 − 𝑗 
11. Calcule as seguintes integrais: 
a) ∫(2𝑥 + 𝑗𝑥2)𝑑𝑥 b) ∫(1 − 𝑗2)𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 c) 
1
𝑗
∫ (
𝑥3
3
) 𝑑𝑥 
 d) ∫ (1 +
3
𝑗
) cos(100𝑥)𝑑𝑥 e) ∫ [cos(4𝑧) + 𝑗. 𝑠𝑒𝑛(5𝑧)]𝑑𝑧
𝜋
0
 f) ∫ 𝑒−𝑗3𝜃𝑑𝜃
𝜋/2
0