Estatística - Aula 10

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
TEOREMA DE BAYES E FUNÇÃO BINOMIAL
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Olá!
Nesta aula, você irá:
1. Entender a Independência de eventos.
2. Conhecer o Teorema de Bayes.
3. Entender a Função de Probabilidade Binomial.
1 Independência de eventos
Um evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade
condicional de A dado B, isto é, se
p(A) = p(A/B)
Exemplo 1
Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com
reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.
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Exemplo 2
Seja = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável. São dados esses três eventos de:
A = {1, 2}
B = {1, 3}
C = {1, 4}
Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
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Portanto, os eventos A, B e C são independentes.
2 Teorema de Bayes
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Exemplo
Suponha a seguinte situação:
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso.
Verificou-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo:
a) Da urna 2?
Solução a):
Neste tipo de processo, que se realiza a temperatura constante, as moléculas do gás que, inicialmente, ocupam
um volume V1, empurram o êmbolo até atingir o equilíbrio, onde passam a ocupar o volume V2.
Observe que neste caso V2 que é o volume final é maior que V1 que é o volume inicial.
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b) Da urna 3?
Solução b):
3 Experimentos Binomiais
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois
resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de futebol ao bater uma penalidade máxima, por exemplo,
das duas, uma: ou ele marca o gol ou não. Experimentos probabilísticos como esse são chamados binomiais.
Um experimento binomial é uma experiência probabilística que precisa preencher os seguintes requisitos:
1 O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras.
2 Há dois resultados possíveis de interesse em cada tentativa, que podem ser classificados como sucesso (S) ou
fracasso (F).
3 A probabilidade de um sucesso (S) Pé a mesma em cada tentativa.
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4 A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso.
Vamos adotar a seguinte notação para experimentos binomiais:
Exercício 1:
Escolha uma carta de um baralho comum e verifique se seu naipe é ouros ou não e recoloque-a no baralho.
Repita a experiência cinco vezes.
Assim, n = 5.
Os resultados para cada tentativa podem ser classificados em duas categorias:
S = tirar uma carta de ouros
F = tirar uma carta de outro naipe.
As probabilidades de sucesso e fracasso são:
A variável aleatória x representa o número de vezes em que a carta de ouros foi tirada em cinco tentativas.
Portanto, os valores possíveis da variável aleatória são: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Por exemplo, se x = 2, então exatamente duas das cinco cartas são de ouros, enquanto as outras três são de outro
naipe.
Exercício 2:
Um determinado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Esse procedimento é realizado em dez
pacientes. Determine se o experimento é binomial. Se sim, especifique os valores de n, p e q e enumere os valores
possíveis da variável aleatória x.
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4 Probabilidades Binomiais
Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucesso em n tentativas em um experimento binomial.
Uma delas é a fórmula da probabilidade binomial.
Exercício 1
Um dado honesto é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente o número 6 uma única vez.
Solução:
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Exercício 2
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Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez
é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a
distribuição binomial de probabilidade:
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Entendeu a Independência de eventos
• Conheceu o Teorema de Bayes
• Entendeu a Função de Probabilidade Binomial
Saiba mais
Para esta aula sugiro as seguintes tarefas:
 Leitura do Capítulo 2 do livro: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros
Autor: Douglas C Montgomery e George C Runger
Ano 2009, 4a Edição
LTC Editora
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	Olá!
	1 Independência de eventos
	2 Teorema de Bayes
	3 Experimentos Binomiais
	4 Probabilidades Binomiais
	CONCLUSÃO