Teoria dos Números I

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UNIVERSIDADE METROPOLITANA DE SANTOS
Núcleo de Educação a Distância
MATEMÁTICA
TEORIA DOS NÚMEROS I
Créditos e Copyright	
 
Di Pinto,  Marco Antonio.
Teoria dos Números I.  .Marco Antonio Di Pinto . Santos: Núcleo de Educação a Distância da UNIMES, 2015. p. (Material didático. Curso de Matemática).
Modo de acesso: www.unimes.br
1. Ensino a distância.  2. Matemática.   3. Criptografia
CDD 500
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Sumário
Aula 01_ Operações	10
Aula 02_Múltiplos e Divisores de um Inteiro	14
Aula 03_Recordando Temas Importantes	17
Aula 04_Falando em Conjuntos	24
Aula 05_Tábuas de Operações I	28
Aula 06_Tábuas de Operações II	33
Aula 07_Fixando a Unidade I	37
Resolução dos exercícios – Unidade I	39
Resumo da Unidade	49
Aula 08_Relações	51
Aula 09_Propriedades das Relações	57
Aula 10_ Explorando Relações	61
Resumo da Unidade	66
Aula 11_Relações de Equivalência	69
Aula 12_Classes de Equivalência	72
Aula 13_Fixando a Unidade II	75
Respostas dos exercícios da Unidade II	77
Aula 14_Relações de Ordem	84
Aula 15_Diagrama de Hasse	89
Aula 16_Ordenações e Precedências - Máximo, Maximal, Mínimo e Minimal	93
Aula 17_Aplicações do Diagrama de Hasse	96
Aula 18_Exercícios para Fixação	99
Aula19_Fixando a Unidade III	101
Aula 20_Divisão em Z	105
Aula 20A - A ideia do lote	110
Aula 21_Congruência Módulo M	112
Resumo da Unidade	118
Respostas dos exercícios da Unidade III	120
Aula 22_Grupos	128
Aula 23_Trabalhando com Grupos Finitos – Tábuas de Operações	136
Aula 24_Números Inversos Multiplicativos Módulo M	142
Aula 25_Fixando a Unidade IV	145
Resumo da Unidade	146
Respostas dos exercícios - Unidade IV	148
Aula 26_Codificando uma Mensagem	154
Aula 27_Decodificando uma Mensagem	160
Resolução do Exercício 01, aula 27	165
Aula 28_Matrizes Inversíveis (mod m)	166
Aula 29_Teorema de Bezout	169
Aula 30_Trabalhando com Grupos Infinitos	175
Aula 31_Exercícios para Fixação	180
Aula 32_Fixando a Unidade V	182
Resolução dos exercícios – Unidade V	184
Resumo da Unidade	190
Aula Inaugural
Seja bem-vindo!
Você, que está iniciando Teoria dos Números, deve estar perguntando como trabalharemos.
Nossa disciplina tem o objetivo de tentar respondera uma das perguntas mais frequentes no Ensino Fundamental e no Ensino Médio: Para que aprender a Álgebra?
Para tentar responder a esta pergunta, disponibilizarei a você uma série de ferramentas que adicionadas umas as outras irão criar um ambiente promissor, permitindo-nos explorar situações presentes, da vida moderna à criptografia.
Ao longo de nossa jornada irei convidá-lo, através de uma linguagem simples, com pouco formalismo, a atingir este objetivo.
Eventuais sugestões e críticas, sejam pela omissão ou pelo detalhamento contínuo de algum assunto, serão sempre bem aceitas.
Um grande abraço
Aula 01_ Operações
Hoje, falaremos sobre Operações Numéricas. Para isto, precisamos relembrar alguns conjuntos numéricos básicos, porém primordiais! 
Vamos lá!
Abaixo, vamos rever os conjuntos numéricos mais utilizados nas operações numéricas:
NATURAIS
É o conjunto formado por todos os números inteiros maiores ou iguais a zero.
IN = {0, 1, 2, 3,...} 
INTEIROS
Todo número natural é inteiro, isto é, IN é um subconjunto de 
= {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
RACIONAIS
É o conjunto formado por todos os números da forma com a e b pertencentes a , e com b0, ou seja, . São exemplos de racionais: os números naturais, os inteiros, os decimais exatos (como: ) e os decimais não exatos e periódicos (como: ). 
IRRACIONAIS
É o conjunto formado por todos os números não racionais. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os números decimais não exatos e não periódicos. 
 - Q = {}
São exemplos de irracionais os números: , , e.
REAIS
É o conjunto formado por todos os números inteiros e ou decimais.
São exemplos de números reais: = {..., -37; -3/4; 0; ... ; 8,12; ; ...}
Resumindo:
Agora que revisamos estes conhecimentos, gostaria de levantar a seguinte questão:
Se “operarmos” dois elementos quaisquer de um determinado conjunto, o resultado desta operação será sempre um elemento deste próprio conjunto?
Para responder a esta questão devemos introduzir a notação (A, *). Esta simbologia receberá o nome de estrutura algébrica. 
Uma Estrutura Algébrica é um conjunto, aqui representado pela letra maiúscula A munido (que dispõe, contém) de no mínimo uma operação (aqui simbolizado pelo asterisco *).
Desta forma, ao se deparar com a simbologia (IN, +) você estará diante da seguinte situação:
Pense em todos os elementos do conjunto dos naturais. Será que ao escolhermos dois elementos quaisquer deste conjunto e efetuarmos a operação adição entre eles, o resultado será sempre um número natural?
De fato, e então , ou seja, a adição é uma operação em IN.
Podemos então formalizar o que é operação 
Dado um conjunto A não vazio, toda aplicação f: A x A A recebe o nome de operação sobre A, ou ainda, uma lei de composição interna em A. 
Exercícios resolvidos
1) Verifique se a subtração em IN representa uma operação (Elabore uma resposta estruturada).
Resposta: Para “provar” que a subtração em IN não representa uma operação basta encontrar um contraexemplo no qual elementos do conjunto operados com elementos do mesmo conjunto possuem como resultante um elemento não pertencente ao conjunto.
Veja: 
Para a = 3 e b = 8, temos que a – b = 3 – 8 = - 5, cujo resultado não pertence aos naturais. 
2) Verifique se a potenciação em Z* representa uma operação.
Resposta: Para “provar” que a potenciação em Z* não representa uma operação basta encontrar um contraexemplo. 
Veja: 
Para a = 3 e b = -2; com a e b pertencentes a Z* temos que ab, ou seja, 3-2 = que não pertence a Z*.
Exercícios propostos:
Verifique se as situações abaixo são operações:
Questão 01: A potenciação em IN.
Questão 02: A adição em Q.
Questão 03: A divisão em IN.
Questão 04: A divisão em Q.
Chegamos ao final de nossa primeira aula! Como você se saiu? Tente resolver os exercícios, sozinho. Caso tenha alguma dúvida, entre em contato comigo e com os tutores através do nosso Ambiente Virtual de Aprendizagem. 
No final desta unidade você encontra a resolução de todos os exercícios, porém, evite consultá-los antes de tentar resolvê-los. 
Vemo-nos na próxima aula! 
Até breve!
Aula 02_Múltiplos e Divisores de um Inteiro
Hoje vamos aprender um pouco mais sobre o Conjunto dos Múltiplos de um Inteiro. Para isto é importante que não tenha restado nenhuma dúvida a respeito da aula passada.
CONJUNTO DOS MÚLTIPLOS DE UM INTEIRO
Seja a um número inteiro. Chamamos de M(a) o conjunto formado por todos os números inteiros que são múltiplos de a. 
Desta forma, se a = 2, temos: 
M(2) = {0, 2, 4, 8, 10,...}
Repare que o (– 8) é múltiplo de 2, pois existe o (– 4) , tal que – 8 = (- 4) . 2
Para a = - 5, temos: 
M(- 5) = {0, 5, 10, 15,...}
Consequências imediatas:
· M(a) = M(-a)
· M(0) = {0}
· Para todo a inteiro, temos que: {0, a, -a} é um subconjunto de M(a)
CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO
Seja b um número inteiro. Chamamos de D (b) o conjunto formado por todos os números inteiros que são divisores de b. 
Desta forma, se b = 8, temos:
D(8) = {1, 2, 4, 8}
Repare que o (- 2) é divisor de 8, pois 8 dividido por (- 2) = (- 4) Z
Para b = - 12, temos: 
D(-12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Repare que o (- 2) é divisor de (- 12), pois (-12) dividido por (- 2) = 6 Z, ou ainda, com uma outra linguagem (- 2) . 6 = 12
Consequências imediatas:
· 
Para todo b0 o conjunto dos divisores de b está compreendido entre –b e b, o que significa que oconjunto dos divisores de b possui um número finito de elementos.
· D(b) = D(-b)
· 
Para todo b inteiro, temos que: {1, b} é um subconjunto de D(b)
· Todos os inteiros com exceção do zero, são divisores de zero; ou seja, D(0) = Z*
Exercícios:
Questão 01: 
Escreva o conjunto dos múltiplos dos inteiros abaixo.
a) M(3)
b) M(-7) 
Questão 02:
Complete:
a) Sabemos que -9 é múltiplo de 3; pois existe _______ tal que -9 = _______
b) Sabemos que 20 é múltiplo de -2, pois existe______ tal que 20 = _______
Questão 03:
Escreva o conjunto dos divisores dos inteiros abaixo:
a) D(15)
b) D(20)
Concluímos mais alguns aprendizados na aula de hoje, não é mesmo? Nada melhor do que aplicá-los através dos exercícios. Desta forma eliminamos de uma só vez todas as dúvidas. 
Até a próxima aula!
Aula 03_Recordando Temas Importantes
Na aula de hoje estaremos recordando alguns temas importantes, para facilitarmos e darmos continuidade aos nossos estudos.
MÁXIMO DIVISOR COMUM DE DOIS INTEIROS
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. Chamamos de máximo divisor comum de a e b o inteiro positivo d que atende as seguintes condições:
· d é divisor de a e d é divisor de b
· 
Se existir um c tal que c seja divisor de a e b então c d.
Observe que a primeira condição nos mostra que d é um divisor comum de a e b, ao passo que a segunda condição nos mostra que se existir um outro divisor comum de a e b, este divisor é menor ou igual ao próprio d, pois d é máximo. 
Para compreendermos melhor como resolver o MDC, vamos ver uns exemplos:
1) Calcule o mdc (8, -12).
Resposta:
Primeiro método: 
Listamos os conjuntos D(8) e D(-12)
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (-12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Em seguida, identificamos que o maior divisor comum (positivo) é o 4, ou seja, mdc(8, -12) = 4.
Segundo método: 
Lembrando que os D(-12) = D(12) vamos nos utilizar do algoritmo de Euclides. O algoritmo de Euclides consiste numa sucessão de divisões até que se encontre um resto nulo. Na primeira linha da tabela devem ser colocados os quocientes das divisões efetuadas, e na terceira linha os restos destas mesmas divisões.
Como queremos calcular o mdc(8, -12) colocamos em, primeiro lugar, na segunda linha da tabela o número de maior módulo e efetuamos a divisão de 12 por 8, como mostra o esquema abaixo:
	
	
	
	
	12
	8
	
	
	
	
	
	
Agora colocamos o 1 que é o primeiro quociente na primeira linha da tabela acima do 8 e o 4 que é o primeiro resto na terceira linha da tabela abaixo do 12
	
	1
	
	
	12
	8
	
	
	4
	
	
	
Em seguida transportamos o 4 para segunda linha de forma a efetuar a divisão indicada. 
	
	1
	
	
	12
	8
	4
	
	4
	
	
	
Colocamos o quociente e o resto em seus respectivos lugares da tabela. 
	
	1
	2
	
	12
	8
	4
	
	4
	0
	
	
Quando o resto obtido for nulo o processo termina indicando como mdc dos valores fornecidos o último número da segunda linha, em outras palavras, o mdc(8, -12) = 4.
Observação: o indicado é que você utilize sempre deste segundo método no cálculo do mdc, pois se trata de uma ferramenta mais eficaz no decorrer do curso. 
2) Calcule o mdc(54,17)
	
	3
	5
	1
	2
	54
	17
	3
	2
	1
	3
	2
	1
	0
	
Resposta: o mdc (54,17) = 1
Consequências imediatas:
· o mdc(a,1) = 1 
· o mdc(0, 0) não existe
· o mdc(a, b) quando existe, é único.
· o mdc(a, b) com a e b primos entre si é 1
Observação: A ideia de mdc definido para dois inteiros estende-se a vários inteiros, cuja aplicação quando se fizer necessária será exposta.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE DOIS INTEIROS
Sejam a e b dois inteiros não nulos. Chamamos de mínimo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m que atende as seguintes condições: 
m é múltiplo de a, e m é múltiplo de b
se existir um g positivo que seja múltiplo de a e b então o mg
A primeira condição nos mostra que m é múltiplo de a e b, ao passo que a segunda condição nos indica que se existir um outro múltiplo de a e b; m é menor ou igual que este, pois m é mínimo. Podemos afirmar também que o mmc(a, b) existe e é sempre único.
Como sempre, vamos ver uns exemplos para ilustrar nosso conceito de MMC.
Calcule o mmc(12, 18) 
Resposta:
Primeiro método:
Listamos o conjunto M(12) e dos M(18)
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48,...}
M(18) = {0, 18, 36, 54,...}
Como podemos perceber o menor múltiplo positivo comum é o 36, então mmc(12, 18) = 36.
Segundo método:
Efetuamos a fatoração simultânea de 12 e 18
	12, 18
	2
	6, 9
	2
	3, 9
	3
	1, 3
	3
	1, 1
	36
Observação: Use, de preferência ao segundo método para o calcular o mmc.
Calcular o mmc(-14, 21). 
Resposta:
Como M(-14) = M(14) então o mmc(-14, 21) = mmc(14,21)
	14, 21
	2
	7, 21
	3
	7, 7
	7
	1, 1
	42
Observação: A ideia de mmc definido para dois inteiros estende-se a vários inteiros, cujos exemplos quando se fizerem necessários serão expostos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
QUESTÃO 01
Calcule o mdc dos itens abaixo
a) mdc(20, 37)
b) mdc(15, -13)
c) mdc(26, -28)
QUESTÃO 02
Calcular o mmc dos itens abaixo
a) mmc(20,12)
b) mmc(16,9)
c) mmc(7,1)
Se você estiver com alguma dúvida ou dificuldade em resolver os exercícios propostos, não deixe de nos perguntar, através do nosso ambiente virtual de aprendizagem.
Aula 04_Falando em Conjuntos
Nesta aula, vamos estudar sobre Conjuntos. Vamos lá!
Conjunto das Partes
Imagine a seguinte situação: Você dispõe de uma mesa, um sofá e uma poltrona; e é chamado para ajudar na reorganização destes móveis numa sala. De quantas maneiras você pode ajudar a os deslocar?
Existem 8 maneiras. 
Você pode deslocar apenas a mesa, apenas o sofá ou apenas a poltrona, o que totaliza 3 opções. Poderia deslocar todos os móveis de uma só vez ou nenhum deles, o que gera mais duas opções; ou ainda participar do deslocamento da mesa e do sofá, da mesa e da poltrona ou do sofá e da poltrona; o que geraria outras três opções. 
Por menos adequada que pareça a situação proposta, tem o intuito de ajudar na conceituação de conjunto das partes. 
Definição: Seja A = {m, n, p}; chamamos de conjunto das partes de A e indicamos por P(A), o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
P(A) = 
Podemos dizer também que o número de elementos do conjunto das partes de A é sempre 2n. 
Desta forma se A possui 3 elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A é 23 = 8. 
Partição de um Conjunto
Definição: Seja A um conjunto não vazio. Uma partição de A, ou ainda, uma partição sobre A, é um conjunto formado de subconjuntos não vazios; disjuntos dois a dois, cuja união é o próprio A. 
1) Seja P uma das possíveis partições de um conjunto A. Assim: 
P = {{m,n}, {p}, {q, r, s, t}} é uma partição do conjunto A = {m, n, p, q, r, s, t} em três partes. Essas partes são: {m, n}, {p} e {q, r, s, t}. Repare que: 
· Esses subconjuntos de A são não vazios.
· Esses subconjuntos de A são disjuntos dois a dois, ou seja, duas partes de uma partição nunca terão um elemento comum.
· A união de todas as partes é o próprio conjunto A.
2) O diagrama abaixo mostra uma das possíveis partições P = {{1, 2}, {3}, {4, 5}} do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}.
3) O diagrama abaixo mostra uma possível partição de N. 
Exercícios Propostos
Questão 01
Diferencie conjunto das partes de partição.
Questão 02
Seja A = {a, b. c, d}
a) Quantos são os subconjuntos de A.
b) Escreva o conjunto das partes de A.
Questão 03
Um conjunto A possui 64 subconjuntos. Quantos elementos possuem o conjunto A?
 
Questão 04
Faça três partições distintas do conjunto A = {m, n, p, q, r, s}
Questão 05
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Determine se cada uma dos seguintes conjuntos é uma partição de A.
a) A1 = {{1, 2, 3}; {1, 4, 5, 6}}
b) A2 = {{1, 3, 5}; {6}; {2}; {4}}
Não deixe de participar do nosso ambiente virtual de aprendizagem!
Aula 05_Tábuas de Operações I
Vamos retomar o assunto discutido na Aula 01, falando novamente sobre operações. A diferença entre aquele momento e este, é que, na primeira aula, trabalhamos com conjuntos com infinitos elementos, ao passo que nesta trabalharemos com conjuntos com uma quantidade finita, no caso, “poucos” elementos.Suponha que temos o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6} e que gostaríamos de verificar se a estrutura algébrica (A, *) representa uma operação; onde para todo elemento a e b pertencentes a A, efetuamos a * b = mdc(a, b). 
O que esta estrutura pretende discutir é que se operarmos dois elementos quaisquer do conjunto A o resultado entre eles será um elemento do conjunto A. Repare que a operação (conta) que se pretende efetuar entre os elementos de A é calcular o mdc deles.
Uma maneira de efetuar estas “contas” é:
1 * 2 = mdc(1, 2) que é igual a 1
2 * 1 = mdc(2, 1) que é igual a 1
4 * 2 = mdc(4, 2) que é igual a 2
Um outro recurso é criar uma tábua de operações.
	*
	1
	2
	3
	4
	6
	1
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
Repare que no canto superior esquerdo dá tábua está o “símbolo” da operação (conta) que desejamos realizar com todos os elementos do conjunto A, no caso o mdc entre eles.
Com este recurso ao invés de escrever 3 * 6 = mdc(3, 6) que é igual a 3, marcaríamos na tabela o resultado abaixo.
	*
	1
	2
	3
	4
	6
	1
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	3
	4
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
E ao efetuar 4 * 2 = mdc(4, 2) que é igual a 2, colocaríamos: 
	*
	1
	2
	3
	4
	6
	1
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	3
	4
	
	2
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
A tabela completa possui os elementos abaixo: 
	*
	1
	2
	3
	4
	6
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	1
	2
	1
	2
	2
	3
	1
	1
	3
	1
	3
	4
	1
	2
	1
	4
	2
	6
	1
	2
	3
	2
	6
E como podemos ver, elementos do conjunto operados com elementos do conjunto deram como resultado elementos do próprio conjunto, o que significa que a estrutura discutida representa uma Operação. 
 Exercício Resolvido 01
Seja o conjunto A = {1, 2, 3} e a estrutura (A, Δ) onde para todo elemento a e b pertencentes a A, efetuamos a Δ b = a . b. 
Note que, o que esta estrutura pretende discutir é verificar se tomados quaisquer dois elementos de A e efetuar a operação (conta) Δ, no caso a multiplicação entre esses elementos, o resultado desta operação (conta) é um elemento do conjunto.
 Desta forma ao invés de optarmos pela escrita 1 Δ 3 = 1 . 3 que é igual a 3; vamos adotar como recurso guardar o resultado destas contas na tábua de operações,
	Δ
	1
	2
	3
	1
	1
	2
	3
	2
	2
	
	
	3
	3
	
	
Repare que 2 Δ 2 = 2 . 2 que é igual a 4 que não pertence a A, o que indica que esta estrutura não representa uma operação.
 Exercício Resolvido 02
Seja A = {1, 2, 5, 10); discutir se a estrutura (A, ◊) onde para todo a e b pertencentes a A, temos: a ◊ b = mmc(a, b) representa uma operação.
	◊
	1
	2
	5
	10
	1
	1
	2
	5
	10
	2
	2
	2
	10
	10
	5
	5
	10
	5
	10
	10
	10
	10
	10
	10
E como podemos perceber a estrutura representa uma operação. 
Exercícios Propostos
Questão 01
Fazer a tábua da estrutura (B, ○), com B = {-1, 0, 1} onde para todo elemento a e b pertencentes a B, temos a ○ b = a . b e verificar se a estrutura representa uma operação.
Questão 02
Fazer a tábua da estrutura (A, ○), com A = {-1, 0, 1} onde para todo elemento a e b pertencentes a A, temos a ○ b = a + b e verificar se a estrutura representa uma operação.
Questão 03
Fazer a tábua da estrutura (C, ○), com C = {-1, 1} onde para todo elemento a e b pertencentes a C, temos a ○ b = a . b e verificar se a estrutura representa uma operação.
Questão 04
Fazer a tábua da estrutura (A, *), com A = {1, 2, 4, 8} onde para todo elemento a e b pertencentes a A, temos a * b = mdc(a, b) e verificar se a estrutura representa uma operação.
Questão 05
Fazer a tábua da estrutura (B, ○), com B = {1, 3, 5, 15} onde para todo elemento a e b pertencentes a B, temos a ○ b = mmc(a, b) e verificar se a estrutura representa uma operação.
Questão 06
Dizemos que e recebe o nome de elemento neutro de uma operação se: e * a = a e ainda a * e = a para todo a pertencente a A, ou seja, um elemento recebe o nome de Elemento neutro da estrutura se ele operado com um elemento a qualquer dá como resultado o próprio a; e ainda o a operado com o neutro também dá como resultado o próprio a. De acordo com estas informações aponte se existir o elemento neutro de cada estrutura discutida.
Gostou da aula, então envie suas dúvidas e sugestões, através do nosso ambiente virtual de aprendizagem.
Aula 06_Tábuas de Operações II
Nesta aula, iremos continuar a estudar e aprender sobre as tábuas de operações.
Recordando:
Algumas situações envolvendo conjuntos são mostradas abaixo.
Sejam os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 7}
B = {3, 5, 7}
Dizemos que: 
a) AB = {1, 2, 3, 5, 7}
b) AB = {3, 7}
c) A – B = {1, 2}
d) B – A = {5}
e) Chamamos de diferença simétrica a relação:
A Δ B = (A – B) (B – A) = (AB) – (AB)
Voltemos então as nossas tábuas de operações:
Exercício Resolvido 01
Seja A = {m, n}; verificar se a estrutura algébrica (P(A), ) representa uma operação. 
Resposta:
Primeiramente você deve ficar atento ao que se propõe no exercício. O que se propõe é verificar se a estrutura fornecida representa uma operação. Lembrando que uma estrutura algébrica é um conjunto munido de no mínimo uma operação devemos nos perguntar: 
Qual o conjunto que estamos trabalhando e que operação, queremos realizar com os elementos deste conjunto?
Estamos trabalhando com o conjunto das partes de A e queremos realizar a união entre esses elementos. Lembrando que:
P(A) = {Ø, {m}, {n}, A} 
Podemos fazer a tábua abaixo:
	
	Ø
	{m}
	{n}
	A
	Ø
	Ø
	{m}
	{n}
	A
	{m}
	{m}
	{m}
	A
	A
	{n}
	{n}
	A
	{n} 
	A
	A
	A
	A
	A
	A
Repare que a estrutura acima representa uma operação, pois elementos do conjunto operados com elementos do conjunto deram como resultado elementos do próprio conjunto. Observe também que a estrutura dispõe de um elemento neutro representado pelo conjunto vazio (Ø), e também dispõe da propriedade comutativa, pois para todo a e b pertencentes a A; a b = b a 
Como por exemplo: {m} {n} = {n} {m}
Exercício Resolvido 02
Seja A = {m, n}; verificar se a estrutura algébrica (P(A), -) representa uma operação
	-
	Ø
	{m}
	{n}
	A
	Ø
	Ø
	Ø
	Ø
	Ø
	{m}
	{m}
	Ø
	{m}
	Ø
	{n}
	{n}
	{n}
	Ø
	Ø
	A
	A
	{n}
	{m}
	Ø
Repare que a estrutura acima representa uma operação apesar de não possuir elemento neutro e nem dispor da propriedade comutativa.
Exercícios Propostos:
QUESTÃO 01
Verificar se a estrutura algébrica (P(A), ) com A = {m, n} representa uma operação.
QUESTÃO 02
Se a estrutura do exercício anterior representar uma operação, discutir se ela possui elemento neutro e dispõe da propriedade comutativa.
QUESTÃO 03
Verificar se a estrutura algébrica (P(A), Δ) com A = {m, n} representa uma operação, sabendo que A Δ B = (A – B) (B – A).
QUESTÃO 04
Verificar se a estrutura do exercício anterior representar uma operação, discutir se ela possui elemento neutro e dispõe da propriedade comutativa.
Com esta aula, encerramos o assunto da primeira unidade “operações”. Na próxima aula, vamos fazer exercícios de fixação da unidade.
Até lá!
Aula 07_Fixando a Unidade I
Nesta aula, quero que você faça alguns exercícios, para fixar melhor o conteúdo desta primeira unidade. Vamos lá!
 Exercícios para fixação
QUESTÃO 01
Verificar se são operações:
a) A divisão em Q* 
b) A potenciação em Q*
QUESTÃO 02
Calcular:
a) M(4) M(6)
b) D(15) D(18)
QUESTÃO 03
Calcular:
a) mdc(34, 19)
b) mdc(15, -23)
c) mmc(18, 20)
d) mmc(6, 8)
QUESTÃO 04
a) Seja A um conjunto com 7 elementos. Quantos elementos possuem o conjunto das partes de A?
b) Fazer uma partição do conjunto A = {x, y, z}.
QUESTÃO 05
a) Fazer a tábua da estrutura (B, ○), com B = {1, 3, 6, 9} onde para todo elemento a e b pertencentes a B, temos a ○ b = mmc(a, b) e verificar se a estrutura representa uma operação.
b) Fazer a tábua da estrutura (B, ○), com B = {1, 3, 5, 15} onde para todo elemento a e b pertencentes a B, temos a ○ b = mdc(a, b) e verificar se a estrutura representa uma operação.
QUESTÃO 06
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Determine se cada uma das seguintes classes é uma partição de A.
A1 = {{1,3}; {2, 4, 6}}
A2 = {{1,3}; {2, 4, 5, 6}}
Resolveu com facilidade os exercícios? Tem alguma dúvida? Então venha interagir atravésdo nosso ambiente virtual de aprendizagem!
Resolução dos exercícios – Unidade I
Aula 01
QUESTÃO 01
é operação
QUESTÃO 02
é operação
QUESTÃO 03
não é operação
QUESTÃO 04
não é operação
 Aula 02
QUESTÃO 01
a) M(3) = {0, 3, 6,...}
b) M(-7) = {0, 7, 14,...}
QUESTÃO 02
a) (-3); (-3) . 3
b) (-10); (-10) . (-2)
QUESTÃO 03
a) D(15) = {1, 3, 5, 15}
b) D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
 Aula 03
QUESTÃO 01
a) 1 b) 1 c) 2 
QUESTÃO 02
a) 60 b) 144 c) 7
 Aula 04
QUESTÃO 01
Esta ideia será explorada em outra unidade; no entanto existem uma série de argumentos que faz com que você diferencie conjunto das partes de uma partição. Uma das ideias centrais é que os subconjuntos de uma partição são disjuntos dois a dois, ao passo que nos conjuntos das partes não. 
QUESTÃO 02
a) 24 = 16
b) P(A) = 
QUESTÃO 03
2n = 64
2n = 26
n = 6
QUESTÃO 04
P1 = {{m}, {n}, {p}, {q,r,s}}
P2 = {{m,n}, {p,s}, {q,r}}
P3 = {{m,n,r}, {p,q,s}}
QUESTÃO 05
a) S1 não.
b) S2 sim.
 Aula 05
QUESTÃO 01 
	○
	-1
	0
	1
	-1
	1
	0
	-1
	0
	0
	0
	0
	1
	-1
	0
	1
É uma operação
QUESTÃO 02 
	○
	-1
	0
	1
	-1
	
	-1
	0
	0
	-1
	0
	1
	1
	0
	1
	
Não é uma operação
QUESTÃO 03 
	○
	-1
	1
	-1
	1
	-1
	1
	-1
	1
É operação
QUESTÃO 04
	*
	1
	2
	4
	8
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	1
	2
	2
	2
	4
	1
	2
	4
	4
	8
	1
	2
	4
	8
QUESTÃO 05 
	○
	1
	3
	5
	15
	1
	1
	3
	5
	15
	3
	3
	3
	15
	15
	5
	5
	15
	5
	15
	15
	15
	15
	15
	15
QUESTÃO 06
a) O neutro do exercício proposto 01 é o 1
b) como o exercício 02 não representa uma operação passa ter sentido discutir a presença de elemento neutro.
c) O neutro do exercício proposto 03 é o 1
d) O neutro do exercício proposto 04 é o 8
e) O neutro do exercício proposto 05 é o 1
 Aula 06
QUESTÃO 01 
	
	Ø
	{m}
	{n}
	A
	Ø
	Ø
	Ø
	Ø
	Ø
	{m}
	Ø
	{m}
	Ø
	{m}
	{n}
	Ø
	Ø
	{n}
	{n}
	A
	Ø
	{m}
	{n} 
	A
 É uma operação.
QUESTÃO 02
Possui o elemento neutro A e dispõe da propriedade comutativa.
	Δ
	Ø
	{m}
	{n}
	A
	Ø
	Ø
	{m}
	{n} 
	A
	{m}
	{m}
	Ø
	A
	{n}
	{n}
	{n}
	A
	Ø
	{m}
	A
	A
	{n}
	{m}
	Ø
É uma operação
QUESTÃO 04
Possui o elemento neutro Ø e dispõe da propriedade comutativa.
 Aula 07
QUESTÃO 01
a) é operação, pois a / b Q* dividido por c / d Q* dá como resultado (a. d) / (c . b) Q*
b) Não é operação, pois para a = 3 e b = ½ , ambos racionais, temos que: que Q*.
QUESTÃO 02
a) M(4) = {0, ±4, ±8, ±12,...} 
M(6) = {0, ±6, ±12,...}
M(4) M(6) = M(12)
b) D(15) = {±1, ±3, ±5, ±15}
D(18) = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}
D(15) D(18) = {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±9, ±15, ±18}
QUESTÃO 03
a)
	
	1
	1
	3
	1
	3
	34
	19
	15
	4
	3
	1
	15
	4
	3
	1
	0
	
mdc(34, 19) = 1
b)
	
	1
	1
	1
	7
	23
	15
	8
	7
	1
	8
	7
	1
	0
	
mdc(15, -23) = mdc(15, 23) = 1
c)
	20,18
	2
	10, 9
	2
	5, 9
	3
	5, 3
	3
	5, 1
	5
	1, 1
	180
mmc(20, 18) = 180
d) 
	6, 8
	2
	3, 4
	2
	3, 2
	2
	3, 1
	3
	1, 1
	24
mmc(6, 8) = 24
QUESTÃO 04
a) 27 = 128
b) existem várias soluções. Uma delas é {x, z}; {y}.
QUESTÃO 05
a) 
	○
	1
	3
	6
	9
	1
	1
	3
	6
	9
	3
	3
	3
	6
	9
	6
	6
	6
	6
	
	9
	9
	3
	
	9
não é operação
b) 
	○
	1
	3
	6
	9
	1
	1
	1
	1
	1
	3
	1
	3
	3
	3
	6
	1
	3
	6
	3
	9
	1
	3
	3
	9
é operação
QUESTÃO 06
a) A1 não
b) A2 sim
Resumo da Unidade
Para que você compreenda o que é Operação, algumas ferramentas lhe foram apresentadas. De posse delas criamos várias formas de operar (realizar contas), com os elementos de um conjunto finito.
Trabalhamos com mdc, mmc, conjunto das partes. Se estes elementos operados entre si produzissem como resultado um elemento do próprio conjunto denominaríamos esta situação de operação.
Indicação de Leitura
Boyer, C.B. (1994) História da Matemática, Editora Edgar-Blücher, São Paulo. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
http://pt.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois
 Referências Bibliográficas
ALENCAR FILHO, Edgard, Teoria Elementar dos números. 3ª edição. São Paulo: Ed. Nobel, 1997.
ANTON e RORRES, Álgebra Linear com Aplicações. 8ª edição. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2000.
BAUMGART, John k., Álgebra. São Paulo: Ed. Atual, 1993.
BOYER, C.B., História da Matemática. São Paulo: Editora Edgar-Blücher, 1994. 
CARMICHAEL, R. D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Boston, Ed. Ginn and Company, 1937. 
COUTINHO, S.C., Números Inteiros e Criptografia RSA. 2ª edição. Rio de Janeiro: Ed. IMPA, 2003.
DOMINGUES e IEZZI, Álgebra Moderna. 3ª edição. São Paulo: Ed. Atual, 1995. 
GERSTING, Judith L., Fundamentos da Matemática para Ciência da Computação. 5ª edição. Rio de Janeiro: Ed. LTC, 2004
GONÇALVES, A., Introdução a Álgebra. Rio de Janeiro: Ed. IMPA, 1979.
LIPSCHUTZ e LIPSON, Matemática Discreta (coleção Schaum). 2ª edição. Porto Alegre: Ed. Bookman , 1997. 
LOVÁSZ, PELIKÁN e VESZTERGOMBI, Matemática discreta. Ed. Sociedade Brasileira de matemática, 2003. 
MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. 2ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 1978.
MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. 6ª edição. São Paulo: Nobel, 1974.
NETO; Ernesto Rosa, Estruturas Algébricas. São Paulo: Ed. PAED, 1985.
POLCINO e COELHO, Números, Uma introdução a Matemática. 3ª edição. São Paulo: Ed. EDUSP, 2001.
SCHEINERMAN, Edward, Matemática Discreta. São Paulo: Ed. Thomson, 2003.
Aula 08_Relações
Nesta aula, vamos estudar sobre as Relações, assim como sua representação. Leia com atenção!
Relação
Definição: Chamamos de Relação Binária de E em F a todo subconjunto de 
E X F (lê-se E cartesiano F).
Vamos lembrar a noção de produto cartesiano. Sejam E e F dois conjuntos não vazios, como por exemplo: E = {1, 3} e F = {1, 2, 5}. Temos que: 
E X F = {(1, 1); (1, 2); (1, 5); (3, 1); (3, 2); (3; 5)}
São exemplos de relações de E em F todos os subconjuntos abaixo:
R1= {(1, 1); (1, 2); (1, 5)}
R2= {(1, 2); (1, 5); (3, 1); (3, 2); (3; 5)}
R3= {(1, 2); (3; 5)}
Vale observar que toda Relação é um subconjunto de pares ordenados; onde a partir de agora para indicar que o par ordenado (a, b) a R, usaremos a notação a R b que pode ser lida como “a erre b” ou ainda “a se relaciona com b de acordo com a relação R”. Se por ventura o par ordenado (a,b) R, vamos escrever a b (lê-se a não se relaciona com b de acordo com a relação R).
Nota: Embora existam Relações n-árias; que envolvem n-uplas; o termo Relação irá significar uma relação binária a menos que seja explicitado algo em contrário.
Observação: No momento em que E = F, ao invés de dizermos que R é uma relação de E em F, vamos passar a dizer que R é uma relação em E, ou ainda, R é uma relação sobre E; ou R é um subconjunto de E2.
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Chamamos de Domínio de uma Relação e indicamos por D(R), o conjunto formado por todos os primeiros termos dos pares ordenados pertencentes a R. 
Assim de acordo com os exemplos anteriores temos que: 
D(R1) = {1}
D(R2) = {1, 3}
D(R3) = {1, 3}
Chamamos de Imagem de uma Relação e indicamos por Im(R) o conjunto formado por todos os segundos termos dos pares ordenados de R.
Assim de acordo com os exemplos anteriores temos que: 
Im(R1) = {1, 2, 5}
Im(R2) = {1, 2, 5}
Im(R3) = {2, 5}
REPRESENTAÇÃO DE UMA RELAÇÃO
Sejam os conjuntos E = {1, 3} e F = {1, 2, 5} e a seguinte relação R de E em F. 
R = {(1, 2); (1, 5); (3, 1); (3, 2); (3; 5)}
Podemos representar esta relação das seguintes formas:
a) Gráfico cartesiano 
b) Pelo diagrama de flechas
c) Listando seus pares ordenados
R = {(1, 2); (1, 5); (3, 1); (3, 2); (3; 5)}
d) Através de uma matriz
 
Observação: Por mais que não tenha sido especificado o porquê de alguns pares ordenados de E X F pertencerem a relação R, isto nem sempre ocorre como veremos nos exercícios a seguir. E é neste âmbito que reside a idéia central de Relação, ou seja, é tentar escolher em uma lista de objetos alguns elementos que satisfazem alguma condição.
Exercício Resolvido 01
Seja A um conjunto com 4 elementos e R = {(0, 2); (0, 3); (1, 2); (1, 3)}, uma relação sobre A, ou seja, uma relação de A X A. Obter:
a) Listar o conjunto A.
b) O domínio e a imagem da relação.
c) Representar R através de um diagramade flechas.
Resposta:
a) A = {0, 1, 2, 3}
b) D(R) = {0, 1} e Im(R) = {2, 3}
c) 
Exercício Resolvido 02
Dados os conjuntos A = {3; 4; 6} e B = { 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }, represente as relações, listando seus pares ordenados. 
a) R1 : { (x; y) A x B / y = x +2} 
b) R2 : { (x; y) A x B / y = 3x - 2}
Resposta: 
a) Para saber quais serão os pares ordenados de R1 devemos obedecer à lei y = x + 2 substituindo o x pelos elementos de A um a um obtendo assim o valor de y. 
R1= {(3, 5); (4, 6); (6, 8)}
b) Para saber quais serão os pares ordenados de R2 devemos obedecer à “lei” y = 3x – 2 substituindo o x pelos elementos de A um a um obtendo assim o valor de y. Repare que ao substituir o x por 4 obteríamos y = 10 que é um valor que não pertence ao conjunto B e portanto temos: 
R2= {(3, 7)}
Vamos lá! Agora é a sua vez!
 Exercícios Propostos:
QUESTÃO 01
Dados os conjuntos A = {2; 4; 6} e B = {1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }, represente as relações, listando seus pares ordenados. 
a) R1 : { (x; y) A x B / y = x +1} 
b) R2 : { (x; y) A x B / y = 2x - 3}
QUESTÃO 02
Imagine um casal com 3 filhos: André, Beatriz e Carlos. Listar e fazer um diagrama de flechas que mostre os elementos da Relação R definida no conjunto:
E = {André, Beatriz, Carlos}, ou simplesmente, E = {a, b, c} onde x R y, desde que x seja irmão de y. 
Observação: Consideramos como x sendo irmão de y, se x for homem.
Se houver alguma dúvida, não deixe de nos perguntar, através do ambiente virtual de aprendizagem!
Aula 09_Propriedades das Relações
Nesta aula, iremos dar continuidade à aula anterior e aprender um pouco mais sobre as relações e suas propriedades.
Seja R uma relação definida em um conjunto E. 
REFLEXIVA
Uma relação R em um conjunto E é reflexiva se x R x, para todo x E, ou seja, (x, x) R. 
Em linguagem matemática:
SIMÉTRICA
Uma relação R em um conjunto E é simétrica se, para todo x e y E, se x R y implicar y R x, ou seja, se o par ordenado (x, y) R, logo o par (y, x) também pertence a R.
Em linguagem matemática:
ANTI-SIMÉTRICA
Uma relação R em um conjunto E é anti-simétrica se, para todo x e y pertencente a E se, x R y e y R x; implicar em x = y; ou ainda usando uma sentença equivalente se x e y são elementos distintos então se, o par ordenado (x, y) R, então o par ordenado (y, x) R.
Em linguagem matemática:
 ou ainda
TRANSITIVA
Uma relação R em um conjunto E é transitiva se, para todo x, y, z pertencente a E se, x R y e y R z, então x R z, ou seja, se x está relacionado com y e y está relacionado com z então, x está relacionado com z. 
Em linguagem matemática:
1ª Observação: Neste contexto não vamos explorar a idéia de R = Ø
2ª Observação: As propriedades simétrica e anti-simétrica não são necessariamente mutuamente excludentes. Desta forma podemos ter a relação:
R1 = {(a,a); (b, b)} que é simétrica e anti-simétrica 
R2 = {(1, 5); (5, 1); (2, 7)} que não é simétrica e nem anti-simétrica.
 Exercícios Resolvidos 
1) Considere as seguintes relações abaixo em um conjunto E = {1, 2, 3, 4} e determine quais são reflexivas, simétricas, anti-simétricas e transitivas.
R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 3); (1, 3); (4, 4)}
R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)}
R3 = {(1, 4); (2, 1)}
R4 = E X E
Resposta:
São Reflexivas as relações R2 e R4, pois em ambas os pares ordenados (1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4) pertencem a relação.
São Simétricas as relações R2 e R4, 
São Anti-simétricas as relações R1 e R3 
São Transitivas as relações R1, R2 e R4
2) Discuta a relação de perpendicularidade em um conjunto T de retas no plano. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva?
Resposta:
Reflexiva não, pois nenhuma reta é perpendicular a si mesma. 
Simétrica sim, pois se a reta r é perpendicular a reta s, então s é perpendicular a r.
Anti-simétrica não, pois sendo r e s retas distintas podemos ter r perpendicular a s e por conseqüência s perpendicular a r.
Transitiva não, pois podemos ter r perpendicular a s e s perpendicular a t e, no entanto r não ser perpendicular a t. 
Exercícios Propostos
1) Discuta a relação de paralelismo em um conjunto T de retas no plano. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva?
2) Discuta a relação no conjunto Z dos inteiros. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva?
3) Discutir a relação de divisibilidade no conjunto IN dos naturais não nulos. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva?
4) Discutir a relação de divisibilidade no conjunto A = {1, 2, 3, 6}; com A IN. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva?
Nesta aula, conhecemos as propriedades de uma relação. Na Próxima aula, vamos explorar cada uma das propriedades. Até lá!
Aula 10_ Explorando Relações
Dando continuidade à aula anterior, hoje veremos como explorar melhor as relações. Vamos lá!
Se E é um conjunto finito com poucos elementos, os esquemas abaixo permitem visualizar melhor as propriedades Reflexiva, Simétrica, Antissimétrica e Transitiva.
Imagine o conjunto E = {a, b, c}
Propriedade Reflexiva
É Reflexiva se e somente se existir um laço em torno de cada elemento de E
Propriedade Simétrica
É simétrica quando toda flecha tiver duas pontas
Propriedade Antissimétrica
É antissimétrica quando não houver flechas de duas pontas. 
Propriedade Transitiva
É Transitiva quando existir uma flecha ligando a com b; uma outra ligando b com c e uma ligando a com c.
Exercício Resolvido
Seja E = {1, 2, 5}, represente cada relação abaixo, através de um esquema de flechas e determine se a mesma dispõe das propriedades Reflexiva, Simétrica, Antissimétrica e Transitiva.
a) R1 = {(1, 1); (2, 2); (5, 5); (1, 2); (2, 5)}
Resposta: R1 dispõe das propriedades reflexiva e anti-simétrica.
b) R2 = {(1, 1); (2, 2); (1, 2); (2, 5); (5, 1)}
Resposta: R2 dispõe da propriedade antissimétrica.
c) R3 = {(1, 2); (1, 1); (5, 5); (2, 2); (2, 1)}
Resposta: R3 dispõe das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Exercícios Propostos
Questão 01
Seja A = {1, 2, 3}, construir relações em A onde se verifiquem:
	
	R1
	R2
	R3
	Reflexiva
	sim
	não
	não
	Simétrica
	sim
	sim
	não
	Transitiva
	sim
	não
	não
Questão 02
Seja a relação R nos inteiros positivos N definida pela equação x + 3y = 12, ou seja:
R = {(x,y)/ x + 3y = 12}
a) Escreva R como um conjunto de pares ordenados
b) Escreva o domínio e a imagem de R
Questão 03
Seja R a relação em A = {1, 2, 3, 4, 5} tal que x R y (x – y é múltiplo de 2), responda:
a) A X A
b) Enumerar os elementos de R 
c) Quais propriedades R apresenta?
Questão 04
Dê exemplos de relações R em E = {1,2,7} que possuem as propriedades pedidas abaixo:
a) R é simétrica e anti-simétrica
b) R é reflexiva e anti-simétrica
Questão 05
Seja A = {2, 3, 5, 30} e a relação R = {(x, y) A X A / mdc(a, b) = 1}
a) Efetuar A X A
b) Enumerar os elementos de R
c) Fazer um esquema de flechas que permita visualizar quais propriedades R dispõe e classificá-las.
Com esta aula, aplicamos as propriedades das relações. Na próxima aula, vamos conhecer as relações de equivalência. Até lá!
Resumo da Unidade II
Para concluir esta unidade, você deve saber:
· Discutir se uma determinada relação R em E, possui as propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.
· 
Trabalhar a relação de congruência 
Nas linhas abaixo é feita uma pequena discussão sobre relações em E. 
Se por exemplo E = {1, 2, 3} e R dispõe dos pares ordenados (1, 1); (2, 2) e (3, 3) então R é reflexiva. Se pelo menos um destes pares não pertencer a R, ela não é reflexiva.
Procure em R um par de pares ordenados onde x é diferente de y. Se o par ordenado (1, 2), estiver na R, então ela só é simétrica se o par (2,1) também estiver em R, pois estando x relacionado com y, obrigatoriamente temos que ter y relacionado com x.
Por outro lado, se na R estiverem presentesos pares (1, 2), (2,1) e (2, 3) ela não é simétrica, pois se temos o 2 relacionado com o 3, deveríamos ter o 3 relacionado com 2, o que não ocorre.
Para satisfazer a propriedade antissimétrica lembre-se que se o par ordenado (1, 2) estiver na R; o par (2,1) não pode estar, pois para x diferente de y, se x se relaciona com y, então y não pode se relacionar com x.
 Um exemplo razoável para verificar a presença da propriedade transitiva é que caso se tenha o par (1,2) e o par (2,3) necessariamente, devemos ter o par ordenado (1,3), e caso isto não ocorra, ou seja, se temos x R y e y R z, e não temos x R z, a relação não dispõe da propriedade transitiva. 
Indicação de Leitura
Boyer, C.B. (1994) História da Matemática, Editora Edgar-Blücher, São Paulo. 
http://en.wikipedia.org/wiki/Helmut_Hasse
http://it.wikipedia.org/wiki/Reticolo_della_divisibilit%C3%A0
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
 Referências Bibliográficas
ALENCAR FILHO, Edgard, Teoria Elementar dos números. 3ª edição. São Paulo: Ed. Nobel, 1997.
ANTON e RORRES, Álgebra Linear com Aplicações. 8ª edição. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2000.
BAUMGART, John k., Álgebra. São Paulo: Ed. Atual, 1993.
BOYER, C.B., História da Matemática. São Paulo: Editora Edgar-Blücher, 1994. 
CARMICHAEL, R. D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Boston, Ed. Ginn and Company, 1937. 
COUTINHO, S.C., Números Inteiros e Criptografia RSA. 2ª edição. Rio de Janeiro: Ed. IMPA, 2003.
DOMINGUES e IEZZI, Álgebra Moderna. 3ª edição. São Paulo: Ed. Atual, 1995. 
GERSTING, Judith L., Fundamentos da Matemática para Ciência da Computação. 5ª edição. Rio de Janeiro: Ed. LTC, 2004
GONÇALVES, A., Introdução a Álgebra. Rio de Janeiro: Ed. IMPA, 1979.
LIPSCHUTZ e LIPSON, Matemática Discreta (coleção Schaum). 2ª edição. Porto Alegre: Ed. Bookman , 1997. 
LOVÁSZ, PELIKÁN e VESZTERGOMBI, Matemática discreta. Ed. Sociedade Brasileira de matemática, 2003. 
MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. 2ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 1978.
MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. 6ª edição. São Paulo: Nobel, 1974.
NETO; Ernesto Rosa, Estruturas Algébricas. São Paulo: Ed. PAED, 1985.
POLCINO e COELHO, Números, Uma introdução a Matemática. 3ª edição. São Paulo: Ed. EDUSP, 2001.
SCHEINERMAN, Edward, Matemática Discreta. São Paulo: Ed. Thomson, 2003.
Aula 11_Relações de Equivalência
Nas aulas anteriores desta unidade, conhecemos relações e suas propriedades, nesta aula, vamos estudar sobre relações de equivalência.
Seja R uma relação em um conjunto E. Dizemos que R é uma relação de equivalência se R é reflexiva, simétrica e transitiva. 
Para elucidar este conceito imagine a seguinte situação: Considere a Relação de cardinalidade sobre conjuntos finitos. Suponha os conjuntos A = {1, 2, 6,11}, B = {1, 3, 8,11} e C = {2, 3, 10,16} de tal forma que A R B, se e somente se; onde o número de elementos de um conjunto A também conhecido como cardinalidade de A é representado por . Observe que R é reflexiva, simétrica e transitiva, e, portanto uma relação de equivalência. 
Repare que apesar dos conjuntos não possuírem os mesmos elementos a relação que se está discutindo entre eles, refere-se a cardinalidade (quantidade) de elementos.
Exemplos de relações de equivalência
a) Considere o conjunto E formado por todas as retas de um plano , e seja R a relação x R y, se e somente se x = y ou xy = Ø. Esta é a relação de paralelismo entre retas em um plano qualquer.
· Reflexiva, pois r // r
· Simétrica, pois se r // t, então t // r
· Transitiva, pois se r // t e t // s, então r // s
b) A relação de igualdade nos reais , onde x R y x = y
· Reflexiva, pois x = x
· Simétrica, pois se x = y, então y = x
· Transitiva, pois se x = y e y = z, então x = z
c) A relação de congruência módulo m; com m inteiro e m > 1; definida assim: , que se lê: “a é congruente a b módulo m” e que significa que a diferença a – b é divisível por m. 
Veja um exemplo numérico:
· 
Reflexiva, pois , pois 3 – 3 é divisível por 5.
· 
Simétrica, pois , pois se 8 – 3 é divisível por 5, então 3 – 8 é divisível por 5 
· 
Transitiva, pois , pois se 8 – 3 é divisível por 5 e , pois 3 – 13 é divisível por 5, então , pois 8 – 13 é divisível por 5
Exercícios Propostos
Questão 01
Quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre A = {2, 5, 8}
R1 = {(2, 2); (2, 5); (5, 2); (5, 5); (5, 8)}
R2 = {(2, 2); (2, 5); (5, 2); (5, 5); (8, 8)}
R3 = {(2, 2); (5, 5); (8, 2)}
Questão 02
Quais das relações abaixo em um conjunto A = {1, 2, 3} dispõem das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva?
R1 = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (3, 3)}
R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 3)}
R3 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (2, 3)}
Questão 03
Verifique quais das sentenças abaixo definem uma relação de equivalência em IN.
a) 
b)
Gostou da nossa aula? Na próxima aula, estudaremos sobre as classes de equivalências. Até lá!
Aula 12_Classes de Equivalência
Acompanhe com atenção a aula de hoje!
Seja R uma relação de equivalência em um conjunto S e seja aS. A classe de equivalência de a, aqui denominada por é o conjunto de todos os elementos de S, relacionados com a de acordo com a R, ou seja, .
A coleção de todas as classes de equivalência de elementos de S por uma relação de equivalência R é denominada S / R e é chamada de conjunto quociente de S por R.
O conjunto quociente é uma partição de S.
Podemos então enunciar a seguinte ideia: 
Seja R uma relação de equivalência em S. 
As classes de equivalência de R são subconjuntos disjuntos não vazios de S, disjuntos dois a dois, cuja união é o próprio conjunto S.
Exercícios Resolvidos
1) Seja R a relação no conjunto Z dos inteiros definida por que se lê “a é congruente a b módulo 4” e que significa que a diferença a – b é divisível por 4. Como sabemos R é uma relação de equivalência em Z (ver aula 11). Existem quatro classes de equivalência no conjunto quociente Z / R; são elas: 
= {0, ±4, ±8,±12,...} lê-se “zero barra”, que é o conjunto formado por todos os elementos inteiros que numa divisão por 4 dão resto 0 (zero). 
= {..., -11, -7, -3, +1, +5, +9, +13,...} lê-se “um barra” que é o conjunto formado por todos os elementos inteiros que numa divisão por 4 dão resto 1.
= {..., -10, -6, -2,+2, +6, +10,...} lê-se “dois barra” que é o conjunto formado por todos os elementos inteiros que numa divisão por 4 dão resto 2.
= {..., -9, -5, -1, +3, +7, +11,...} lê-se “três barra” que é o conjunto formado por todos os elementos inteiros que numa divisão por 4 dão resto 3.
Neste momento você deve notar que: 
Observação: Por mais estranho que pareça, o (-9) é um elemento do conjunto , isto porque numa divisão em Z; (-9) dividido por 4 dá resto 3; o que aparentemente “contraria” toda a nossa cultura de divisão centrada em IN ou R. O que pode o leitor fazer para habituar-se a ver os elementos de cada um dos quatro conjuntos acima, é lembrar por exemplo que o primeiro elemento inteiro positivo que dividido por 4 dá resto 3; é o próprio 3; pois 3 dividido por 4 dá quociente zero (inteiro) e resto 3. A partir deste valor é só ir dando pulinhos de quatro em quatro unidades ( pois queremos saber o conjunto formado por todos os números inteiros que numa divisão por 4 dão resto 3) de forma a perceber os outros divisores. No mais é aguardar a Unidade IV onde o assunto será melhor formalizado e explorado.
2) Imagine o conjunto de inteiros e R a relação sobre T definida por x R y mZ / x – y = 4m. 
Determinar o conjunto quociente T / R.
O que o exercício discute é que você encontre números inteiros entre 0 e 9 inclusive eles, cuja diferença seja um múltiplo de 4. Existem 4 subconjuntos 
T / R = { {1, 5, 9}, {2, 6},{8,0,4} {3, 7}}
Repare por exemplo que o conjunto formado pelos elementos 1, 5 e 9, quando operados entre si, dá sempre um múltiplo de quatro. Não se esqueça que a operação em discussão é a subtração em Z; o mesmo acontece para qualquer outro subconjunto como, por exemplo, o {2,6}.
Repare que R1 R2 R3 R4 = A
Exercícios Propostos
Questão 01Seja R uma relação em Z definida por escreva as três classes de equivalência no conjunto Z / R.
Questão 02
Quais os possíveis restos na divisão de um número inteiro por 6?
Questão 03
Seja A = {0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11} e seja R a relação na qual pretende se associar elementos de A, cuja diferença seja um múltiplo de 3. Mostrar as classes de equivalência obtidas em A, utilizando-se de .
Com esta aula, encerramos o assunto da nossa segunda unidade. Na próxima aula, vamos fazer exercícios para fixar o conteúdo desta unidade. Não deixe de participar e interagir, em nosso ambiente virtual de aprendizagem. Estamos aguardando você!
Aula 13_Fixando a Unidade II
Para encerrarmos esta unidade, iremos resolver alguns exercícios. Faça-os com calma e atenção!
 Exercícios para fixação
QUESTÃO 01
Sejam A = {1, 2, 4, 5} e B = {2, 3}. Efetuar:
a) A X B 
b) B X A
c) R1 = {(x, y)A X B / x y}
d) R2 = {(x, y) B X A / x = y}
QUESTÃO 02
Seja A = {a, b, c} e as relações em A abaixo. Verificar se elas dispõem das propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica. 
R1 = {(a, b); (b, a); (b, c); (c, b)}
R2 = {(a, b); (a, c); (c, c)}
QUESTÃO 03
Seja A = {1, 2, 3, 4} e a relação em A abaixo. Descrever a relação através de seus pares ordenados e verificar se ela dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica. 
QUESTÃO 04
Discutir a relação de divisibilidade no conjunto Z dos inteiros. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva?
QUESTÃO 05
Seja A = {1, 6, 7, 8} e relação sobre A; R = {(1, 6); (6, 1); (7, 6)}. Verificar se ela dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica?
QUESTÃO 06
Seja R uma relação em Z definida por escreva as cinco classes de equivalência no conjunto Z / R.
QUESTÃO 07
Quais os possíveis restos na divisão de um número inteiro por 7?
QUESTÃO 08
Seja A o conjunto formado por todos os moradores de um edifício Verifique se as relações abaixo são reflexivas; simétrica, antissimétrica e transitiva.
a) x R y se e somente se x e y tem os mesmos pais.
b) x R y se e somente se x é mais alto que y
 Não esqueça, se você estiver com alguma dúvida, não deixe de nos perguntar!
Resolução dos exercícios da Unidade II
Aula 08
QUESTÃO 01
a) R1 = {(2, 3); (4, 5); (6, 7)}
b) R2 = {(2, 1); (4, 5); (6, 9)}
QUESTÃO 02
R = {(a, b); (a, c); (c, a); (c, b)}
Aula 09
QUESTÃO 01
Caso você tenha considerado a hipótese de x // y quando x = y ou x y = Ø com x e y no mesmo plano (coplanares), então são válidas as relações:
Reflexiva sim, pois toda reta é paralela a si mesmo 
Simétrica sim, pois se a reta r // t, então t // r
Antissimétrica não, pois se r// t, t forçosamente é paralelo a r
Transitiva sim, pois se r // t e t // s, então r// s
QUESTÃO 02
Reflexiva sim, pois todo elemento em Z é menor ou igual a si mesmo. 
Simétrica não, pois como, por exemplo, temos: 5 6 e, no entanto 6 não é menor ou igual a 5.
Antissimétrica sim, pois a b e b a somente se a = b, ou ainda, por exemplo, temos: 5 8 e, no entanto 8 não é menor ou igual a 5.
Transitiva sim, pois se a b e b c, implica em a c
QUESTÃO 03
Reflexiva sim, pois todo número natural divide a si mesmo.
Simétrica não, pois, por exemplo: 2 é divisor de 4 e no entanto o 4 não é divisor de 2.
Antissimétrica sim, pois, por exemplo: 2 é divisor de 4 e no entanto o 4 não é divisor de 2, ou ainda, se m é divisor de n; e n é divisor de m, então n = m
Transitiva sim, pois, por exemplo: 3 é divisor de 6; 6 é divisor de 12 e isto implica que 3 é divisor de 12
QUESTÃO 04
Reflexiva sim, simétrica não, antissimétrica sim e transitiva sim
Aula 10
QUESTÃO 01
a) Existem outras opções para R1
b) Existem outras opções pra R2
c) Existem outras opções pra R3
QUESTÃO 02
a) { (9,1), (6,2), (3,3)}
b) D(R) = { 9,6,2} e Im(R) = {1,2,3}
QUESTÃO 03
a) A X A = {(1, 1); (1, 2); (1, 3) ; (1, 4); (1, 5); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3,1); (3,2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)}
b) R = {(1, 1); (1, 3); (1, 5); (2, 2); (2, 4); (3, 1); (3, 3); (3, 5); (4, 2); (4, 4); (5, 1); (5, 3); (5, 5)}
c) R é reflexiva, simétrica. transitiva e não é antissimétrica.
QUESTÃO 04
a) R = {(2,2),(7,7)}
Existem várias formas de se responder; esta é uma delas
b) R = { (1,1),(2,2),(7,7), (7,1)} 
Existem várias formas de se responder; esta é uma delas
QUESTÃO 05
a) A X A = {(2, 2); (2, 3); (2, 5); (2, 30); (3, 2); (3, 3); (3, 5); (3, 30); (5, 2); (5, 3); (5, 5); (5, 30); (30, 2); (30, 3); (30, 5); (30, 30)}
b) R = {(2, 3); (2, 5); (3, 2); (3, 5); (5, 2); (5, 3)}
c) R dispõe das propriedades simétrica e transitiva. 
Aula 11
QUESTÃO 01
Apenas R2 é uma relação de equivalência
QUESTÃO 02
R2 é reflexiva, é simétrica e é transitiva.
QUSTÃO 03
a) não é uma relação de equivalência, pois não se verifica a propriedade simétrica.
b) não é uma relação de equivalência, pois apenas se verifica a propriedade simétrica.
Aula 12
QUESTÃO 01
= {0, ±3, ±6, ±9,...}
= {..., -8, -5, -2, +1, +4,...}
= {..., -7, -4, -1, +2, +5,...}
QUESTÃO 02
Os possíveis restos são: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
QUESTÃO 03
R1 = {1, 4, 7} R2 = {0, 3, 6, 9} R3 = {8, 11}
Observação: Repare que R1 R2 R3 = A
Aula 13
QUESTÃO 01
a) A X B = {(1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3); (4, 2); (4, 3); (5, 2); (5, 3)}
b) B X A = {(2,1); (2, 2); (2, 4); (2, 5); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (3, 5)}
c) R1 = {(1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3)}
d) R2 = {(2, 2)}
QUESTÃO 02
R1 dispõe da propriedade simétrica e R2 dispõe da propriedade antissimétrica. 
QUESTÃO 03
R = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 3); (3, 2); (1, 3); (3, 1)}. R dispõe das propriedades simétrica e transitiva. 
QUESTÃO 04
Reflexiva sim, pois todo inteiro é divisor dele mesmo
Simétrica não, pois, por exemplo: -3 é divisor de 6, mas 6 não é divisor de -3.
Antissimétrica não, pois, por exemplo: 3 é divisor de -3, -3 é divisor de 3 e no entanto 3 é diferente de -3.
Transitiva sim, pois, por exemplo: 2 é divisor de – 6; e -6 é divisor de 12 e por consequência 2 é divisor de 12.
QUESTÃO 05
Nenhuma das propriedades.
QUESTÃO 06
= {0, ±5, ±10 ,±15,...} 
= {..., -14, -9, -4, +1, +6, +11, +16,...} 
= {..., -13, -8, -3,+2, +7 +12,...} 
= {..., -12, -7, -2, +3, +8, +13,...} 
={..., -11, -6, -1, +4, +9, +14,...}
QUESTÃO 07
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
QUESTÃO 08
a) é reflexiva, simétrica e transitiva.
b) é antissimétrica e transitiva 
Aula 14_Relações de Ordem
Nesta unidade, vamos estudar relações de ordem, dando continuidade ao nosso estudo de relações. 
CONJUNTOS ORDENADOS
Seja R uma relação em um conjunto E que satisfaz as propriedades:
· 
Reflexiva 
· 
Antissimétrica 
· 
Transitiva 
Dizemos assim que a relação R em um conjunto E ao satisfazer as três propriedades citadas acima recebe o nome de uma relação de ordem parcial e o conjunto E com a ordem parcial discutida, é chamado de conjunto parcialmente ordenado.
Uma das relações de ordem mais conhecida é a (menor ou igual). Sabemos disto, por que estamos habituados a trabalhar com os conjuntos IN, Z, Q e R que são totalmente ordenados de acordo com esta ordem. Totalmente ordenados, porque é sempre possível fazer uma comparação com quaisquer dois elementos de qualquer um destes conjuntos, satisfazendo sempre as propriedades reflexivas, antissimétrica e transitiva.
Como podemos observar no exemplo abaixo:
Sabemos que em IN
· 
3 3; o que satisfaz a propriedade reflexiva.
· 5 = 5; o que satisfaz a propriedade antissimétrica.
· 
Se 3 8 e 8 10 então 3 10 o que satisfaz a propriedade transitiva.
No entanto este tipo de situação nem sempre ocorre. Vamos dar uma “paradinha” e olhar para os conjuntos parcialmente ordenados.
Dizemos que um conjunto E é parcialmente ordenado quando alguns elementos de E não são comparáveis. Caso todos os elementos do conjunto E sejam comparáveis dizemos que E é um conjunto totalmente ordenado, ou linearmente ordenado.
Para poder explorar melhor este assunto vamos usar a simbologia abaixo, utilizada em relaçõesde ordem parcial. Desta forma temos: 
Exemplo 01 
Imagine o conjunto IN dos inteiros positivos, ordenados pela divisibilidade. Sabemos que 6 e 12 são comparáveis, pois 6 é divisor de 12, por outro lado 2 e 7 não são comparáveis, pois nem 2 é divisor de 7 e nem 7 é divisor de 2. Por esta razão o conjunto IN não é linearmente ordenado pela divisibilidade. 
O que deve ficar claro ao aluno é que: a propriedade reflexiva foi satisfeita, pois todo natural não nulo é divisor dele mesmo, a propriedade anti-simétrica também foi satisfeita, pois, por exemplo: o 3 é divisor de 3, e se o 4 é divisor de 8, o 8 não é divisor de 4; e a transitiva também foi satisfeita, pois, por exemplo: se 2 é divisor de 6, e 6 é divisor de 12, implica que 2 é divisor de 12 e no entanto é uma relação de ordem parcial porque temos elementos não comparáveis como, por exemplo: 2 e 7. 
Exemplo 02
Imagine o conjunto A = {1, 3, 9, 27, 81} ordenado pela divisibilidade. Este é um conjunto totalmente ordenado pela divisibilidade, pois todos os elementos são comparáveis; pois como sabemos 1 é divisor de 3, o 3 é divisor de 9, o 9 é divisor de 27 e o 27 é divisor de 81. Existe uma linearidade entre eles por isto este conjunto é totalmente ordenado.
Exemplo 03
Seja A = {m, n} e o conjunto das partes de A, ou seja, P(A) = {Ø, {m}, {n}, A}; este conjunto é parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos; pois sabemos que Ø {m} A, porém {m} e {n} não são comparáveis. 
Exercício Resolvido 01
Seja o conjunto IN dos naturais inteiros e positivos ordenados pela divisibilidade. Determine se cada um dos subconjuntos de IN abaixo é parcialmente ou totalmente ordenado pela divisibilidade.
a) A = {3, 6, 12}
b) B = {24, 12, 2, 6, 8}
c) C = {1, 2, 3,...}
d) D = {5, 10, 20, 1}
e) E = { 6}
Resposta: 
a) Como 3 é divisor de 6 e 6 é divisor de 12, o conjunto é totalmente ordenado.
b) Como 12 e 8 são não comparáveis pela divisibilidade, então o conjunto é parcialmente ordenado.
c) Como 3 e 4 são não comparáveis pela divisibilidade, então o conjunto é parcialmente ordenado.
d) Como 1 é divisor de 5, e 5 é divisor de 10, e 10 é divisor de 20, então o conjunto é totalmente ordenado. 
e) todo conjunto com apenas um elemento é totalmente; linearmente ordenado.
 Exercício Resolvido 02
Seja A = {7, 2, 1, 3} e a relação de ordem habitual , escreva os elementos de A enfileirados de acordo com esta ordem. 
Resposta:
1 2 3 7; que são elementos do conjunto A totalmente ordenado.
 Exercícios Propostos
QUESTÃO 01
Seja o conjunto IN dos naturais inteiros e positivos ordenados pela divisibilidade. Complete as lacunas com um dos símbolos a seguir: 
a) 3 _____ 15
b) 18 _____ 12
c) 9 _____ 6
d) 20 _____ 4
QUESTÃO 02
Escreva o conjunto dos divisores naturais de 36, ou seja, D(36) e responda se este conjunto é parcialmente ordenado ou totalmente ordenado pela relação de divisibilidade.
Nesta aula, conhecemos as relações de ordem e na próxima aula, vamos estudar o Diagrama de Hasse. Até lá!
Aula 15_Diagrama de Hasse
Nesta aula, aprenderemos que uma forma simples e útil de se trabalhar com conjuntos parcialmente ordenados é utilizar o diagrama de Hasse. Este esquema nos permite visualizar todas as informações sobre a ordem discutida. Neste diagrama cada elemento é representado por um ponto denominado de vértice ou nó. Se a é um predecessor imediato de b, o vértice que representa b é colocado acima do vértice que representa a e ambos são ligados por um segmento de reta, ficando claro que qualquer movimento ascendente irá indicar uma sucessão. 
Observação: Ao tentar elaborar um diagrama, o aluno pode se sentir desconfortável achando que o diagrama por ele pensado difere de outro colega, ou até mesmo do texto ao qual ele está se baseando. O que deve ficar claro ao aluno é que respeitado o movimento ascendente, o diagrama de Hasse não precisa possuir uma forma única de disposição. 
Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 01
Seja E = {1, 2, 3, 4, 8} ordenado pela relação de divisibilidade. Repare que nosso diagrama não está conturbado. Veja que nenhum laço foi feito em torno de cada vértice, pois como você já aprendeu, as relações de ordem são reflexivas e por isso a idéia do laço já está implícita. Repare também que a propriedade antissimétrica está sendo satisfeita, pois x R y e y R x apenas se x = y. A propriedade transitiva também faz parte do diagrama, só que de uma forma implícita, o aluno não vê o segmento de reta ligando o vértice 1 ao 6, porém ele sabe que as relações de ordem são transitivas, e está situação está descrita através dos pares ordenados (1, 3); (3, 6); (1, 6), por exemplo. 
O diagrama feito acima nos mostra uma relação de ordem parcial, pois existem alguns elementos não comparáveis, como por exemplo: 3 e 4. Sabemos que 2 4, mas não sabemos nada a respeito de 2 e 3, pois são não comparáveis pela divisibilidade. 
Exemplo 02
Seja E = {a, b, c, d, e, f} uma relação de ordem parcial que origine o diagrama abaixo. Pelo diagrama podemos perceber que a e de acordo com esta ordem e que os elementos b e f são não comparáveis. Veja o esquema abaixo: 
Exemplo 03
Seja A = {m, n, s} e P(A) o conjunto das partes de A, ou seja, P(A) = {Ø; {m}; {n}; {s}, {m, n}; {m, s}; {n, s}; A} este conjunto é parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Desta forma sabemos que {m, n} A, mas {m} e {n, s} são elementos não comparáveis.
Exemplo 04
O conjunto A = {1, 2, 4, 8} é totalmente ordenado pela divisibilidade; ou caso queira o aluno, linearmente ordenado pela divisibilidade. O esquema abaixo representa essa situação.
 
Exercícios Propostos
QUESTÃO 01
Seja A = {a, b, c, d, e, f} e o diagrama de Hasse que representa uma ordem sobre A. Determine se os elementos em questão são comparáveis utilizando-se da simbologia , , .
a) a _______ b
b) a _______ c
c) b _______ d
d) f ________d
e) e________f
QUESTÃO 02
Seja A = {1, 2, 3, 4, 6} ordenado pela relação de divisibilidade. Faça um diagrama de Hasse que represente esta situação e determine quais elementos não são comparáveis pela divisibilidade. 
Participe mandando seus comentários e dúvidas!
Até a próxima aula!
Aula 16_Ordenações e Precedências - Máximo, Maximal, Mínimo e Minimal
Nesta aula, vamos estudar as ordenações e precedências, como Máximo, Maximal, Mínimo e Minimal. Vamos lá!
Seja E um conjunto parcialmente ordenado. As sentenças abaixo descrevem o significado de máximo, mínimo, maximal e minimal.
· 
Dizemos que x E é máximo se para todo a E; temos que a x.
· 
Dizemos que x E é maximal se não existe b E, tal que x < b.
· 
Dizemos que x E é mínimo se para todo b E, temos que x b.
· 
Dizemos que x E é minimal se não existe a E, tal que a < x.
Com alguns vícios de linguagem podemos dizer que um elemento é máximo se todos os elementos estão abaixo dele; ele é maximal se nenhum elemento está acima dele; ele é mínimo se todos elementos estão acima dele; e é minimal se não existe nenhum elemento abaixo dele.
Podemos dar uma rápida olhadinha na aula anterior. No exemplo 01 temos que o elemento 1 é mínimo e os elementos 8 e 6 são maximais, no exemplo 02, temos que a é mínimo e d é máximo, no exemplo 03 sabemos que o conjunto vazio é um elemento mínimo ao passo que A é máximo, por fim, no exemplo 04 temos que 1 é mínimo e 8 é máximo.
Exemplo
Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ordenado pela divisibilidade. O diagrama abaixo mostra que E não possui máximo. Os elementos 4, 5 e 6 são maximais, pois não existe nenhum elemento acima de cada um deles. O elemento 1 pode ser visto como mínimo ou ainda como minimal.
CONJUNTOS BEM ORDENADOS
Definição: Um conjunto ordenado A é chamado de bem ordenado se todo subconjunto de A tem um primeiro elemento. 
Exemplos
· 
O conjunto dos naturais com a ordem habitual é bem ordenado. 
· 
O conjunto Z dos inteiros com a ordem habitual não é bem ordenado, no entanto qualquer subconjunto de Z inferiormente limitado é bem ordenado. 
· Qualquer subconjunto de um conjunto bem ordenado, é bem ordenado.
Observação: A partir destemomento nossas atenções estarão voltadas para o conjunto Z dos inteiros como veremos na Unidade IV. 
Exercícios Propostos
QUESTÃO 01
Seja o conjunto A = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} ordenado pela divisibilidade. Determine se este conjunto é parcialmente ou totalmente ordenado pela divisibilidade, justificando sua resposta utilizando-se dos símbolos 
QUESTÃO 02
O conjunto A da questão anterior ordenado pela divisibilidade possui elementos maximais, minimais, elemento mínimo ou máximo?
QUESTÃO 03
O conjunto A da questão anterior ordenado pela ordem habitual possui elementos maximais, minimais, elemento mínimo ou máximo?
QUESTÃO 04
Com relação a um conjunto A não vazio, responda V ou F em cada afirmação abaixo. 
a) Um conjunto A com uma quantidade finita de elementos pode não ter primeiro e nem último elemento.
b) Um conjunto A infinito pode não ter elemento maximal nem minimal
c) Um conjunto A finito deve ter pelo menos um elemento maximal e minimal
Participe do espaço interativo, esclareça suas dúvidas e envie seus comentários.
Aula 17_Aplicações do Diagrama de Hasse	
Nesta aula, vamos ver algumas aplicações do diagrama de Hasse.
Exemplo 01
Os diagramas de Hasse geralmente são aplicados em situações de execução de tarefas, onde se deseja não apenas cumpri-las, como também realizá-las com um tempo otimizado (menor tempo possível).
Suponha uma tarefa bem simples como pintar as paredes de uma sala. Você deve retirar os móveis da sala, forrar o chão, passar fita crepe nas junções das paredes, passar massa corrida em algumas falhas da parede, lixar a massa corrida, tirar o pó, pintar o teto, pintar as paredes laterais da sala e recolocar os móveis.
Por mais simples que possa parecer, alguns elementos deste conjunto são pré-requisitos para a realização de outros, enquanto que retirar os móveis da sala e passar fita crepe independe de todos os outros passos, podendo fazer o papel de elementos minimais. O simples esquema de como realizar esta tarefa em um tempo mínimo, consiste em uma das aplicações do diagrama de Hasse.
A discussão destas aplicações não será feita neste livro-texto, aconselho o aluno no final desta unidade, caso queira, a tomar conhecimento dos diagramas PERT (Program Evaluation and Review Technique) que em português significa Técnica para a análise e revisão do programa. 
Exemplo 02
Você deve ter notado que, de modo geral, duas relações de ordem diferente da habitual foram exploradas, a divisibilidade e a inclusão de conjuntos. Nelas se discutia se os elementos podiam ou não ser comparados de acordo com aquele critério pré-estabelecido. O mesmo ocorre na via real, imagine o departamento pessoal de uma empresa. Este departamento possui uma listagem dos funcionários desta empresa em uma ordem qualquer, provavelmente a ordem alfabética. Suponha que o gerente desta empresa deseja ordenar estes elementos de acordo com outros critérios, como por exemplo, a produtividade de cada setor, ou ainda o valor do contracheque de cada funcionário. O que quero passar a você, é que ordenar conjuntos onde já se conhece o posicionamento de cada um de seus elementos não é uma tarefa muito árdua. Uma tarefa um pouco mais complicada, seja talvez, a de elaborar um algoritmo que permita ordenar os elementos deste conjunto de outras formas, permitindo uma análise maior de toda a situação. O exemplo mostrado na aula 15 tenta elucidar esta situação. 
Observando a posição dos elementos podemos extrair algumas informações importantes como as do tipo em que a é elemento mínimo e d é elemento máximo, ou ainda que b c. No entanto existem várias formas de se ordenar os elementos do conjunto trabalhado conforme mostramos abaixo. 
a < b < c < f < e < d 
a < f < b < c < e < d
a < b < f < c < e < d
a < f < b < e < c < d
a < f < e < b < c < d 
a < b < f < e < c < d 
 
 
 
Exemplo 03
Suponha que em uma universidade no curso de computação sejam oferecidas algumas disciplinas denominadas de apoio ao curso. Digamos que façam parte das disciplinas exatas de apoio, as seguintes matérias: lógica, pesquisa operacional, cálculo I e II, cálculo numérico, matemática discreta, álgebra e álgebra linear; sendo que cálculo II e álgebra linear sejam pré-requisitos de cálculo numérico; álgebra linear e matemática discreta sejam pré-requisitos para pesquisa operacional e cálculo I pré-requisito de cálculo II. Construa um diagrama de Hasse sabendo que um aluno quer completar essas matérias nos três primeiros semestres de sua vida universitária e que em cada semestre pode fazer apenas 3 destas matérias.
 O diagrama abaixo é uma das possíveis formas de realizar esta tarefa. 
Na próxima aula, vamos fazer alguns exercícios, para fixar melhor o que aprendemos nesta aula.
Aula 18_Exercícios para Fixação
Vamos resolver alguns exercícios, para que você consiga fixar melhor o conteúdo desta unidade. Faça-os com calma e atenção!
QUESTÃO 01
Seja o conjunto IN dos naturais inteiros e positivos ordenados pela divisibilidade. Determine se cada um dos subconjuntos de IN abaixo é parcialmente ou totalmente ordenado pela divisibilidade.
a) A = {3, 6, 9}
b) B = {2, 3, 6, 8}
QUESTÃO 02
Imagine o conjunto A = {2, 3, 5, 6, 10, 60} ordenado pela divisibilidade. Justifique utilizando-se dos símbolos , , se A é um conjunto parcialmente ou totalmente ordenado pela divisibilidade. Faça também um diagrama de Hasse ilustrando esta situação. 
QUESTÃO 03
Faça um diagrama de Hasse para o conjunto abaixo e verifique se o mesmo é ordenado pela inclusão de conjuntos.
A = {{m}, {n}, {m, n, o}, {m, n, p}, {m, n, o, p, q}, {m, n, o, p}}
QUESTÃO 04
Determine se possuem elementos maximais, minimais, mínimo e máximo.
a) em cada um dos conjuntos discutidos na questões 01.
b) no conjunto discutido na questões 02.
Foi fácil resolver os exercícios? Se houver alguma dúvida, não deixe de nos perguntar, através do ambiente virtual de aprendizagem.
Aula19_Fixando as Unidades I, II, III 
Estes exercícios irão ajudá-los a entender e fixar melhor todo o conteúdo discutido até o presente momento com vistas à criptografia.
QUESTÃO 01
Verificar se são operações:
a) A subtração em Z 
b) O mdc em IN
QUESTÃO 02
Escrever:
a) M(11)
b) D(7)
c) D(3) D(8)
d) mmc (24, 28)
e) mdc (21, 15)
QUESTÃO 03
Verificar se a estrutura algébrica (P(A), ) representa uma operação, sabendo que: 
A = {m, n, p}.
QUESTÃO 04
Fazer a tábua da estrutura (A, *), com A = {1, 3, 7, 2} onde para todo elemento a e b pertencentes a A, temos a * b = mmc (a, b) e verificar se a estrutura representa uma operação.
QUESTÃO 05
Fazer a tábua da estrutura (A, *), com A = {1, 2, 4, 8, 12} onde para todo elemento a e b pertencentes a A, temos a * b = mdc(a, b) e verificar se a estrutura representa uma operação.
QUESTÃO 06
Dados os conjuntos A = {2; 3; 6; 7} e B = {5; 6; 7; 8; 10; 13 }, represente as relações, listando seus pares ordenados. 
a) R1: {(x; y) A x B / y = x} 
b) R2: {(x; y) A x B / y = 2x + 1}
QUESTÃO 07
Dado E = {2, 8, 11} e a relação R = {(x, y) E X E / x > y}. Escrever R através de seus pares ordenados e determinar se R é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.
QUESTÃO 08
Discuta a relação de perpendicularidade em um conjunto T de retas no plano. Essa relação dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva?
QUESTÃO 09
a) Quais os possíveis restos da divisão de um número inteiro por 8?
b) Seja R uma relação em Z definida por escreva as sete classes de equivalência no conjunto Z / R.
QUESTÃO 10
Seja a relação R nos inteiros positivos N definida pela equação x + Y = 3, ou seja: R = {(x, y) / x + y = 3}
a) Escreva R como um conjunto de pares ordenados.
b) Escreva o domínio e a imagem de R.
c) R dispõe das propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva?
QUESTÃO 11
a) Verifique se o conjunto A = {2, 4, 8, 10, 16} é totalmente ordenado pela divisibilidade.b) O conjunto A possui elemento mínimo, máximo, minimal e maximal?
QUESTÃO 12
Faça o diagrama de Hasse referente ao conjunto A = {1, 3, 5, 7, 14, 15} ordenado pela divisibilidade.
Com esses exercícios, terminamos mais uma unidade. Espero que você tenha gostado das aulas. Até a próxima!
Aula 20_Divisão em Z
Como havíamos dito, vamos centralizar nossas atenções no conjunto Z, que sabemos ser totalmente ordenado pela relação de ordem habitual.
Vamos agora aprender como se divide em Z.
Veja inicialmente a divisão abaixo realizada no conjunto dos naturais.
 Repare que 15 = 2 . 7 + 1
e o algoritmo da divisão abaixo, em que
 Com a = b . q + r
Vamos voltar a divisão inicial fazendo-a de uma forma mais lenta. 
Na realidade, sempre omitimos o -14, pois fazemos mentalmente o cálculo 7 x 2 = 14, para 15, resto 1. Apesar desse processo parecer mais lento, gostaria que você se utilizasse dele ao realizar divisões em Z.
Divisão em Z: Para dividirmos dois inteiros a e b com b0 devemos obedecer as seguintes condições: 
 Com r 0 e r < 
Veja alguns exercícios resolvidos:
Exercício Resolvido 01
Dados a e b inteiros efetuar a divisão de a por b em Z:
a) a = -18 e b = 4
 
Repare que o dividendo e o divisor possuem sinais contrários o que significa que o quociente será negativo. Não podemos esquecer que o resto tem de ser positivo ou nulo e menor que o módulo de b. 
Repare que o quociente não pode ser – 4, pois teríamos resto negativo o que não satisfaz o algoritmo da divisão em Z. 
A divisão correta em Z é:
Então: -18 = 4 . (-5) + 2
b) a = - 35 e b = 6
Então: - 35 = 6 . (-6) + 1
c) a = 12 e b = 5 
Então: 12 = 5 . 2 + 2
d) a = -14 e b = -5
 Então: -14 = - 5 . 3 + 1
Você deve estar se perguntando qual a finalidade de uma divisão em Z; pois aparentemente no cotidiano das pessoas não é assim que as divisões ocorrem. Neste momento gostaria que você desse uma revisada no início da aula 12 e observasse a divisão em Z abaixo: 
O fato de -17 dividido por 4 dar resto 3, significa inicialmente que o -17 é um elemento do conjunto no Z4 (conjunto formado por todos os elementos inteiros que numa divisão por 4 dão resto 3), cuja ideia será construída aos poucos. 
 Exercícios Propostos
1) Efetuar as divisões em Z abaixo:
2) Ao efetuar – 11 dividido por 3 obtemos: 
a) – 11 = 3 . (-3) + 2
b) – 11 = 3 . (-3) – 2
c) – 11 = 3. (-4) + 1
d) – 11 = 3 . 4 + 1
Envie suas dúvidas e comentários. Participe!
Aula 20ª_A ideia do lote
Para iniciar a ideia da congruência módulo m; vamos inicialmente falar em organizações.
Vamos tentar responder as perguntas, antes de olhar as respostas:
1) Se hoje é segunda feira; daqui a 23 dias; será qual dia.
Resposta: Repare que como estamos falando sobre os dias da semana; compensa organizar os dados de 7 em 7 dias; porque sabemos que a cada 7 dias, completamos um lote, ou seja damos uma volta.
E se dividirmos 23 por 7, podemos reparar que 23 dividido por 7 dá quociente 3 e resto 2.
Repare que se olharmos só o resto podemos dizer que estaremos numa quarta feira; pois o quociente 3, indica que 3 segundas feiras ( 3 lotes ) teriam se passado, e ainda sobrariam 2 dias de resto, ou caso queiram do próximo lote, ou seja estaremos numa quarta feira.
2) Se hoje é segunda feira; daqui a 85 dias; será qual dia.
Resposta: Repare que como estamos falando sobre os dias da semana; compensa organizar os dados de 7 em 7 dias; porque sabemos que a cada 7 dias, completamos um lote, ou seja damos uma volta.
E se dividirmos 85 por 7, podemos reparar que 85 dividido por 7 dá quociente 12 e resto 1.
Repare que se olharmos só o resto podemos dizer que estaremos numa terça feira; pois o quociente 12, indica que 12 segundas feiras ( 12 lotes ) teriam se passado, e ainda sobrariam 1 dia de resto, caso queiram do próximo lote, ou seja estaremos numa terça feira.
3) Se estamos em abril, daqui a 14 meses estaremos em: 
Resposta: Repare que como estamos falando sobre os meses do ano; compensa organizar os dados de 12 em 12 meses; porque sabemos que a cada 12 meses, completamos um lote, ou seja damos uma volta.
E se dividirmos 14 por 12, podemos reparar que 14 dividido por 12 dá quociente 1 e resto 2.
Repare que se olharmos só o resto podemos dizer que estaremos em junho; pois o quociente 1, indica que 1 ano( 1 lote ) teria se passado, e ainda sobrariam 2 meses de resto, ou seja estaremos em junho. Dia de resto, caso queiram do próximo lote, ou seja estaremos numa terça feira.
4) Se estamos em abril, daqui a 66 meses estaremos em: 
Resposta: Repare que como estamos falando sobre os meses do ano; compensa organizar os dados de 12 em 12 meses; porque sabemos que a cada 12 meses, completamos um lote, ou seja damos uma volta.
E se dividirmos 66 por 12, podemos reparar que 66 dividido por 12 dá quociente 5 e resto 6.
Repare que se olharmos só o resto podemos dizer que estaremos em outubro; pois o quociente 5, indica que 5 anos ( 5 lotes ) teriam se passado, e ainda sobrariam 6 meses de resto, ou seja estaremos em outubro.
Agora vamos formalizar esse conteúdo; se expressando de forma algébrica.
Uma boa aula a todos;
Aula 21_Congruência Módulo M
Nesta aula, estudaremos sobre um assunto muito importante: a congruência módulo M. Vamos lá! 
Definição: Sejam a, b e m inteiros com m ≥ 1. Dizemos que a é congruente a b módulo m, se e somente se m divide a diferença a – b.
Em outras palavras a é congruente a b módulo m, se e somente se existe um K inteiro, tal que a – b = k. m, ou ainda,
Você pode se utilizar da ideia equivalente dizendo que a e b são congruentes módulo m, quando numa divisão por m ambos possuírem o mesmo resto; cuja notação é mostrada abaixo:
a ≡ b (modm) deve ser lida como: a é congruente a b módulo m ou ainda: a é côngruo a b, módulo m.
Assim ao dizer que − 15 ≡ 9 (mod 4) onde se lê -15 é congruente a 9 módulo 4, gostaria que você entendesse que em uma divisão por 4, tanto o -15 como o 9 produzem o mesmo resto, como vemos nas divisões em Z abaixo:
O fato de tanto o -15 como o 9 numa divisão por 4; ter dado resto 1; nos indica que estes dois valores são elementos do conjunto  (1 barra) no Z4.
Vamos lembrar novamente a ideia de partição de um conjunto discutida na aula 04, e a de classe de equivalência discutida na aula 12 fazendo uso da pergunta abaixo:
Quais são os possíveis restos na divisão de um número inteiro por 3? Só existem três restos na divisão de um inteiro por 3.
São eles: o resto zero; o resto 1, e o resto 2.
É fácil identificar alguns elementos deste conjunto como vemos na construção abaixo:
O problema é determinar em qual dos conjuntos está o elemento (125)7. 853. Para determinar em qual dos conjuntos está este número inteiro vamos formalizar algumas propriedades das congruências.
Para todo a, b, c, d, m, n inteiros com m ≥ 1, são válidas as propriedades abaixo:
Vamos tentar descobrir o resto da divisão de (17 . 12) por 7. A primeira opção de resolução é multiplicar o 17 por 12, cujo resultado é 204 e dividir esse valor por 7; obtendo 29 como quociente e 1 como resto. O que significaria que no Z7 o número 204 é um elemento do conjunto 1.
Uma outra forma de descobrir o resto desta divisão é se utilizar das propriedades das congruências. Desta forma não precisamos multiplicar o 17 por 12 como fizemos anteriormente e sim realizar as seguintes operações.
17 ≡ 3 (mod 7) . Repare que por mais estranho que possa parecer você vai trocar o 17 pelo 3, isto porque numa divisão por 7, o 17 e o 3 produzem o mesmo resto que é 3, pois 3 dividido por 7 dá quociente zero e resto 3.
12 ≡ 5 (mod 7) . Repare que também vamos trocar o 12 pelo 5, pois numa divisão por 7, o 12 e 5 produzem o mesmo resto que é 5.
15 ≡ 1 (mod 7) . Este 15 veio do produto dos restos das operações anteriores que eram 3 e 5. Desta forma 15 dividido por 7 da resto 1 o que nos leva a crer que o resto da divisão em Z de 204 por 7 é 1.
Exercício Resolvido 01
Vamos tentar responder agora a questão inicial, ou seja, qual o resto da divisão de (125)7 . 853 por 3. Sabemos