Estatística Descritiva _Contabildiade

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Campus de Foz do Iguaçu 
Centro de Ciências Sociais Aplicadas 
Curso de Ciências Contábeis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carlos dos Santos 
 
 
 
 
Foz do Iguaçu 
Março/2018 
 
1 
 
Sumário 
 
1 Introdução à compreensão da Estatística .................................................................................... 2 
2 Variáveis Estatísticas ........................................................................................................................ 3 
3 Estatística descritiva ......................................................................................................................... 6 
3.1 Representação tabular ................................................................................................................... 6 
3.2 Tabelas de frequências de dados não agrupados em classes ......................................... 7 
3.3 Tabelas de frequências de variáveis qualitativas ............................................................... 9 
3.4 Tabelas de frequências de dados agrupados em classes .............................................. 12 
3.5 Sequência de exercícios nº 2 ............................................................................................ 16 
4 Representação gráfica .................................................................................................................... 17 
4.1 Gráfico de pontos................................................................................................................ 17 
4.2 Histograma ......................................................................................................................... 19 
4.3 Polígono de frequências..................................................................................................... 20 
4.4 Gráfico de Barras ................................................................................................................ 21 
4.5 Gráfico de setores .............................................................................................................. 23 
4.6 Gráfico de linhas ................................................................................................................. 24 
4.7 Sequência de exercícios nº 3 ............................................................................................ 26 
5 Medidas de tendência central ........................................................................................................ 28 
5.1 Média Aritmética simples ................................................................................................... 28 
5.2 Média aritmética ponderada .............................................................................................. 29 
5.3 Média aritmética de dados tabulados................................................................................ 29 
5.4 Mediana ............................................................................................................................... 31 
5.5 Moda (Mo) ........................................................................................................................... 34 
5.6 Sequência de exercícios nº 4 ............................................................................................ 36 
6 Medidas Separatrizes ...................................................................................................................... 37 
6.1 Quartis(Q) ............................................................................................................................ 37 
 6.2 Sequência de exercícios nº 5.........................................................................................................41 
7 Medidas de dispersão ..................................................................................................................... 42 
7.1 Variância e desvio padrão .................................................................................................. 43 
7.2. Coeficiente de variação ..................................................................................................... 47 
7.3 Sequência de exercícios nº 6..........................................................................................................48 
8. Medidas de Assimetria e Curtose ................................................................................................ 48 
8.1 Medidas de Assimetria ....................................................................................................... 49 
8.2 Curtose ................................................................................................................................ 51 
8.3 Sequência de exercícios nº 7 ............................................................................................ 55 
 
 
2 
 
1 Introdução à compreensão da Estatística 
 
A estatística é uma ciência formada por diversos métodos aplicados a vários ramos do 
conhecimento humano para a obtenção e utilização de informações que possibilitam a tomada de 
decisão em determinada situação prática. 
Dentro de uma empresa, frequentemente, os profissionais estão tomando decisões, 
quase todas importantes, essenciais para o sucesso dos negócios, por isso a necessidade de 
dados estatísticos com informações corretas, que contribuam para uma boa tomada de decisão. 
O profissional contábil usa registros e fatos ocorridos dentro da empresa e organiza-os em dados 
numéricos para mostrar a real situação econômico financeira da mesma. 
A contabilidade não é uma ciência exata, ela é uma ciência social, pois é a ação humana 
que gera e modifica o fenômeno patrimonial, porém, utiliza os métodos quantitativos, ou seja, 
matemática e estatística como principal ferramenta. 
A contabilometria pode ser vista como uma forma de prever resultados amparados em 
demonstrações financeiras, através de cálculos matemáticos e estatísticos, utilizando recursos 
computacionais. Compreende-se, então que, a contabilidade somada à estatística, à matemática 
e à computação, resulta na contabilometria. 
 Dois termos bastante utilizados em estatística são população e amostra: 
 População: É o grupo alvo de estudo, o qual tem uma ou mais características em 
comum. 
 Amostra: É um subconjunto ou uma parte da população. 
Por exemplo, um auditor quer verificar faturas de uma empresa de vendas, porém, o 
mesmo dispõe de 10000 faturas (população) e não tem tempo para verificar todas. Então, ele 
coleta sistematicamente 50 faturas (amostra) e obtém as informações necessárias. 
 Quando a quantidade de documentos dentro da empresa é muito grande, para que a 
auditoria possa ser feita, é necessário utilizar uma parte representativa desse material. Esta 
representatividade só é conseguida através da metodologia de dimensionamento de amostras e 
das técnicas estatísticas de amostragem, as quais correspondem a uma parte deste curso. 
Geralmente surge a seguinte pergunta: Porque utilizar os métodos estatísticos? Dentre as 
razões para o profissional da contabilidade aprender estatística temos: 
 
 O contador deve saber como apresentar e descrever informações de forma adequada. 
Isso é possível por meio de gráficos e tabelas. 
 O contador deve saber como tirar conclusões a partir de grandes populações com base 
somente na informação obtida de amostras. Isso é possível através das técnicas de 
amostragem. 
3 
 
 O contador deve saber como melhorar os processos de prestação de serviços. Isso é 
possível se forem feitas pesquisas periódicas de satisfação do cliente. 
 O contador precisa saber como obter predições e (ou) previsões confiáveis a partir de 
variáveis de interesse. Isso é possível por meio de modelagem, ou seja,da análise de 
regressão e da análise de séries temporais. 
Pode-se dizer que toda a ciência que manipula dados experimentais necessita da 
estatística como método de análise, para que o pesquisador possa tirar conclusões que tenham 
validade científica. 
Neste curso serão desenvolvidos os seguintes tópicos de estatística; Estatística 
descritiva, probabilidade, amostragem e inferência estatística (testes de hipótese e estimação), 
correlação e análise de regressão linear. 
O estudo de amostragem possibilitará o conhecimento das principais técnicas de 
obtenção de amostras bem como o seu dimensionamento. 
O estudo de probabilidades será necessário para que possam ser desenvolvidos os 
principais métodos de inferência estatística. 
A probabilidade servirá como base para o estudo da inferência estatística. 
A inferência estatística vai possibilitar a tomada de decisão acerca de populações 
tomando como base, amostras. 
 A correlação estuda o grau associação entre duas ou mais variáveis e a análise de 
regressão linear propõe uma equação linear para predizer valores de uma variável dependente 
(Y) em função de uma ou mais variáveis preditoras (X1, X2, . . .Xk). Essa metodologia é utilizada 
em contabilometria. 
 
 
2 Variáveis Estatísticas 
 
As características que descrevem a população são chamadas variáveis. 
 
Variável Característica pela qual deseja-se que a população seja descrita, ou por meio da qual, 
decisões acerca da população são tomadas. Por exemplo: altura de alunos, comprimento peças, 
preferência do eleitor, etc. 
 
Na descrição ou análise de um conjunto de dados estatísticos, é possível associar certos 
tipos de variáveis, pois o tratamento matemático exigido e o método estatístico empregado 
dependerão do tipo de variável em estudo. Podem ser considerados dois tipos de variáveis, as 
4 
 
qualitativas e as quantitativas. As qualitativas podem ser nominais ou ordinais, enquanto que as 
quantitativas podem ser discretas ou contínuas, como mostra o esquema a seguir: 
 














contínuas
discretas
vasquantitati
ordinais
nominais
asqualitativ
variáveisdeTipos 
 
Variáveis qualitativas 
 
As variáveis qualitativas estão associadas a uma característica que denota qualidade ou 
atributo, sendo que as qualitativas nominais não seguem uma ordem pré-definida. São exemplos 
de variáveis qualitativas nominais: 
 Cor dos olhos dos operários de certa indústria (azuis, castanhos, verdes, etc.), 
 Desempenho dos operários (ótimo, bom, regular, péssimo, etc.), 
 Qualidade de produtos (defeituosos, perfeitos, recuperáveis, etc.). 
Já, as qualitativas ordinais seguem uma determinada ordem pré-definida. São exemplos de 
variáveis qualitativas ordinais: 
 Grau de escolaridade (1o grau, 2o grau, 3o grau, etc.), 
 Patente militar (soldado, cabo, sargento, subtenente, tenente), 
 Porte da empresa (grande, médio, pequeno, micro). 
 
Variáveis quantitativas 
 
As variáveis quantitativas estão associadas a valores numéricos, podendo ser discretas ou 
contínuas. 
Uma variável é dita quantitativa discreta quando o número de valores for finito ou infinito 
enumerável. Geralmente as variáveis quantitativas discretas referem-se às contagens. São 
exemplos de variáveis quantitativas discretas: 
 Número de peças produzidas com defeito, por lote. 
 Número de não conformidade, por departamento, de uma empresa. 
 Número de acidentes ocorridos, por mês, em um cruzamento. 
 
5 
 
 A variável quantitativa contínua é aquela que pode, ao menos teoricamente, assumir 
qualquer valor entre dois valores possíveis. Geralmente, as variáveis contínuas referem-se às 
medições. Alguns exemplos de variáveis quantitativas contínuas são: 
 Comprimentos de parafusos fabricados por certa máquina. 
 Tempos gastos pelos operários para realizar certa tarefa. 
 Salários, em reais, de funcionário de um escritório de contabilidade. 
 
 
 
2.1 Sequência de exercícios nº 1 
 
01. Dê a definição de estatística e de estatística descritiva 
 
02. A estatística pode ser utilizada na área de contabilidade de que formas? 
 
03. O que é contabilometria? 
 
04. Defina população e amostra. 
 
05. Classificar cada uma das seguintes variáveis (qualitativa nominal, qualitativa ordinal, 
quantitativa discreta ou contínua): 
 
a) População: Válvulas fabricadas por certa indústria 
Variável: número de válvulas defeituosas em cada lote de 100 válvulas. 
b) População: cabos fabricados por certa companhia; 
Variável: número de cabos defeituosos em cada lote de 100 cabos 
c) População: Cursos de matemática de nível superior 
Variável: colocação no último provão do MEC. 
d) População: Televisão de certa marca 
Variável: opinião dos compradores acerca da qualidade 
e) População: Cultivar de Milho A 
Variável: número de espigas produzidas por planta 
Variável: altura da planta 
f) População: Bois da raça Nelore. Variável: Peso de abate 
 
 
 
6 
 
3 Estatística descritiva 
 
Definições de Estatística descritiva 
 
Definição 1: A estatística descritiva é uma função cujo valor numérico descreve, por si só, 
determinada característica de um conjunto de dados, reduzindo-o a proporções mais facilmente 
interpretáveis. Dentre essas funções temos a média amostral, o desvio padrão amostral, a 
proporção amostral, etc. 
 
Definição 2: A estatística descritiva pode ser interpretada como a observação de fenômenos de 
mesma natureza, coleta de dados numéricos referentes a esses fenômenos, organização, 
classificação, apresentação e interpretação desses dados por meio de gráficos e tabelas. 
 
 
3.1 Representação tabular 
 
Quando um conjunto de observações de certo fenômeno não está devidamente 
organizado, são chamados de dados brutos, fornecendo poucas informações de interesse ao 
pesquisador, assim torna-se necessário representa-los por meio de tabelas de distribuição 
frequências. 
 
Frequência é uma medida que quantifica a ocorrência de um valor ou categoria de uma variável 
 
Distribuição de frequência consiste em uma função que associa os valores que uma variável 
assume com suas respectivas frequências de ocorrência. 
 
Assim, a representação tabular consiste em dispor a distribuição de frequências das 
categorias ou valores da variável em tabelas. 
Uma tabela pode apresentar e caracterizar os seguintes tipos de frequências: 
 
 














relativa
absoluta
acumulada
relativa
absoluta
simples
Frequência
 
 
Geralmente uma tabela é formada pelos seguintes componentes: Título, cabeçalho, coluna 
indicadora, Corpo, Linha de totais e Rodapé, como mostra a figura 3.1. 
7 
 
O título deve conter as informações relativas ao conteúdo da tabela, ou seja, a(s) 
variável(is) dispostas, podendo ainda conter o local de coleta dos dados, e quando foi realizado 
o estudo. O cabeçalho especifica as variáveis e a frequência (ou outra característica) 
correspondente aos seus valores. 
O corpo é representado por uma série de colunas e subcolunas, dentro das quais são 
colocadas as frequências simples e acumuladas. No rodapé são colocadas a legenda e todas as 
observações que venham a esclarecer as informações da tabela. De um modo geral aí também 
é disposta a fonte dos dados, ou seja, a instituição ou o autor que fornece as informações, bem 
como o ano, embora em alguns casos ela seja colocada no título. Segundo as regras da ABNT, 
as laterais da tabela não devem haver traços nas partes esquerda e direita da tabela e não 
devem haver traços horizontais separando as linhas interiores da tabela. 
 
Figura 3.1 - Componentes de uma tabela 
 
Mais detalhes sobre normas de tabelas deverão ser consultadas na NBR 14724:2011 
subitem 5.9, que por sua vez, remete as normas de apresentação tabular do Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística – IBGE (1993), as quais podem ser encontradas no seguinte site: 
http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf3.2 Tabelas de frequências de dados não agrupados em classes 
 
Classes são intervalos numéricos que representam os valores de uma variável 
 
Nas tabelas com dados não-agrupados em classes, os valores são da primeira coluna são 
individuais. Esse tipo de tabela é utilizado quando a variável em estudo é quantitativa discreta e 
não possui mais dez valores individuais. 
 
 
http://loja.ibge.gov.br/informacoes-gerais/normas/normas-de-apresentac-o-tabular-3-edic-o.html
http://www.ibge.gov.br/home/
http://www.ibge.gov.br/home/
8 
 
Exemplo 
 
Considere a variável que representa o número de declarações de imposto de renda 
realizadas, por dia, por um escritório de contabilidade, num total de 50 dias. Os dados coletados 
foram: 
5 3 2 1 4 5 5 6 7 4 
6 5 4 5 3 6 7 7 5 5 
4 6 6 4 2 3 0 5 6 3 
8 4 4 4 3 0 1 3 2 4 
1 4 5 4 6 2 5 6 4 3 
 
a) Qual é a variável em estudo e a sua classificação? 
A variável em estudo é “número de declarações de imposto de renda realizadas por dia” 
e, como trata-se de contagem, é classificada como “variável quantitativa discreta”. 
 
b) Qual é o tipo de tabela mais adequado para representar a distribuição de frequências dos 
dados? Justifique a sua resposta. 
A tabela com dados não agrupados em classes é o tipo mais adequado, pois a variável 
“número de declarações de imposto de renda feitas por dia” é classificada como “variável 
quantitativa discreta” e não possui mais de dez valores individuais, isto é, são nove valores (de 0 
a 8). 
 
c) Construa uma tabela para os dados, com todos os tipos de frequências. 
 
Tabela 1.1 Distribuição de frequências do número de declarações de imposto de renda 
realizadas por um escritório de contabilidade, por dia, num total de 50 dias, em 
2017. 
 Número de declarações 
de imposto de renda 
realizadas por dia 
Frequência 
(Número de 
dias) 
 
Porcentagem 
 
Frequência 
Acumulada 
Porcentagem 
Acumulada 
0 2 (2/50)*100 = 4 2 4 
1 3 (3/50)*100 = 6 2+3=5 4+6=10 
2 4 (4/50)*100 = 8 5+4=9 10+8=18 
3 7 (7/50)*100 = 14 9+7=16 18+14=32 
4 12 (12/50)*100 = 24 16+12=28 32+24=56 
5 10 (10/50)*100 = 20 28+10=38 56+20=76 
6 8 (8/50)*100 = 16 38+8=46 76+16=92 
7 3 (3/50)*100 = 6 46+3=49 92+6=98 
8 1 (1/50)*100 = 2 49+1=50 98+2=100 
Total 50 100 
Fonte: dados fictícios 
 
9 
 
d) Interprete a tabela 
 
Observação: quando uma tabela é interpretada, não é necessário realiza-la para todas as 
informações. Apenas interpretam-se as informações mais relevantes as quais, em geral, são as 
de maior frequência e aquelas onde as frequências acumuladas ultrapassam os 50%, isto é, 
representam a maioria. 
No exemplo em questão, observa-se que, de um total de 50 dias, em 12, o equivalente a 
24%, sendo essa a maior porcentagem, houve quatro declarações realizadas por dia. Nota-se, 
também que, em 10 dias, ou seja, 20% do total, sendo esta a segunda maior porcentagem, 
houve 5 declarações realizadas por dia. O maior número de declarações realizadas por dia foi 
oito, um número baixo. Houve dois dias em que nenhuma declaração foi realizada. Por fim, 
percebe-se que, em 28 dias, o equivalente a 56%(mais da metade dos dias), foram feitas 4 
declarações ou menos. Haja vista que, a época de declaração de imposto de renda é período 
em que os escritórios de contabilidade ganham mais dinheiro, a gestão do mesmo deverá 
procurar meio (marketing, treinamento, agilidade, etc.) para melhorar seu desempenho. 
 
3.3 Tabelas de frequências de variáveis qualitativas 
 
 As tabelas de variáveis qualitativas podem ser de entrada simples, de dupla entrada, e de 
múltipla entrada. A cada entrada corresponde uma linha (ou coluna) de totais. Nesse tipo de 
tabela, as categorias devem ser organizadas, de forma que haja uma ordem decrescente de 
frequências. 
 
Exemplo: Suponha que a gerência de uma empresa, a fim de realizar atividades de integração, 
resolveu realizar uma pesquisa sobre a preferência esportiva de seus funcionários. Após a 
coleta dos dados, foram utilizados os seguintes códigos para facilitar a digitação: 1 para futebol, 
2 para vôlei, 3 para basquete e 4 para Handebol. Os dados coletados foram: 
 
1 3 4 4 2 3 2 3 
2 2 1 1 1 1 2 2 
1 1 3 1 2 1 3 1 
2 2 2 3 2 3 1 3 
2 1 2 3 2 3 2 1 
1 2 1 1 2 1 3 4 
2 2 1 2 1 3 2 3 
1 1 3 2 2 1 1 3 
2 1 1 3 1 1 2 3 
4 4 1 1 3 2 3 1 
10 
 
4 3 4 3 2 1 1 4 
1 1 1 1 3 1 2 2 
1 1 3 2 2 1 3 2 
 
a) Qual é a variável em estudo e a sua classificação? 
A variável em estudo é “Preferência esportiva de funcionários de uma empresa” e é 
classificada como variável qualitativa nominal. 
 
b) Construa uma tabela com todos os tipos de frequências. 
 
Tabela 2 – Preferência esportiva dos Funcionários da empresa A. 
Preferência 
esportiva 
Número de 
Funcionários 
Porcentagem 
 
Número de 
funcionários 
Porcentagem 
 
Futebol 40 (40/104)*100 = 38,46 0 + 40 = 40 0 + 38,46 = 38,46 
Vôlei 32 (32/104)*100 = 30,77 40+ 32 = 72 38.46 + 30,77 = 69,23 
Basquete 24 (24/104)*100 = 23,08 72 + 24 =96 60,23 + 23,08 = 92,31 
Handebol 8 (8/104)*100 = 7,69 96 + 8 = 104 92,31 + 7,69 = 100,00 
TOTAL 104 100 
Fonte: dados fictícios 
 
c) Interprete os resultados da tabela. 
 
Percebe-se que a preferência esportiva de maior frequência foi a do futebol com 40 de 104 
funcionários, o equivalente a 38,46%. Nota-se que o vôlei foi o segundo esporte preferido, com 
32 funcionários, o equivalente a 30,77%. Observa-se, ainda, que, o futebol e o vôlei somaram 
juntos 72 funcionários, o equivalente a 69,23% do total, ou seja, a maioria. O basquete foi o 
terceiro esporte preferido, com 24 funcionários ou 7,69%. Então, é possível realizar um torneio 
de futebol, um de vôlei e outro de basquete. 
É comum, no entanto, a necessidade de apresentar, numa só tabela, mais do que uma 
característica em estudo. Assim, torna-se necessário o uso de tabelas de dupla entrada. 
 
Exemplo 
 
Para detalhar melhor a pesquisa da empresa do exemplo anterior, além da preferência 
esportiva (X1), sendo 1 para futebol, 2 para vôlei, 3 para basquete e 4 para Handebol, também 
feito o levantamento do gênero (X2), sendo 1 para masculino e 2 para o feminino, como mostram 
os dados a seguir. 
 
Observação: Haja vista que, estão sendo estudadas duas variáveis simultaneamente, na 
prática, os dados deveriam ser digitados em duas colunas de uma planilha, ou seja, uma coluna 
11 
 
para cada variável. No Excel teríamos os resultados da variável “modalidade esportiva”, por 
exemplo, na coluna “A” e os dados da variável “gênero” na coluna “B”. Porém, devido à falta de 
espaço na página, os dados foram digitados em 16 colunas, isto é, oito colunas para cada 
variável. 
 
X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 
1 1 3 2 4 2 4 2 2 2 3 2 2 2 3 1 
2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 
1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 
2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 3 1 1 1 3 2 
2 1 1 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 1 1 
1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 3 1 4 2 
2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 2 3 1 
3 2 1 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 1 
2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 3 1 
4 1 4 2 1 2 1 1 3 2 2 2 3 2 1 1 
4 1 3 1 4 2 3 2 2 2 1 1 1 1 4 2 
1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 2 2 2 
1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 2 
 
 
a) Construa uma tabela de dupla entrada, envolvendo as variáveis “preferência esportiva” e 
“gênero“. 
 
Observação: O objetivo neste exemplo é comparar os gêneros masculino e feminino para cada 
modalidade esportiva, separadamente. Logo, a soma das porcentagens dos gêneros masculino 
e feminino deve ser de 100% dentro de cada modalidade esportiva. Por uma questão de 
estética, colocaremos as categorias da variável “modalidade esportiva” nas linhas, porque é a 
que apresenta o maior número de categorias, ou seja, são quatro (futebol, vôlei, basquete e 
handebol). Já, as categorias da variável “gênero”, ou seja, masculino e feminino, serão 
colocadas nas colunas, pois o número e categorias é menor. 
 
Tabela 3 - Preferência esportiva dos funcionários da empresa A, segundo o sexo. 
Preferênciaesportiva 
Gênero 
Total Masculino Feminino 
Nº de funcionários Porcentagem Nº de funcionários Porcentagem 
Futebol 30 75,0 10 25,0 40 
Vôlei 12 37,5 20 62,5 32 
Basquete 14 58,3 10 41,7 24 
Handebol 2 25,0 6 75,0 8 
Total 58 46 104 
12 
 
Fonte: Dados Fictícios 
 
 
b) faça a interpretação da tabela 
 
 
Observação: Percebe-se que o número total de homens é diferente do número total de 
mulheres, isto é, e 58 e 46, respectivamente. Portanto, não é possível fazer uma comparação 
entre homens e mulheres diretamente pela frequência Absoluta. Por outro lado, esta 
comparação pode ser feita por meio das porcentagens e aí está a grande utilidade desse tipo de 
medida. 
Observa-se que, dos funcionários que preferem futebol, 75% são homens e 25% são 
mulheres, ou seja, a maioria é do sexo masculino. Daqueles funcionários que preferem o vôlei, 
37,5% são do sexo masculino e 62,5% são do sexo feminino, então maioria é do sexo feminino. 
No basquete, 58,3% são homens e 41,7% são mulheres, isto é, a maioria é do gênero 
masculino. No handebol, o número de funcionários é insuficiente. Mas olhando para as 
frequências absolutas, nota-se que, do total de 40 funcionários que preferem futebol, 30 são 
homens e 10 são mulheres, portanto, é possível organizar um torneio de futebol masculino ou 
misto. Observa-se, também que, 32 funcionários preferem o vôlei, desses 12 são homens e 20 
são mulheres, logo, é possível realizar um torneio de vôlei feminino ou misto. Haja vista que, 24 
funcionários no total preferem o vôlei, sendo 12 homens e 20 mulheres, é possível realizar um 
torneio misto de esporte. 
 
3.4 Tabelas de frequências de dados agrupados em classes 
 
As tabelas com dados agrupados em classes são utilizadas quando a variável em estudo é 
classificada como quantitativa contínua. Porém, podem ser usadas, também, quando a variável 
é classifica como quantitativa discreta e, o número de valores individuais é maior do que 10. 
Neste último caso, o procedimento de agrupar dados individuais, em classes, visa evitar certos 
inconvenientes, tais como: 
- Grande extensão da tabela, dificultando tanto quanto os dados originais, a leitura e a 
interpretação dos resultados; 
- Aparecimento de diversos valores da variável com frequência nula. 
 
Exemplo 
 
13 
 
A auditoria de notas fiscais é uma função desenvolvida para ajudar na conferência de 
lançamentos relacionados ao valor contábil. Determinado profissional da área de contabilidade, 
a fim de realizar uma auditoria, anotou os valores de 49 notas fiscais emitidas por uma empresa. 
Os resultados, em reais, foram: 
130,00 105,00 120,00 111,50 99,00 116,00 82,50 
107,50 125,00 100,00 107,50 120,00 143,00 115,00 
135,00 130,00 135,00 127,50 90,50 104,50 136,50 
100,00 145,00 125,00 104,50 101,50 102,50 101,50 
134,50 158,50 110,00 102,50 90,50 107,50 124,00 
121,50 135,00 102,00 119,50 115,50 125,50 117,50 
107,50 140,00 121,00 107,50 113,00 93,00 103,50 
a) O primeiro passo é o de ordenar a lista de dados brutos (Rol) 
 
82,50 101,50 104,50 110,00 119,50 125,00 135,00 
90,50 101,50 105,00 111,50 120,00 125,50 135,00 
90,50 102,00 107,50 113,00 120,00 127,50 136,50 
93,00 102,50 107,50 115,00 121,00 130,00 140,00 
99,00 102,50 107,50 115,50 121,50 130,00 143,00 
100,00 103,50 107,50 116,00 124,00 134,50 145,00 
100,00 104,50 107,50 117,50 125,00 135,00 158,50 
 
 
b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados, a qual é dada por: 
 
At = Maior valor observado – Menor valor observado 
 
 At = 158,50 – 82,50 = 76 
 
c) Calcular o número de classes (k). Alguns autores propõem que se utilize a fórmula de 
Sturges, expressada por: 
 
K = 1 + 3,3*log(n) 
 
Em que n é o número total de observações. O número k de classes geralmente terá casas 
decimais, portanto, convém arredondá-lo para um número inteiro, usando as regras de 
arredondamento, de forma que a última classe inclua o maior valor observado. Apesar de 
14 
 
realizar este procedimento, podem ocorrer alguns casos em que o maior valor observado não 
venha a ser incluído na última classe. Então, faz-se necessário arredondar também a amplitude 
C do intervalo de classe. Assim, para o exemplo dado tem-se 
 
K = 1 + 3,3.log 49  k = 6,577...  k = 7 
 
Portanto, a tabela deverá ter sete classes ou intervalos. 
 
d) Determinar a amplitude do intervalo de classe, dada pela fórmula a seguir: 
 
κ
Α
c t 
 
No exemplo dado tem-se C = 
7
76
 = 10,85714285714  C = 10,86 
Nesse exemplo não foi preciso aumentar a amplitude do intervalo de classe. Geralmente 
surge a seguinte pergunta: Quando se sabe que é preciso aumentar a amplitude C? É preciso 
fazer seguinte cálculo: 
Limite superior da última classe = menor valor +C.K 
Corra 
Limite superior da última classe = 82,5 +10,86 * 7 = 158,52 > 158,5 (máximo valor 
observado). Ok, então as classes da tabela já podem ser construídas. 
 
Observação: caso ocorra “(Limite superior da última classe) ≤ (máximo valor observado)”, o 
procedimento será o de aumentar a amplitude “C”. Repetir esse processo até que ocorra “(Limite 
superior da última classe) > (máximo valor observado)” 
 
e) Determinar os limites de classes. Muitos autores adotam os seguintes símbolos: 
 
I : indica inclusão na classe do valor situado à sua esquerda e exclusão do valor situado à sua 
direita." direita. 
II: indica inclusão na classe dos valores situados a sua esquerda e à direita. 
 
Adotaremos aqui, o procedimento de somar o menor valor observado à amplitude C. O 
resultado desta soma será somado novamente à amplitude C, e assim sucessivamente, até que 
15 
 
sejam criadas todas as classes necessárias. Neste exemplo, C = 10,86, e o menor valor o é 
82,50, então, 
Para 82,50 + 10,86 = 93,36 Tem-se 82,50 I 93,36 
Para 93,36 + 10,86 =104,22 tem-se 93,36 I 104,22 
Para 104,22 + 10,86 =115,08 tem-se 104,22 I 115,08 
Para 115,08 + 10,86 =125,94 tem-se 115,08 I 125,94 
Para 125,94 + 10,86 =136,80 tem-se 125,94 I 136,80 
Para 136,80 + 10,86 =147,66 tem-se 136,80 I 147,66 
Para 147,66 + 10,86 =158,52 tem-se 147,66 I 158,52 
 
 Nota-se que a última classe 147,66 I 158,52 já inclui o maior valor observado (158,50), 
então não é preciso construir mais classes. O passo seguinte é o de retornar aos dados 
ordenados (ROL) e fazer a contagem dos valores incluídos em cada classe. Nesses dados 
percebe-se que os quatro primeiros valores (82.50; 90,50; 90,50 e 93) estão dentro da classe 
82,50 I 93,36. Portanto, a frequência desta categoria é 4. As frequências de todas as classes 
estão na tabela 1.4. 
 
TABELA 4 – Distribuição de frequências dos valores de 49 notas fiscais emitidas por uma 
empresa. 
Valores das notas 
fiscais (R$) 
Número de 
notas fiscais 
Porcentagem 
 
Frequência 
acumulada 
Porcentagem 
acumulada 
 82,50 I 93,36 4 8,2 4 8,2 
 93,36 I 104,22 9 18,4 13 26,6 
104,22 I 115,08 12 24,5 25 51,1 
115,08 I 125,94 12 24,5 37 75,6 
125,94 I 136,80 8 16,3 45 91,9 
136,80 I 147,66 3 6,1 48 98 
147,66 I 158,52 1 2,0 49 100 
TOTAL 49 100 
Fonte: Dados fictícios 
 
 Nota-se que, das 49 notas fiscais observadas, 12 o equivalente 24,5%, apresentaram 
valores maiores ou iguais a R$104,22 e menores do que R$115,08. Outras 12 apresentaram 
valores maiores ou iguais a 115,08 e menores do que 125,94mm. Então, estas foram as duas 
classes com maior frequência. Se forem somadas as frequências dessas duas categorias haverá 
24 notas fiscais, ou seja, quase metade das 49 observadas. No cruzamento da quarta coluna da 
tabela com a linha da classe 115,08 I 125,94 ocorreu o número 37, isto significa que 37 notas 
fiscais, o equivalente 75,5% das 49 inspecionadas, apresentaram valores iguais ou superiores a 
R$85,50 e inferior a R$125,94. Essas informações auxiliarão o auditor na tonada de decisão, ou 
seja, a de rejeitar ou não a nota fiscal. 
 
16 
 
 
3.5 Sequência de exercícios nº 2 
 
01. Foi feitauma pesquisa com uma amostra de 80 alunos de instituições de ensino superior. 
Uma das variáveis em estudo foi o número de pessoas na família. O resultado foi o seguinte: 
2 3 5 4 2 3 1 5 3 2 
2 2 1 3 2 2 3 3 4 1 
1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 
5 5 5 6 4 2 3 5 2 2 
5 4 3 2 2 2 3 2 2 3 
2 5 3 5 2 3 2 2 4 5 
2 2 2 3 4 4 5 5 3 3 
2 2 2 1 5 5 1 2 2 3 
 
a) Qual é a variável em estudo e qual é a sua classificação? 
b) Qual é o tipo mais adequado de tabela para os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa a tabela com todos os tipos de frequências. 
d) Interprete os principais resultados da tabela. 
 
02 Foram inspecionadas 50 peças produzidas por uma máquina. A e a classificação foi a 
seguinte: P = perfeita, R = recuperável e D = defeituosa. O resultado foi o seguinte: 
 
P 
 
D 
 
P 
 
P 
 
D 
 
D 
 
P 
 
D 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
P 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
P 
 
R 
 
R 
 
R 
 
P 
 
D 
 
P 
 
D 
 
P 
 
R 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
R 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
P 
 
P 
 
R 
 
D 
 
D 
 
P 
 
P 
 
P 
 
P 
 
D 
 
D 
 
R 
 
D 
 
D 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de tabela mais adequado para os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa a tabela com todos os tipos de frequências. 
d) Interprete os principais resultados da tabela. 
 
 
17 
 
03. O tempo para realizar a declaração de imposto de renda foi anotado (em minutos). Foram 
feitas 40 declarações, os tempos foram: 
 
45 37 39 48 51 40 53 49 
39 41 45 43 45 34 45 35 
41 57 38 46 46 58 57 36 
58 35 31 59 44 57 45 44 
38 43 33 56 47 48 44 49 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de tabela mais adequado para os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa a tabela com todos os tipos de frequências. 
d) Interprete os principais resultados da tabela. 
 
 
4 Representação gráfica 
 
A apresentação de dados também pode ser feita mediante gráficos. 
 
Gráfico: Diagrama ou figura para ilustração de fenômenos ou tendências, no qual existem 
escalas definidas 
 
As tabelas de frequência têm utilidade como instrumento de análise e de apresentação de 
dados estatísticos. A apresentação gráfica é um complemento das tabelas e possui uma 
vantagem adicional de propiciar a visualização mais rápida do comportamento da característica 
que está sendo estudada, bem como sua variação. 
Neste curso serão apresentados os principais tipos de gráficos, são eles: Gráficos de 
pontos, histograma, polígono de frequências, gráficos de barras (simples e compostas), gráfico 
de setores e gráficos de linhas (simples e compostas). 
 
 
4.1 Gráfico de pontos 
 
Esse tipo de gráfico pode ser utilizado quando a variável em estudo é discreta e possui no 
máximo dez valores individuais, ou seja, é usado nas mesmas situações onde utiliza-se a tabela 
com dados não agrupados em classes. Retornando ao exemplo Número de Declarações 
realizadas por dia, tem-se: 
 
 
18 
 
Número de 
Declarações realizadas por dia 
Frequência 
(Nº de dias) 
0 2 
1 3 
2 4 
3 7 
4 12 
5 10 
6 8 
7 3 
8 1 
Total 50 
 
A variável “número de declarações realizadas por dia” é quantitativa discreta e possui 
apenas 9 valores individuais, portanto o gráfico de pontos é o mais adequado para apresentar os 
dados. 
 
 
Fonte: Dados fictícios 
Figura 4.1 - Número de componentes eletrônicos defeituosos em cada lote de 500 
unidades. 
 
Percebe-se de imediato na Figura 4.1, sem verificar números, que as frequências 
crescem até o valor 4 e depois decrescem. No exemplo em questão, observa-se que, de um 
total de 50 dias, em 12, sendo essa a maior frequência, houve quatro declarações realizadas por 
dia. Nota-se, também que, em 10 dias, sendo esta a segunda maior frequência, houve 5 
declarações realizadas por dia. O maior número de declarações realizadas por dia foi oito, um 
número baixo. Houve dois dias em que nenhuma declaração foi realizada. Portanto, a gestão 
desse escritório de contabilidade deverá procurar meios (marketing, agilidade, etc.) para 
melhorar seu desempenho. 
 
 
 
2 
3 
4 
7 
12 
10 
8 
3 
1 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8
N
ú
m
e
ro
 d
e
 d
ia
s
 
Número de declarções realizadas 
Número de declarações realizadas por dia 
19 
 
4.2 Histograma 
 
O histograma é uma representação gráfica formada por retângulos justapostos, de base 
igual à amplitude do intervalo de classe (C) e altura igual à frequência simples absoluta(f) ou 
frequência relativa (%). Esse tipo de gráfico pode ser utilizado no caso de variáveis quantitativas 
contínuas. Na tabela 5 tem-se um exemplo de variável quantitativa contínua. 
 
 TABELA 5 – Distribuição de frequências dos valores de 49 notas fiscais emitidas por 
uma empresa. 
Valores das notas 
fiscais (R$) 
Número de 
notas fiscais 
Porcentagem 
 
Frequência 
acumulada 
Porcentagem 
acumulada 
 82,50 I 93,36 4 8,2 4 8,2 
 93,36 I 104,22 9 18,4 13 26,5 
104,22 I 115,08 12 24,5 25 51,0 
115,08 I 125,94 12 24,5 37 75,5 
125,94 I 136,80 8 16,3 45 91,8 
136,80 I 147,66 3 6,1 48 98,0 
147,66 I 158,52 1 2,0 49 100,0 
TOTAL 49 100 
Fonte: Dados fictícios 
 
Os dados das duas primeiras colunas da tabela acima estão representados na figura 4.2 
 
 
Fonte: Dados fictícios 
 Figura 4.2 – Histograma de frequências 
 
 Nota-se que, das 49 notas fiscais observadas, 12 o equivalente 24,5%, apresentaram 
valores maiores ou iguais a R$104,22 e menores do que R$115,08. Outras 12 apresentaram 
valores maiores ou iguais a 115,08 e menores do que 125,94mm. Então, estas foram as duas 
classes com maior frequência. Se forem somadas as frequências dessas duas categorias haverá 
24 notas fiscais, ou seja, quase metade das 49 observadas. Essas informações auxiliarão o 
auditor na tonada de decisão, ou seja, a de rejeitar ou não a nota fiscal. 
4 
9 
12 12 
8 
3 
1 
0
2
4
6
8
10
12
14
N
ú
m
e
ro
 d
e
 n
o
ta
s
 f
is
c
a
is
 
Valores(R$) 
Distribuição de frequências dos valores 
de notas fiscais fiscais 
20 
 
4.3 Polígono de frequências 
 
O polígono de frequências é obtido pelo ligamento dos pontos médios dos retângulos 
formados no histograma, por meio de uma linha. A área entre o eixo das abscissas e esta linha 
formará um polígono. 
Esse tipo de gráfico auxiliará na avaliação de uma importante distribuição de probabilidade, 
a chamada distribuição normal, a qual será mostrada em seções posteriores. 
 O polígono de frequências construído com o auxílio do histograma apresentado 
anteriormente está apresentado na Figura 4.3. 
 
 
Fonte: Dados fictícios 
Figura 4.3 – Polígono de frequências 
 
O Polígono de frequências serve para estudar se a distribuição de frequências se aproxima da 
distribuição normal, mostrada na figura 4.4. 
3210-1-2-3
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Gráfico da distribução normal
 
Figura 4.4 – Distribuição normal 
 
Olhando para o polígono de frequências (figura 4.3), nota-se que ele tem 
aproximadamente a forma da distribuição normal (figura 4.4). Essa informação pode servir, por 
0
2
4
6
8
10
12
14
71,64 82,5 93,36 104,22 115,08 125,94 136,8 147,66 158,52 169,38N
ú
m
e
ro
 
d
e
 n
o
ta
s
 f
is
c
a
is
 
Valores(R$) 
Distribuição de frequências dos valores de 
notas fiscais 
21 
 
exemplo, para o pesquisador decidir em aplicar o intervalo de confiança da média e realizar o 
teste de hipótese da média, utilizando a distribuição normal ou a distribuição aproximadamente 
normal (distribuição t de student), as quais serão estudadas no decorrer do curso. 
 
4.4 Gráfico de Barras 
 
Os gráficos de Barras simples têm por finalidade comparar categorias de uma variável, por 
meio de retângulos de larguras iguais e alturas proporcionais às frequências de cada categoria. 
Cada barra representa uma categoria.Na construção de um gráfico de Barras devem ser seguidas algumas normas: 
 
 As barras devem ter as mesmas larguras. 
 As barras devem ser separadas pelo mesmo espaço. 
 O gráfico deverá ter uma linha zero claramente definida e uma escala de valores 
ininterrupta, caso contrário, a leitura e a interpretação do gráfico poderão ficar 
distorcidas. 
 
O gráfico em barras verticais simples é o mais adequado para comparar categorias de 
uma variável qualitativa, como mostra a figura 4.5. 
 
 Preferência Porcentagem 
 
Futebol 38,5 
Vôlei 30,8 
Basquete 23,1 
Handebol 7,7 
TOTAL 100 
 
Fonte: Dados fictícios 
 Figura 4.5 – Preferência esportiva de funcionários da empresa A. 
38,5% 
30,8% 
7,7% 
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
35,0%
40,0%
45,0%
Futebol Vôlei Basquete Handebol
P
o
rc
e
n
ta
g
e
m
 
Preferência esportiva 
 Preferência esportiva de funcionários 
23,1% 
22 
 
 Percebe-se que a maior preferência foi a do futebol, ou seja, 38,5%. Nota-se que o vôlei foi 
o segundo esporte preferido, com 30,8%. Observa-se, ainda, que, o futebol e o vôlei somaram 
juntos 69,3% do total, ou seja, a maioria. O basquete foi o terceiro esporte preferido, com 23,1%. 
Então, é possível realizar um torneio de futebol, um de vôlei e outro de basquete. 
 É possível comparar duas categorias ou mais de uma variável qualitativa, dentro de uma 
categoria de outra variável qualitativa, por meio de um gráfico de barras compostas. 
Retornemos ao exemplo da preferência esportiva, segundo o sexo. 
Preferência esportiva 
Masculino Feminino 
Total 
Nº de funcionários Porcentagem Nº de funcionários Porcentagem 
Futebol 30 75,0% 10 25,0% 40 
Vôlei 12 37,5% 20 62,5% 32 
Basquete 14 58,3% 10 41,7% 24 
Handebol 2 25,0% 6 75,0% 8 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 4.6 – Preferência esportiva, segundo o sexo, de funcionários da empresa A. 
 
A interpretação do gráfico é a mesma da tabela, ou seja, observa-se que, dos funcionários 
que preferem futebol, 75% são homens e 25% são mulheres, ou seja, a maioria é do sexo 
masculino. Daqueles funcionários que preferem o vôlei, 37,5% são do sexo masculino e 62,5% 
são do sexo feminino, então maioria é do sexo feminino. No basquete, 58,3% são homens e 
41,7% são mulheres, isto é, a maioria é do gênero masculino. No handebol, o número de 
funcionários é insuficiente. Mas olhando para as frequências absolutas, nota-se que, do total de 
40 funcionários que preferem futebol, 30 são homens e 10 são mulheres, portanto, é possível 
organizar um torneio de futebol masculino ou misto. Observa-se, também que, 32 funcionários 
preferem o vôlei, desses 12 são homens e 20 são mulheres, logo, é possível realizar um torneio 
de vôlei feminino ou misto. Haja vista que, 24 funcionários no total preferem o vôlei, sendo 12 
homens e 20 mulheres, é possível realizar um torneio misto de esporte. 
75,0% 
37,5% 
58,3% 
25,0% 25,0% 
62,5% 
41,7% 
75,0% 
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
80,0%
Futebol Vôlei Basquete Handebol
P
o
rc
e
n
ta
ge
m
 
Preferência esportiva 
Preferência esportiva segundo o sexo 
Masculino
Feminino
23 
 
4.5 Gráfico de setores 
 
O gráfico de setores ou setograma, é usado para representar valores absolutos ou 
porcentagens de variáveis qualitativas. 
A construção desse tipo de gráfico, manualmente, pode ser feita com o auxílio de um 
transferidor. Faz-se a marcação dos ângulos correspondentes às quantidades, partindo de um 
ponto qualquer da circunferência e seguindo o sentido dos ponteiros do relógio. No transferidor, 
360o equivale à frequência total absoluta. O grau equivalente a quantidade de cada categoria 
será calculada por regra de três simples, como mostra o exemplo a seguir: 
 
Tabela 6 – Produção Agrícola do estado em 
toneladas (t) no ano X. 
Produtos Quantidade (t) Porcentagem 
Café 400 000 55,56 
Açúcar 200 000 27,78 
Milho 100 000 13,89 
Feijão 20 000 2,78 
Total 720 000 100 
 Fonte: Dados fictícios 
 
Cálculo do setor Correspondente ao café 
 
720 000  3600 
400 000  xo 
 
o200
000720
360000400
x 

 
 
Cálculo do setor Correspondente ao açúcar 
 
720 000  3600 
200 000  xo 
 
o100
000720
360000200


x 
 
Cálculo do setor Correspondente ao milho 
 
720 000  3600 
100 000  xo 
 
o50
000720
360000100


x 
 
Cálculo do setor Correspondente ao feijão 
 
720 000  3600 
 20 000  xo 
 
24 
 
o10
000720
36000020


x
 
 
Resta agora, a construção do gráfico. Com o auxílio do transferidor, faz-se a marcação dos 
ângulos correspondentes às quantidades, partindo de um ponto qualquer da circunferência e 
seguindo o sentido dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 4.7 - Produção Agrícola do estado em toneladas (t) no ano X. 
 
 Percebe-se de imediato que, a produção maior do estado no ano X foi a do café com 
55,8% da produção total. A segunda maior produção foi a do açúcar com 27,8%, a terceira foi a 
do milho com 13,9% e a quarta foi a do feijão com 2,8%. 
 
4.6 Gráfico de linhas 
 
 O gráfico de linhas, tem sido utilizado para a representação de características 
cronológicas (quando um dos fatores for o tempo), isto porque quando for medida a mesma 
característica durante um grande número de períodos de tempo, a representação dos valores 
através de barras pode conduzir a uma excessiva concentração de dados. Como as quantidades 
são indicadas pelas alturas das barras, estas podem ser substituídas por uma linha que siga os 
movimentos de suas partes superiores. 
Para construir o gráfico de linhas, basta marcar os pontos correspondentes aos valores 
observados em cada período e uni-los por meio de um traço contínuo. A título de ilustração, 
suponha que está sendo feito um levantamento do número de auditorias realizadas, por ano, por 
uma empresa de contabilidade, como mostra a Tabela 1.7. 
 
 
 
25 
 
Tabela 7 - Número de auditorias 
realizadas por ano, de 2010 
a 2017. 
Ano Número de auditorias 
realizadas 
2010 200 
2011 350 
2012 400 
2013 500 
2014 550 
2015 600 
2016 600 
2017 700 
 Fonte: Dados fictícios 
 
Os dados da tabela 7 podem ser expostos num gráfico em linha, como mostra a figura 1.9. 
 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 4.8 – Número de auditorias realizadas por uma empresa de contabilidade. 
 
No gráfico apresentado nota-se que o número de auditorias realizadas aumentou em 
quase todos os anos, em relação ao ano anterior, sendo que o maior aumento registrado foi do 
ano de 2010 para 2011, com aumento de 150 unidades. Apenas de 2015 para 2016, o número de 
vendas manteve-se estável, com 600 auditorias em cada ano. Levando em conta o primeiro e o 
último anos (2010 e 2017), o número de auditorias saltou de 200 para 700. Isso mostra que a 
empresa prosperou no período. 
As linhas são particularmente mais eficientes que as colunas quando existem intensas 
flutuações das quantidades da característica que está sendo estudada, ou quando há 
necessidade de se representar a mesma característica advinda de origens diferentes. Suponha, 
por exemplo que, se queira comparar o número de vendas de carros novos de passeio, 
realizadas por 3 funcionários da concessionária A, durante o primeiro trimestre. 
 
 
200 
350 
400 
500 
550 600 600 
700 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
N
º 
d
e 
au
d
o
ri
as
 re
al
iz
ad
as
 
Ano 
Número de auditorias realizadas por ano 
26 
 
Tabela 8 - Número de vendas de carros novos de 
passeio, realizadas por 3 funcionários 
do da concessionária A. 
 
Janeiro Fevereiro Março 
João 1 2 2 
Antônio 4 5 8 
Fernando 10 12 11 
Total 15 18 21 
Fonte: Dados fictícios 
 
. 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 4.9 - Número de vendas de carros novos de passeio, realizadas por 3 funcionários do 
da concessionária A. 
 
No gráfico apresentado, observa-se que o Fernandoteve 10 vendas em janeiro, 12 em 
fevereiro e 11 em Março, tendo um bom desempenho. O número de vendas do Antônio sempre 
cresceu de um mês para o outro, iniciando com 4 unidades em janeiro, 5 em fevereiro e 8 em 
março. Já, as vendas do João foram de 1 carro em janeiro, 2 em fevereiro e 2 em março, tendo 
um desempenho baixo em relação aos demais e merece atenção. 
 
4.7 Sequência de exercícios nº 3 
 
01 Considere a estatística de utilização de browser para acesso à internet em determinado mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Tabela 1.8 - Estatística web browser de determinado mês. 
Browser Porcentagem 
 
45,9 
 
25,9 
 
15,1 
 
10,6 
 
2,1 
 
0,2 
 
0,2 
 
0,1 
 
0,1 
Fonte: http://www.forumcommunity.net/?act=browser&l=5, acessado em 11/02/2015 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para apresentar os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa o gráfico. 
d) Interprete os principais resultados do gráfico. 
02. Os dados da tabela a seguir são referentes ao número de estabelecimentos em Foz do 
Iguaçu, por ano. 
 
Ano 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Nº de hotéis 111 112 110 112 115 109 
Nº de Pousadas 16 19 23 37 47 38 
Fonte: Secretaria municipal de Turismo 
a) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para apresentar os dados? Justifique a sua reposta. 
b) Construa o gráfico. 
c) Interprete os principais resultados do gráfico. 
 
03) A tabela a seguir é referente à distribuição da vida útil, em horas, de ferramentas de corte 
em um processo industrial. 
Tabela 10 – Vida útil, em horas, de ferramentas de corte em um processo industrial 
Classes 
(Horas) 
N
o
 de Ferram. Porcentagem Frequência 
acumulada 
Porcentagem 
acumulada 
 0,0I 24,9 2 2,86 2 2,857143 
24,9I 49,8 4 5,71 6 8,571429 
49,8I 74,7 12 17,14 18 25,71429 
 74,7I 99,6 30 42,86 48 68,57143 
 99,6I 124,5 18 25,71 66 94,28571 
124,5I 149,4 4 5,71 70 100 
TOTAL 70 100 
 Fonte: Dados fictícios 
 
http://www.forumcommunity.net/?act=browser&l=5
28 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para apresentar os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa o gráfico. 
d) Interprete os principais resultados do gráfico. 
 
 
 
5 Medidas de tendência central 
 
 
Foi visto em seções anteriores que, por meio de uma distribuição de frequências, se 
estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão da variação de um determinado 
fenômeno. Todavia, somente com a distribuição de frequências não é possível resumir certas 
características importantes em estudo. Devido a isto são utilizadas as medidas de tendência 
central (média, moda, mediana, etc.) que resumem o comportamento da variável em estudo, 
através do ponto em torno do qual os dados se distribuem. 
 
5.1 Média Aritmética simples 
 
A medida de tendência central mais utilizada para descrever resumidamente uma 
distribuição de frequências é a média, ou mais propriamente, a média aritmética x . A média 
aritmética pode ser simples ou ponderada como veremos a seguir. Obtém-se a média aritmética 
simples de um conjunto de valores x1, x2, . . ., xn, pelo quociente entre a soma desses valores e 
o número total de valores observados ( n ), ou seja: 
 
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n



 121

 
 
Em que: xi é o i-ésimo valor observado da variável em estudo; 
 Por exemplo, suponha que em um escritório de consultoria ha cinco contadores de nível 
superior, cujos salários são os seguintes, em reais, 
3000, 3600, 3000, 3400 e 4000 
 
Logo, a média será dada por, 
 
29 
 





5
40003400300036003000
5
5
1i
ix
x 3400 reais 
 
5.2 Média aritmética ponderada 
 
Portanto, o salário médio dos contadores desse escritório é de 3400 reais, sendo 
considerado um valor baixo, uma vez que esses contadores são de nível superior, sem 
considerar se os mesmos são casados, ou não. A média aritmética será considerada ponderada 
quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes. Obtêm-se a média aritmética 
ponderada de um conjunto de valores x1, x2, . . ., xn, dividindo o produto entre esses valores e 
seus respectivos pesos, pela soma total dos pesos, isto é, 
 







n
i
i
n
i
ii
n
nn
p
px
ppp
pxpxpx
x
1
1
21
2211


 
 
Assim, por exemplo, se um aluno da UNIOESTE teve média anual igual a 55 e nota do 
exame igual a 65, com pesos de 6 e 4, respectivamente, a sua média final será dada por: 
 
2,60
)46(
)468655(



x 
 
 Portanto, a média final do aluno foi igual 60,2 pontos. Neste caso, o aluno está aprovado 
 
5.3 Média aritmética de dados tabulados 
 
Genericamente, se os valores x1, x2, . . ., xk, ocorrem f1, f2, . . ., fk, vezes, respectivamente, 
a média aritmética será calculada por: 
n
fx
f
fx
fff
fxfxfx
x
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii
k
kk





 


 1
1
1
21
2211


 
 
30 
 
Em que n é o número total de observações ou a soma total das frequências, e k é o número total 
de classes ou valores individuais. 
 
Exemplo 
 
A título de ilustração, considere os dados da Tabela 11. 
 
 Tabela 11 - Distribuição de frequências do número 
de declarações de imposto de renda 
realizadas por um escritório de 
contabilidade, por dia, num total de 50 
dias, em 2017. 
 Número de declarações 
de imposto de renda 
realizadas por dia 
Frequência 
(Número de dias) 
0 2 
1 3 
2 4 
3 7 
4 12 
5 10 
6 8 
7 3 
8 1 
Total 50 
Fonte: dados fictícios 
 
Logo, a média será, 
 
1
30
33
13810127432
18378610512.47.34.23.12.0
9
1
9
1
1
1 











i
i
i
ii
k
i
i
k
i
ii
f
fx
f
fx
x declaração. 
 
 Portanto, em média, foi realizada uma declaração por dia, ou valor muito baixo, o que 
confirma a análise feita da tabela e do gráfico desses dados. 
 
Quando os dados são agrupados em classes e não se dispõe dos valores originais, é 
possível calcular a média aritmética por meio dos valores centrais das classes, utilizando a 
expressão anterior. 
n
fx
f
fx
x
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii 




  1
1
1
 
 
31 
 
Em que: xi = (Li + Ls)/2, sendo Ls o limite superior da classe e Li o limite inferior. 
 
 
Exemplo 
 
Retornemos aos dados da distribuição de frequências dos valores de 49 notas fiscais 
emitidas por uma empresa, como mostra a tabela 1.9. 
 
Como sodados estão grupados em classes, o primeiro procedimento é o de calcular o 
valor médio de cada classe por xi = (Li+Ls) /2, com o mostra terceira coluna da tabela 1.9 
 
 TABELA 12 – Distribuição de frequências dos valores de 49 notas fiscais emitidas por 
uma empresa. 
Valores das notas fiscais (R$) Número de notas fiscais xi = (Li+Ls)/2 
 82,50 I 93,36 4 (82,50 + 93,36)/2 = 87,83 
 93,36 I 104,22 9 (93,36 + 104,22)/2= 98,79 
104,22 I 115,08 12 (104,22 + 115,08)/2 =109,65 
115,08 I 125,94 12 (115,08 + 125,94)/2 = 120,51 
125,94 I 136,80 8 (125,94 + 136,80)/2 = 131,37 
136,80 I 147,66 3 (136,80 + 147,66)/2 = 142,23 
147,66 I 158,52 1 (147,66 + 158,52)/2 = 153,09 
TOTAL 49 
Fonte: Dados fictícios 
 
O segundo procedimento é o de multiplicar o valor médio de cada classe por sua respectiva 
frequência. O resultado da soma desses produtos é dividido pela soma das frequências, ou seja, 
 




7
1
7
1
i
i
i
ii
f
fx
x
 
 
reais
xxxx
x 114
138121294
)109,1531265,109979,98493,87(





 
 
Portanto, o valor médio das notas fiscais foi de 114,0 reais. O contador deverá verificar se 
esse resultado é normal, ou não. Se não for, deverá investigar, o porquê. 
 
 
5.4 Mediana 
 
A mediana (Md) é outra medida de tendência central, e pode ser definida como o valor que 
divide um conjunto de dados numéricos, de tal forma que metade, ou 50% dos itens sejam 
maiores ou iguais a este valor, e a outra metade ou os outros 50% dos valores sejam menoresou iguais ao mesmo. 
32 
 
 A determinação da mediana de valores é feita a partir de dados ordenados. Existem dois 
casos a considerar: O primeiro, quando o número de observações é ímpar e o segundo quando 
o número de observações é par. 
 
O número de observações é impar 
 
Neste caso, é preciso achar o elemento mediano, o qual indica em que posição está a 
mediana, pela seguinte fórmula: 
 
2
1n
Emd

 
 
 
Em que n é o número total de valores observados. 
 
 
 Exemplo 
 
A auditoria de notas fiscais é uma função desenvolvida para ajudar na conferência de 
lançamentos relacionados ao valor contábil. Determinado profissional da área de contabilidade, 
a fim de realizar uma auditoria, anotou os valores de 49 notas fiscais emitidas por uma empresa. 
Os resultados, em reais, foram: 
 
130,00 105,00 120,00 111,50 99,00 116,00 82,50 
107,50 125,00 100,00 107,50 120,00 143,00 115,00 
135,00 130,00 135,00 127,50 90,50 104,50 136,50 
100,00 145,00 125,00 104,50 101,50 102,50 101,50 
134,50 158,50 110,00 102,50 90,50 107,50 124,00 
121,50 135,00 102,00 119,50 115,50 125,50 117,50 
107,50 140,00 121,00 107,50 113,00 93,00 103,50 
Solução 
 
O primeiro passo é o de ordenar a lista de dados brutos (Rol) 
 
82,50 101,50 104,50 110,00 119,50 125,00 135,00 
33 
 
90,50 101,50 105,00 111,50 120,00 125,50 135,00 
90,50 102,00 107,50 113,00 120,00 127,50 136,50 
93,00 102,50 107,50 115,00 121,00 130,00 140,00 
99,00 102,50 107,50 115,50 121,50 130,00 143,00 
100,00 103,50 107,50 116,00 124,00 134,50 145,00 
100,00 104,50 107,50 117,50 125,00 135,00 158,50 
 
 
 O segundo passo é calcular a posição da mediana 
 
2
1n
E md

  
2
149
mdE  
a
mdE 25 posição 
 
 Isto significa que a mediana está na vigésima quinta posição. Observa-se no conjunto 
ordenado que, vigésima quinta posição encontra- se o valor 115,00. Portanto, a Medina é 
 
Md = 115 reais 
 
 Portanto, metade das notas fiscais tem valores maiores ou iguais a R$82,50 e menores ou 
iguais a R$115,00 e a outa metade apresenta valores maiores ou iguais a R$115,00 e menores 
ou iguais a R$158,50. O contador deverá verificar se esse resultado está dentro da normalidade. 
Caso não esteja, deverá tomar as providências cabíveis. 
 
O número de observações é par 
 
Quando o número de observações de dados brutos é par, o procedimento para calcular a 
mediana é diferente do caso anterior, isto é, a mediana é igual à média aritmética entre os dois 
valores centrais do conjunto ordenado. 
 
Exemplo 
 
Retornemos ao exemplo do número de declarações entregues, por dia, por um escritório 
de contabilidade, porém, agora queremos calcular a mediana. Os resultados foram: 
 
5 3 2 1 4 5 5 6 7 4 
6 5 4 5 3 6 7 7 5 5 
34 
 
4 6 6 4 2 3 0 5 6 3 
8 4 4 4 3 0 1 3 2 4 
1 4 5 4 6 2 5 6 4 3 
 
 Solução: 
 O primeiro procedimento é o de ordenar os valores. 
 
0 2 3 3 4 4 5 5 6 6 
0 2 3 4 4 4 5 5 6 7 
1 2 3 4 4 4 5 5 6 7 
1 2 3 4 4 5 5 6 6 7 
1 3 3 4 4 5 5 6 6 8 
 
O segundo passo é o de achar as duas posições centrais, pois número de valores observados é 
n = 50, ou seja, par. Logo, as duas posições centrais são: 
 
anEmd 25
2
50
2
1  posição e 
anEmd 261
2
50
1
2
2  posição 
 
Olhando para os dados ordenados, percebe-se que, os valores das 25a e 26a posições, são 
iguais a 4, portanto a média entre os dois valores centrais, ou a mediana, será igual a 4, ou seja. 
 
4
2
44


 MdMd declarações realizadas por dia 
 
Portanto, em metade dos 50 dias, foram realizadas 4 declarações ou menos e, na outra 
metade, foram feitas de 4 a 8 declarações. Esse resultado é considerado ruim e o escritório 
deverá verificar o porquê desse baixo desempenho para poder melhorá-lo na próxima vez. 
 
 
 
 
5.5 Moda (Mo) 
 
 A moda (Mo) é outra medida de tendência central. Genericamente, a moda pode ser 
definida como o valor de maior frequência (predominante) de um conjunto de dados. Quando os 
35 
 
valores de um conjunto de dados ocorrem com a mesma frequência, o mesmo é chamado de 
amodal. Por outro lado, podem ocorrer conjuntos com mais de uma moda. 
 
 
Exemplo 
 
Retornemos ao exemplo do número de declarações entregues, por dia, por um escritório 
de contabilidade, porém, agora queremos calcular a mediana. Os resultados foram: 
 
5 3 2 1 4 5 5 6 7 4 
6 5 4 5 3 6 7 7 5 5 
4 6 6 4 2 3 0 5 6 3 
8 4 4 4 3 0 1 3 2 4 
1 4 5 4 6 2 5 6 4 3 
 
 Solução: 
 O primeiro procedimento é o de ordenar os valores. 
 
0 2 3 3 4 4 5 5 6 6 
0 2 3 4 4 4 5 5 6 7 
1 2 3 4 4 4 5 5 6 7 
1 2 3 4 4 5 5 6 6 7 
1 3 3 4 4 5 5 6 6 8 
 
O valor 4 é o mais frequente (12 ocorrências). Portanto, a moda é 
 
Mo = 4. 
 
Isto significa que foram realizadas 4 declarações por dia, com maior frequência que os 
demais resultados nos 50 dias. 
 
Observação: um conjunto de dados pode não ter moda, nesse caso, será chamado de amodal, 
ou pode ter mais de uma moda. Se tiver duas modas será chamado de bimodal. 
 
Exemplos 
 
Y = {4, 4, 5, 5, 6, 6,} 
 
36 
 
O conjunto Y é amodal, ou seja, todos os valores ocorrem duas vezes. 
 
Z = {1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6} 
 
As modas do conjunto Z são Mo1 = 2 e Mo2 = 3. Trata-se de um conjunto Bimodal, ou 
seja, os valores 2 e 3 ocorrem com maior frequência (3 vezes) 
 
 
5.6 Sequência de exercícios nº 4 
 
01. Na empresa de pré moldados S/A foi realizada a inspeção diária das alturas, em milímetros, 
de pavers (blocos de concreto para pavimentação). Para que não haja grandes variações, 
resultando no maior consumo de concreto e menor. Foi realizada no dia 19 de abril de 2005 
essa inspeção, tendo o seguinte resultado: 
 
60,0 61,5 61,3 61,3 60,4 59,4 59,7 60,7 60,2 59,2 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 60,37 
b) Calcular mediana e interpretar o resultado. Resposta: 60,3 
c) Calcular moda e interpretar o resultado. Resposta: 61,3 
 
02. A faculdade de engenharia e ciência aplicada da Universidade do Arizona tem um sistema 
VAX de computadores. Os tempos, em segundos, para quinze tarefas consecutivas foram 
registradas, sendo mostrados abaixo: 
 
5,3 5,0 9,5 10,1 5,8 6,2 5,9 7,2 10 12,2 8,5 4,7 11,2 7,3 6,4 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 7,6867 
b) Calcular mediana e interpretar o resultado. Resposta: 7,2 
c) Calcular moda e interpretar o resultado. Resposta: conjunto amodal 
 
 
03. O número de acidentes de trabalho, por mês, foi anotado durante 24 meses, num canteiro 
de obras, composto por 50 operários. Os resultados estão na tabela a seguir: 
 
 
 
37 
 
Tabela 13 – Distribuição de frequências do número de 
acidentes por mês num canteiro de obras. 
Número de acidentes (x) Número de meses (f) 
0 5 
1 10 
2 4 
3 3 
4 2 
Total 24 
Fonte: Dados fictícios 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 1,4583 
 
04. A força de remoção para um conector é medida em um teste de laboratório. Dados de 40 
corpos de prova são mostrados a seguir: 
 
Tabela 14 – Distribuição de frequências das forças 
de remoção. 
Força de remoção Nº de corpos de prova 
170 I190 6 
190 I210 12 
210 I230 8 
230 I250 11 
250 I270 3 
Total 40 
 Fonte: Montgomery, Runger e Rubely (2001) 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 216,5 
 
 
 
6 Medidas Separatrizes 
 
Existem três tipos de medidas separatrizes, são elas: Os quartis, que dividem um conjunto 
de dados em quatro partes iguais, os decis que dividem em dez e os percentis que dividem em 
cem partes. Neste curso vamos nos ater apenas aos quartis 
 
6.1 Quartis(Q) 
 
Os quartis são medidas separatrizes que, simultaneamente, dividem um grupo de dados 
em quatro partes iguais. 
Individualmente, cada quartil ou junta Q, assim como a mediana, divide o conjunto de 
dados em duas partes. O primeiro quartil ou junta (Q1) é o valor que deixa um quarto (25%) dos 
valores abaixo ou igual a ele e três quartos (75%), igualou acima. 
38 
 
O segundo quartil (Q2) é um valor que deixa metade (50%) dos dados abaixo ou igual e 
a outra metade acima ou igual ao mesmo. Assim, o segundo quartil (Q2) é uma media de 
tendência central, pois coincide com a mediana (Q2 = Md). 
O terceiro quartil ou junta (Q3) é um valor que deixa três quartos (75%) dos valores 
observados restantes abaixo ou igual ao mesmo e um quarto ou 25% igual ou superior. 
As seguir serão mostradas algumas regras úteis para o cálculo dos quartis: 
 
1. Os dados devem estar dispostos em ordem crescente. 
2. Calcula-se a ordem posição do quartil por meio da expressão 
 
4
)1n(i
EQi

 , com i = 1, 2, 3 
 
Em que: 
i indica o número do quartil a ser calculado; 
n é o número de observações do conjunto de dados. 
 
3. Se o a valor de EQi for um número inteiro, o quartil Qi será igual ao valor do conjunto de 
dados que estiver exatamente nesta posição 
4. Se o valor de EQi não for um número inteiro e estiver na metade das posições anterior e 
posterior, o quartil será a média dos valores do conjunto de dados que estiverem nas 
posições anterior e posterior a EQi. 
5. Se o valor de EQi não for um número inteiro e nem estiver na metade de duas outras 
posições, o resultado desta deverá seguir as regras de arredondamento para um número 
inteiro mais próximo, o qual dará a posição anterior ou posterior ao EQi. Selecione o valor 
numérico que estiver nesta nova posição. 
 
 
Exemplo 
 
 A auditoria de notas fiscais é uma função desenvolvida para ajudar na conferência de 
lançamentos relacionados ao valor contábil. Determinado profissional da área de contabilidade, 
a fim de realizar uma auditoria, anotou os valores de 49 notas fiscais emitidas por uma empresa. 
Os resultados, em reais, foram: 
 
 
39 
 
130,00 105,00 120,00 111,50 99,00 116,00 82,50 
107,50 125,00 100,00 107,50 120,00 143,00 115,00 
135,00 130,00 135,00 127,50 90,50 104,50 136,50 
100,00 145,00 125,00 104,50 101,50 102,50 101,50 
134,50 158,50 110,00 102,50 90,50 107,50 124,00 
121,50 135,00 102,00 119,50 115,50 125,50 117,50 
107,50 140,00 121,00 107,50 113,00 93,00 103,50 
Solução 
 
Dados ordenados 
 
O primeiro passo é o de apresentar os dados em ordem crescente. 
 
82,50 101,50 104,50 110,00 119,50 125,00 135,00 
90,50 101,50 105,00 111,50 120,00 125,50 135,00 
90,50 102,00 107,50 113,00 120,00 127,50 136,50 
93,00 102,50 107,50 115,00 121,00 130,00 140,00 
99,00 102,50 107,50 115,50 121,50 130,00 143,00 
100,00 103,50 107,50 116,00 124,00 134,50 145,00 
100,00 104,50 107,50 117,50 125,00 135,00 158,50 
 
Posição do primeiro quartil 
 
 O segundo passo é calcular a posição do primeiro quartil 
 
4
)1n(i
EQi

  
4
)149(1
1

QiE  
a
mdE 5,12 posição 
 
Cálculo do primeiro quartil 
 
O terceiro passo é o de achar o primeiro quartil. Haja vista que 12,5 está exatamente 
entre as posições 12 e 13, o procedimento será o de verificar quais são os valores que estão 
nessas posições e calcular a média aritmética dos mesmos, o resultado será o valor da 
mediana, ou seja, 
 
Q1 = (102,5+103,5)/2 = 103 reais 
40 
 
 
Interpretação do primeiro quartil 
 
 Portanto, 25% das notas fiscais têm valores maiores ou iguais a R$82,50 e menores ou 
iguais a R$103,00. Os outros 75% das notas fiscais apresentam valores maiores ou iguais a 
R$103,00 e menores ou iguais a R$158,50. O contador deverá verificar se esse resultado está 
dentro da normalidade. Caso não esteja, deverá tomar as medidas cabíveis. 
 
Posição do segundo quartil 
 
4
)1n(i
EQi

 
a
QE 25
4
)149(2
2 

 posição 
 
Segundo quartil 
 
Na 25a posição ordenada encontra-se o valor 115. Logo, o segundo quartil é 
 
Q2 = Md = 115 reais 
 
Interpretação do segundo quartil 
 
Portanto, 50% das notas fiscais têm valores maiores ou iguais a R$82,50 e menores ou 
iguais a R$115,00. Os outros 50% das notas fiscais apresentam valores maiores ou iguais a 
R$115,00 e menores ou iguais a R$158,5. O contador deverá verificar se esse resultado está 
dentro da normalidade. Caso não esteja, deverá tomar as medidas cabíveis. 
 
 
 
Posição do terceiro quartil 
 
4
)1n(i
EQi

 
a
QE 5,37
4
)149(3
3 

 posição 
 
 
 
 
41 
 
Cálculo do terceiro quartil 
 
O terceiro passo é o de achar o terceiro quartil. Haja vista que 37,5 está exatamente entre 
as posições 37 e 38, o procedimento será o de verificar quais são os valores que estão nessas 
posições e calcular a média aritmética dos mesmos, o resultado será o valor da mediana, ou 
seja, 
 
reaisMdQ 50,126
2
50,12750,125
3 

 
 
Interpretação do terceiro quartil 
 
 Portanto, 75% das notas fiscais têm valores maiores ou iguais a R$82,50 e menores ou 
iguais a R$126,50. Os outros 25% das notas fiscais apresentam valores maiores ou iguais a 
R$126,50 e menores ou iguais a R$158,50. O contador deverá verificar se esse resultado está 
dentro da normalidade. Caso não esteja, deverá tomar as medidas cabíveis. 
 
6.2 Sequência de exercícios nº 5 
 
 
01. Na empresa de pré moldados S/A foi realizada a inspeção diária das alturas, em milímetros, 
de pavers (blocos de concreto para pavimentação). Para que não haja grandes variações, 
resultando no maior consumo de concreto e menor. Foi realizada no dia 19 de abril de 2005 
essa inspeção, tendo o seguinte resultado: 
 
60,0 61,5 61,3 61,3 60,4 59,4 59,7 60,7 60,2 59,2 
 
a) Calcular o primeiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 59,7 
b) Calcular o segundo quartil e interpretar o resultado. Resposta: 60,3 
c) Calcular o terceiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 61,3 
 
02. A faculdade de engenharia e ciência aplicada da Universidade do Arizona tem um sistema 
VAX de computadores. Os tempos, em segundos, para quinze tarefas consecutivas foram 
registradas, sendo mostrados abaixo: 
 
42 
 
5,3 5,0 9,5 10,1 5,8 6,2 5,9 7,2 10 12,2 8,5 4,7 11,2 7,3 6,4 
 
a) Calcular o primeiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 4 
b) Calcular o segundo quartil e interpretar o resultado. Resposta: 8 
c) Calcular o terceiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 12 
 
 
7 Medidas de dispersão 
 
As medidas de tendência central e as medidas separatrizes, como visto, dão uma ideia do 
comportamento de todo o conjunto de dados, através de um valor único. Porém, elas são 
insuficientes para descrever mais detalhadamente o comportamento da variação dos dados, 
como será visto a seguir. 
Considere os tempos, de três funcionários, para executar a mesma tarefa. Foram tomados 
os tempos (em segundos) de 5 tarefas para cada funcionário, fornecendo os seguintes 
resultados: 
Funcionário A: 10, 10, 10, 10, 10 
Funcionário B: 11, 10, 9, 11, 9 
Funcionário C: 3, 4, 5, 20, 18 
 
Percebe-se que não há dispersão ou variação nos resultados do funcionário A. Ha pouca 
dispersão entre os valores do funcionário B e há uma dispersão maior entre os resultados do 
funcionário C. Porém, se calculando a média dos tempos de cada funcionário, obtém-se: 
 
segundosx A 10
5
1010101010


 
segundosxB 10
5
91191011


 
segundosx c 10
5
1820543


 
 
Portanto, apesar de a média ser uma medida importante, assim como a mediana e a moda, as 
mesmas não servem para verificar a dispersão ou variação de um conjunto de dados. 
A média dos tempos para executar uma tarefa é a mesma para os três funcionários, mas, 
observando mais detalhadamente os três grupos obtidos, pode-se notar que se distribuem 
diferentemente em relação à média (10segundos), como mostra a figura a seguir: 
43 
 
 
Figura 6.1 – Variação dos tempos medidos nos funcionários A, B e C. 
 
Para uma análise quantitativa dessa maior ou menor variação (ou dispersão) do conjunto 
de valores em torno do valor médio, deve-se estudar as medidas de dispersão. As principais 
são: a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
 
7.1 Variância e desvio padrãoNa figura 1.14 nota-se que, quanto mais os valores estão afastados da média, maior é 
dispersão ou variação entre os dados. A variância e o desvio padrão são medidas de dispersão 
baseadas nos desvios em relação à média. 
 
1º caso) Quando se tratar de uma população 
 
Algumas vezes é possível trabalhar com toda a população. Assim, a variância de uma 
população, simbolizada por é dada por: 
 
N
x
N
i
i


 1
2
2
)(
 
Em que: 
 2 é a variância populacional; 
 xi é o i-ésimo valor observado; 
  é a média populacional; 
 N é o número de valores observados na população ou tamanho da população. 
44 
 
 
Percebe-se que denominador da expressão apresentada nunca será negativo, uma vez 
que os valores dos quadrados dos desvios, 
2)xi(  , são sempre positivos. 
O desvio padrão de uma população finita, simbolizado por  , é definido como a raiz 
quadrada da variância: 
 
2 
 
Exemplo 
Suponha que em um escritório de consultoria ha cinco contadores de nível superior, cujos 
salários, em reais, são os seguintes: 
3000, 3600, 3000, 3400 e 4000 
Pede-se: 
a) O cálculo da média 
b) O cálculo da variância 
c) O cálculo do desvio padrão e interprete o resultado. 
 
Solução: 
Haja vista que, no escritório de consultoria ha cinco contadores de nível superior e são 
apresentados os salários de todos eles, então, estamos trabalhando com uma população, logo, 
calculamos , 2 e . 
 
a) reais3400
5
40003400300036003000


 
 
b) 
xi xi -  (xi - )
2 
3000 -400 160000 
3600 200 40000 
3000 -400 160000 
3400 0 0 
4000 600 360000 
Total 


N
i
ix
1
2)( = 72000 
 
45 
 
 
Variância  144000
5
72000
)(
1
2
2 




N
x
N
i
i
reais
2
 
 
c) desvio padrão  379,47144000
2  reais 
 
Intepretação do desvio padrão 
 
Significa que, cada salário observado tem uma diferença em relação ao salário médio, cujo 
valor é de R$3400,00, porém, em média esta diferença é de R$379,47. 
 
 
2º caso) Quando se tratar de uma amostra coletada de uma população infinita 
 
 Na maioria dos casos, não é possível observar todos os elementos de uma população. 
Devido a isso são calculados a variância e o desvio padrão amostrais 
Quando a amostra for coletada de uma população infinita, utiliza-se a variância amostral 
S2. 
1
)(
1
2
2





n
xx
s
n
i
i
 
 
Em que: 
 xi é o i-ésimo valor observado; 
 x é a média aritmética da amostra; 
 n é o tamanho da amostra ou número de valores observados. 
 
 A razão para se utilizar n - 1 como denominador, e não apenas n é a de que, se infinitas 
amostras ao acaso forem coletadas nessa população infinita, a média aritmética da variável S2 
será 2. Assim, pode-se dizer que S2 é um estimador não tendencioso de 2 para populações 
infinitas. 
Nesse caso, o desvio padrão será 
 
2ss  
46 
 
 
Exemplo 
 
Retornemos ao exemplo dos tempos, de três funcionários, para executar a mesma tarefa. 
Foram tomados os tempos (em segundos) de 5 tarefas para cada funcionário, fornecendo os 
seguintes resultados: 
Funcionário A: 10, 10, 10, 10, 10 
Funcionário B: 11, 10, 9, 11, 9 
Funcionário C: 3, 4, 5, 20, 18 
 
Neste exemplo o tempo médio foi 10x segundos para cada um dos três funcionários. Pede-
se: 
 
Solução: 
 
Neste exemplo, se considerarmos todas as tarefas que cada funcionário realiza na 
empresa, temos uma população infinita de operações. Assim, para cada funcionário temos uma 
amostra de tamanho n = 5 coletada de uma população infinita de tarefas. Dessa forma, pode ser 
utilizada a variância “s2” o desvio padrão "s" para medir a variação ou dispersão desse conjunto 
de dados. Para o funcionário C temos: 
 
a) 
15
)10x(
s
5
1i
2
i
2




 
Variância  5,68
4
)1018()1020()105()104()103( 222222 

S segundos2 
 
 b) Desvio padrão é: 
 
segundos 8,368,5 S  
 
Portanto, cada tempo anotado do funcionário C para a realizar a tarefa, tem uma diferença 
em relação ao salário médio, cujo valor é 10 de segundos, porém, em média, essa diferença é 
de 68,5 segundos 
 
47 
 
O quadro a seguir mostra os resultados das variâncias e dos desvios padrão dos funcionários A, 
B e C. 
 
Funcionário Variância Desvio Padrão 
A 0 0 
B 1 1 
C 68,5 8,3 
 
Percebe-se para funcionário A que, não há diferença entre os valores observados (sempre 
10 s), devido a isso a variância e o desvio padrão são nulos. No funcionário B, houve uma 
pequena diferença entre os valores observados, por isso, a variância e o desvio padrão foram 
baixos (1s). No funcionário C, houve maior diferença maior entre os valores observados, assim, 
a variância e o desvio padrão foram maiores que os anteriores, ou seja, 68,5 segundos2 e 8s. 
 
7.2. Coeficiente de variação 
 
O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão adimensional. A vantagem em 
se usar esta medida é sua facilidade de interpretação, uma vez que a mesma varia de 0 a 100%. 
Devido a isso pode-se dizer que o coeficiente de variação é uma medida pura, pois não possui 
unidade de medida como as anteriores. Aqui utilizaremos o coeficiente de variação de Pearson 
dado pelo quociente entre o desvio padrão (s) e a média amostral ( x ). O coeficiente de variação 
pode ser expresso em porcentagem, sendo uma medida relativa de dispersão em relação ao 
valor médio, ou seja, 
 
100.
x
s
cv  
 
Segundo Fonseca e Martins(1996), diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade 
ou dispersão quando o resultado do CV for no máximo 10%; média dispersão quando estiver 
acima de 10% até 20%; e grande dispersão quando superar 20%, ou seja, 
 
Baixa dispersão: CV  10% 
Média dispersão: 10% < CV  20% 
Alta dispersão: CV > 20% 
 
O coeficiente de variação é particularmente útil quando são comparadas as variabilidades 
de dois ou mais conjuntos de dados que são expressos em diferentes unidades de medida. 
48 
 
Deve-se utilizar o coeficiente de variação, também, quando deseja-se comparar as 
dispersões de 2 conjuntos de dados com unidades de medida iguais, porém com médias muito 
diferentes de tal modo que, a comparação direta desvios padrão não é muito útil, uma vez que 
essa medida de variação leva em conta a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. 
 
Exemplo 
 
Retornemos ao exemplo dos tempos, de três funcionários, para executar a mesma tarefa. 
Foram tomados os tempos (em segundos) de 5 tarefas para cada funcionário, fornecendo os 
seguintes resultados: 
 
Funcionário x S 
A 10 0 
B 10 1 
C 10 8,3 
 
Nesse caso, os coeficientes de variação serão: 
 
%0100
10
0
100. 
x
s
cv A 
%10100
10
1
100. 
x
s
cvB 
%83100
10
3,8
100. 
x
s
cvB 
 
 As dispersões dos tempos dos funcionários A e B são consideradas baixas(CV ≤ 10%). Já, 
a dispersão dos tempos do funcionário C é considerada alta(CV > 20%). 
 
 
6.3 Sequência de exercícios nº 6 
 
 
1) Uma pesquisa realizada com os clientes de um restaurante, levantou o grau de satisfação 
com a renda dos entrevistados e a renda média foi de R$1918,95.. O banco de dados a seguir 
mostra o resultado deste levantamento junto a 19 clientes. 
 
800 2560 980 3500 750 1500 1000 1250 1600 3600 
1450 1990 2500 3600 400 980 800 4200 3000 
 
49 
 
a) Calcular a variância. Resposta: 1389287,72 reais2 
b) Calcular o desvio padrão e interpretar o resultado. Resposta: R$1178,68 
c) Calcula o coeficiente de variação e interpretar o resultado. Resposta: 61,42% 
 
2) O departamento de produção usa um procedimento de amostragem para testar a qualidade 
dos comprimentos do itens recém produzidos,. A regra de decisão é a seguinte: se uma 
amostra de 10 itens tem uma variância maior do que “ 0,005 “ cm2 a linha de produção deve ser 
paralisada para reparos. Suponha que a seguinte amostra foi coletada: 
 
3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39 3,50 3,38 3,41 
 
Sabendo que a média foi dos comprimentos foi 3,449 cm: