Treliças Exemplo

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Treliças 
Esquemas da treliça carregada de cargas nos nós (PÁG. 24) 
 
 Resultados dos Sinais de Tração ou Compressão nas barras 
 À medida que for resolvendo, a partir do 1º NÓ resolvido, ir indicando os sinais e 
os valores. Seguir corretamente os sinais, com o risco de incompatibilizar o restante. 
 
Cálculo dos esforços nas barras da treliça. 
a) Utilizando-se das equações de equilíbrio, determinamos as reações de apoio: 
 
α = arc tg 2/1 = 63,43º θ = arc tg 2/1 = 26,56º 
 
ΣFH = 0 Rh A – Rh B – 40,0 kN = 0 Rh A – Rh B = 40,0 kN ( I ) Quanto ao sentido 
das setas, pode ser qualquer,inicialmente. Se o resultado for negativo significa que o 
sentido da seta é contrário. 
 
ΣFV = 0 RV B – 20,0 kN = 0  RV B = 20,0kN  O sentido “chutado” está correto. 
 
ΣM B = 0 - Rh A x 2,0 + 40,0 x 1,0 + 20,0 x 4,0 = 0 -Rh A x 2,0 = - 120,0 kNxm 
 
Rh A = 120/2 = 60,0 kN  Rh A = 60,0 kN  O sentido “chutado” também está 
correto. 
 
Rh A – Rh B = 40,0 kN 60,0 kN – Rh B = 40,0 kN  Rh B = 20,0 kN  O sentido 
“chutado” também está correto. 
 
A partir desses resultados e sentidos das setas determinados, marca-se no esquema 
esses sentidos e valores para a seqüência. 
 
 
 b) Para o cálculo das forças solicitantes nas barras: 
 
Iniciar por um nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. Por exemplo: Nó A ou 
Nó B. E, como não se sabe, a princípio, se as forças incógnitas são de tração ou 
compressão, adotamos como se elas fossem de tração. Se, na resolução, o valor 
encontrado for negativo, significa que ao invés da barra ser tracionada (conforme 
adotado), é de fato comprimida ( - ) e portanto a seta a indicar é de chegada no nó 
(comprimido). 
 
 
A Reação Rv B = 20,0 kN já é conhecida e possui sentido de baixo para cima, 
comprimindo o nó, então assim a indicamos. 
Obs.: Ir indicando nas barras calculadas, as setas de tração ou compressão e seus 
valores. 
 
Iniciando pelo NÓ B 
 
 
Rebatendo N BC no eixo horizontal, resulta = N BC sen 26,56º 
 Rebatendo N BC no eixo vertical, resulta=N BC cos 26,56˚ 
 
 
 
Considerando o nó estaticamente equilibrado, com  FH=0 e FV=0 
 Forças Positivas : Para cima 
 Forças Negativas : Para Baixo 
 Forças Positivas : Para direita 
 Forças Negativas: Para esquerda 
 FH=0  - Rh B + N BC sen α = 0 - 20,0 kN = - N BC x 0,894  N BC = 22,4 kN 
(+) Positivo, o sentido estipulado é o correto e de tração. 
 FV=0  Rv B - N AB – N BC cos α = 0  20,0 kN - N AB = 22,4 x 0,447  -N AB = 10,0 - 20,0 
N AB = 10kN (valor positivo). Significa que o sentido da seta está correto. 
RESULTADO: 
 
 
 
 
NÓ A 
 
 
 Rebatendo N AC no eixo horizontal, resulta = N AC cos 26,56º = 
 Rebatendo N AC no eixo vertical, resulta=N AC sen 26,56˚ 
Tanto em N AC como em N AE, aplicamos o sentido da seta como tração, conforme regra 
inicial. Os outros valores e sentidos já conhecidos, como Rh A = (60,0 kN) para direita e N AB 
para cima, conforme determinados. 
Verificação no eixo vertical: FV=0  N AB + N AC sen 26,56˚ = 0 
10,0 = - N AC x 0,447  N AC = - 22,4 kN (-) COMPRESSÃO 
 
Para jogar na fórmula seguinte, o valor negativo encontrado para N AC deve ser considerado, 
então  Aplicando novamente as equações de equilíbrio FH=0  60 - N AC cos θ + N AE = 0 
N AE = - 60 + 22,4 x 0,447  N AE = - 40,0 kN 
RESULTADO: 
 
 
************ 
NÓ E 
 
Aplicando as equações de equilíbrio dos nós: Σ FV = 0  N CE = 0 
Σ FH = 0 N AE + N ED = 0 40,0 kN = - N ED  N ED = -40,0 kN O sinal de N ED, dando 
negativo, denota que o sentido da seta, inicialmente de tração, é de fato de compressão. 
RESULTADO: 
 
*********** 
NÓ D 
 
 
Rebatendo N DC no eixo vertical: N DC sen θ; 
Rebatendo N DC no eixo horizontal: N DC cos θ. 
Aplicando as equações de equilíbrio do nó: FH=0  N DC sen θ – 20,0 = 0 
N DC = 20,0 / sen θ = 20,0 / 0,447 = 44,7 kN ( + ) Mantém o sentido da seta adotada. 
 
NÓ C – Confirmação de resultados. Todos os valores e sentidos das setas já foram 
encontrados. 
 
Rebatendo N AC na Horizontal: N AC cos θ; na vertical N AC sen θ; 
Rebatendo N BC na horizontal: N BC cos θ; na vertical N BC sen θ; 
Rebatendo N CD na horizontal : N CD cos θ; na vertical NCD sem θ. 
 
Aplicando novamente as equações de equilíbrio FH=0 
- 40,0 + N AC cos θ - N BC cos θ + N CD cos θ = 0 
 - 40,0 + 22,4 x 0,984 – 22,4 x 0,894 + 44,7 x 0,894= 0 OK! 
Verificação no eixo vertical: FV=0  N BC sen θ + N AC sen θ – N CD sen θ = 0 
22,4 x 0,447 – 22,4 x 0,447 + 44,7 x sen θ = 0 OK! 
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Estrutura e Carregamento 
 
Diagrama dos Esforços Solicitantes – Força Normal e Reçãoes de Apoio 
 
Diagrama dos Esforços Solicitantes – Momentos Fletores nas Barras e Reações de Apoio 
 
Diagrama das Deflexões e Reações de Apoio.