Teste de Hipóteses - Igualdade de Médias de Duas Populações Normais

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Testes de hipóteses sobre a igualdade de médias
de duas populações normais:
CASO VARIÂNCIAS CONHECIDAS E AMOSTRAS
INDEPENDENTES E O
CASO AMOSTRAS DEPENDENTES.
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Motivação: Caso Variâncias Conhecidas e Amostras
Independentes.
Motivação
A engenheira de uma fábrica de pré moldados está interessada em
comparar a resistência de blocos de concretos com função estrutu-
ral. A fábrica produz dois tipos diferentes de blocos. Como a linha
A é relativamente nova, ela suspeita que a resistência dos blocos da
linha A seja maior do que a resistência dos blocos produzidos pela li-
nha mais velha, B. Selecionam-se aleatoriamente 25 blocos de cada
linha, encontrando-se uma resistência média de xA = 6, 50MPa e
xB = 5, 48MPa. Devido à experiência com a fabricação, sabe-se que
σA = 0, 24MPa e σB = 0, 30MPa. A engenheira deseja testar se a
resistência média dos blocos do tipo A é maior do que a resistência
média dos blocos do tipo B, ao nı́vel de 5%.
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Testes de hipóteses sobre a igualdade de médias de duas
populações normais com Variâncias Conhecidas e Amostras
Independentes.
Condições Necessárias
Sejam X e Y duas populações normalmente distribuı́das,
X ∼ N(µX , σ2X) e Y ∼ N(µY , σ2Y ),
em que µX e µY são desconhecidos e σ2X e σ
2
Y são conhecidos.
SejamX1, X2, ..., XnX e Y1, Y2, ..., YnY amostras, independentes uma
da outra, de X e de Y , respectivamente.
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Procedimento Geral
Definição das hipóteses
1. Teste bilateral{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY 6= 0
2. Teste unilateral à direita{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY > 0
3. Teste unilateral à esquerda{
H0 : µX − µY = 0
H1 : µX − µY < 0
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Escolha da Estatı́stica para o teste
Estatı́stica
Neste caso, utilizaremos a estatı́stica X − Y . Daı́, temos que
X − Y ∼ N
(
µX − µY ,
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
)
.
Assim, se a hipótese nula H0 : µX = µY for verdadeira, a estatı́stica
de teste
Z =
(X − Y )− (µX − µY )√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
=
X − Y√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
∼ N(0, 1)
segue distribuição normal padrão.
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Região Crı́tica
Fixado o nı́vel de significância do teste (α) e supondo H0 verdadeira,
a região crı́tica padronizada do teste fica como:
a)
RCp =
{
z; P
(
|Z| ≥ z 1−α
2
)
= α
}
=
]
−∞;−z 1−α
2
]
∪
[
z 1−α
2
;∞
[
.
b)
RCp =
{
z; P
(
Z > z 1−2α
2
)
= α)
}
=
[
z 1−2α
2
;∞
[
.
c)
RCp =
{
z; P
(
Z ≤ −z 1−2α
2
)
= α)
}
=
]
−∞;−z 1−2α
2
]
.
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Estatı́stica de Teste
Estatı́stica de teste
Dada uma amostra de tamanho n, a estatı́stica de teste será:
z0 =
x0 − y0√
σ2X
nX
+
σ2Y
nY
.
Conclusão
Se z0 ∈ RCp, rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos H0.
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Motivação: Caso Amostras Dependentes.
Motivação
Um artigo no Journal of Strain Analysis (Vol. 18, No2, 1983) compara
vários métodos de se predizer a força de cisalhamento de longarinas de
chapa de aço. Os procedimentos Karlsruhe e Lehigh, aplicados a nove
longarinas especı́ficas, resultou na média, d = 0, 2739 e no desvio
padrão, sd = 0, 1351, das diferenças dj , obtidos a partir dos dados
apresentados na Tabela a seguir. Desejamos determinar se há alguma
diferença (na média) entre os dois métodos, ao nı́vel de 5%.
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Motivação: Caso Amostras Dependentes.
Predições de Força para nove longarinas de chapa de aço
(Carga Predita/Carga Observada)
Longarina Karlsruhe Lehigh Diferença dj
S1/1 1,186 1,061 0,125
S2/1 1,151 0,992 0,159
S3/1 1,322 1,063 0,259
S4/1 1,339 1,062 0,277
S5/1 1,200 1,065 0,135
S2/1 1,402 1,178 0,224
S2/2 1,365 1,037 0,328
S2/3 1,537 1,086 0,451
S2/4 1,559 1,052 0,507
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Testes de hipóteses sobre a igualdade de médias de duas
populações normais com amostras emparelhadas.
Populações Emparelhadas: Dizemos que duas populações são de-
pendentes (ou emparelhadas) se existir alguma relação de modo que
cada valor em uma população estiver emparelhado com um valor cor-
respondente na outra população.
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Condições Necessárias
Sejam, então, X e Y duas populações normais emparelhadas,
X ∼ N(µX , σ2X) e Y ∼ N(µY , σ2Y ),
e sejam X1, X2, ..., Xn e Y1, Y2, ..., Yn amostras aleatórias de X e de
Y , respectivamente.
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Condições Necessárias
Sejam Di = Xi − Yi, i = 1, 2, ..., n, as diferenças entre cada par de
observações, onde as diferenças Di seguem distribuição
aproximadamente normal, com média
µD = E(X − Y ) = E(X)− E(Y ) = µX − µY ,
de modo que um teste sobre a igualdade de µX e µY pode ser obtido
realizando-se um teste t de amostra única sobre µD.
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Procedimento Geral
Definição das hipóteses
1. Teste bilateral{
H0 : µD = 0
H1 : µD 6= 0
2. Teste unilateral à direita{
H0 : µD = 0
H1 : µD > 0
3. Teste unilateral à esquerda{
H0 : µD = 0
H1 : µD < 0
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Escolha da Estatı́stica para o teste
Neste caso, a estatı́stica apropriada é X − Y = D. Daı́, temos que
T =
(X − Y )− (µX − µY )√
S2d
n
=
D − µD
Sd√
n
∼ t(n−1),
Assim, se a hipótese nula H0 : µD = 0 for verdadeira, a estatı́stica de
teste
T =
D
SD√
n
,
segue distribuição t-Student com (n− 1) graus de liberdade.
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Escolha da Estatı́stica para o teste
Em que
SD =
√√√√ 1
n− 1
n∑
i=1
(Di −D)2
ou
SD =
√√√√√ 1
n− 1
 n∑
i=1
D2i −
1
n
(
n∑
i=1
Di
)2
e
D =
1
n
n∑
i=1
Di.
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Região Crı́tica
Fixado o nı́vel de significância do teste (α) e supondo H0 verdadeira,
a região crı́tica padronizada do teste fico como:
a)
RCp = {t; P (|T | < tα) = 1− α} = ]−∞;−tα] ∪ [tα;∞[ ;
b)
RCp = {t; P (T ≥ t2α) = α} = [t2α;∞[ ;
c)
RCp = {t; P (T ≤ −t2α) = α} = ]−∞;−t2α] ;
em que tα é um valor tabelado tal que P (|T | < tα) = 1 − α e T ∼
t(n−1).
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Estatı́stica de Teste
Estatı́stica de teste
Dada uma amostra de tamanho n, a estatı́stica de teste será:
t0 =
d0
Sd√
n
.
Conclusão
Se t0 ∈ RCp, rejeitamos H0, caso contrário, não rejeitamos H0.
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