PD 2021 - Mat Básica II

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PD 2021 – Matemática Básica II Prof. Carlos Henrique 
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Matemática Básica II 
 
1. (Fuvest 2021) Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de 
pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 
pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao 
fim de 50 arremessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é 
a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados dessa 
jogadora? 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
2. (Unicamp 2021) A soma dos valores de x que resolvem a equação 
 
1 1
12 3
x 1 2
4 x
+
=
+
 
 
é igual a 
a) 14 .
3
 
b) 16 .
3
 
c) 18 .
3
 
d) 20 .
3
 
 
3. (Uerj 2020) Os números inteiros x e y satisfazem às seguintes equações: 
 
2 3
x y 37
5 5
x y 30

+ =

 − =
 
 
Logo, x y+ é igual a: 
a) 80 
b) 85 
c) 90 
d) 95 
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 4. (Ufrgs 2020) Se a equação 2x 2x 8 0+ − = tem as raízes a e b, então o valor 
de 
2
1 1
a b
 
+ 
 
 é 
a) 1 .
16
− 
b) 1.
4
− 
c) 1 .
16
 
d) 1 .
4
 
e) 1. 
 
5. (Uerj 2020) A soma de dois números naturais diferentes é 68. Ambos são 
múltiplos de 17. 
A diferença entre o maior número e o menor é: 
a) 35 
b) 34 
c) 33 
d) 32 
 
 
6. (Uerj 2020) Tem-se que o número 6 5 4 3 2 1a a a a a a é divisível por 11, se o valor 
da expressão 1 2 3 4 5 6(a a a a a a )− + − + − também é divisível por 11. 
 
Por exemplo, 178409 é divisível por 11 porque: 
(9 0 4 8 7 1 11)− + − + − = é divisível por 11. 
 
Considere a senha de seis dígitos 3894xy, sendo x e y pertencentes ao 
conjunto 
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
 
Se essa senha forma um número divisível por 99, o algarismo y é igual a: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
 
 
 
 
 
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7. (Espm 2019) Quando eu nasci, meu pai tinha 32 anos. Hoje, o produto 
das nossas idades é igual a 900. A soma das nossas idades atuais é igual a: 
a) 72 
b) 68 
c) 64 
d) 83 
e) 75 
 
8. (Enem 2019) Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) incluir a 
linha de autopeças em campanha veiculada contra a falsificação, as 
agências fiscalizadoras divulgaram que os cinco principais produtos de 
autopeças falsificados são: rolamento, pastilha de freio, caixa de direção, 
catalisador e amortecedor. 
Disponível em: www.oficinabrasil.com.br. 
Acesso em: 25 ago. 2014 (adaptado). 
 
Após uma grande apreensão, as peças falsas foram cadastradas utilizando-
se a codificação: 
1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção, 4: catalisador e 5: 
amortecedor. 
Ao final obteve-se a sequência: 
5, 4, 3, 2,1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,1, 2, 3, 4, que apresenta um padrão de 
formação que consiste na repetição de um bloco de números. Essa 
sequência descreve a ordem em que os produtos apreendidos foram 
cadastrados. 
 
O 2015º item cadastrado foi um(a) 
a) rolamento. 
b) catalisador. 
c) amortecedor. 
d) pastilha de freio 
e) caixa de direção. 
 
9. (Espm 2019) O número que se deve somar a 2456.788 para se obter 
2456.789 é: 
a) 456.789 
b) 1 
c) 456.788 
d) 913.579 
e) 913.577 
 
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10. (Ufrgs 2018) As raízes da equação 22x bx c 0+ + = são 3 e 4.− Nesse caso, 
o valor de b c− 
a) 26.− 
b) 22.− 
c) 2.− 
d) 22. 
e) 26. 
 
11. (Fgv 2018) A equação quadrática 2x 2x c 0,− + = em que c é uma 
constante real, tem como raízes 1x e 2x . Se 1
2
x
2,
x
= − então 3 c será 
a) um múltiplo de 3. 
b) racional não inteiro. 
c) irracional. 
d) 2.− 
e) 2. 
 
12. (Mackenzie 2018) O número inteiro positivo, cujo produto de seu 
antecessor com seu sucessor é igual a 8, é 
a) 5 
b) 4 
c) 3− 
d) 3 
e) 2 
 
13. (G1 - ifal 2018) Qual o valor de c na equação 2x 2x c 0,+ + = para que a 
equação tenha uma única solução Real? 
a) 2.− 
b) 1.− 
c) 0 
d) 1. 
e) 2. 
 
14. (Espm 2018) O valor numérico da expressão 
3 3
3 2 2
x y
x x y xy
−
+ +
 para x 0,8= e 
y 0,3= é igual a: 
a) 0,325 
b) 0,125 
c) 0,415 
d) 0,625 
e) 0,275 
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15. (Unesp 2017) Três cubos laranjas idênticos e três cubos azuis idênticos 
estão equilibrados em duas balanças de pratos, também idênticas, 
conforme indicam as figuras. 
 
 
 
A massa de um cubo laranja supera a de um cubo azul em exato 
a) 1,3 kg. 
b) 1,5 kg. 
c) 1,2 kg. 
d) 1,4 kg. 
e) 1,6 kg. 
 
16. (Enem (Libras) 2017) Para incentivar a reciclagem e evitar lixo espalhado 
durante as festas de final de ano, a prefeitura de uma cidade fez uma 
campanha com sorteio de prêmios. Para participar do sorteio, era 
necessário entregar cinco latinhas de alumínio ou três garrafas de vidro 
vazias para ter direito a um cupom. Um grupo de estudantes de uma escola 
trocou suas latinhas e garrafas de vidro e com isso adquiriram dez cupons; 
outro grupo trocou o triplo das garrafas e a mesma quantia de latinhas do 
primeiro grupo, conseguindo vinte cupons. 
 
Quantas garrafas de vidro e quantas latinhas, respectivamente, o segundo 
grupo trocou? 
a) 5 e 5 
b) 15 e 5 
c) 15 e 25 
d) 45 e 25 
e) 45 e 75 
 
17. (Enem PPL 2017) Uma escola organizou uma corrida de revezamento 
4 400 metros, que consiste em uma prova esportiva na qual os atletas 
correm 400 metros cada um deles, segurando um bastão, repassando-o de 
um atleta para outro da mesma equipe, realizando três trocas ao longo do 
percurso, até o quarto atleta, que cruzará a linha de chegada com o bastão. 
A equipe ganhadora realizou a prova em um tempo total de 325 segundos. 
 
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O segundo corredor da equipe ganhadora correu seus 400 metros 15 
segundos mais rápido do que o primeiro; já o terceiro realizou seus 400 
metros 5 segundos mais rápido que o segundo corredor, e o último realizou 
seu percurso em 3
4
 do tempo realizado pelo primeiro. 
Qual foi o tempo, em segundo, em que o último atleta da equipe ganhadora 
realizou seu percurso de 400 metros? 
a) 58 
b) 61 
c) 69 
d) 72 
e) 96 
 
18. (Espm 2017) Numa olimpíada de Matemática participaram 7 alunos de 
cada escola. Na primeira fase foram eliminados 20 alunos. Na segunda fase 
foram excluídos 2
3
 dos que ficaram, restando 26 alunos para disputar a 
terceira fase. Entre as escolas participantes, as particulares eram o dobro 
das estaduais, que, por sua vez, eram o dobro das municipais. Podemos 
concluir que o número de alunos enviados pelas escolas estaduais foi: 
a) 35 
b) 14 
c) 42 
d) 28 
e) 21 
 
19. (Fgvrj 2017) Na resolução de um problema que recaía em uma equação 
do 2º grau, um aluno errou apenas o termo independente da equação e 
encontrou como raízes os números 2 e 14.− Outro aluno, na resolução do 
mesmo problema, errou apenas o coeficiente do termo de primeiro grau e 
encontrou como raízes os números 2 e 16. 
 
As raízes da equação correta eram: 
a) 2− e 14− 
b) 4− e 8− 
c) 2− e 16 
d) 2− e 16− 
e) 4 e 14 
 
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20. (G1 - ifsul 2017) As medidas do comprimento e da altura (em metros) 
do outdoor retangular, representado na figura abaixo, são exatamente as 
soluçõesda equação 2x 10x 21 0.− + = 
 
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse outdoor é 
a) 210 m . b) 220 m . c) 221m . d) 224 m . 
 
21. (Espm 2016) O inverso multiplicativo do número 7 x+ é o número 
7 x.− O valor de x 1+ é igual a: 
a) 7 
b) 3 
c) 12 
d) 8 
e) 5 
 
22. (Uerj 2015) 
 
 
De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na 
compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um 
total de 89 unidades de frutas. 
Desse total, o número de unidades de maçãs comprado foi igual a: 
a) 24 b) 30 c) 36 d) 42 
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23. (Uece 2015) O número de divisores positivos do produto das raízes da 
equação 22x 114x 56 0− + = é 
a) 12. 
b) 10. 
c) 8. 
d) 6. 
 
24. (Ufrj 2011) Se x 3 8 3 8= − − + , mostre que x é inteiro e negativo. 
(Sugestão: calcule x2.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. (Uerj) Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. 
Os restos das divisões de a e b por 8 são, respectivamente, 7 e 5. 
Determine o resto da divisão do produto a.b por 8. 
 
 
 
 
 
 
 
26. (Ufrj) n e m são números naturais, n = 1000! + 18 e m = 50! + 37. 
 
a) Calcule o resto da divisão de n por 18; 
 
 
 
b) m é um número primo? Justifique sua resposta. 
 
 
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27. (Uff) Calcule o valor numérico de 1
M
 sendo 
 
a = 0,998 e b = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
28. (Ufrj) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 
5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42? 
Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
29. (Unicamp) O teorema fundamental da aritmética garante que todo 
número natural r>1 pode ser escrito como um produto de números primos. 
Além disso, se r = p1t1 p2t2 ... pntn, onde p1, p2,...,pn são números primos 
distintos, então o número de divisores positivos de r é d(r) = (t1 + 1)(t2 + 
1)...(tn + 1). 
 
a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos de 168. 
 
 
 
b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores 
positivos. 
 
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30. (Uerj) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está 
compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou 
de 20 em 20, sempre resta uma fita. 
A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual 
a: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
31. (Uff) Considere p, q e IN* tais que p e q são números pares. Se p>q, 
pode-se afirmar que: 
a) (pq + 1) é múltiplo de 4; 
b) p - q é ímpar; 
c) p + q é primo; 
d) p2 - q2 é par; 
e) p(q + 1) é ímpar. 
 
32. (Unesp) Sejam x = 180 e y = 100. 
 
a) Decomponha x e y em fatores primos. 
 
b) Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de x e 
y. 
 
33. (Ufrj) Determine os números naturais maiores do que zero que, ao 
serem divididos por 8, apresentam resto igual ao dobro do quociente. 
 
 
 
 
34. (Fuvest) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o 
produto de 3888 por n um cubo perfeito é 
a) 6 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 24 
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35. (Unicamp) Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31, 
deixa resto r ∈ N e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa 
resto 2r. 
a) Qual é o maior valor possível para o número natural r? 
 
 
 
 
 
b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, 
calcule o valor numérico de D. 
 
 
 
 
 
 
36. (Fuvest) Na figura adiante estão representados geometricamente os 
números reais 0, x, y e 1. 
Qual a posição do número xy? 
 
a) À esquerda de 0. 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y. 
d) Entre y e 1. 
e) À direita de 1. 
 
37. (Fuvest 2020) A função E de Euler determina, para cada número natural 
n, a quantidade de números naturais menores do que n cujo máximo 
divisor comum com n é igual a 1. Por exemplo, E(6) 2= pois os números 
menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de 
E(n), para n de 20 a 25? 
a) 19 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
e) 25 
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38. (Uerj 2020) Uma gerente de loja e seu assistente viajam com frequência 
para São Paulo e voltam no mesmo dia. A gerente viaja a cada 24 dias e o 
assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em um final de semana, eles 
viajaram juntos. Depois de x viagens da gerente e y viagens do assistente 
sozinhos, eles viajaram juntos novamente. 
O menor valor de x y+ é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
39. (Espm 2019) O número 9xyz2 é o produto de 3 números pares 
consecutivos, onde x, y e z são algarismos ocultos. O valor da soma x y z+ + 
é: 
a) 13 
b) 7 
c) 10 
d) 16 
e) 19 
 
40. (Fac. Albert Einstein – Medicina 2017) Um torneio de xadrez terá alunos 
de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 
252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada 
grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada 
escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de 
grupos que podem ser formados é 
a) 12 
b) 23 
c) 46 
d) 69 
 
41. (Unigranrio - Medicina 2017) Uma mulher tem três filhas matriculadas 
regularmente no ensino fundamental. O produto da sua idade com as 
idades de suas 3 filhas é 37.037. Desta forma, pode-se afirmar que a 
diferença entre as idades de sua filha mais velha e sua filha mais nova é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
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42. (Uerj 2016) O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O 
ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, 
apesar de múltiplos de 4. não são bissextos: são aqueles que também são 
múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último caso 
especial. 
A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
43. (Enem 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as 
mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores 
primos. Um número N é dado pela expressão x y z2 5 7 ,  na qual x, y e z são 
números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é 
múltiplo de 7. 
O número de divisores de N, diferentes de N, é 
a) x y z  
b) (x 1) (y 1)+  + 
c) x y z 1  − 
d) (x 1) (y 1) z+  +  
e) (x 1) (y 1) (z 1) 1+  +  + − 
 
44. (Unifesp) O número de inteiros positivos que são divisores do número 
N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é 
a) 84. 
b) 86. 
c) 140. 
d) 160. 
e) 162. 
 
45. (Unesp) Considere o número inteiro 3600, cuja fatoração em primos é 
3600 = 24. 32. 52. Os divisores inteiros e positivos de 3600 são os números 
da forma 2x. 3y. 5n, com x ∈ {0,1,2,3,4}, y ∈ {0,1,2} e n ∈ {0,1,2}. Determine: 
a) o número total de divisores inteiros e positivos de 3600 e quantos desses 
divisores são também divisores de 720. 
 
b) quantos dos divisores inteiros e positivos de 3600 são pares e quantos 
são quadrados perfeitos. 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [B] 
 
Se x é o número de arremessos acertados, então 
5x 2(50 x) 124 7x 224x 32.
− − =  =
 =
 
 
Portanto, a resposta é 32 (50 32) 14.− − = 
 
Resposta da questão 2: [D] 
 
Se x 0, então 
2
2
1 1 5
1 12 3 6
x 1 2 2x 4
4 x 4x
3x 20x 12 0.
+
=  =
++
 − + =
 
Portanto, pelas Relações de Girard, segue que a resposta é 
( 20) 20
.
3 3
−
− = 
 
Resposta da questão 3: [A] 
 
Tem-se que 

+ =+ = 
 
− = − =
=

=
2 3
2x 3y 185x y 37
5 5
3x 3y 90
x y 30
x 55
.
y 25
 
 
A resposta é + = + =x y 55 25 80. 
 
Resposta da questão 4: [C] 
Pelas Relações de Girard, temos 
2
a b 2
1
+ = − = − e 
8
a b 8.
1
 = − = − Logo, segue que 
2 2
2
1 1 a b
a b ab
2
8
1
.
16
+   
+ =   
   
− 
=  
− 
=
 
 
Resposta da questão 5: [B] 
 
Sejam os números naturais 17α e 17 ,β com 0.α β  Tem-se que 
17 17 68 4α β α β+ =  + = 
 
Portanto, só pode ser 3α = e 1.β = 
A resposta é 
17 17 17(3 1) 34.α β− = − = 
 
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Resposta da questão 6: [D] 
 
Se 3894xy é divisível por = 99 9 11, então 3894xy é divisível por 9 e por 11. Logo, sendo 𝛼 ∈ ℤ, 
temos 
y x 4 9 8 3 11 y x 11 ,α α− + − + − =  − = 
 
o que implica em =x y e 0.α = 
 
Por conseguinte, sendo 𝛽 ∈ ℤ, vem 
3 + 8 + 9 + 4 + 𝑦 + 𝑦 = 9𝛽 ⇔ 𝑦 =
9𝛽
2
− 12. 
 
Donde segue que 
9
0 12 9 8 3 14
2
2 2
2 4
3 3
{3, 4}.
β
β
β
β
 −    
 +   +
 
 
 
Finalmente, como β deve ser par, temos 4,β = o que implica em =y 6. 
 
Resposta da questão 7: [B] 
 
Seja x a idade do filho, com x sendo um inteiro positivo. Logo, temos 
x(x 32) 900 x(x 32) 18(18 32).+ =  + = + 
 
A resposta é 18 50 68.+ = 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
Observe que os códigos se repetem de 8 em 8. Logo, sendo 2015 251 8 7,=  + podemos concluir que 
a resposta é 3, ou seja, caixa de direção. 
 
Resposta da questão 9: [E] 
 
Considerando que x seja o número procurado, temos: 
2 2
2 2
456788 x 456789
x 456789 456788
x (456789 456788) (456789 456788)
x 1 913577 913577
+ =
= −
= −  +
=  =
 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Como 3 e 4− são raízes da equação 22x bx c 0,+ + = temos: 
( )
( )
c
3 4 c 24
2
b
3 4 b 2
2

 − =  = −

 + − = −  =

 
Logo, 
( )b c 2 24
b c 26
− = − −
− =
 
 
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Resposta da questão 11: [D] 
 
Calculando: 
1
1 2
2
x
2 x 2x
x
= −  = − 
 
Por Girard: 
1 2
2 2 2 1
x x 2
2x x 2 x 2 x 4
+ =
− + =  = −  =
 
 
Assim: 
( ) ( )
2
3 3
2 2 2 c 0 4 4 c 0 c 8
c 8 2
− −  − + =  + + =  = −
= − = −
 
 
Resposta da questão 12: [D] 
 
Admitindo que x seja o número inteiro positivo temos como se antecessor x 1− e como seu sucessor 
x 1.+ Daí, podemos escrever que: 
2 2(x 1) (x 1) 8 x 1 8 x 9 x 3−  + =  − =  =  =  
Como x é um número positivo, temos x 3.= 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
Se a equação possui apenas uma raiz real, temos que o valor de delta é zero, logo: 
2 2b 4ac 0 2 4 1 c 0 c 1Δ = − =  −   =  = 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
Calculando: 
( ) ( )
( )
2 2
3 3
3 2 2 2 2
x y x xy yx y x y 0,8 0,3
0,625
x 0,8x x y xy x x xy y
−  + +− − −
= = = =
+ +  + +
 
 
Resposta da questão 15: [D] 
 
Sejam a e , respectivamente, a massa de um cubo azul e a massa de um cubo laranja. Assim, temos 
 
2a 2 a 2 3
a 3 2 4 6 2
a 0,2 kg
.
1,6 kg
+ = = − 
 
+ = − + = 
=
 
=
 
 
Portanto, a resposta é a 1,4 kg.− = 
 
Resposta da questão 16: [D] 
Sejam e 
g
,
3
 respectivamente, o número de latinhas e o número de garrafas de vidro entregues pelo 
primeiro grupo. Temos 
g
10
5 9
+ = e 
g
20,
5 3
+ = implicando em 25= e g 45.= 
A resposta é 45 e 25. 
 
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Resposta da questão 17: [D] 
Seja t o tempo gasto, em segundos, pelo primeiro corredor para percorrer 400 metros. Assim, de 
acordo com as informações, os tempos dos outros corredores são: t 15, t 20− − e 
3t
.
4
 Daí, vem 
3t 15t
t t 15 t 20 325 360
4 4
t 96.
+ − + − + =  =
 =
 
Portanto, a resposta é 
3
96 72 s.
4
 = 
 
Resposta da questão 18: [D] 
Seja n o número de escolas participantes. Logo, se 7n 20− alunos passaram para a segunda fase, 
então passaram 
7n 20
3
−
 alunos para a terceira fase. 
Portanto, temos 
7n 20
26 7n 98
3
n 14.
−
=  =
 =
 
Em consequência, se e é o número de escolas estaduais, então 
e
2e e 14 e 4
2
+ + =  = 
e, assim, podemos afirmar que o número de alunos enviados pelas escolas estaduais foi 7 4 28. = 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
Aluno 1: 
2
i
i
b 12x ' 2
ax bx c 0 Girard
c 28x '' 14
4a 12 2 28 0 4a 4 a 1
==
+ + =   
= −= −
+  − =  =  =
 
 
Aluno 2: 
i2
i
b 18x ' 2
ax b x c 0 Girard
x '' 16 c 32
= −=
+ + =   
= =
 
 
Equação correta: 
2 2 x ' 4ax bx c 0 x 12x 32 0
x '' 8
= −
+ + =  + + = 
= −
 
 
Resposta da questão 20: [C] 
Obtendo as raízes de 2x 10x 21 0,− + = através da Fórmula de Bháskara, temos: 
2
2
b 4 a c
( 10) 4 1 21 16
b ( 10) 16
x
2 a 2 1
x ' 310 4
x
x '' 72
Δ
Δ
Δ
= −  
= − −   =
−  − − 
= =
 
=
= 
=
 
 
Logo, como a área do outdoor out(A ) é dada pelo produto de seus lados, temos: 
2
out out(A ) x ' x '' (A ) 3 7 21m .=   =  = 
 
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Resposta da questão 21: [A] 
Tem-se que 
(7 x) (7 x) 1 49 x 1 x 48.+  − =  − =  = 
Por conseguinte, vem 
x 1 48 1 7.+ = + = 
 
Resposta da questão 22: [C] 
 
Sabendo que a despesa foi igual a R$ 67,00, tem-se que 
5x 5y 4 3 67 x y 11.+ +  =  + = 
Além disso, como foram compradas 89 unidades de frutas, vem 
6x y 4 12 89 6x y 41.+ +  =  + = 
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 
6x y x y 41 11 x 6.+ − − = −  = 
Portanto, foram compradas 6 6 36 = maçãs. 
 
Resposta da questão 23: [D] 
 
Solução 1: 
Utilizando as Relações de Girard e a fatoração: 
1 2 1 2
c 56
x x x x 28
a 2
 = = →  = 
Fatorando este número, tem-se: 2 128 2 7 .=  Assim, o número de divisores será: (2 1) (1 1) 6+  + = 
divisores. 
 
Solução 2: 
Simplificando a equação e calculando suas raízes, tem-se: 
2 2
2
1,2
2x 114x 56 0 x 57x 28 0
( 57) 4 1 28 3137
57 3137
x
2
− + = → − + =
 = − −   =

=
 
Assim, utilizando as propriedades dos produtos notáveis, o produto das raízes da equação será: 
22
1 2 1 2
57 3137 57 3137 57 3137 3249 3137 112
x x x x 28
2 2 2 2 4 4 4
     + −  
 =  = − = − = →  =                 
 
Os divisores de 28 são: 1, 2, 4, 7,14 e 28. São, portanto, 6 divisores. 
 
Resposta da questão 24: 
 É fácil ver que 3 8 3 8.−  + Logo, x 3 8 3 8 0.= − − +  
 
2 2x ( 3 8 3 8 )
3 8 2 (3 8)(3 8) 3 8
6 2 9 8
4
= − − +
= − − − + + +
= − −
=
 
 
x 4 2.=  =  
 
Por conseguinte, x = - 2, que é um número inteiro e negativo. 
 
Resposta da questão 25: 3 
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Resposta da questão 26: 
 a) Zero, pois 1000! apresenta o fator 18. Logo, n =1000! +18 = (k +1).18, com k ∈ N. Daí, n é múltiplo de 
18. 
b) m não é primo. De modo análogo ao item (a), temos que m = 50! +37 = (k+1).37, com k ∈ N. Portanto, 
m é múltiplo de 37 e não é primo. 
 
Resposta da questão 27: 249.500 
 
Resposta da questão 28: 
 Se n deixa resto 3 quando dividido por 7, então n = 7k + 3 para algum k ∈ Z. Analogamente, n = 6l + 5 
para algum l ∈ Z. Portanto, {6n = 42k + 18, 7n = 42l + 35. 
Subtraindo a primeira da segunda, obtemos n = 42 (l - k) + 17. Portanto, n deixa resto 17 quando 
dividido por 42. 
 
29: a) 16b) 144 30: [B] 31: [D] 
 
Resposta da questão 32: 
 a) x = 22 . 32 . 5 e y = 22 . 52 
b) mdc = 20 e mmc = 900 
 
Resposta da questão 33: 10, 20, 30 
 
34: [B] 35: a) 8 b) D = 129 36: [B] 
 
Resposta da questão 37: [C] 
 
Sendo 23 o único primo entre 20 e 25, segue que E(23) 23 1 22= − = é o valor máximo de E(n) 
quando n varia de 20 a 25. 
 
Resposta da questão 38: [C] 
 
Tem-se que 
3 4
4
mmc(24,16) mmc(2 3, 2 )
2 3
48.
= 
= 
=
 
 
Desse modo, a gerente e o assistente viajam juntos a cada 48 dias. 
Ao fim de quarenta e oito dias, a gerente realizou uma viagem sozinha e outra acompanhada pelo 
assistente, enquanto que o assistente realizou duas viagens sozinho e uma acompanhado da gerente. 
A resposta é + = + =x y 1 2 3. 
 
Resposta da questão 39: [A] 
 
Considerando os algarismos das unidades pares, temos apenas uma sequência possível para que o 
produto termine em dois, ou seja os últimos algarismos destes fatores pares devem ser 4, 6 e 8. 
 
Sabemos que: 
3
3
3
3
20 8000
30 27000
40 64000
50 125000
=
=
=
=
 
 
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Como 64000 9xyz2 125000,  concluímos que os números pares são 44, 46 e 48. 
 
Efetuando o produto destes números, obtemos: 
44 46 48 97152  = 
 
Portanto, x 7, y 1= = e z 5.= 
Logo, x y z 7 1 5 13.+ + = + + = 
 
Resposta da questão 40: [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao máximo divisor comum dos números 120,180 e 252, ou seja, 
3 2 2 2 2
2
mdc(120,180, 252) mdc(2 3 5, 2 3 5, 2 3 7)
2 3
12.
=      
= 
=
 
 
Resposta da questão 41: [C] 
 
Fatorando-se o produto das idades, tem-se: 
37037 7
5291 11
481 13
37 37
1
 
 
Logo, a idade da mãe será 37 anos e das filhas 7,11 e 13 anos. A diferença de idade entre a filha mais 
velha e a mais nova será de 6 anos. 
 
Resposta da questão 42: [A] 
 
O próximo ano múltiplo de 100 após o ano de 1900 é o ano 2000. Porém, 2000 é múltiplo de 400, 
(2000 400 5). = Assim, o próximo ano múltiplo de 100 é o ano 2100. Este, além de múltiplo de 
100, não é múltiplo de 400, configurando um caso especial. Logo, a soma dos algarismos do próximo 
ano que será um caso especial é 2 1 0 0 3.+ + + = 
 
Resposta da questão 43: [E] 
 
O número de divisores positivos de N, diferentes de N, é dado por (x 1)(y 1)(z 1) 1,+ + + − com x 0, 
y 0 e z 0.= 
 
Observação: Considerando o enunciado rigorosamente, a resposta seria 2 (x 1) (y 1) 1, +  + − com 
x 1 e y 1. 
 
Resposta da questão 44: [D] 
 
Resposta da questão 45: 
 a) 45; 30 
 
b) 36; 12