Aula 4 - Regra do produto e do quociente

Prévia do material em texto

CÁLCULO: LIMITES DE 
FUNÇÕES DE UMA 
VARIÁVEL E 
DERIVADAS
Cristiane da Silva 
Regra do produto 
e do quociente
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar situações em que as regras de produto e quociente podem 
ser usadas.
 � Aplicar as regras na derivação de produtos e quocientes de funções.
 � Utilizar as regras de produto e quociente em problemas aplicados.
Introdução
As regras de derivação vêm como um facilitador para resolução de cálcu-
los de forma mais eficiente. Ao longo da leitura, você será orientado sobre 
possibilidades de resolução que são mais práticas e chegam à mesma 
conclusão, por meio de técnicas que você já domina, como a da potência. 
Neste capítulo, você verá mais duas regras importantes de derivação 
e desenvolverá técnicas para derivar produtos e quocientes de funções. 
Além disso, você encontrará aplicações práticas que fazem parte de 
diferentes áreas de estudo, como da economia, da saúde, da engenharia, 
para que os conceitos estudados façam sentido com a realidade em que 
vivemos.
Uso das regras de produto e quociente
Nesta seção, daremos um passo à frente ao estudar as regras de produto e 
quociente. A seguir, cada uma delas está definida de acordo com Anton, 
Bivens e Davis (2014).
Derivada do produto
Poderíamos pensar que a derivada do produto de duas funções seja o produto 
de suas derivadas, mas isso não é correto. Vejamos um exemplo para elucidar 
essa questão.
Considere as funções f(x) = x e g(x) = x², cujo produto de suas derivadas é:
f'(x)g'(x) = (1) ∙ (2x) = 2x
Todavia, seu produto é:
h(x) = f(x)g(x) = x3
e a derivada do produto:
h'(x) = 3x2
Isso mostra que a derivada do produto não é igual ao produto das derivadas. 
A relação correta, conforme Leibniz, é expressa pelo seguinte teorema.
Se f e g forem diferenciáveis em x, então o produto f ∙ g também será, e:
Outra forma de representar a regra do produto é:
(f ∙ g)' = f ∙ g' + g ∙ f'
Demonstração da regra do produto:
Essa prova da regra do produto envolve um passo importante que é somar e subtrair a 
quantidade f(x + h)g(x) ao numerador na definição da derivada. Isso se chama artifício 
de prova, pois, ao somar e subtrair, a mesma quantidade, não estamos alterando o 
resultado de nossa fórmula, ao mesmo tempo que obtemos uma expressão para 
Regra do produto e do quociente2
colocar em evidência e chegar ao resultado que desejamos. Assim, temos (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014, p. 164):
Somando-se e subtraindo-se ao numerador o termo f(x + h) ∙ g(x):
No último passo, f(x + h) → f(x) quando h → 0. Isso porque f é contínua em x e, 
g(x) → g(x) quando h → 0, pois g(x) não envolve h e, portanto, permanece constante.
A derivada do produto de duas funções é o produto da primeira função 
vezes a derivada da segunda somada com o produto da segunda função vezes 
a derivada da primeira.
Derivada do quociente
A derivada de um quociente é dada pelo seguinte teorema.
Se f e g forem diferenciáveis em x e g(x) ≠ 0, então o quociente f/g será 
diferenciável em x, e: 
3Regra do produto e do quociente
Outra forma de representar a regra do quociente é (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, 
p. 165–166):
Demonstração da regra do quociente:
Sendo assim, a derivada do quociente de duas funções é o denominador 
vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do 
denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Regra do produto e do quociente4
Derivação de produto e quociente de funções
Nesta seção, veremos a aplicação das regras de derivação de produtos e quo-
cientes de funções. Uma dica importante é que, em algumas funções algébricas, 
uma simplificação inicial evita o uso dessas regras, permitindo que possamos 
resolvê-las de modo mais simples. Observe um exemplo, a seguir. 
Segundo Anton, Bivens e Davis (2014, p. 166), é mais fácil derivar:
reescrevendo essa função como:
Simplificando, teremos:
Assim, podemos usar a regra da potência para derivar. É mais simples do que utilizar 
a regra do quociente na primeira expressão. Veja:
Vejamos, a seguir, exemplos do uso das regras de derivação de produto e 
quociente de funções.
5Regra do produto e do quociente
Exemplo 1
Encontre se y = (4x² – 1)(7x³ + x) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 
164–165).
Solução:
Exemplo 2
Encontre se (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 165).
Solução:
Exemplo 3
Encontre y’(x) para (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 166).
Solução:
Regra do produto e do quociente6
Exemplo 4
Dada a curva y = (2x + 1)(2x² – x – 1) (HOFFMANN et al., 2015, p. 113):
a) determine y’;
b) determine a equação da reta tangente à curva no ponto x = 1;
c) determine todos os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.
Solução:
a) De acordo com a regra do produto, temos:
b) O valor de y para x = 1 é:
E, portanto, o ponto de tangência é (1,0). A inclinação em x = 1 é:
Substituindo na fórmula ponto-inclinação, descobriremos que a equação 
da reta tangente no ponto (1,0) é:
ou:
c) Para que uma tangente seja horizontal, é preciso que a inclinação seja 
zero, ou seja, devemos ter y’ = 0. Expandindo a expressão da derivada 
e combinando termos, obtemos:
7Regra do produto e do quociente
Resolvendo a equação y’ = 0, encontramos:
Somando 3 a ambos os membros e dividindo por 12:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros:
Fazendo e na expressão de y, obtemos e . 
Assim, a tangente é horizontal nos pontos .
Exemplo 5
Calcule a derivada da função (HOFFMANN et al., 2015, 
p. 116).
Solução:
A regra do quociente pode ser empregada, mas é mais simples e mais rápido 
escrever a função na forma:
e usar a regra da potência termo a termo para obter:
Regra do produto e do quociente8
Exemplo 6
Encontre a derivada de h(x) = 3x²(5x + 1) (ROGAWSKI (2008, p. 120).
Solução:
Pela regra do produto:
Exemplo 7
Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de no ponto 
x = 1 (ROGAWSKI (2008, p. 122).
Solução:
Primeiramente, calculamos a derivada, usando a regra do quociente:
Em x = 1, temos:
Uma equação da reta tangente em é:
9Regra do produto e do quociente
Problemas aplicados
Veremos, agora, as regras estudadas em problemas aplicados, para que você 
possa perceber a importância do estudo da derivada em diferentes áreas de 
interesse.
Aplicação 1
A potência que uma bateria consegue fornecer a um aparelho (como um 
celular) depende da resistência interna dela. Para uma bateria de voltagem V 
e resistência interna r, a potência total fornecida a um aparelho de resistência 
R é (ROGAWSKI, 2008, p. 123):
a) Calcule , supondo que V e r sejam constantes.
V é uma constante:
Regra do quociente
Temos e, como r é uma constante:
Regra do produto e do quociente10
Fatorando (R + r), obtemos:
b) Encontre o valor de R no qual a tangente ao gráfico de P por R é 
horizontal.
A reta tangente é horizontal quando a derivada é nula. Assim, igualamos 
a derivada a zero e resolvemos para R:
Essa equação somente está satisfeita se o numerador for nulo, ou seja, se 
R = r.
A Figura 1, a seguir, mostra que o ponto em que a reta tangente é horizontal é o 
máximo do gráfico. Isso prova um resultado importante em projetos de circuitos: 
a potência máxima é obtida quando a resistência da carga (aparelho) é igual 
à resistência interna da bateria.
Figura 1. Gráfico de potência por resistência 
.
Fonte: Adaptada de Rogawski (2008).
P
Rr
11Regra do produto e do quociente
Aplicação 2
Suponha que uma empresa tenha interesse em fazer um reservatório de água 
(espécie de tanque), feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem 
tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da lar-
gura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material 
para produzir o reservatório de volume de 36 m³ (SANTANA, 2010, p. 32–33).
Solução:
Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3x, e a altura por y, 
obtém-se a representação do reservatório de água conforme Figura 2, a seguir.
Figura 2. Representação do reservatóriode água.
Fonte: Adaptada de Santana (2010).
y
x
3x
O volume dessa caixa é dado por V = 3xxy = 3x2y e, então:
A área total da caixa é A = (3xx + 2xy + 2 ∙ 3xy). Logo, ela é dada por:
Regra do produto e do quociente12
Substituindo y na área:
Para encontrar o valor máximo ou mínimo, é preciso derivar a área e 
igualar a zero. Assim:
Para calcular a altura, é só substituir a medida x em . Logo, 
y = 4,76 metros. As dimensões que permitem a máxima economia de material 
para um tanque de volume 36m3 são, aproximadamente, comprimento, largura 
e altura – respectivamente, 7,56 metros, 2,52 metros e 4,76 metros.
Aplicação 3:
Suponha que a concentração de medicamento no sangue de um paciente, t > 0 
horas após a ingestão de um comprimido, seja dada por:
Nesse caso, a taxa de variação da concentração pode ser calculada por 
meio do uso da fórmula de potência e quociente:
13Regra do produto e do quociente
Portanto:
Note que a derivada existe somente no intervalo aberto (0, ∞). Além disso, 
ela se anula exatamente em t = 2, cujo sinal apresenta o seguinte comportamento:
Sendo C’ a taxa de variação da concentração, o estudo de sinal anterior 
nos permite intuir que a função C cresce no intervalo (0,2), pois a sua taxa 
de variação é positiva. Analogamente, a função C deve ser decrescente no 
intervalo (2, ∞). Desse modo, a concentração começa valendo zero (antes da 
ingestão do comprimido), cresce nas duas primeiras horas e decresce a partir 
de então. Seu gráfico pode ser expresso conforme Figura 3.
Figura 3. Representação da concentração de medicamento no sangue.
Fonte: Cálculo... (2019, p. 4).
2
3/8
Observe que, no instante t = 2, a reta tangente ao gráfico de C é horizontal. 
Esse é exatamente o instante em que a concentração do medicamento é máxima.
Regra do produto e do quociente14
Neste capítulo, você retomou conhecimentos sobre o estudo da derivada, 
aprofundando duas regras bem-importantes: do produto e do quociente. Além 
das definições e notações, você acompanhou aplicações práticas de seu uso 
e exemplos resolvidos de seu cálculo.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
CÁLCULO 1: a regra do produto e do quociente para derivadas. Brasília: Departamento 
de Matemática, Universidade de Brasília, 2019. 5 p. Disponível em: http://mat.unb.br/
calculo1m/Textos/Modulo1/Semana5/regra-produto.pdf. Acesso em: 2 out. 2019.
HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2015. 680 p.
ROGAWSKI, J. Cálculo, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2008. 624 p.
SANTANA, A. M. Aplicação das derivadas. Orientador: Reginaldo Tudeia dos Santos. 2010. 
48 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Universidade 
Federal de Rondônia, Ji-Paraná, 2010.
15Regra do produto e do quociente