Aula 5 1 - Derivação implícita

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS
Mariana Sacrini Ayres Ferraz 
Derivação implícita
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Distinguir uma função definida de forma explícita ou implícita.
 � Calcular derivadas implícitas de funções.
 � Aplicar o conceito de derivada em problemas relacionados às 
engenharias.
Introdução
As funções normalmente são escritas como y = f(x), ou seja, com a variável 
y isolada de um lado da equação. Mas nem sempre temos equações dessa 
forma, pois as mais complexas podem mostrar suas variáveis misturadas, 
ao invés de isoladas. Para encontrar as derivadas dessas funções, deve-se 
usar a derivação implícita.
Neste capítulo, você aprenderá a distinguir equações implícitas das 
explícitas e como derivá-las, além de saber como calcular essas derivadas 
e ver diversos exemplos ao longo do capítulo.
Funções definidas explícita ou implicitamente
As funções podem ser definidas de duas maneiras, explicita ou implicitamente. 
Quando a função é escrita da forma y = f(x), dizemos que ela é definida 
explicitamente. Isso porque a variável y aparece isolada em um lado da equa-
ção, com exceção de algumas que são mais complexas. Por exemplo, veja a 
equação a seguir:
yx + 2y + 5 = 10x.
Nela, não temos a variável y isolada de um lado da equação. Assim, podemos 
dizer que essa equação define y implicitamente em função de x. Nesse caso, 
podemos reescrevê-la da seguinte maneira:
Ou seja, , podendo escrever y de maneira explícita.
Uma equação pode definir implicitamente mais de uma função de x. Por 
exemplo, é o caso da equação de um círculo:
x2 + y2 = 1.
Resolvendo, obtemos que . Ou seja, existem duas funções 
definidas implicitamente pela equação do círculo:
Observe que os gráficos dessas funções, são o semicírculo superior e 
inferior do círculo, conforme a Figura 1, a seguir.
Derivação implícita2
Figura 1. Equações do círculo e 
funções que definem o semicír-
culo superior e inferior.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, 
p. 186).
Esse exemplo nos leva à definição de função implícita (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014), dada na Figura 2.
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Figura 2. Definição de função implícita.
Fonte: Adaptada de Anton, Bivens e Davis (2014, p. 186).
Embora os exemplos dados tenham sido fáceis de serem resolvidos para 
encontrar f(x), isso nem sempre acontece. Muitas equações podem ser bastante 
complicadas e, até mesmo, impossíveis de se resolver. Por exemplo, é o caso 
da equação:
x3 + y3 = 6 x y.
Para esses casos, você pode utilizar softwares que plotem gráficos im-
plicitamente, como os softwares Mathematica e Maple. A Figura 3, a seguir, 
mostra o plote do gráfico da equação e três funções definidas implicitamente.
Figura 3. Plote da equação x3 + y3 = 6 x y e três funções definidas implicitamente.
Fonte: Stewart (2008, p.165).
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Derivadas implícitas de funções
Para encontrarmos a derivada de uma função, ela não precisaria necessaria-
mente estar escrita explicitamente. Considere a seguinte função como exemplo:
xy = 10.
Para encontrarmos a derivada de y em relação a x, poderíamos reescrever 
a equação a seguinte maneira:
cuja derivada seria:
Também poderíamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação:
Substituindo y, na equação, ficamos com:
que é o mesmo resultado obtido anteriormente, explicitamente. Esse método 
é conhecido como derivação implícita.
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Encontre a derivada de y em relação a x da seguinte função:
10y2 + cos(y) = 2 x2.
Derivando os dois lados da equação, temos que:
Note que foi utilizada a regra da cadeia, afinal, y é uma função de x. A equação final 
da derivada de y envolve tanto a variável x como a y. Se quiséssemos uma equação 
apenas em relação a x, precisaríamos resolver a equação inicial e encontrar y em 
relação a x. Mas isso é impossível de ser feito. Portanto, a equação de dy/dx pode ser 
deixada em termos de y e x.
Agora, em um novo exemplo, encontre a derivada de y em relação a x da função 
dada como exemplo na seção anterior:
x3 + y3 = 6 x y.
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Derivando os dois lados da equação, temos que:
Problemas aplicados
Nesta seção, você verá alguns problemas aplicados à engenharia.
Problema 1
Certo veículo apresenta velocidade v igual a:
v = k v2 t,
onde k é uma constante, e t é o tempo. Qual é a aceleração desse veículo?
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A aceleração do carro é dada por:
Para encontrá-la, precisamos derivar a equação dada. Assim:
Portanto, a aceleração é dada por:
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Problema 2
O preço p de um produto está ligado à sua quantidade q disponível no mercado. 
A função que descreve essa dependência é dada por:
p2 – p q + q2 = 400.
Encontre a expressão de como o preço p varia com a quantidade q, ou 
seja, .
Para resolver essa questão, diferenciaremos implicitamente a equação 
dada. Assim, ficamos com:
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
STEWART, J. Single variable calculus: early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson 
Brooks/Cole, 2008. 912 p.
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