Manual de Praticas de Hidrologia

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
 
 
FACULDADE DE AGRONOMIA E ENGENHARIA FLORESTAL 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUIA DAS AULAS PRÁTICAS DE 
HIDROLOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DAS AULAS PRÁTICAS 
 
 
Prática 1 – Verificação da qualidade dos dados pluviométricos: Double 
Mass 
 
Prática 2 – Precipitação: prenchimento de falhas; cálculo da precipitação 
média de uma região 
 
Prática 3 – Análise de frequência das chuvas: Lei de Gauss 
 
Prática 4 – Determinação da densidade de drenagem: Lei de Gumbel 
 
Prática 5 – Medição de caudais 
 
Prática 6 - Cálculo das necessidade de água de rega (nar) 
 
Prática 7 - Cálculo do balanço hídrico método de Thornthwaite – Mather 
 
Prática 8 - Determinação da evapotranspiração de referência (eto): fórmula 
da ´FAO Penman-Monteith´ 
 
Prática 9 - Determinação da capacidade de infiltração do solo 
 
Prática 10 - Determinação da permeabilidade no campo: método de Ernst 
 
Prática 11 - Determinação da permeabilidade no campo: método de 
Hooghoudt 
 
Prática 12 - Cálculo da distância entre drenos: método de Hooghoudt 
 
 
 
 
GUIA DA CADEIRA DE AGROHIDROLOGIA 
 
 
 
n° 1 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA QUALIDADE 
DOS DADOS PLUVIOMÉTRICOS 
 
 
 
Correcção dos valores não homogéneos da 
precipitação numa dada estação udométrica 
 
 
Método "DOUBLE MASS" 
 
 
 
 
 
 
I. INTRODUÇÃO 
 
1. Na medição dos valores da precipitação duma dada estação udométrica podem ocorrer 
uma série de erros ou falhas devidas a entre outras causas: 
• deslocação da estação; 
• mudança no meio ambiente no local da estação; 
• deficiência nos aparelhos; 
• ausência ou troca dos observadores; 
• as provetas não correspondem ao udómetro usado. 
 
2. Para a detecção e correcção desses erros podem-se usar vários métodos tais como: 
• análise estatística; 
• análise da média; 
• método de "double mass". 
 
3. O método "double mass" consiste nos seguintes passos: 
a) estabelecer a relação entre os valores acumulados de duas estações, tomando-se 
uma delas como padrão (aquele de maior grau de confiança), no nosso exemplo a 
estação A; 
b) Num gráfico marcam-se os pontos correspondentes à intercepção entre os valores 
acumulados das precipitações da estação A no eixo X e no eixo Y, os valores 
correspondentes acumulados da estação B cujos valores queremos verificar; 
c) O conjunto dos pontos de intercepção entre os valores correspondentes de X e Y, 
no caso das observações terem sido bem feitas em ambas as estações, caiem 
todos numa única recta; 
d) No caso de ocorrência dum erro (por exemplo, por mudança de observador ou do 
ambiente ou outro factor), observa-se graficamente a ocorrência de duas ou mais 
rectas, cada uma delas definindo um conjunto de dados uniforme. A intercepção 
de duas rectas estabelece o momento a partir do qual ocorreram os erros ou as 
falhas e, consideram-se incorrectos os valores correspondentes ao conjunto de 
dados menor; 
e) Neste caso é preciso introduzir um factor de correcção para a correcção dos 
valores incorrectos. Para tal acha-se a inclinação m da primeira recta dada por 
m1=Δy1/Δx1 e m2 da segunda recta, onde m2 = Δy2/Δx2. O factor de correcção c é 
Practica 1 2
determinado por c = m1/m2; sendo m2 a inclinação da componente a corrigir. 
f) Achado o factor de correcção c, multiplicam-se os valores incorrectos da estação 
B por esse factor, corrigindo-se assim os valores não homogéneos da precipitação 
detectados na estação B. 
g) Pode-se verificar que os valores corrigidos acumulados caem na recta cujos 
valores assumimos como correctos. 
 
 
II. EXERCÍCIO 
 
a. Dadas duas estações udométricas A e B, durante o período de observações, de 
1946 a 1960, a estação B teve três observadores diferentes: um de 1946 a 52, 
outro de 1950 a 52 e o terceiro de 1953 a 60. 
 
b. Nesse período de tempo foram registrados os seguintes valores de pluviosidade 
anual (em mm): 
Ano 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
A 511 540 522 459 732 841 820 393 702 677 657 540 858 549 800 
B 791 849 875 694 945 982 953 546 699 734 736 643 994 596 869 
 
3. Apresenta num gráfico os totais acumulados nas duas estações. 
 
4. Corrige os valores não homogéneos da estação B. 
 
 
Practica 1 3
III. RESOLUÇÃO 
 
1. Pelo gráfico em anexo, o ano a partir do qual se encontram valores incorrectos é o ano de 
1949. Os valores a corrigir correspondem aos anos de 1946, 47, 48 e 49. 
2. Cálculo do factor de correcção: 
 m1 = (11906-4154)/(9601-2764) = 1.134 
 m2 = 3209/2032 = 1.579 (inclinação da parte a corrigir) 
 c = m1/m2 = 1.134/1.579 = 0.718 
3. Correcção dos valores não homogéneos: 
 Vc = V × c 
 1946 V = 791 Vc = 791 × 0,718 = 567.9 
 1947 V = 849 Vc = 849 × 0,718 = 609.6 
 1948 V = 875 Vc = 875 × 0,718 = 628.2 
 1949 V = 694 Vc = 694 × 0,718 = 498.3 
4. Apresentação dos dados: 
 estação A estação B 
ano Precipitação (mm) Precipitação (mm) 
 anual acumulado anual acumulado anual corrigido 
corrigido e 
acumulado
1946 511 511 791 791 567.9 567.9 
1947 540 1051 849 1 640 609.6 1 177.5 
1948 522 1573 875 2 515 628.2 1 805.7 
1949 459 2032 694 3 209 498.3 2 303.9 
1950 732 2764 945 4 154 945.0 3 248.9 
1951 841 3605 982 5 136 982.0 4 230.9 
1952 820 4425 953 6 089 953.0 5 183.9 
1953 393 4818 546 6 635 546.0 5 729.9 
1954 702 5520 699 7 334 699.0 6 428.9 
1955 677 6197 734 8 068 734.0 7 162.9 
1956 657 6854 736 8 804 736.0 7 898.9 
1957 540 7394 643 9 447 643.0 8 541.9 
1958 858 8252 994 10 441 994.0 9 535.9 
1959 549 8801 596 11 037 596.0 10 131.9 
1960 800 9601 869 11 906 869.0 11 000.9 
Practica 1 4
 
Método "Double Mass", Série não corrigida
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Estação A (Pr. acumulada, mm)
Es
ta
çã
o 
B
 (P
r. 
ac
um
ul
ad
a,
 m
m
)
 
Método de "Double Mass", valores corrigidos
 0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000
estação A (Pr. acumulada, mm)
es
ta
çã
o 
B
 (P
r. 
ac
um
ul
ad
a,
 
m
m
)
 
 
 
 
Practica 1 5
IV. EXERCÍCIO 
 
Dados os valores de precipitação para algumas Estações udométricas do sul de Moçambique; 
Usando a estação de Maputo como referência, faça a análise de homogeneidade e corrija os 
valores não homogéneos das estações de Manhiça, Sábie e Changalane. 
 
Tabela 1: Registos de Precipitação nalgumas estações udométricas 
na zona sul de Moçambique
Ano Maputo Umbeluzi Marracuene Manhiça Sábie Xai-Xai Changalane
1952 573.9 642 727
1953 861.4 845 660.3 461.6
1954 653 660.8 1103.7 670.2
1955 1114.2 1075.6 714.8 737.6
1956 1005.5 582.4 1005.5 455.6
1957 896.6 725.2 865.5 557.5
1958 790.9 602.4 709.6 645.1
1959 686.3 376 832.2 436.8
1960 665.5 823.3 677.5 533.4
1961 929.3 650 711.3 519.1 503.3 663
1962 552.5 547.4 670 691.9 912.1 1054.3 242.5
1963 1074.4 726.3 740.1 662.6 716.9 633
1964 636.9 564.9 642.2 671 715.3 845.7 652.7
1965 503.8 437.9 994.6 570.6 157.1 747.9 464.6
1966 1181 975.5 1215.8 847.7 353.5 909.1 940.7
1967 971.3 760.2 691.6 1184.1 72.3 1744.3 775.5
1968 729.3 670.5 1096.1 763.5 185.1 687.6 642
1969 869.6 923.8 257.8 833.5 478.5 979.1 908.4
1970 545.7 318.9 783.2 445 220.2 355.1 388.3
1971 540.9 665.1 1149.5 894 768.6 969.1 602.5
1972 1140.3 790.9 1289.9 1148.9 635.8 1668.1 1020.7
1973 861.9 860.4 543.5 1532.3 781.1 1104.3 810.5
1974 681.1 637.8 1364.9 940.6 643.4 1221.7 449.9
1975 1030.5 1044.3 1089.3 1176.5 611.2 1080.2 893.8
1976 1006.2 772.4 1113.4 1120.6 497.9 1343.5 822.5
1977 1132.5 1012 1374.1 1006.5 1397.2 922.2
1978 931.6 914.4 1338.1 1179.2 1477.9 1053.8
1979 653.8 530.2 922.2 386.9 761.3 487.7
1980 672.1 589.6 706.1 660.8 776 756.7
1981 1015 1015.6 1173.1 965.8 1271.5 902.7
1982 715.6 495.1 666.2 404.6 569.9 542
1983 398.2 671.7 612.9 591.2 614.8
1984 809.7 688.6 1002.5 1225.8 1162.8
1985 519.2 527.6 750.9 1110.2 745.1
1986 994.3 875.1 555.8
1987 869.8 679.9 697.5
1988 677.7 632
1989 914.2 981.4 864
1990 829.9 893.7 699.8Practica 1 6
PRÁCTICA 2: PRECIPITAÇÃO 
- PRENCHIMENTO DE FALHAS 
- CÁLCULO DA PRECIPITAÇÃO MÉDIA DE UMA REGIÃO 
 
(A) Preenchimento de falha 
Método de preenchimento de falhas: 
media aritmética (não recomendado) 
correlação com uma estacão vizinha 
correlação com varias estacões vizinhas 
 
Um dos métodos mais utilizados é o método de correlação com 3 estações vizinhas: 
C
C
B
B
A
A
x
x
M
P
M
P
M
P
M
P
=== 
).(
3
1
C
C
x
B
B
x
A
A
x
x PM
MP
M
MP
M
MP ++= 
P – Precipitação no período em consideração 
M – Média da precipitação para uma série de dados na qual é incluído o período 
em consideração 
 
Série de dados de Precipitação annual
Ano Maputo Umbeluzi Marracuene Manhiça Sábie Xai-Xai Changalane
1952 573.9 642 727
1953 861.4 845 660.3 461.6
1954 653 660.8 1103.7 670.2
1955 1114.2 1075.6 714.8 737.6
1956 1005.5 582.4 1005.5 455.6
1957 896.6 725.2 865.5 557.5
1958 790.9 602.4 709.6 645.1
1959 686.3 376 832.2 436.8
1960 665.5 823.3 677.5 533.4
1961 929.3 650 711.3 519.1 503.3 663
1962 552.5 547.4 670 691.9 912.1 1054.3 242.5
1963 1074.4 726.3 740.1 662.6 F 716.9 633
1964 636.9 564.9 642.2 671 715.3 845.7 652.7
1965 503.8 437.9 994.6 570.6 157.1 747.9 464.6
1966 1181 975.5 1215.8 847.7 353.5 909.1 940.7
1967 971.3 760.2 691.6 1184.1 72.3 1744.3 775.5
1968 729.3 670.5 1096.1 763.5 185.1 687.6 642
1969 869.6 923.8 257.8 833.5 478.5 979.1 908.4
1970 545.7 318.9 783.2 445 220.2 355.1 388.3
1971 540.9 665.1 1149.5 894 768.6 969.1 602.5
1972 1140.3 790.9 1289.9 1148.9 635.8 1668.1 1020.7
1973 861.9 860.4 543.5 1532.3 781.1 1104.3 810.5
1974 681.1 637.8 1364.9 940.6 643.4 1221.7 449.9
1975 1030.5 1044.3 1089.3 1176.5 611.2 1080.2 893.8
1976 1006.2 772.4 1113.4 1120.6 497.9 1343.5 822.5
1977 1132.5 1012 1374.1 1006.5 1397.2 922.2
1978 931.6 914.4 1338.1 1179.2 1477.9 1053.8
1979 653.8 530.2 922.2 386.9 761.3 F
1980 672.1 589.6 706.1 660.8 776 756.7
1981 1015 1015.6 1173.1 965.8 1271.5 902.7
1982 715.6 495.1 666.2 404.6 569.9 542
1983 398.2 671.7 612.9 591.2 614.8
1984 809.7 688.6 F 1225.8 1162.8
1985 519.2 527.6 750.9 1110.2 745.1
1986 994.3 875.1 555.8
1987 869.8 679.9 697.5
1988 677.7 632
1989 914.2 981.4 864
1990 829.9 893.7 699.8
722.9 897.1 917.4 578.1 1015.6 721.3Média 1961 - 1982
Practica 2 1
 
 
(B) Cálculo da Precipitação media numa região 
Media aritmética 
Método de Thiessen 
Método das isoietas 
Classe das alturas 
 
 
Media aritmética 
áreas planas com baixa variabilidade espacial da precipitação; mais fácil mas menos 
preciso. 
 
Método dos Polígonos de Thiessen 
relativamente mais preciso porque define áreas de influência de cada estação udométrica; 
as áreas de influência mantém para os mesmos postos udométricos. 
 
Método das isoietas 
Para áreas de grande variabilidade espacial da precipitação. Para cada evento devem-se 
desenhar novas isoietas – mais moroso mas mais preciso. 
 
Classe das alturas 
Para áreas montanhosas onde a variabilidade da precipitação é grande e dependente do 
relevo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Practica 2 2
EXEMPLO: CÁLCULO DA PRECIPITAÇÃO MÉDIA UMA REGIÃO 
 
 
 
 
6,5 
19.2 
14.6 
28.2 
52.0 
26.9 
45.0 
29.8 
17.5 
19.5 
15.4 
 
 
 
 
30.9
 Média Aritmética
n
Pi
P ∑= =P
 
 
 
 
 
 
 
 
Practica 2 3
6.5 
19.2 
28.2 
14.6 
26.9 
15.4 45 
52. 
29.8 
19.5 
17.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
Poligono Pi Ai Ai
(mm) (km2) (%)
A 6,5 0,7 0,1 1,1 0,1
B 14,6 12,0 2,8 19,2 2,8
C 19,2 10,9 3,3 17,4 3,3
D 26,9 12,0 5,2 19,2 5,2
E 15,4 2,0 0,5 3,2 0,5
F 29,8 9,2 4,4 14,7 4,4
G 52,0 8,2 6,8 13,1 6,8
H 45,0 7,6 5,5 12,1 5,5
Soma 62,6 28,5 100,0 28,5
Método de Thiessen
A
PiAi
P ∑= .
100
(%).∑= PiAiP
A
PiAi .
100
(%). PiAi
 
 
Practica 2 4
 
 
20 
10 6.5 
14.6 
19.2 
28.2 
20 
30 
40 
19.5 
45 
52 
 
26.9 
29.8 
15.4 
B
17.5 
30 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isoieta Ai A (km2) Pi 
(mm) (Km2) Acumulada (mm)
50 1.3 1.3 53 1.1
40 7.7 9.0 45 5.5
30 11.6 20.6 35 6.5
20 19.6 40.2 25 7.8
10 19.3 59.5 15 4.6
< 10 3.1 62.6 8 0
SOMA 62.6 26.0
Método das Isoietas
.4
A
PiAi
P ∑= .
A
PiAi .
 
 
 
 
 
Practica 2 5
 
 
Exercício – Calculo de precipitação média 
 
 
 
A tabela abaixo mostra os dados de precipitação média para o mês de Janeiro 
nas diferentes estacões climatologicas na Bacia do Rio Limpopo (parte 
Moçambicana). 
 
a) Determine a precipitação média pelo método das Isoetas. 
b) Determine a precipitação média pelo método dos polígonos de 
Thiessen 
 
Tab. 1: Valores de Precipitação no Mês de Janeiro, 
 na Bacia do Limpopo (parte Moçambicana) 
Nr. Estação Precipitação
Udométrica (mm)
1 Xai-Xai 130
2 Maniquenique 130
3 Chibuto 100
4 Chókwe 120
5 Alto Changana 142
6 Massingir 170
7 Mabalane 160
8 Funhalouro 100
9 Chigubo 90
10 Mabote 110
11 Mapai 78
12 Pafuri 85
 
Practica 2 6
 
1
2
3
4
5 
6 
7
8 
9
10 
11 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Practica 2 7
 
 
 
 
GUIA PRÁTICO DA CADEIRA DE HIDROLOGIA 
 
 
 
PRÁTICA N° 2 
 
 
 
ANÁLISE DE FREQUÊNCIA DAS CHUVAS 
 
 
 
“Lei de Gauss” 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agosto de 2004 
 
I. INTRODUÇÃO 
1. Em obras de drenagem quer de natureza agrícola ou urbana, há uma 
necessidade de ter informação sobre: 
 - A quantidade de chuva esperada num certo período de tempo com 
uma determinada frequência; 
 - A relação entre a intensidade, duração e frequência das chuvas 
(chuva projectada ou "designed rainfall"); 
2. No tratamento estatístico de dados pluviométricos usa-se em hidrologia a 
Lei de GAUSS (Distribuição Normal) para o ajustamento dos totais anuais. 
A Lei de GAUSS é em geral inadequada para a análise de dados 
pluviométricos, mas, ela pode ser utilizada para a análise de dados 
aglomerados tais como os totais anuais. 
 A Distribuição de GAUSS é simétrica em relação ao valor médio o qual 
coincide com a moda e mediana. A área sob a curva de densidade da 
função representa a probabilidade. 
3. Procedimento de cálculo para o ajustamento dos dados à Distribuição de 
Gauss. 
(i) Determinar o número de classes K, onde uma aproximação deste 
valor pode ser obtida a partir da relação K=√N, onde N é o número 
total da série de anos 
(ii) Determinar a Amplitude (A) com base na série de dados 
apresentados: 
A = Xmax- Xmin
 Onde Xmax representa o valor máximo da série e Xmin o valor mínimo. 
(iii) Para cada ano determina-se a frequência de ocorrência de cada 
valor segundo a relação 
f = n / (N+1) 
 n = representa o número dum determinado ano na série 
 N = número total de anos da série 
(iv) Determinar o Tempo de Retorno (Tr) para cada valor da série de 
dados 
 Tr = 1/f 
 
(v) Determinar o valor médio da série de dados 
 Valor médio = X = 1/N Σ xi ou X = (1/N) Σ xi⋅ni
(vi) Determinar o valor da mediana da série de dados. A mediana é o 
valor de x que corresponde a uma probabilidade de 50%. 
(vii) Determinara o desvio padrão da série de dados 
 Desvio padrão = σ = √ S2 
 S
2 = 1/(n-1)⋅( Σ xi2 - n⋅X2 ) 
 ou S
2 = 1/(n-1)⋅(Σ(xi2⋅ni) - n⋅X2) 
(viii) Determinar o Coeficiente de variação da série de dados 
CV = σ/X 
4. Uma vez determinados os parâmetros acima mencionados, o ajustamento 
da série de dados a Lei de GAUSS é feita com base nos valores da média 
(X) e do desvio padrão (σ). Assim a recta teórica é dada por três pontos 
sendo eles a média (X), a média menos o desvio padrão (X-σ) e a média 
mais o desvio padrão (X+σ). Com base na distribuição normal cumulativa 
(Tabela em anexo), podem ser lidos os respectivos valores da 
probabilidade para cada um dos pontos. 
5. No papel gráfico de GAUSS são marcados os valores da precipitação da 
série de dados de acordo com as probabilidades de cada acontecimento 
ser igualado ou ultrapassado. A característica deste papel é de transformar 
a função de distribuição numa linha recta. 
6. Nem sempre a série dada segue a Lei de GAUSS, o que só ocorre paravalores médios. Para verificar se a série possui uma distribuição normal 
usa-se vários métodos de entre os quais: (a) método visual, isto é, ao se 
traçar a recta teórica de GAUSS observa-se a flutuação dos pontos 
marcados em torno dessa recta (b) método do coeficiente de variação, isto 
é, para um CV >0,2 (20%) é provável que a série dada não se ajuste a Lei 
de GAUSS (c) método do teste do χ² e (d) método do teste de 
KOLMOGAROV-SMIRNOF. Para o caso presente será tratado o método 
(c) o qual é descrito pormenorizadamente asseguir no ponto 7. 
7. O teste do χ² consiste em testar se o valor χ²obs calculado encontra-se 
dentro da região crítica definida pelo valor de χ²cr obtido da tabela de 
valores de distribuição de χ² em anexo. 
 
 O K indica o número de classes, onde o valor de K>3 ou então um 
número tal que N/K> = 5 
 Obtido o valor de K’= K-1 pode-se achar o comprimento dos intervalos de 
cada classe pela relação l = A/K e depois obter a série de valores ni dada. 
 χ²cr = χ²(v,α) é dado pela tabela, onde v = K - 3 e α é um determinado 
nível de significância dado. 
 Uma vez obtido o valor crítico, marca-se na recta da região critica à direita 
os valores de χ²obs e χ²cr, em caso de se observar-se que o χ²obs ≠ χ²cr ⇒ 
a série de dados não tem distribuição normal. 
 
III. EXEMPLO – Lei de Gauss 
 
1. Dados de Precipitação da Estação Climática Gausslex-Moz. 
 
 
. Xmax = 636,7 (corresponde ao ano de 1953) 
K = 489,3 / 7 = 69,9 ≈ 70 
 TABELA 1 
 K 
Intervalo 
Ponto 
m Frequência Frequência - Frequência 
Ano Pr (mm) Ano Pr (mm)
1941 421.3 1956 245.6
1942 213.7 1957 495
1943 350 1958 233.3
1944 420 1959 342
1945 385.9 1960 317.4
1946 460.8 1961 304.9
1947 147.4 1962 434.4
1948 344.7 1963 221.4
1949 572.5 1964 241.2
1950 336.8 1965 239.4
1951 400.3 1966 207
1952 564 1967 188.4
1953 636.7 1968 432
1954 349.5 1969 452.2
1955 332.7 1970 414.2
 
 
2
 X = 147,4 (corresponde ao ano de 1947) min
 A = Xmax-Xmin = 636,7 - 147,4 = 489,3 
 K = 7 
 l = A/
 
 
 
 
édio da
Classe 
de Classe 
(K) 
absoluta 
(n
Relativa 
(f Cumulativa 
(xi*) 
i) i) 
1 147-217 4 0,133 0,133 182 
2 217-287 252 5 0,167 0,300 
3 287-357 322 8 0,267 0,567 
4 357-427 392 5 0,167 0,733 
5 427-497 462 5 0,167 0,900 
6 497-567 532 1 0,033 0,933 
7 567-637 602 2 0,067 1,000 
 
. Histograma 
 
 
 3
Histograma de frequencias absolutas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
182 252 322 392 462 532 602
intervalos de classe
fr
eq
ue
nc
ia
 
 
 
 
4. Curva de frequência 
Curva de frequencias relativas acumuladas
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 100 200 300 400 500 600 700
intervalos de classe
fr
eq
ue
nc
ia
 
 
 
5. X = (1/n)Σxi*⋅ni = 352,3 
 m (p=50%) = 347,1 (valor interpolado a partir da Tabela 2) 
 σ= √s² = (1/(n-1)){Σ(xi*)²⋅ni -X²⋅n}² = 115,28 
 Cv = σ/X = 115,28/352,3 = 0,327 
 
6. Preenchimento da Tabela 2 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 2 
Número 
de 
ordem 
(n) 
Prec. 
(mm) 
Freq. 
(f) 
n/(N+1) 
Tempo 
de 
Retorno
Tr=1/f 
Número 
de 
ordem 
(n) 
Prec. 
(mm) 
Freq. 
(f) 
n/(N+1) 
Tempo de 
Retorno 
Tr=1/f 
1 636,7 0,032 31,00 16 344,7 0,516 1,94 
2 572,5 0,065 15,50 17 342,0 0,548 1,82 
3 564,0 0,097 10,33 18 336,8 0,581 1,72 
4 495,0 0,129 7,75 19 332,7 0,613 1,63 
5 460,8 0,161 6,20 20 317,4 0,645 1,55 
6 452,2 0,194 5,17 21 304,9 0,677 1,48 
7 434,4 0,226 4,43 22 245,6 0,710 1,41 
8 432,0 0,258 3,88 23 241,2 0,742 1,35 
9 421,3 0,290 3,44 24 239,4 0,774 1,29 
10 420,3 0,323 3,10 25 233,3 0,806 1,24 
11 414,2 0,355 2,82 26 221,4 0,839 1,19 
12 400,3 0,387 2,58 27 213,7 0,871 1,15 
13 385,9 0,419 2,38 28 207,0 0,903 1,11 
14 350,0 0,452 2,21 29 188,4 0,935 1,07 
15 349,5 0,484 2,07 30 147,4 0,968 1,03 
 
7. Os valores da Tabela 2 são registados no papel gráfico de GAUSS em 
anexo. 
 
8. Com base nos valores da Tabela 2 temos: 
 X (média) = 355 
 σ = 120 
 
 
9. Para os valores calculados de X = 352,3 e σ = 115,28 e usando a tabela 
de distribuição cumulativa para a determinação da probabilidade de X - σ 
(igual a 15,87%) e de X + σ (igual a 84,13%) foi traçada a recta de 
distribuição teórica de GAUSS. 
 
 
10. Preenchimento da Tabela 3: 
 
 
 
 
TABELA 3 
Frequência 0,01 0,050 0,100 
Ano seco - - ≈ 2
Ano húmido 770 720 698
 
11. Teste do χ² 
 a) Calculo do χ²obs 
 K’=(K-1) = 6 
 npi = N/K’ = 30/6 = 5 
 l = A/K’ = 489,3/6 = 81,55 ≈ 82 
 
TABELA 4 
Número 
de 
classe 
(K’) 
Intervalo 
de classe 
(I) 
Efectivo 
Teórico 
(npi) 
Efectivo 
Observado
(ni) 
(ni-npi)2 (ni-npi)2/npi
1 145 – 227 5 5 0 0,0 
2 227 - 309 5 5 0 0,0 
3 309 - 391 5 8 9 1,8 
4 391 - 473 5 8 9 1,8 
5 473 - 555 5 1 16 3,2 
6 555 - 637 5 3 4 0,8 
Total 30 30 7,6 
 
 
 χ²obs = Σ(ni - pi)²/npi) = 7,6 
 
 
 
b) Determinação do χ²cr (pela Tabela do χ² ) 
 
 v = K - 3 = 6 - 3 = 3 
 α = 0,05 
 χ²cr = χ² ( v,α ) = ( 3 ; 0,05 ) = 7,8 
 
c) Teste de normalidade 
 
 
d) Conclusão: χ²obs ⊂ χ²cr => tem distribuição normal 
Análise de Frequência de Chuvas 
Lei de Gauss 
 
 
V. EXERCÍCIO 
 
1. A série de dados de precipitação anual apresentada corresponde a 
estação meteorológica de GAUSSLEX (Anexo). 
 
2. Divida a série de valores desta estação em intervalos de classes (K), e 
calcule a frequência de cada classe, frequência absoluta e a frequência 
relativa acumulada, e preencha os seguintes dados: 
 
 Xmax = _________ (correspondente ao ano de _______) 
 
 Xmin = _________ (correspondente ao ano de _______) 
 
 Amplitude (A) = Xmax-Xmin = _____________ 
 
 Número de intervalos de classe (K) = _______ 
 
 Comprimento do intervalo de classe (l) = A/K = _______ 
 
 
 
Tabela 1: Frequência para diferentes classes de valores de precipitação 
 
Número 
de 
Classes 
(K) 
Intervalo 
de 
Classes 
Ponto de 
Classes 
(xi*) 
Frequência 
Absoluta 
(ni) 
Frequência 
Relativa 
(fi) 
Frequência
Cumulativa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Desenhe o histograma com base no número de classes 
 
 
4. Desenhe a curva da frequência relativa 
 
 
5. A partir da série de dados calcule os valores correspondentes: 
 
 Média = __________ 
 Mediana (p=50%) = __________ 
 Desvio padrão (σ) = __________ 
 Coeficiente de variação (Cv = σ/X) = _____ 
 
6. Retome a série de dados, classifique-os por ordem decrescente e defina a 
frequência do acontecimento ser igualado ou ultrapassado (G(x) = P(X> = 
x)) segundo a fórmula f = n/(N+1), e preencha a Tabela 2. 
 
TABELA 2 
 
Tempo de 
Retorno 
 Número de 
ordem 
Precipitação Frequência 
f = n/(N+1) (mm) 1/(f) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
 13 
 14 
 15 
 16 
 17 
 18 
 19 
 20 
 21 
 22 
 23 
 24 
 25 26 27 28 
29 
30 
 
7. Preencha com os valores da Tabela 2 o papel gráfico de GAUSS (Anexo). 
 
8. Trace a recta de distribuição de GAUSS e determine os valores da média 
e do desvio padrão: 
 
 Média = _________ 
 
 Desvio padrão = ________ 
 
9. Use os valores determinados da média e do desvio padrão e trace a recta 
de distribuição teórica de GAUSS (papel de GAUSS). 
 Veja os valores da distribuição cumulativa e as respectivas probabilidades. 
 
10. Determine os valores das frequências p = 0,001; 0,050 e 0,100 para os 
anos secos e húmidos, e preencha a Tabela 3: 
 
 
TABELA 3 
Frequência 0,01 0,050 0,100 
Ano seco 
Ano húmido 
 
11. Teste de χ² 
 
 a) Cálculo de χ²obs 
 
 K’ = __________ 
 
 npi = N/K’ = ________ 
 
 l = A/K’ = _________ 
 
 
TABELA 4 
Nº de classe 
(K’) 
Intervalo 
de classe 
(I) 
Efectivo
Teórico
(npi)Efectivo 
observado
(ni) 
(ni-npi)2 (ni-npi)2/npi
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Total 
 
 
 χ²obs = Σ(ni - pi)²/npi) = 
 
 
 
 
b) Determinar o χ²cr (pela Tabela do χ² ) 
 
 v = K’-3 = __________ 
 
 α = 0,05 
 
 χ²cr = χ² ( v,α ) = _________ 
 
c) Teste de normalidade 
 
 ---------------'----------'-------------- 
 0 χ²cr
 
d) Conclusão: χ²obs ⊂ χ²cr ? 
 
 Anexo 
Anos Gausslex 
1927 573,9 
1928 861,4 
1929 653,0 
1930 1114,2 
1931 1005,5 
1932 896,6 
1933 686,3 
1934 665,5 
1935 929,3 
1936 552,5 
1937 1074,4 
1938 636,9 
1939 503,8 
1940 1181,0 
1941 971,3 
1942 729,3 
1943 869,6 
1944 545,7 
1945 540,9 
1946 1140,3 
1947 861,9 
1948 681,1 
1949 1030,5 
1950 1006,2 
1951 1132,5 
1952 931,6 
1953 653,8 
1954 672,1 
1955 1015,0 
1956 715,6 
 
 
 
 
 
 
 
 Lei Normal ou de Gauss Função de distribuição (μ=0; σ= 1) 
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9642 0.9846 0.985 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999
3.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
 
 
 
 
GUIA PRÁTICO DA CADEIRA DE HIDROLOGIA 
 
 
 
PRÁTICA N° 3 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE DRENAGEM 
 
 
 
Método "LEI DE GUMBEL" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Setembro de 2004
 
 
 
 
 
2
 
 I. INTRODUÇÃO 
 
1. Quando se pretende realizar trabalhos de drenagem agrícola precisa-se saber 
os valores máximos de precipitação assim como a sua frequência ou período 
de retorno. O período de retorno depende da exigência da cultura uma vez que 
há culturas mais sensíveis que outras ao excesso de água, com implicações no 
rendimento das culturas. Na agricultura usa-se em geral um tempo de retorno 
de 5 a 10 anos e uma duração de 1 a 10 dias. 
 
2. Para estudar a frequência de valores extremos de precipitação observados 
numa dada região, podem ser usadas diversas Leis, a mais comum é a Lei de 
GUMBEL (ou Lei dos valores extremos). 
 
 
3. O uso da lei de GUMBEL tem a vantagem de anamorfose logarítmica na 
escala de probabilidades porque conduz linearmente a repartição teórica da 
variável. 
 O gráfico da lei de GUMBEL tem três escalas: 
 - escala da frequência ultrapassada F(x)=e-e-y 
 - escala do período de retorno (em cima), 
- escala da variável reduzida Y. 
 
 A densidade da função é dada por: f(x) = e-a(x-xo)
 A variável reduzida da distribuição de GUMBEL é dada por: Y = a*( x-xo ) 
 
 Onde: 
 xo = x – c/a 
 x = a média aritmética da distribuição de Gumbel 
 c = constante de Euler (0.577) 
 a = π/ (σ *√6) 
 σ = desvio padrão da distribuição de Gumbel 
 
 
 As outras particularidades desta função são: 
 - a recta a traço escuro a esquerda indica a probabilidade de 50%; 
 - a recta a traço escuro a direita indica um período de retorno de 100 
anos; e 
 - o valor de y=0 representa a moda (valor de maior frequência). 
 
4. Para traçar a curva da relação altura-duração-frequência precisa-se de dados 
obtidos a partir de udógrafos. 
 
5. Os dados recolhidos numa dada estação meteorológica são apresentados na 
sua ordem natural. Para uma duração de um dia toma-se o valor máximo de 
cada série de dados, enquanto que para uma duração superior a um, toma-
 
 
 
 
 
3
se o valor total máximo para qualquer arranjo de números consecutivos da 
série, em função da duração. 
 
6. Procedimento para o ajustamento de dados a Lei de GUMBEL: 
 
 - classificar os valores máximo em ordem crescente 
 - calcular a frequência de não excedência n/(N+1) 
 - calcular 2 ou 3 valores de x correspondentes a 2 ou 3 valores de y 
usando a equação da variável reduzida Y = a * (x-xo) 
 
 Em casos de séries com tamanho inferior a 200 amostras, a Tabela 1 pode ser 
usada para a estimação do valor de média (x) e do desvio padrão (σ). 
 
─────────────────────────────────── 
 Tabela 1: Valores esperados da média (y- n) e o desvio padrão (Sn) 
 da variável reduzida (y) em função do número de dados (n). ─────────────────────────────────── 
n Yn Sn
─────────────────────────────────── 
10 0,495 0,950 
15 0,513 1,021 
20 0,524 1,063 
25 0,531 1,092 
30 0,536 1,112 
40 0,544 1,141 
50 0,548 1,161 
60 0,552 1,175 
70 0,555 1,185 
80 0,557 1,194 
90 0,559 1,201 
100 0,560 1,207 
150 0,565 1,225 
200 0,567 1,236 
.... ....... ....... 
∞ 0,577=c 1,282=(π/√6) 
─────────────────────────────────── 
 
Na ausência da escala y os valores podem ser determinados a partir da 
relação F(x) = e-e-y 
 - com os valores determinados anteriormente traça-se a recta teórica de 
Gumbel no papel gráfico correspondente. 
 
 
7. O uso da Lei de Gumbel permite estabelecer as curvas de duração para um 
determinado tempo de retorno. A partir das rectas traçadas como descrito em 6 
podem ser determinados os valores da pluviosidade para diferentes tempos de 
 
 
 
 
 
4
retorno. Estes valores permitem então, a partir dum papel milimétrico 
estabelecer as curvas de duração. 
 
8. Finalmente as curvas de duração permitem determinar a densidade de drena-
gem (design discharge). Para uma determinada capacidade de retenção de 
água no solo traça-se a tangente a curva correspondenteao tempo de retorno 
considerado. Posteriormente traça-se uma recta paralela à recta tangente a 
qual passa pela origem definindo deste modo a drenagem projectada. A área 
acima da recta de drenagem projectada correspondente a água armazenada e 
a tangente define a densidade de drenagem. 
 
 
 
 
 
5
Prática 3 – Determinação da Densidade de Drenagem 
Lei de Gumbel 
 
II. EXERCÍCIO 
 
 a) Considerando a precipitação diária do mês de Fevereiro da estação 
meteorológica de GUMBELEX zona sul (Anexo) e utilizando a Lei de Gumbel, 
estabeleça as curvas de duração para os tempos de retorno de 2, 5 e 10 anos 
e para uma duração de 1, 3, 5 e 10 dias. Determine, para uma quantidade de 
água armazenada de 50 mm, a densidade de drenagem correspondente a 
cada tempo de retorno. 
 
 b) Procedimento 
 
 1. Com os valores da precipitação diária de Janeiro da estação de 'GUM-
BELEX' preencha a Tabela 1. 
 
 2. Com os valores da Tabela 1 proceda ao seu tratamento de forma a 
preencher a Tabela 2. 
 
 3. Com os valores de y e x marque os pontos correspondentes no papel 
gráfico de GUMBEL e trace as respectivas rectas. 
 
 Para a recta de duração de um dia marque também os valores da 
precipitação com a correspondente probabilidade, de forma a verificar a 
flutuação destes dados com a recta teórica. 
 
 
 
 
 
 
6
TABELA 1 
Valores máximos observados 
Para os valores de duração 
Colocação desses valores 
por ordem crescente 
Frequência 
 
F= n/(N+1) 
 
1 3 5 10 1 3 5 10 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
 
 TABELA 2 
 Duração (dias) Fórmulas 
Valores 1 3 5 10 
x X 1/n.(Σxi) 
σ σ √s² 
a a Sn/Sx 
xo Xo X – Yn/a 
Y1 = 0 X1= xo+Y1/a 
Y2_= 3___ X2= xo+Y2/a 
 c = constante de Euler (0.577) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7
 
4. A partir do gráfico, preencha os valores de precipitação para os tempos de 
retorno de 2, 5 e 10 anos e preencha-os na Tabela 3: 
 
 TABELA 3 
 Duração 
Tempo de 
Retorno 1 3 5 10 
2 
5 
10 
 
 
5. Com base nos valores da Tabela 3 desenhe as curvas de duração e tempo de 
retorno de 2, 5 e 10 anos para as durações de 1, 3, 5 e 10 dias no papel 
milimétrico em anexo. 
 
6. Para uma capacidade de armazenamento de água de 50 mm trace as 
tangentes as curvas de duração e determine a respectiva densidade de 
drenagem, e preenche a Tabela 4. 
 
 TABELA 4 
Tempo de Retorno Densidade de Drenagem (mm/dia) 
2 
5 
10 
 
 
 
 
 
 
8
Precipitação diária do mês de Fevereiro (de 1951 a 1967) Anexo 
 Estação Climatológica de Gumbelex na zona Sul 
 Anos 
Dias 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967
1 33 115,2 2,5 30,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,3 0 0,9 0
2 0 6,6 0 10 0 35,8 0 0 0 0 0 36,6 0 0,3 8,1 0 0
3 0 46,7 0 5,5 0 0,4 0 0 15 0 0 0 7,3 0 0 0 0
4 0,5 0 4,8 14,3 24,6 0 0 0 2,1 0 0 0 0 0 44 81,8 0
5 1,8 0 11,2 4 1,5 0 18,9 0 0,8 7,2 0 0 0 0 1,1 0,4 0
6 0 0 0 2 0 0 2,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 3,5 6 0 0 0 0 6,5 0 0 16,7 0 0
8 0,5 0 0 0 0 0,7 0,2 0 0 0 0 0 0 0 2,6 5,1 0
9 0 0 0 0,5 0 0 0 47 1,4 0 0 0 0 0 0 13,5 0
10 0 0 0 0,2 0 0 0 0,5 0 0 0 0 20,5 0 0 11,6 49
11 0 36,3 0 29 0 0 0 0 3,7 3,1 0 0 0 0 0 0,6 0
12 64,5 2,3 0 29,4 0 87,5 0 6 4,1 26,5 0 0 1,4 0 0 0 45,3
13 0 0 0 3,9 0 0 0 3 0,4 2,1 0 26,8 0 0 0 0 30,4
14 0 0 0 1 60,5 0 0 0 0 0,3 24 0 27,8 0 0 0 0
15 0 0 0 0 3 0 0 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 1 0 0 0 2,6 0 29,2 0 0 0 0 0 0 0 2,5 2 1,1
17 0 0,5 0 0 0 0 38,5 13 0 0 0 0 0 0 3,7 0 30,6
18 4,6 2,3 0 0,2 3,2 0 2,6 0 0 0 0 13,4 0 0 4 0,8 0
19 1 0 0 0,3 62,1 0 0 3,5 25,9 0 0 2,3 117 0 0 15,2 0
20 0 0 0 0 0,8 0 1,8 0 0,4 0 0 0 20,7 0,8 3,1 2,7 0
21 0 0 0 10,5 2,3 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0,7 0 0,3 0 0 0 0 0 0 0 16,4 1,3 0 0
23 0 0 0 67,7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,5 13,4 0 0
24 0 0,8 0 0 2 0,2 0 0 0 0 0 36,4 0 0 0 0 0
25 0,3 25,4 0 0 36,5 72 0 0 0 0 0 2,5 0 6,2 0 30,4 0
26 0,5 0 0 0 0,7 11,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 57,5 0
27 6,6 2,8 0 5,5 0 0,5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
28 2 4,8 0 1,4 0,3 0,9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11
29 0 - - - 0,2 - - - 0 - - - 0 - - - 0
30 - - - - - - - - - - - - - - - - - 
31 - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 
 
 
 
9
 III. EXEMPLO - Lei de Gumbel 
 
 Considerando a precipitação diária de Janeiro da estação meteorológica de 
Maputo no período de 1954 a 1978 e usando a Lei de GUMBEL, estabeleça as curvas 
de duração do período de retorno de 2, 5 e 10 anos para uma duração de 1, 3, 5 e 10 
dias e determine, para uma quantidade de água armazenada de 50 mm, a densidade 
de drenagem correspondente a cada período de retorno. 
 
1. Com os valores da precipitação diária de Janeiro da estação de Maputo preenche-
se a Tabela 1: 
 
 
TABELA 1 
────────────────────────────────────────────────────────────── 
 valores máximo obs. colocação desses val. frequência 
nº K- dias K-dias (ordem crescente) f=n/(N+1) 
────────────────────────────────────────────────────────────── 
 1 3 5 10 1 3 5 10 
────────────────────────────────────────────────────────────── 
 1 12.1 12.5 13.9 24.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.038 
 2 185.6 206.0 209.9 256.4 0.9 0.9 1.0 1.0 0.077 
 3 8.6 18.8 18.9 25.5 8.6 12.5 13.9 16.9 0.115 
 4 22.2 22.2 27.0 34.6 12.1 16.5 16.7 24.2 0.154 
 5 47.1 88.2 88.2 134.6 14.9 18.8 18.9 25.6 0.192 
 6 25.5 25.6 25.7 29.9 22.2 22.2 24.6 27.5 0.231 
 7 82.1 89.7 104.5 161.9 24.6 24.6 25.7 28.6 0.269 
 8 24.6 24.6 24.6 27.5 25.5 25.6 27.0 34.6 0.308 
 9 77.0 91.3 91.3 105.1 30.2 37.8 37.8 45.0 0.346 
10 34.6 40.8 46.8 75.6 32.6 40.6 40.9 57.9 0.385 
11 123.4 123.6 181.6 212.8 34.6 40.8 46.8 74.5 0.423 
12 14.9 16.5 16.7 16.9 36.9 43.3 55.9 75.6 0.462 
13 239.6 534.5 646.3 664.5 42.4 53.6 62.8 77.0 0.500 
14 32.6 40.6 40.9 57.9 47.1 62.8 64.9 88.8 0.539 
15 50.2 62.8 62.8 74.5 48.0 88.2 88.2 105.1 0.577 
16 67.4 111.0 111.0 162.0 50.2 89.7 91.3 126.2 0.615 
17 0.9 0.9 1.0 1.0 67.4 91.3 104.5 134.6 0.654 
18 48.0 53.6 55.9 77.0 77.0 105.6 110.0 161.9 0.692 
19 30.2 43.3 64.9 88.8 82.1 111.0 114.1 162.0 0.731 
20 36.9 37.8 37.8 45.0 89.1 123.6 181.6 212.8 0.769 
21 0.0 0.0 0.0 0.0 107.5 157.0 197.3 222.9 0.808 
22 89.1 178.5 197.3 222.9 123.4 178.5 209.9 256.4 0.849 
23 163.4 298.6 317.7 324.3 163.4 206.0 219.4 269.3 0.885 
24 42.4 105.6 114.1 126.2 185.6 298.6 317.7 324.3 0.923 
25 107.5 157.0 219.4 269.3 239.6 534.5 646.3 664.5 0.962 
 ────────────────────────────────────────────────────────────── 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
 
2. Com nos valores da Tabela 1, procede-se ao tratamento de forma a preencher 
a Tabela 2. 
 
 TABELA 2 
 Duração (dias) Fórmulas 
Valores 1 3 5 10 
x 62.64 95.36 108.69 128.69 X 1/n.(Σxi) 
σ 60.54 116.43 138.29 144.08 σ √s² 
a 0.02 0.01 0.01 0.01 a Sn/Sx 
xo 35.39 42.96 46.45 63.84 Xo X – Yn/a 
Y1 = 0 35.39 42.96 46.45 63.84 X1= xo+Y1/a 
Y2_= 3___ 177.01 315.30 369.92 400.87 X2= xo+Y2/a 
 
 
 TABELA 3 
 Duração 
Tempo de 
Retorno 1 3 510 
2 50 73 83 102 
5 108 180 209 232 
10 142 240 290 316 
 
3. Com os valores de y e x foram marcados os pontos correspondentes no papel 
gráfico de GUMBEL e com eles traçadas as respectivas rectas. Veja no papel 
gráfico de GUMBEL em anexo estes pontos e rectas. 
 
4. A partir do gráfico obtêm-se os valores de precipitação para os tempos de 
retorno de 2, 5 e 10 anos, os quais são preenchidos na Tabela 3: 
 
5. Com os valores da Tabela 3 foram desenhadas as curvas de duração de 1, 3, 5 
e 10 dias no papel milimétrico em anexo. 
 
 TABELA 4 
┌────────────────────────────────────────────────────┐ 
│ Tempo de retorno densidade de drenagem (mm/dia) │ 
├────────────────────────────────────────────────────┤ 
│ │ 
│ 
 T = 2 D.D. = (90-50)/5 = 8 │ r
 │ 
│ T = 5 D.D. = (281-50)/4 = 58 │ r
│ │ 
│ T = 10 D.D. = (320-50)/3 = 90 │ r
│ │ 
 
6. Para uma quantidade de água armazenada de 50 mm foram traçadas as 
tangentes as curvas de duração e determinada a densidade de drenagem. 
Com estes valores foi preenchida a Tabela 4. 
 
 
 
 
 
 
11
0
0
0
9
0
3
4
1
6
0
0
1
Precipitacao diaria - Fevereiro
Estacao Climatologica de Tinonganine/Matutuine
Ano 1951 1952 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
dia
1 33 115.2 2.5 30.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0 0.9 0
2 0 6.6 0 10 0 35.8 0 0 0 0 0 36.6 0 0.3 8.1 0 0
3 0 46.7 0 5.5 0 0.4 0 0 15 0 0 0 7.3 0 0 0 0
4 0.5 0 4.8 14.3 24.6 0 0 0 2.1 0 0 0 0 0 44 81.8
5 1.8 0 11.2 4 1.5 0 18.9 0 0.8 7.2 0 0 0 0 1.1 0.4
6 0 0 0 2 0 0 2.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 3.5 6 0 0 0 0 6.5 0 0 16.7 0 0
8 0.5 0 0 0 0 0.7 0.2 0 0 0 0 0 0 0 2.6 5.1
9 0 0 0 0.5 0 0 0 47 1.4 0 0 0 0 0 0 13.5 0
10 0 0 0 0.2 0 0 0 0.5 0 0 0 0 20.5 0 0 11.6 4
11 0 36.3 0 29 0 0 0 0 3.7 3.1 0 0 0 0 0 0.6
12 64.5 2.3 0 29.4 0 87.5 0 6 4.1 26.5 0 0 1.4 0 0 0 45.
13 0 0 0 3.9 0 0 0 3 0.4 2.1 0 26.8 0 0 0 0 30.
14 0 0 0 1 60.5 0 0 0 0 0.3 24 0 27.8 0 0 0 0
15 0 0 0 0 3 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 1 0 0 0 2.6 0 29.2 0 0 0 0 0 0 0 2.5 2 1.
17 0 0.5 0 0 0 0 38.5 13 0 0 0 0 0 0 3.7 0 30.
18 4.6 2.3 0 0.2 3.2 0 2.6 0 0 0 0 13.4 0 0 4 0.8
19 1 0 0 0.3 62.1 0 0 3.5 25.9 0 0 2.3 117 0 0 15.2 0
20 0 0 0 0 0.8 0 1.8 0 0.4 0 0 0 20.7 0.8 3.1 2.7 0
21 0 0 0 10.5 2.3 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0.7 0 0.3 0 0 0 0 0 0 0 16.4 1.3 0 0
23 0 0 0 67.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5 13.4 0 0
24 0 0.8 0 0 2 0.2 0 0 0 0 0 36.4 0 0 0 0 0
25 0.3 25.4 0 0 36.5 72 0 0 0 0 0 2.5 0 6.2 0 30.4
26 0.5 0 0 0 0.7 11.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 57.5 0
27 6.6 2.8 0 5.5 0 0.5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
28 2 4.8 0 1.4 0.3 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
29 0 - - - 0.2 - - - 0 - - - 0 - - - 0
30 - - - - - - - - - - - - - - - - - 
31 - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
PRACTICA 5: MEDIÇÃO DE CAUDAIS 
 
1. INTRODUÇÃO 
Nos canais artificiais ou rios o caudal em qualquer momento pode ser dado como: 
A*V = Q 
 Q - Caudal (m3/s) 
V - Velocidade média (m/s) 
A - Área molhada da secção transversal 
 
2. MÉTODO PARA A MEDIÇÃO DE CAUDAIS 
 
a) Método Secção-velocidade: 
b) Método do Barco em Movimento: 
c) Método Inclinação-área: 
(Chezi) ASCR = Q
2
1
2
1
 
(Manning) ASRK = Q m
2
1
3
2
 
 Onde: 
Km e C são respectivamente constante de Manning e de Chézi e são funções da 
rugosidade do canal. 
R é o raio hidráulico ou seja o perímetro molhado. 
S é a inclinação da linha de água 
A a área do rio na secção considerada. 
d) Método de Diluição: 
e) Métodos Estruturais: Descarregadores e comportas. 
hb)g3
2(
3
2
CC = Q 2
3
c
0,5
vd 
 Onde: 
 Cd - coeficiente de descarga 
 Cv - coeficiente de velocidade 
 g - aceleração de gravidade (constante) 
 bc - base da estrutura 
 h - a carga hidráulica. 
 1
A carga hidráulica, h, a diferença entre o nível de água e o nível da crista. 
 
f) Métodos Modernos: Métodos electromagnéticos e supersónicos 
 
 
3. MÉTODO SECÇÃO-VELOCIDADE 
Distribuição de Velocidade na Área Transversal 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
d
y
a
V 
= 0,4 d
Va
Vy = 0,6 d
Figura 1 : Distribuição de velocidade na vertical 
 
 
 
 2
0,51,0
1,5
2,0
2,5
 
Figura 2: Exemplo de distribuição de velocidade na secção transversal de um 
canal trapezoidal 
 
 
Determinação da Velocidade média 
 
 a) Método de 1 ponto 
V = V0,6
 
V0,6 - a velocidade medida a 0,6*d (m) de profundidade da superfície, com d= 
profundidade na secção considerada. 
 
 b) Método de 2 pontos 
2
V+V = V 0,80,2 
 c) Método dos 3 pontos 
2
V+V0,5+V0,5 = V 0,60,80,2 
 d) Método dos 5 pontos 
10
V+V3+V2+V3+V = V b0,80,60,2s 
 
 Vs e Vb - velocidade na superfície e na base respectivamente. 
 
 
Determinação de Caudal Total 
O método secção-velocidade tem sido subdividido em dois: O Método das secções 
médias e Método das secções intermédias. 
 3
 
EXEMPLO 
 
Medições de Caudal: Método Secção-Velocidade
Canal: ___________________________
Local: ___________________________
Data: _____________________
Hora: _________ até ___________
Molinete
n<0,63; V = 0,246.n + 0,017 (m/s) n = n1/t
n>0,63; V = 0,260.n + 0,008 (m/s) tempo de medição t=50 s
n - revoluções por segundo
n1 - revoluções
Secção Prof. revol V0,2d revol V0,6d revol V0,8d Vel. Média
Referência M.E. d (m) n1 (m/s) n1 (m/s) n1 (m/s) (m/s)
M.E. 8.60 0 1 - - - -
I 18.60 10 2.24 103 0.544 99 0.523 85 0.450 0.51
II 28.60 20 3.16 141 0.741 134 0.705 115 0.606 0.69
III 38.60 30 3.72 153 0.804 149 0.783 129 0.679 0.76
IV 48.60 40 4.16 162 0.850 158 0.830 134 0.705 0.80
V 58.60 50 4 160 0.840 154 0.809 132 0.694 0.79
VI 68.60 60 3.08 138 0.726 132 0.694 114 0.601 0.68
VII 68.60 70 2.44 95 0.502 87 0.460 72 0.382 0.45
M.D. 90.20 81.6 1.62 - - -
M.E. - margem esquerda
M.D. - margem direita
molinete 0,2d molinete 0,6d molinete 0,8d
Distância (m)
 
ME I II III IV V VI VII MD
0 10 20 30 40 50 60 70 80
d2
v2
Referência
b2b1
d1
v1
largura (m)
 
 
 
 
 
 4
ME I II III IV V VI VII MD
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Método das Secções Médias
d2
v2
Referência
b2b1
d1
v1
largura (m)
13
2 VV =
73
2 VV =
 
 
Cálculo de Caudal - Secções Médias
Secção Distância Prof. Vel. Média largura prof. velocidade Caudal parcial
M.E. d (m) (m/s) b (m) d (m) (m/s) (m3/s)
M.E. 0 1.00 -
10 1.62 0.34 5.51
I 10 2.24 0.51
10 2.70 0.60 16.19
II 20 3.16 0.69
10 3.44 0.73 24.96
III 30 3.72 0.76
10 3.94 0.78 30.84
IV 40 4.16 0.80
10 4.08 0.80 32.47
V 50 4.00 0.79
10 3.54 0.73 25.96
VI 60 3.08 0.68
10 2.76 0.57 15.60
VII 70 2.44 0.45
11.6 2.03 0.30 7.08
M.D. 81.6 1.62 -
Q total 158.6
 
 
 
 
 5
ME I II III IV V VI VII MD
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Método das Secções Intermédias
d2
v2
Referência
b2b1
d1
v1 V = 0V = 0
largura (m)
 
 
Cálculo de Caudal - Secções Intermédias
Secção Distância Prof. Vel. Média largura largura Caudal parcial
M.E. d (m) (m/s) b (m) b (m) (m3/s)
M.E. 0 1.00 -
10
I 10 2.24 0.51 10.0 1
10
II 20 3.16 0.69 10.0 21.8
10
III 30 3.72 0.76 10.0 28.3
10
IV 40 4.16 0.80 10.0 33.4
10
V 50 4.00 0.79 10.0 31
10
VI 60 3.08 0.68 10.0 20.9
10
VII 70 2.44 0.45 10.8 11.9
11.6
M.D. 81.6 1.62 -
Q total 159.3
1.4
.5
 
 
 
 
6
 
 
4. MÉTODO DE DILUIÇÃO: 
4.1. O MÉTODO DE INJECÇÃO CONSTANTE 
 
Ponto de Injecção
X
Ponto de MediçãoX
B
A
 
 Figura 3: Método de injecção constante – represenatção esquemática 
 
 
 
0
C
Co
C2 Equilíbrio
Tempo
 
 
 Figura 4: Método de injecção constante - Mistura em função do tempo 
 
 7
 
 Q.Co +q.C1, = (Q + q) . C2 
Q - Caudal do rio (m3/s) 
q - taxa de injecção (m3/s) 
Co - concentração do sal no rio 
C1 - concentração da solução 
C2 - concentração do elemento no rio depois da mistura completa. 
 
Medindo Co, C1, e C2, e o caudal q, o Caudal do rio pode ser determinado: 
oCC
CCqQ
−
−
=
2
21 
oCC
CCN
−
−
=
2
21 N é designada de razão de diluição 
 
 
h
Ar
Água
tubo plástico
ho
Fig 5: A operação da garrafa 
de Mariotte 
 8
 
Tabela 1: Exemplos de distância mínima para mistura
 completa a recomendar no método de diluição
largura b do profund. Caudal Xmin. 
canal (m) d (m) Q (m3/s) (m)
0.5 0.15 0.02 - 0.10 9
2 0.35 0.5 - 1.5 90
10 1 15 - 50 1080
 
 
4.2. O MÉTODO SIMPLIFICADO DE INJECÇÃO CONSTANTE 
 
Neste método, o processo de diluição no rio é simulado (imitado) num balde: 
- No rio/ canal, o Caudal Q, vai diluir o caudal q com a concentração C1 (CE1), 
depois da mistura completa, a conductividade eléctrica será EC2. 
- No balde, uma quantidade muito pequena (v) da solução (entre 1 e 10 ml) é 
pipetada. Depois, uma quantidade V da água do canal é adicionada até a 
mistura atingir a conductividade eléctrica EC2. A razão N = V/v é a razão de 
diluição. 
 
Então o caudal do canal/ rio pode ser calculado: 
 
v
VqNqQ .. == 
Note-se que no método simplificado não precisamos conhecer o valor de C1 ou CE1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
Exemplo: 
 
Medições de Caudal: Método de Diluição
Canal: ___________________________
Local: ___________________________
Data: _____________________
Hora: _________ até ___________
Observador: ___________________________
Innstrumento: ________________________
 CEo Concentração no rio/canal antes de injecção 441 μS/cm
q caudal da garrafa de Mariotte 45.5 cm3/s
 CE2 Conductividade eléctrica máxima CE do rio/canal depois da injecção 824 μS/cm
v quantidade pipetada da garrafa de mariotte 5 cm3
V Quantidade de água a ser adicionada a solução pipetada 3.025 L
Q L/s
Tabela 1: Medição da CE (μS/cm) Tabela 2: Quantidade de água (V) adicionada
com o tempo a solução pipetada e CE resultante
tempo CE V CE
(s) (μS/cm) (L) (μS/cm)
0 441 tempo CE 0
15 445 (s) (μS/cm) 0.5 2630
30 463 285 806 1 1567
45 488 300 812 1.5 1203
60 515 315 816 2 1016
75 540 330 819 2.5 906
90 564 345 823 2.6 889
105 592 360 825 3.025 824
120 621 375 824
135 653 390 824
150 687 405 824
165 711 420 824
180 736 435 819
195 756 450 805
210 777 465 791
225 780 480 775
240 783
255 791 CE2 = 824
270 800
V = 3.025 L
Continuação
Caudal Q = (V/v).q 5.275.45*5
025.3
=
 
 
 
 
 
 10
 
Pratica - Medição de Caudais 
 
 
Exercício 
 
1. Numa secção transversal do canal geral do Regadio de Chókwè (a jusante do 
regulador), fez-se a medicao de velocidades nas verticais, conforme se 
apresenta na tabela seguinte: 
 
 Molinete 
 n≤0.64: V = 0.2217n + 0.023 (m/s) n = n1 / t 
 n>0.64: V = 0.2453n + 0.008 (m/s) tempo de medicao t= 50s 
 
 
n – revoluções por segundo 
n1 – revoluções 
 
 Superifície 
Molinete 
(0,2d) 
Molinete 
(0,6d) 
Molinete 
(0,8d) Base 
Vel. 
média
Distância Revol (Vsup) Revol V0,2 Revol V0,6 Revol V0,8 Revol baseSecção 
(m) 
Prof. 
(m) n1 m/s n1 m/s n1 m/s n1 m/s n1 m/s
 (m/s)
ME 0.00 0.00 
I 2.00 1.15 0 5 0 
II 4.00 1.95 7 11 15 
III 6.00 2.10 17 13 13 
IV 8.00 2.30 18 14 12 
V 10.00 2.20 17 6 12 
VI 12.00 1.80 17 12 10 
VII 14.00 1.80 15 18 12 
VIII 16.00 1.83 15 10 8 
IX 18.00 1.93 9 7 7 
X 20.00 2.00 13 11 6 6 6 
XI 22.00 2.20 14 10 9 5 5 
XII 24.00 2.35 12 11 6 3 0 
XIII 26.00 1.80 7 3 1 
XIV 28.00 1.52 2 2 0 
XV 30.00 1.45 2 0 0 
XVI 32.00 0.92 0 0 0 
MD 34.00 0.00 
a) Desenhe o perfil da secção transversal 
b) Calcule o caudal utilizando o método de secção velocidade. 
 
 11
HIDROLOGIA 
PRÁCTICA NR. 6: 
 
CÁLCULO DAS NECESSIDADE DE ÁGUA DE REGA (NAR) 
 
 
1. Como foi visto na prática sobre a determinação da evaporação de referência 
(ETo) pelo método de PENMAN-MONTEITH, a Evapotranspiração potencial 
duma cultura (ETc) está relacionada com a ETo como ETc = Kc.ETo. 
 
 
2. O factor Kc é função da cultura, período de crescimento da mesma, clima, 
estação do ano e da grandeza da área vegetal. O factor Kc é designado de 
coeficiente da cultura ou constante de cultura. 
 
3. O factor Kc pode ser determinado empiricamente por meio de lisimetros ou 
obtido de manuais (FAO No 24 Crop water requirements, e No 33 Yield 
response to water), que para as diferentes culturas da os períodos de 
crescimento e os correspondentes coeficientes de cultura. 
 
4. O período de crescimento é difícil de definir, mas normalmente está 
dividido em quatro fases: 
 I. Fase inicial, cobertura da superfície menor ou igual a 10%. 
 II. Fase de desenvolvimento, cobertura da superfície de 10-80% 
 III. Fase de cobertura máximo, correspondente ao período de 
evapotranspiração máximo. 
 IV. Fase de maturação. 
 
5. Pelas fases definidas e consoante o mínimo de dias que comporta cada 
fase duma determinada cultura define-se o período da mesma. Por 
exemplo, um período de 20/30/40/30 duma dada cultura isto significa que a 
fase I leva 20 dias, a II 30, a III 40 e a IV 30 dias. 
 
6. Consoante a cultura podemos obter um gráfico que relaciona o período de 
crescimento e o valor correspondente de Kc como o do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 
 Exemplo da curva de Kc para a cultura de milho. 
 
 
 
 
 Valores médios de Kc durante a fase inicial 
 
 
 
 2
 
Duração aproximada das fases de desenvolvimento para algumas cultuas. 
 (Fonte: FAO 24, 1984) 
 
 
Cultura 
 Fase 
 inicial 
 fase de 
 desenv. 
 fase de 
 cobertura 
 máxima 
 fase de 
 maturação 
 
 Total 
cevada/aveia 
/trigo 
 
Feijão, seco 
 
 
Couve 
 
 
Cenoura 
 
 
algodão 
 
 
alface 
 
 
milho, grão 
 
 
cebola, verde 
 
 
cebola, seca 
 
 
amendoim 
 
 
batata 
 
 
mapira 
 
 
tomate 
15 
15 
 
15 
20 
 
20 
25 
 
20 
25 
 
30 
30 
 
20 
35 
 
20 
30 
 
25 
20 
 
15 
20 
 
25 
30 
 
25 
30 
 
20 
20 
 
30 
35 
25 
30 
 
25 
30 
 
25 
30 
 
30 
35 
 
50 
50 
 
30 
50 
 
35 
30 
 
30 
40 
 
25 
35 
 
35 
40 
 
30 
35 
 
30 
35 
 
40 
45 
50 
65 
 
35 
40 
 
60 
65 
 
30 
70 
 
55 
65 
 
15 
45 
 
40 
60 
 
10 
20 
 
70 
10 
 
45 
45 
 
30 
50 
 
40 
45 
 
40 
70 
 
30 
40 
 
20 
20 
 
15 
20 
 
20 
20 
 
45 
50 
 
10 
10 
 
30 
40 
 
5 
10 
 
40 
45 
 
25 
25 
 
20 
30 
 
30 
30 
 
25 
30 
120 
150 
 
95 
110 
 
120 
140 
 
100 
150 
 
180 
195 
 
75 
140 
 
125 
180 
 
70 
95 
 
150 
110 
 
130 
140 
 
105 
145 
 
120 
130 
 
135 
180 
 
 
 
 
 
 
 
 3
Coeficientes de cultura (Kc) para diferentes estágios de crescimento e condições 
climáticas dominantes. (Fonte: FAO 24, 1984) 
 
 Cultura Humidade (HR) RH > 70% RH < 20% 
 Velocidade do vento 
(m/s) 
 
0 - 5 5 - 8
 
0 - 5 5 - 8 
 
 
 Cevada 
 
 
 Cenoura 
 
 
 Algodão 
 
 
 Alface 
 
 
 Cebola, seca 
 
 
 Cebola, verde 
 
 
 Amendoim 
 
 
 Batata 
 
 
 Mapira 
 
 
 Tomate 
 
 
 Trigo 
 Estágio da cultura
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 3 
 4 
 
 
1,05 1,1 
0,25 0,25 
 
1,0 1,05 
0,7 0,75 
 
1,05 1,15 
0,65 0,65 
 
0,95 0,95 
0,9 0,9 
 
0,95 0,95 
0,75 0,75 
 
0,95 0,95 
0,95 0,95 
 
0,95 1,0 
0,55 0,55 
 
1,05 1,1 
0,7 0,7 
 
1,0 1,05 
0,5 0,5 
 
1,05 1,1 
0,6 0,6 
 
1,05 1,1 
0,25 0,25
 
 
1,15 1,2 
0,2 0,2 
 
1,1 1,15 
0,8 0,85 
 
1,2 1,25 
0,65 0,7 
 
1,0 1,05 
0,9 1,0 
 
1,05 1,1 
0,8 0,85 
 
1,0 1,05 
1,0 1,05 
 
1,05 1,1 
0,6 0,6 
 
1,15 1,2 
0,75 0,75 
 
1,1 1,15 
0,55 0,55 
 
1,2 1,25 
0,65 0,65 
 
1,15 1,2 
0,2 0,2 
 4EXEMPLO DE CÁLCULO DE NAR PARA A CULTURA DE 
MILHO 
 
- Cultura de milho 
- Data de sementeira 1 de Dezembro 
- Pef = 0,8*P75 
- Pef - Precipitação efectiva (mm) e P75 - Precipitação (mm) com a 
probabilidade de 75% de ser ultrapassada 
 
 
Fase de Des. I II III IV 
Duração 20 35 40 30 
Kc 0.43 ----- 1.10 0.60 
 
Curva de K c
0
0.2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
0 50 100 150
F ases de Desenvolvimento
K
c
 
 
Fases I II III IV Total
meses Dez. Jan. Fev. Mar. Abril
ETo (mm/dia) 5,3 5,2 4,9 4,2 3,2
Kc 0,43 0,43 0,52 0,68 0,85 1,02 1,1 1,1 1,1 1,1 1,02 0,85 0,68
ETc (mm/dia) 2,28 2,28 2,75 3,54 4,42 5,3 5,39 5,39 5,39 4,62 4,28 3,57 2,18
ETc (mm/fase) 45,6 160,2 389,7 106,6
ETc (mm/mes) 71 140 151 128 21.8
P75 (mm/mês) 140 152 50 40 20
Pef = 0,80. P75 (mm/mês) 112 122 40 32 16
NAR (mm) 0 18.4 111 96 16.5 242
 
 
 
 
 5
EXERCÍCIO 
 
CÁLCULO DAS NECESSIDADE DE ÁGUA DE REGA (NAR) 
 
 
Calcule NAR para a cultura de milho na área de Chókwè, considere a data de sementeira 1 de 
Dezembro. 
 
 
 Dados Climáticos- Chokwe 
 
País : Moçambique 
Altitude: 33 m 
Latitude: -24.32 graus (Sul) Longitude: 33.00 graus (Este) 
 
Mês MaxTemp MiniTemp Humidade
Velocidade do 
vento. Brilho Solar Rad. Solar. ETo 
 (graus Cent.) (graus Cent.) (%) (Km/d) (Horas) (MJ/m2/d) (mm/d) 
Janeiro 33.7 21 75 164 8.1 23.5 5.66
Fevereiro 33 21.1 78 164 7.8 22.2 5.21
Março 32.1 19.5 80 138 8 20.7 4.55
Abril 30.7 17.6 82 121 7.8 17.5 3.6
Maio 28.6 14.2 83 147 8.3 15.4 2.98
Junho 26.2 11.5 84 104 7.8 13.5 2.24
Julho 26.1 10.9 85 112 7.9 14.1 2.39
Agosto 27.9 12.6 83 147 8 16.6 3.23
Setembro 30.2 15.3 74 181 8.2 19.7 4.48
Outubro 31.8 17.5 72 199 7.8 21.4 5.26
Novembro 32.6 19.3 73 181 7.1 21.6 5.36
Dezembro 33.3 20.3 71 181 7.7 23 5.76
 
Media 30.5 16.7 78.3 153.3 7.9 19.1 4.23
 
 
Fase I II III IV 
Duração 20 35 40 30 
Kc 0.30 ----- 1.20 0.50 
 
 
Pef = 0,8*P75
 
Pef -------- Precipitação efectiva (mm) 
 
P75 --------- Precipitação (mm) com a probabilidade de 75% de ser ultrapassada 
 
 6
 7
Estacao Climátológica do Chókwue
Precipitacao media mensal (mm), 1951 - 1987
Ano Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total
1951 50.1 22 23.5 74.2 14.6 15.7 9.7 46.3 68.2 61.8 6.1 24.8 397
1953 232.5 156.1 96.4 37.3 21.9 5 12.6 0.9 39.3 16 67.8 65 750.8
1954 52.9 93.4 56 13.6 23.7 8.8 0 10.9 20.9 48.1 115.4 164.2 607.9
1955 223.9 60.5 68.5 16.8 56.7 9.6 0.9 4.8 7.8 47.3 186.2 82.1 765.1
1956 28.3 306 70.5 7.6 38.4 10.1 0.6 0.2 14.1 15 13.4 120.4 624.6
1957 30.7 239.8 58.2 38.9 31.4 2.8 39.6 8.5 2.4 32.6 42.3 40.8 568
1958 275 93.6 27.6 27.6 0.3 29.7 8.7 23.4 35.1 9.8 106.7 40.9 678.6
1959 72.6 72.7 93.9 26.5 49.2 6.6 35.2 5 58.2 30.6 7.5 154.7 612.7
1960 4.6 183.6 95.7 91.2 14.1 16.7 14.3 4.7 63.6 50.5 47.4 160.2 746.6
1961 63.6 381.4 6 13.4 20.7 50.8 13.2 49.2 25.3 23.9 3.1 58.3 708.9
1962 253.1 16 70.8 27.2 15.7 0 3.5 17.2 1.7 38.7 117.2 121.3 682.4
1963 41.5 40.1 99.1 38.3 33.6 23.9 7.6 0 1.8 106.5 32.4 153.8 578.6
1964 59.6 23 42.1 10.5 8.1 0 1.9 41.7 1.7 57.4 61.3 166.4 473.7
1965 228.9 31.3 43.2 25.9 20 14.5 0 8.5 49.6 27.7 103 57.6 610.2
1966 332.1 35.1 15.3 30.6 36.1 22.5 0.3 33.2 14.5 55.7 32.3 77.9 685.6
1967 190 419.6 64 70.2 3.5 16.5 29.5 6.9 9.9 39.1 39.4 41.8 931
1968 78.9 89.8 25.4 23.9 17.2 22.1 12.1 0.2 1.5 1.7 57.4 99.9 430.1
1969 25.5 106.5 30.1 77.8 22.4 7.2 14.2 2 9.8 219.9 53.9 95.4 664.7
1970 41.6 11.2 41.1 7.2 11.8 14.7 3.6 0 4.6 20.1 20.2 3.6 179.7
1971 270.4 37.9 55 37.9 15.3 25.4 17.4 0.2 13.8 62.4 23.5 103.9 663.1
1972 111.7 260.6 122.2 17.8 123.1 9.2 13.9 1.2 1.6 3.3 20.4 67.6 752.6
1973 52.3 181.9 18.5 53.8 4.9 11 19.7 1 60.8 21.1 58.1 186.2 669.3
1974 63.8 117.8 39.2 52.8 18.7 0.9 4.8 1.9 35.9 9.5 73.2 94.1 512.6
1975 56.6 203.2 97.3 27.7 21.1 38.9 1.1 9.4 1.4 9 103.3 106.3 675.3
1976 294.2 130.5 49.8 20.9 100.4 18.4 5 0.9 0.4 18.6 30.4 35.9 705.4
1978 220.8 199.7 33.1 65.7 6 18.9 16.8 3.3 27.2 27.3 82.5 77.3 778.6
1980 21.9 72.8 61 27.6 2.8 12.1 18.5 6.9 120.8 33.8 41.5 100.8 520.5
1981 112.7 167.1 82.4 26.8 93.7 3.4 0 39.8 71.9 126.3 164.7 97.7 986.5
1982 47.5 47.6 11 101.5 26.3 5.7 35.2 0 23 70 8.1 33.9 409.8
1983 117.5 42.6 30.8 12 60 25.3 13 37.7 0.4 43.7 73.6 54.3 510.9
1984 188.1 25.9 67.4 50.4 5.8 3 56.9 1.9 32.6 43.1 133.7 68.3 677.1
1985 168 200.6 112.6 18.4 52 15.2 8.9 0.4 17.3 30.5 127.7 29.1 780.9
1986 80.4 25.8 24.1 101.1 2.4 14.6 0.4 0.4 12.4 27.9 37.4 74.7 401.6
1987 55.1 20 57.1 17.7 2.8 10.3 0.2 74.7 52.2 35.5 44.7 70.6 440.9
Media 109 140 66 42 20 15 10 13 17 37 66 87 622
Desv.padrao 94.01 105.96 30.4 26.41 28.84 10.92 13.21 18.47 27.46 40.45 46.17 45.54 158.67
 
HIDROLOGIA 
PRÁCTICA NR. 7: 
 
CÁLCULO DO BALANÇO HÍDRICO 
MÉTODO DE THORNTHWAITE - MATHER 
 
 
 
 
1. Consoante a relação que exista entre a evapotranspiração e a precipitação 
numa determinada área podemos calcular o fornecimento de água ou o 
escoamento, isto é, temos que calcular ora a rega, ora a drenagem. Para 
tal torna-se então necessário calcular o balanço hídrico. 
 
2. A evapotranspiração real (ETa, Eact) pode ser menor que a 
evapotranspiração potencial (ETP, Ep) devido a: 
 - Cobertura do solo incompleta; 
 - Fornecimento de água as plantas muito reduzido; 
 - Transporte de água na planta é limitado; 
 - Fecho dos estomas. 
 
3. Se a superfície do solo está completamente coberta a ETa depende 
principalmente do fornecimento de água as plantas (disponibilidade de 
água na zona radicular). 
 
4. Durante os períodos secos a ETa é proporcional a quantidade de 
humidade disponível na zona radicular: 
 
 
ETa = c.V (1) 
 
 
V – humidade disponível na zona radic. 
C – constante de proporcionalidade. 
 
 
Se não há ascenção capilar nem precipitação 
 
ETa = dV/dt (2) 
 
t - tempo 
d - operador diferencial 
 
 
 
Cálculo do Balanço Hídrico 1
 
5. Fórmula de THORNTHWAITE & MATHER. 
 
Da equação (1) e (2): 
(1) = (2) 
 
dV/dt = c. V 
 
dV/V = c. dt 
 
 
ln(V) = c. t + c1 (3) 
 
 
no início do período temos: 
 
t = o , V = Vo -----(3)-- c1 = Vo 
ETa = ETP = c Vo ------- c = ETP/Vo 
 
 
A equação (3) fica: 
 
Ln(V) = ETP/Vo * t + ln(Vo) 
 
oV
tETP
o eVV
.
.
−
=
 
 
 
V = ST ------ água armazenada no solo 
Vo = STo ------- água armaz. no solo (máxima) 
 
ETP.t = APWL = ∑(ETP – P) 
 
APWL – perdas potencial de água - acumulada 
 
oST
APWL
o eSTST
−
= .
 
Esta equação significa que: 
• A quantidade de água armazenada na zona radicular tem um decréscimo 
exponencial 
Cálculo do Balanço Hídrico 2
6. Para o cálculo do balanço torna-se necessário conhecer os valores da 
precipitação, da evapotranspiração e da capacidade de armazenamento da 
água pelo solo (STo). 
 
7. Calcula-se então os seguintes valores: 
 
 
- P – ETP 
oST
APWL
o eSTST
−
= .
 
 
- ∆ST = STu - STu-1 
- ETa = P - ∆ST quando P < ETP 
- ETa = ETP quando P ≥ ETP 
- R = P – ETa - ∆ST 
 
P ----- Precipitação (mm) 
ETa ---- Evapotranspiração actual (mm) 
∆ST ----- Variação na água armazenada no solo (mm) 
R --------- Escoamento (mm) 
 
 
 
8. O objectivo é calcular o escoamento (S), determinando assim a quantidade 
de água a ser drenada. Quando S = 0 indica que ocorre um défice ou nulo 
do balanço de água. Geralmente este défice ocorre em períodos secos e 
se queremos ter culturas em campo neste período devemos então calcular 
a necessidade de água de rega (NAR). 
 
 
9. O somatorio do défice de chuvas (correspondente aos períodos em que 
ETP>P) estima o valor de APWL e o somatorio do excesso de chuvas 
(corresponde aos períodos em que P > ETP) estima o valor de ST. Estes 
dados são importantes no cálculo dos valores de APWL e ST no inicio do 
período seco em climas com grande período seco, onde não se pode 
estimar com tanto rigor que APWL seja ao primeiro valor ETP > P . 
 
10. No fim do cálculo pode-se fazer uma primeira avaliação da precisãodo 
mesmo se EA + S = P. 
 
 
 
Cálculo do Balanço Hídrico 3
Acer
Realce
EXEMPLO 1: 
CÁLCULO DO BALANÇO HÍDRICO 
MÉTODO DE THORNTHWAITE - MATHER 
 
Caso ∑ (P – ETP)positivo > STo 
 
O solo atingirá sua máxima capacidade de armazenamento (STo) 
 
XEMPLO 2: 
CÁLCULO DO BALANÇO HÍDRICO 
MÉ ER 
 
aso ∑ (P – ETP)positivo < STo 
e: ∑ (P – ETP)positivo < STo 
STo = 100 mm
J F M A M J J A S O N D Ano
Pr. 69 52 44 49 52 57 78 89 71 72 70 64 767
ETP 5 14 33 63 88 101 98 82 52 25 9 3 573
Pr - ETP 64 38 11 -14 -36 -44 -20 7 19 47 61 61 194
APWL 14 50 94 114
ST 100 100 100 87 61 39 32 39 58 100 100 100
STo = 100
∆ST 0 0 0 -13 -26 -22 -7 7 19 42 0 0
ETa 5 14 33 62 78 79 85 82 52 25 9 3 527
R 64 38 11 0 0 0 0 0 0 5 61 61 240
Défice
 
 
 
 
E
TODO DE THORNTHWAITE - MATH
C
 
 
S
 
O solo não atingirá sua máxima capacidade de armazenamento (STo) 
 
Tmax < STo 
T = STmax ; APWL = APWLmin 
 
S
 
S
STmax = STo * e – APWL min/STo 
STmin = STo * e – APWLmax/STo 
 
Cálculo do Balanço Hídrico 4
Acer
Nota
87-100=-13; 61-87=-26;39-61=-22 etc. Sao valores de STo
Acer
Realce
Acer
Nota
APWL-Valores de (Pr-ETP) que resultam em defice(valores negativos) o primeiro no exemplo (-14) e' baixado automaticamente e fica 14 posetivo, o segundo resulta em somatorio do (14+36=50); (50+44=94) etc.
Acer
Nota
ST, usa-se no primeiro mes dado, o valor de STo Dado, no caso igual a 100mm
 
(APWLmax – APWLmin) = ∑ (P – ETP)neg 
álculo
(STmax – STmin) = ∑ (P-ETP)pos 
 
 
STO = 150 mm
J F M A M J J A S O N D Ano
Pr. 29 36 35 62 84 57 35 79 105 162 101 40 825
ETP 84 88 106 115 125 111 125 115 92 91 71 80 1209
Pr - ETP -55 -52 -71 -53 -41 -54 -90 -36 13 71 24 -40 -384
APWL 138 190 261 314 355 409 499 535 43 83
ST 59 42 26 18 14 10 5 4 17 88 112 86
STo = 150
∆ST -27 -17 -16 -8 -4 -4 -5 -1 13 71 24 -26
ETa 56 53 51 70 88 61 40 80 92 91 77 66 825
R 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 
C 
PWLmax – APWLmin) = ∑ (P – ETP)neg = 492 
 
 
WLmax = APWLmin + 492 
 
 
(A
(STmax – STmin) = ∑ (P-ETP)pos = 108 
 
 
)()(
minmax
max
.. oST
APWL
o eSTeSTSTST o
ST
o
−−
−=−
minAPWL
).(150108 )(
)
150
(
150
maxAPWL
ee −
−
−=
minAPWL
 
 
 AP
 
 
 APWLmin = 43 
 STmax = 112 
 
 
Cálculo do Balanço Hídrico 5
EXERCÍCIO 
CÁLCULO DO BALANÇO HÍDRICO 
MÉ ER 
 
 Calcule o balanço hidrico a partir dos dados apresentados na tabela para STo 
 
 
 
STo = 
 
TODO DE THORNTHWAITE - MATH
= 100 e para STo = 200. 
Mês Precipitação [mm] ETP [mm]
Janeiro 29 84
Fevereiro 36 88
Março 35 106
Abril 62 115
Maio 84 125
Junho 57 111
Julho 35 125
Agosto 79 115
Setembro 105 92
Outubro 162 91
Novembro 101 71
Dezembro 40 80
Total 789 1203
J F M A M J J A S O N D Ano
Pr.
ETP
Pr - ETP
APWL
ST
STo = 100
∆ST
ETa
R
Défice
STo = 
J F M A M J J A S O N D Ano
Pr.
ETP
Pr - ETP
APWL
ST
STo = 100
∆ST
ETa
R
Défice
 
Cálculo do Balanço Hídrico 6
HIDROLOGIA 
PRÁCTICA NR. 8: 
 
DETERMINAÇÃO DA EVAPOTRANSPIRAÇÃO DE REFERÊNCIA 
(ETo): FÓRMULA DA ´FAO PENMAN-MONTEITH´ 
 
Derivada da equação original de Penman-Monteith a equação da FAO Penman-
Monteith é dada como: 
 
Onde: 
ETo evapotranspiração de referência 
[mm/dia], 
Rn radiação líquida á superfície da cultura 
[MJ/m2/dia], 
G Fluxo de energia para o solo [MJ/m2/dia], 
T temperatura do ar a 2 m de altura [°C], 
u2 velocidade do vento a 2 m de altura [m/s], 
es tensão de vapor saturado [kPa], 
ea tensão de vapor actual [kPa], 
(es – ea) défice de tensão de vapor [kPa], 
∆ declive da curva tensão de vapor (KPa 
oC-1) 
γ constante psicrométrica (KPa oC-1) 
 
A fórmula da FAO FAO Penman-Monteith determina a evapotranspiração duma 
superfície de relva de referência hipotética e providencia um padrão de 
comporação entre regiões e culturas diversas. 
Determinação de evapotranspiração de referência 1
Fórmula da FAO Penman-Monteith 
 
 
 
 
2)3,237(
3.237
27.17exp6108,04098
+












+
=∆
T
T
T
 
 
es
T
T= +0 611
17 27
237 3, exp(
,
, ) 
 
R R Rn ns= − nl 
 
R Rns s= −( )1 α 
 
R a b Rs
n
N a= +( ) 
 
N s= 7 64, ω 
 
ω ϕ δs tg tg= −arccos( ) 
 
δ = −0 409 0 0172 1 39, ( , ,sen )J 
 
 
 
 
)(38,0 )1()( −−= ndiandia TTG
)coscos(6,37 ssra sensensendR ωδϕδϕω +=
 
 
r )0172,0cos(033,01 Jd +=
 
PTTee humoaspThumWa )( sec)( −−= γ
2 soR
 
26,50065,0293 Z−
 
 
293 )(3,101=P
λγ P00163,0=
)35,0.35,1).(14,034,0.(
)( 4 min
4
max −−
+
= −− sa
KK
nl
R
e
TT σσ
R
Determinação de evapotranspiração de referência 2
 
To – Evapotranspiração da cultura de referência (mm/dia) 
n – Radiação líquida (MJ.m-2.dia-1 ) 
 – Fluxo de nergia para o solo (MJ.m-2.dia-1 ) 
T – temperatura média (oC) 
u 2 – velocidade do vento medido a altura de 2 m (m/s) 
rva tensão de vapor (KPa oC-1) 
 - Constante psicrométrica (KPa oC-1) 
 – pressão atmosférica (KPa) 
 - Altitude do lugar (m) 
); 
eratura T (kPa) 
J.m-2.dia-1 ) 
 longa (líquida) (MJ.m-2.dia-1 ) 
 topo da atmosfera – valor de 
ísticas do lugar. 
n; 
normal) 
) 
ido (oC) 
aturado à temperatura do termómetro húmido (kPa) 
 (oC) 
(oC) 
nn (= 4,903.10-9 MJ K-4 m-2 dia-1) 
 – temperatura máxima absoluta do dia (oK) 
 
E
R
G
∆ - declive da cu
γ
P
Z
λ - Calor latente de vaporização da água (= 2,45) - (MJ.Kg-1
es – Tensão de vapor saturado a temp
Rns - Radiação incidente de onda curta (líquida) (M
Rnl - Radiação emitida de onda
α - albedo (=0,23) para a cultura de referência. 
Rs - Radiação solar incidente (MJ.m-2.dia-1 ) 
Ra - Radiação extraterrestre (que atinge o
Angot), (MJ.m-2.dia-1 ) 
a e b – constantes, caracter
N - insolação máxima possível (hr) 
δ - declinação solar (rad) 
ϕ - latitude do lugar (rad) 
ωs - ângulo do sol no acaso (rad) 
J - dia Juliano (J=1 a 1 de Janeiro) 
dr - distância relativa Terra-Sol 
 γasp - costante psicrométrica de aspiração (0,00066 psicrómetro de Assma
0,0008 para ventilação 
Tseco – temperatura do termómetro seco (oC
Thum – temperatura do temómetro húm
eW(Thum) – Tensão de vapor s
Tn – temperatura no dia n
Tn-1 – temperatura no dia anterior 
 σ - Constante de Stefan-Boltzma
TK-max
TK-min – temperatura mínima absoluta do dia (oK) 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 3
Determinação de evapotranspiração de referência 4
rocedimentos de Cálculo de ETo com a Folha de Cálculo (ver a 
folha e tabelas em anexo): 
 
1. Dados climáticos: Tmax, Tmin, Altitude (z), velocidade do vento (u2) 
2. Cálculo de défice de vapor (es – ea) 
• es é calculada de Tmax e Tmin 
• ea pode ser calculada de: 
- Tdew (ponto de orvalho) ou 
- da Humidade relativa máxima e mínima (RHmax e RHmin) ou 
- da Humidade relativa máxima (Rhmax) ou 
- da Humidade relativa média e Rhmean 
3. Determinação da radiação líquida (Rn). O efeito de fluxo de calor no solo 
é ignorado para balanços diários. 
4. Calcular ETo combinando os resultados obtidos nos passos anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
UNIDADES UNIDADES
Dia d Dia Juliano (dia do ano)
Latitude ° Latitude Radianos
Altitude m
Tmax °C
Tmin °C
Tmês °C
Tmês-1 °C
u2 m/s
ea
RHmax %
RHmin
RHmean %
n horas
Folha para o cálculo de ETo (FAO Penman-Monteith) com ajuda de tabelas do anexo
DADOS
Determinação de evapotranspiração de referência 4
 
Folha para o cálculo de ETo (FAO Penman
ADES
Tmax
Tmin ax + Tmin)/2 °C
Tmean (Table 2.4) kPa/°C
Altitude
Pressão a a
kPa/°C
u
max °C e°(Tmax) (Table 2.3) kPa
min °C e°(Tmin) (Table 2.3) kPa
kPa
dew °C ea = e°(Tdew) (Table 2.3) kPa
RHmax % e°(Tmin) RHmax/100 kPa
RHmin % e°(Tmax) RHmin/100 kPa
ea: (average) kPa
RHmax % ea = e°(Tmin) RHmax/100 kPa
RHmean % ea = es RHmean/100 kPa
kPa
OU ea derivado da humidade relativa máxima: (recomendado se houver erro na RHmin)
OU ea derivado da humidade relativa média: (critério menos recomendado)
Défice da Tensãode Vapor (e s - e a )
ensão de vapor saturado: es = [(e°(Tmax) + e°(Tmin)]/2
a derivado do ponto de orvalho (Tdew)
U e a derivado da Humidade relativa máxima e mínima:
-Monteith) com ajuda de tabelas do anexo
râm
UNIDADES FÓRMULAS RESULTADO UNID
Pa etros
°C
°C Tmean = (Tm
°C ∆ 
m
kPtm (P)
γ ) (Table 2.2
m/s (1 + 0.34 u )2 2
∆ /[∆ + γ (1 + 0.34 u2)]
γ /[∆ + γ (1 + 0.34 u2)]
[900/(Tmean + 273)] u2
Défice de Tensão de Vapor
T
T
T
e
T
O
Determinação de evapotranspiração de referência 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADES FÓRMULAS RESULTADO UNIDADES
Latitude °
Dia Juliano Ra (Table 2.6) MJ m-2 d-1
Mês N (Table 2.7) horas
n horas n/N 
MJ m-2 d-1
MJ m-2 d-1
MJ m-2 d-1
Tmax 0 °C (Table 2.8) MJ m-2 d-1
Tmin 0 °C (Table 2.8) MJ m-2 d-1
MJ m-2 d-1
ea 1.420 kPa (0.34-0.14 √ ea)
Rs/Rso 0.00 (1.35 Rs/Rso - 0.35)
Tmês °C Gdia (assume) 0
Tmês-1 °C Gmês = 0.14 (Tmês - Tmês-1)
MJ m-2 d-1
mm/day
mm/day
mm/day
mm/day
Rn - G
0.408 (Rn - G)
Evapotranspiração de Referência (ETo)
Rns = 0.77 Rs
Rn = Rns - Rnl
Radiação
Rs específico do lugar ou: Rs = (0.25 + 0.50 n/N) Ra
Rso = [0.75 + 2 (Altitude)/100000] Ra
Rs/Rso
Folha para o cálculo de ETo (FAO Penman-Monteith) com ajuda de tabelas do anexo
2
)( 4 min
4
max −− + KK TT σσ
)35,0.35,1).(14,034,0.(
2
)( 4 min
4
max −−
+
= −−
so
s
a
KK
nl R
R
e
TT
R
σσ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 6
 
EXEMPLO 
 
UNIDADES UNIDADES
Dia 6 Julho d Dia Juliano 187
Latitude 50.8 ° Latitude 0.887 Radianos
Altitude 100 m
Tmax 21.5 °C
Tmin 12.3 °C
Tmês °C
Tmês-1 °C
u2 2.078 m/s
ea
RHmax 84 %
RHmin 63
RHmean %
n 9.25 horas
UNIDADES FÓRMULAS RESULTADO UNIDADES
Tmax 21.5 °C
Tmin 12.3 °C Tmean = (Tmax + Tmin)/2 16.9 °C
Tmean 16.9 °C ∆ (Table 2.4) 0.122 kPa/°C
Altitude 100 m
Pressão atm (P) 100.124 kPa
γ (Table 2.2) 0.067 kPa/°C
u2 2.078 m/s (1 + 0.34 u2) 1.707
0.518
0.282
6.451
Tmax 21.5 °C e°(Tmax) (Table 2.3) 2.57 kPa
Tmin 12.3 °C e°(Tmin) (Table 2.3) 1.43 kPa
2.00 kPa
Tdew °C ea = e°(Tdew) (Table 2.3) kPa
RHmax 84 % e°(Tmin) RHmax/100 1.20 kPa
RHmin 63 % e°(Tmax) RHmin/100 1.62 kPa
ea: (average) 1.41 kPa
RHmax % ea = e°(Tmin) RHmax/100 kPa
RHmean % ea = es RHmean/100 kPa
0.589 kPa
OU ea derivado da humidade relativa máxima: (recomendado se houver erro na RHmin)
OU ea derivado da humidade relativa média: (critério menos recomendado)
Défice da Tensão de Vapor (e s - e a )
Défice de Tensão de Vapor
Tensão de vapor saturado: es = [(e°(Tmax) + e°(Tmin)]/2
ea derivado do ponto de orvalho (Tdew)
OU e a derivado da Humidade relativa máxima e mínima:
Folha para o cálculo de ETo (FAO Penman-Monteith) com ajuda de tabelas do anexo
∆ /[∆ + γ (1 + 0.34 u2)]
γ /[∆ + γ (1 + 0.34 u2)]
[900/(Tmean + 273)] u2
Parâmetros
DADOS
Determinação de evapotranspiração de referência 7
 
Latitude 50.8
Dia 187 Juliano Ra (Table 2.6) 41.12 MJ m-2 d-1
Mês Fev. N (Table 2.7) 16.11 horas
n 9.25 horas n/N 0.57
22.08 MJ m-2 d-1
30.92 MJ m-2 d-1
0.71
17.00 MJ m-2 d-1
Tmax 21.5 °C (Table 2.8) 36.96 MJ m-2 d-1
Tmin 12.3 °C (Table 2.8) 32.56 MJ m-2 d-1
34.76
MJ m-2 d-1
ea 1.420 kPa (0.34-0.14 √ ea) 0.17
Rs/Rso 0.71 (1.35 Rs/Rso - 0.35) 0.61
3.70
13.31
Tmês °C Gdia (assume) 0
Tmês-1 °C Gmês = 0.14 (Tmês - Tmês-1)
13.31 MJ m-2 d-1
5.43 mm/day
2.81 mm/day
1.07 mm/day
3.9 mm/day
Rn - G
0.408 (Rn - G)
Evapotranspiração de Referência (ETo)
Rns = 0.77 Rs
Rn = Rns - Rnl
Radia
Rs específico do lugar ou: Rs = (0.25 + 0.50 n/N) Ra
Rso = [0.75 + 2 (Altitude)/100000] Ra
Rs/Rso
2
)( 4 min
4
max −− + KK TT σσ
)35,0.35,1).(14,034,0.(
2
)( 4 min
4
max −−
+
= −−
so
s
a
KK
nl R
R
e
TT
R
σσ
°
ção
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 8
E
 
xercício - prática nº 8 
Determinação da Evapotranspiração de Referência 
Fórmula de Penman-Monteith 
 
Com base nos dados climáticos da estação climatológia de Bela-Vista, calcule a evapotranspiração de 
Referência em mm/dia, para o mês de Julho, considerando que o ano é comum, e sabendo que a média 
diária da tensão de vapor actual (ea) para este mês é de 2.70 kPa . Preencha a folha em anexo. 
- a velocidade do vento é a dois metros (2 m) 
 
***************************************************************************
 
 Climate and ETo (grass) Data 
 
***************************************************************************
---------------------------------------------------------------------------
Country : Mozambique Station : BELA VISTA (MAPUTO) 
Altitude: 15 meter(s) above M.S.L. 
Latitude: -26,20 Deg. (South) Longitude: 32,41 Deg. (East) 
---------------------------------------------------------------------------
Month MaxTemp MiniTemp Humidity Wind Spd. SunShine Solar Rad. ETo 
 (ºC) (ºC) (%) (Km/d) (Hours/dia)(MJ/m2/d) 
(mm/d) 
---------------------------------------------------------------------------
January 31,2 20,7 75,0 207,0 7,5 22,6 5,37
February 31,2 20,7 77,0 207,0 7,6 21,8 5,10
March 30,3 19,5 77,0 181,0 7,5 19,7 4,44
April 29,0 18,1 79,0 181,0 7,6 16,9 3,62
May 27,4 15,1 78,0 181,0 8,3 14,8 3,00
June 25,3 12,4 79,0 181,0 8,3 13,4 2,52
July 25,1 12,1 80,0 190,0 8,2 13,9 ____
August 26,0 13,3 78,0 216,0 8,2 16,3 3,33
September 26,4 15,2 76,0 225,0 7,7 18,6 3,95
October 28,6 16,7 78,0 225,0 6,8 19,7 4,48
November 29,8 18,7 76,0 216,0 6,6 20,8 4,91
December 31,2 19,9 75,0 216,0 7,3 22,4 5,40
---------------------------------------------------------------------------
Average 28,5 16,9 77,3 202,2 7,6 18,4 4,06
---------------------------------------------------------------------------
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 9
Anexo 
Tabelas Meteorológicas para o Cálculo de 
Evapotranspiração de Referência (FAO 56) 
 
2.1 Pressão Atmosférica (P) para diferentes altitudes (z) 
2.2 Constante Psicrométrica (γ) para diferentes altitudes (z) 
2.3 Tensão de vapor saturado (es) para diferentes temperaturas (T) 
2.4 Declive da curva de tensão de vapor (∆) para diferentes temperaturas (T) 
2.5 Número de dias no ano (J) 
2.6 Radiação extraterrestre (Ra) para diferentes latitudes 
2.7 Insolação máxima em horas (N) para diferentes latitudes 
2.8 σTK4 (lei de Stefan-Boltzmann) para diferentes temperaturas (T) 
2.9 Factor de conversão da velocidade de vento a dada altura para a altura padrão de 
2m acima da superfície do solo. 
 
 
 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 10
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 12
Determinação de evapotranspiração de referência 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação de evapotranspiração de referência 14
15
TABLE 2.6. Daily extraterrestrial radiation (R ) for different latitudes for the 15th day of the month 1 a
 
(values in MJ m-2 day-1)2 
 
1 Values for Ra on the 15th day of the month provide a good estimate (error < 1 %) of Ra averaged over all days within the 
month. Only for high latitudes greater than 55° (N or S)