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Cálculo Diferencial e Integral II Integrais duplas na forma polar Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano Revisão Técnica: Prof.ª Me. Edmila Montezani Revisão Textual: Prof.ª Esp. Márcia Ota 5 Vamos iniciar os nossos estudos, definindo uma região limitada por coordenadas polares. Além disso, resolveremos alguns exercícios para calcular áreas ou integrais duplas na forma polar. Para tanto, o material foi organizado da seguinte forma: 1. Introdução; 2. Definição; 3. Limites de Integração; 4. Mudança de Integrais para polares; 5. Cálculo de integrais, usando coordenadas polares. Desse modo, ao terminar essa unidade, você deverá ser capaz de identificar e diferenciar coordenadas polares de coordenadas cartesianas, bem como mudar as coordenadas cartesianas para polares e efetuar o cálculo de integrais duplas na forma polar. Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos. Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Nesta Unidade, estudaremos as integrais duplas na forma polar. Algumas vezes, fica mais fácil calcular as integrais duplas se mudarmos as variáveis as polares. Então, leia com atenção a parte teórica e não deixe de rever o cálculo de integrais duplas na forma cartesiana. Os exercícios propostos ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos. Sendo assim, organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das atividades propostas. Integrais duplas na forma polar · Integrais duplas na forma polar · Limites de Integração 6 Unidade: Integrais duplas na forma polar Contextualização Cálculo de área Suponha que você tenha de calcular a área da figura abaixo: Qual é essa área? Diga qual foi a técnica utilizada para esse cálculo e porque ela foi escolhida. Expectativa de resposta: O aluno deverá calcular a seguinte integral: Por se tratar do cálculo de área de uma região circular, é mais fácil utilizar a integral com coordenadas polares. [ ] 1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 1 0 1 0 12 0 2 2 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 4 p p p = q = q = q é ùpê ú= -ê úë û p= é ùp ê ú= ê úë û é ùp pê ú= - =ê úë û ò ò ò ò ò ò A r dr d A d A r dr A r dr A r dr r A A 7 Integrais duplas na forma polar Vimos, anteriormente, as integrais duplas bem adaptadas às coordenadas cartesianas. Seja pela região ou pela função a ser integrada, existem situações em que a integral dupla é mais bem adaptadas às coordenadas polares. Nesta unidade, aprenderemos a calcular integrais sobre regiões, cujas fronteiras são dadas por coordenadas polares. A definição de integral dupla de uma função sobre uma região R do plano xy é feita dividindo a região R em retângulos, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados. Em coordenadas polares, o formato natural é um “retângulo polar”, cujos lados têm valores constantes de r e θ . Dada uma função f(r,θ ) que esteja definida sobre uma região R e limitada pelos raios θ =α e θ =β e pelas curvas contínuas r=g1 (θ ) e r=g2 (θ ). Imagine, também, que 0 ≤ g1 ≤ g2 ≤α para todo valor de θ entre α e β . Portanto, R estará contido em uma região Q com formato de leque que é definida pelas desigualdades 0 ≤ r ≤ α e α ≤ θ ≤ β . Vide figura 1. Figura 1 Observe que a região R (em azul) está contida na região no formato de leque. Se fizermos a partição de Q por arcos circulares e raios, isso induzirá a uma partição da região R. Então, cobriremos Q com uma grade de arcos circulares e raios. Os arcos serão cortados de circunferências centradas na origem e com raios: , 2 .r r m r∆ ∆ … ∆ sendo que /r a m∆ = . Os raios serão dados por: ( ) , , 2 , , . Q Q m Q sendoque a Q m θ α θ α θ α θ α β β ′= = + ∆ = + ∆ … = = − ∆ = ′ + ∆ . Concluindo: Os arcos e os raios dividem Q em pequenos pedaços chamados de retângulos polares. Agora, iremos numerar os retângulos polares que estão dentro da região R (sem uma ordem particular) e denominaremos suas áreas de 1 2 . , , nA A A∆ ∆ … . Seja ( ),k kr θ qualquer ponto no retângulo polar, cuja área é ∆A_k. Formamos, então, a seguinte soma: ( ) 1 , n n k k k k S f r Aθ = = ∆∑ 8 Unidade: Integrais duplas na forma polar Se f for contínua em R, essa soma aproximará um limite quando refinarmos a grade para fazer r∆ e θ∆ tender a zero. Esse limite é chamado integral dupla de f sobre R, e tem a seguinte notação: ( )lim , a nn R S f r dAθ →∞ = ∫∫ Para calcularmos esse limite, é preciso escrever a soma Sn de forma que expresse kA∆ em termos de r∆ e θ∆ . Considere que rk seja a média entre os raios interno e externo que definem o k-ésimo retângulo polar ∆A_k. Observa na figura 2: O raio do arco interno que delimita o retângulo : 2k k rA é r ∆∆ − . O raio do arco externo é dado por: 2k rr ∆+ . Figura 2 A área de um setor circular de raio e r ângulo θ é dada por: 21 2 A rθ= Portanto, as áreas dos setores circulares subentendidos por esses arcos na origem são: Raio interno: 21 2 2k rr Q∆ − ∆ Raio externo: 21 2 2k rr Q∆ + ∆ 9 Portanto, a área kA∆ é igual à área do setor maior menos a área do setor menor. ( ) 2 2 2 2 2 2 2k k k k k r rA r r r r r rθ θ θ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = + − − = ∆ = ∆ ∆ Combinando esses resultados com a soma que define Sn, teremos: ( ) 1 , n n k k k k S f r r rθ θ = = ∆ ∆∑ À medida que os valores de n tendem a infinito ( n→∞ ) e os valores de ∆r e θ∆ se aproximam de zero, essas somas convergem para a integral dupla: ( ), a R r r dr dθ θ∫∫ Um versão do Teorema de Fubbini diz que o limite aproximado por essas somas pode ser calculado por repetidas integrações simples em relação a r e a θ quando: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , , r ga R r g r dA f r r dr d θθ β θ α θ θ θ θ == = = =∫∫ ∫ ∫ Se temos uma região circular limitada pelos ângulos α e β e pelas funções ( ) ( )1 2 g e gθ θ , podemos calcular essa área, integrando a função em relação a r e a θ . Sabemos que podemos representar um mesmo ponto de formas diferentes, isto é, podemos definir bem um ponto por meio de suas coordenadas cartesianas ou retangulares, ou podemos definir o mesmo ponto verificando o ângulo que ele forma em relação ao eixo polar e a sua distância da origem e chamamos esse tipo de representação de coordenadas polares. Nesse primeiro momento, vamos aprender a transformar uma coordenada cartesiana em uma coordenada polar. Para tanto, vamos recordar as seguintes relações: . x r cos y r sen dA dx dy r dr d θ θ θ = = = = 10 Unidade: Integrais duplas na forma polar É importante recordar como calcular as integrais duplas. O que iremos aprender será transformar uma integral dupla em uma região xy para uma integral dupla em uma região dada por rθ : ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . , . a a R x y R r f x y dxdy f rcos rsen rdrd θ θ θ θ→∫∫ ∫∫ Fizemos a conversão das variáveis: x foi convertido para rcosθ . y foi convertido para rsenθ . dydx (ou dA) foi convertido em rdrdθ . Note que dx dy não é substituído por dr dθ , mas por dr dθr . Para que possamos entender melhor, vou apresentar um exemplo: Calcule a área do círculo de raio igual a dois. Nas aulas de geometria, aprendemos que a área de um círculo é dada por: 2A rπ= Portanto, nosso círculo (figura 1) tem a seguinte área:( )2 2 4 .A unidades demedidaπ π= = Hoje, aprenderemos a calcular essa mesma área, utilizando nossos conhecimentos de integrais. A equação de uma circunferência é dada pela seguinte fórmula: 2 2 2x y r+ = No exercício proposto, nossa circunferência tem raio 2; portanto, a sua equação é dada por: 2 2 4x y+ = 11 Vamos colocar o y em função de x, ou seja, vamos isolar o y: 2 2 2 4 4 y x y x = − = ± − Há duas situações: Ou Observe, na figura 3, essas indicações: • Temos um círculo de raio 2. • A parte superior do círculo em laranja. • A parte inferior do círculo em verde. Figura 3 y y = 4 - x 2 x2 R -2 y = - 4 - x2 No eixo x, temos os limites de integração em relação à variável x. No eixo y, temos os limites de integração em relação à variável y. Vamos escrever isso na forma de uma integral dupla: O que fizemos foi variar o x de -2 até o 2 e o y de 24 x− − até 24 x− . Mas, no caso, interessa-nos trabalhar com as coordenadas polares e não com as coordenadas cartesianas. Assim, é importante, para nós, a variação do raio e a variação dos ângulos contidos na figura. Concluímos, portanto: 24y x= − 24y x= − − 2 2 2 4 2 4 x x dx dy − − − − ∫ ∫ 12 Unidade: Integrais duplas na forma polar 0 2r≤ ≤ 0 2θ π≤ ≤ Vamos transformar a nossa integral dupla cartesiana em uma integral dupla polar. 2 2 0 p = qò ò 0 I rdrd Quando trabalhamos com duas variáveis, aquela que não está sendo integrada funciona como constante. 2 2 0 2 2 0 p p = q = q ò ò ò ò 0 0 I rdrd I rdr d A integral de dθ =1dθ =θ . Quando se integra uma constante, acrescenta-se a ela a variável de integração. [ ] [ ] 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 p= q = p- = p ò ò ò I rdr I rdr I rdr Observe, agora, que 2π é uma constante; portanto, pode sair para fora do sinal de integração: 2 0 2= pòI rdr Vamos integrar a variável r: ( ) [ ] 22 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 . 2 0 4 2 . 2 4 é ù ê ú= p ê úë û é ùæ öê ú÷ç= p - ÷çê ú÷çè øê úë û = p - = p = p r I I I I I 13 Limites de Integração Um procedimento que devemos ter habilidade é o de encontrar os limites de integração. Vimos, anteriormente, que é possível determinar os limites de integração para coordenadas polares. Quando se quer calcular ∫∫_(R(r,∫∫))^a∫∫ f(r,∫∫)dA sobre uma região R em coordenadas polares, integrando primeiro em relação a r e depois em relação a A, siga os seguintes passos: 1) Faça um esboço da curva e identifique as curvas limitantes. (Figura 4) Figura 4 2) Encontre os limites de integração de r. Imagine um raio L, partindo da origem e cortando a região R no sentido crescente de r. Marque os valores de r onde L entra e sai da região R. Esses são os limites de integração de r. (Figura 5). Figura 5 3) Encontre os limites de integração de Đ. Encontre o menor e o maior valor de Đ que limitem a região R. Esses são os limites de integração de Đ. (Figura 6) 14 Unidade: Integrais duplas na forma polar Figura 6 A integral é: ( ) ( ) ( ) 22 , 24 , , p = q p = qq= = q = q qòò ò ò r R r r csc f r dA f r r dr d Você deve estar se perguntado: quando se deve usar as coordenadas polares? Deve-se usar as coordenadas polares sempre que regiões circulares estiverem envolvidas em nossos cálculos, ou quando o domínio de uma função for um círculo ou parte de um círculo. A maneira de aprender é resolvendo exercícios. Exemplo: Calcule a integral dupla abaixo, cujo domínio está representado na figura 7 pintado em vermelho: 2 2D 1+ +òò dA x y Figura 7 Nosso primeiro passo será identificar os limites de integração em relação a r e θ . Vamos utilizar a figura para identificar esse limites. O círculo tem raio igual a dois, portanto: 0 ≤ r ≤ 2. y y = x x2 2 -2 -2 15 A área que se quer calcular não abrange todo o círculo, e sim parte dele; portanto, precisamos identificar esses pontos limitados pelos valores que o ângulo θ poderá assumir. Queremos calcular a área vermelha. A reta que serve de fronteira nos dá a seguinte informação: y=x. Essa informação nos diz que o primeiro quadrante está sendo dividido exatamente ao meio. O ângulo entre os eixos x e y é de 90 graus. Se dividirmos ao meio esse ângulo será de 45 graus. Portanto, a área que queremos calcular vai de 450 até 2700, todavia, não trabalhamos com graus e sim em radianos; portanto, é preciso transformar essas medidas em radianos: 045 4 p é e 2700 é 3 2 p . Com isso, temos os seguintes limites de integração: 3 4 2 p p£ q £ Vamos reescrever a nossa integral, colocando os limites obtidos: Ainda é preciso fazer algumas manipulações para conseguirmos efetuar o cálculo dessa integral dupla. Vamos usar algumas relações conhecidas para fazer algumas substituições: Sabemos que: dA=dx.dy=r dr dθ x2+y2=r2 3 2 2 2 2 0 4 1 p p = + +ò ò dA I x y Observe que as partes, grifadas em amarelo, podem ser substituídas pelas relações acima: 3 2 2 2 0 4 1 p p q= +ò ò r dr d I r Agora, temos condições de calcular essa integral: [ ] 3 2 2 2 0 4 2 2 3 2 40 2 2 0 2 2 0 2 2 0 1 1 3 1 2 4 6 1 4 5 1 4 p p p p = q + = q + æ öp p÷ç= - ÷ç ÷çè ø+ æ öp-p÷ç= ÷ç ÷çè ø+ p= + ò ò ò ò ò ò r dr I d r r dr I r r dr I r r dr I r r dr I r 2 2 3 2 2 4 1 p p = + +ò ò o dA I x y 16 Unidade: Integrais duplas na forma polar Faremos, agora, a integral em relação a r; portanto, podemos tirar a constante para fora do sinal de integração: Vou reescrever a função da seguinte forma: 2 2 0 5 1 4 1 p= +ò I r dr r Eu reescrevi dessa forma para que você possa identificar que temos um produto de duas funções. Nesse caso, a técnica utilizada para resolver o problema é a de substituição de variável: u=1+r2 du=2r.dr 1 2 2 = ® =du rdr du rdr Portanto, podemos substituir esses valores para transformar nossa sentença em uma integral imediata que sabemos como integrar: 2 0 2 0 5 1 1 4 2 5 1 1 . . 4 2 p= p= ò ò I du u I du u Lembre-se: a integral de 1 = +ln x C x . Como estamos trabalhando com integrais definidas podemos “esquecer” o C pois ele irá se cancelar. 2 0 5 8 p é ù= ë ûI ln u Retornando o valor de “u”: Como ln 1 = 0, então: 5 5 8 p=I ln Vamos aprender, agora, a calcular uma área circular contida em uma região entre dois círculos. 2 2 0 5 4 1 p= +ò r dr I r [ ] 2 2 0 5 1 8 5 5 1 8 p é ù= +ê úë û p= - I ln r I ln ln 17 Exemplo: Calcular a integral: 2 2 D +òò x ye dxdy Sendo que D é a região compreendida entre as curvas: x2+y2=4 x2+y2=9 Essas duas equações representam dois círculos, sendo um de raio 2 e outro de raio 3. Estamos em busca da área entre eles. É a parte pintada em verde da figura 8. Figura 8 Vamos identificar os limites de integração das variáveis r e θ que determinará a região de integração D: 2 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2π Reescrevendo a integral dupla com esses limites teremos: 2 2 3 2 2 0 p += ò ò x yI e dxdy Agora, vamos substituir as variáveis cartesianas pelas variáveis polares na função, lembrando que: dA=dx.dy=r dr dθ x2+y2=r2 Grifei, em amarelo, as mudanças que faremos na função: x2 + y2 = 9 x2 + y2 = 4 x y 2-2-3 3 2 3 2 2 0 p = qò ò rI e r dr d 18 Unidade: Integraisduplas na forma polar Agora, faremos o cálculo da integral para cada variável: Faremos, agora, a integração em relação à variável r; portanto, podemos colocar a constante 2π para fora do sinal de integração. Para calcular a primitiva de er 2 r dr, teremos de usar o método da substituição aprendido anteriormente: Vamos resolver mais um exercício para fixar esse aprendizado: Exercício: Dado que D é o contorno de x2+y2=4, calcule: 2 2 D +òò x y dxdy Resolução: Sabemos que o domínio será dado pelo contorno do círculo de raio 2. [ ] [ ] 2 2 2 2 3 2 2 0 3 2 0 2 3 2 3 2 2 0 2 p p = q = q = p- = p ò ò ò ò ò r r r r I e r dr d I e r dr I e r dr I e r dr 2 3 2 2= pò rI e r dr ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 = ® = p = p é ù= p ê úë û é ù= p -ê úë û = p - ò ò u u r du rdr du I e du I e du I e I e e I e e 19 Portanto: 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤2π Achado os limites de integração, vamos substituir as variáveis cartesianas pelas variáveis polares na função. Para isso, vamos usar as relações já conhecidas. Fazendo as substituições, teremos: As relações que devemos saber são: x=r cosθ y=r senθ dA=dx.dy=r dr dθ x2+y2=r2 [ ] [ ] 2 2 2 2 2 D 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 22 0 0 2 2 0 2 2 0 2 0 .2 p p p p p + = q = q = q = q = q = p- = p òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò x y dxdy r r dr d I r r dr d I r dr d I r dr d I r dr I r dr I r dr 2 2 0 23 0 3 3 2 2 3 2 0 2 3 3 8 2 . 3 16 3 = p é ù ê ú= p ê úë û é ù ê ú= p -ê úë û = p p= òI r dr r I I I I 20 Unidade: Integrais duplas na forma polar Material Complementar Para aprofundar seus estudos, assista aos seguintes vídeos: • https://www.youtube.com/watch?v=XhOqMA_z8AA • https://www.youtube.com/watch?v=AFxAszcLbzo • https://www.youtube.com/watch?v=e89dG9hZutY 21 Referências DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2013. BOULOS, Pré-Cálculo. São Paulo: Makron Books, 1999/2001. FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2003. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
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