Unidade VI - Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial 
e Integral II
Equações Diferenciais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Técnica:
Prof.ª Me. Edmila Montezani
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Márcia Ota
5
Vamos iniciar os nossos estudos, abordando sobre o assunto: equações diferenciais. Trata-
se de um curso de integração, só que, ao invés de integrarmos uma função, iremos integrar 
uma equação.
1. Introdução;
2. Definições e Terminologia;
3. Problemas do valor inicial;
4. Método da Separação de Variáveis.
Ao terminar essa unidade, você deverá ser capaz de identificar e calcular uma equação 
diferencial pelo método de separação de variáveis.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
de realização e envio.
Nesta Unidade, estudaremos as equações diferenciais.
Leia com atenção a parte teórica e não deixe de fazer os exercícios propostos, 
que ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos.
Organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das 
atividades propostas.
Equações Diferenciais
 · Introdução
 · Classificação das Equações Diferenciais
 · Método da Separação de Variáveis
6
Unidade: Equações Diferenciais
Contextualização
A Lei de Torricelli diz que se drenarmos um tanque como o da figura 1, a taxa em que a água 
sai é uma constante vezes a raiz quadrada da profundidade da água “x”. A constante dependerá 
do tamanho do buraco da drenagem. No exemplo, vou assumir que o valor da constante seja 1
2
.
Figura 1
 
Um tanque na forma de um cilindro circular reto, cujo raio mede 5 pés e sua altura 16 pés, 
que estava inicialmente cheio de água, está sendo drenado a uma taxa de 0,5 x pés3/min. 
Determinar a equação diferencial que modela esse fenômeno:
Expectativa de resposta:
O aluno deverá chegar na seguinte fórmula:
( )
50
0 16
dx x
dt
x
π
= −
=
O problema foi modelado em uma equação diferencial. É possível resolvê-la pelo método de 
separação de variáveis.
1
2 1 
50
x dx dt
π
−
= −
Integra-se os dois lados:
1
2 1 
50
x dx dt
π
−
= −∫ ∫
7
O resultado dessas integrações:
12
50
x t C
π
= − +
Achamos uma solução geral. Agora, vamos encontrar uma solução particular que atenda à 
condição inicial:
( )0 16
12 16 0
50
8
x
C
C
π
=
= − +
=
Portanto, a solução particular é:
1
212 8 4
50 100
tx t ou x
π π
= − + = −
8
Unidade: Equações Diferenciais
Introdução
As equações diferenciais modelam os fenômenos físicos e químicos e são uma extensão 
natural do Cálculo I.
Vamos pensar em um problema estático com uma variável desconhecida: 
( ) 5 3P x x= +
Vamos supor que essa equação modelo o preço de uma corrida de táxi. Se a bandeirada custa 5 
e o preço por quilômetro rodado é 3, podemos calcular quanto pagaremos pela corrida em qualquer 
tempo, desde que tenhamos esses dados. Isso é um exemplo de um problema estático.
Mas, nesta unidade, iremos estudar quantidades que estão variando com o tempo. Derivada 
por definição é a taxa de variação:
( ) ( ) ( )0
0
limf x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
′ o
x
f x x f x
x
Assim, veremos integração, só que, ao invés de integrarmos uma função, iremos integrar 
uma equação.
Temos:
( ) ( )f x dx F x C= +∫
Com a seguinte propriedade:
( ) ( )F x f x′ =
Em grande parte, as leis do universo são descritas como relações de certas quantidades 
em relação ao tempo. Vamos pensar em um problema simples, conhecido como modelo de 
crescimento populacional de Malthus:
 » P(t)= população em tempo t.
 »
( )
( )
'
 
P t
k
P t
= → taxa de crescimento constante.
Entende-se essa taxa de crescimento constante apenas a diferença entre a natalidade e a 
mortalidade. Portanto:
( ) ( )
( ) ( ) 0
P t kP t
P t kP t
′
−′
=
=
9
Observe que P(t) é uma função desconhecida e também é a variável do problema. Estamos 
em busca de uma solução que se traduz em dizer a cada tempo t qual é a população. Para isso, 
é preciso resolver a equação diferencial: 
( ) ( ) 0P t kP t′ − =
Qual é a função que tem a propriedade de que sua derivada é k vezes ela mesma? É a função 
exponencial, portanto, uma solução para a equação é:
( ) ktP t Ce=
O C é o P(0), ou seja, indica a população inicial.
Com isso, nós conseguimos modelar o problema. Agora, é preciso entendê-lo. Se a taxa 
de crescimento for maior do que zero, a população irá crescer infinitamente. Se a taxa de 
crescimento for menor do que zero significa que a população irá acabar em um determinado 
tempo. Pense no que está escrito. Se a taxa de crescimento for positiva significa que o número 
de nascimentos é maior que o número de mortes. Se a taxa de crescimento for negativa implica 
que morrem mais pessoas do que nascem; portanto, essa população vai acabar. Existem outros 
modelos de crescimentos populacionais que levam em conta outros fatores externos que torna 
o problema a ser resolvido mais complexo.
O foco desta unidade será como resolver algumas equações diferenciais.
O cálculo já nos ensinou que a derivada de uma função f(x) é uma outra função encontrada 
por uma regra apropriada ( ) dyf x ou
dx
′ .
Se a função y = e0,1x2 é diferenciável e sua derivada 20,1 0, 2 xdyy ou xe
dx
′ = .
Vamos substituir e0,1x2 pelo símbolo y no lado direito da derivada:
0,2dy xy
dx
=
Suponha que a equação acima seja apresentada a você e te perguntassem:
Qual é a função representada por y?
Estamos diante de um problema básico deste curso: como resolver essa equação para a 
desconhecida função y=f(x).
Definição
Uma equação que contenha as derivadas (ou os diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes 
em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial.
10
Unidade: Equações Diferenciais
Classifi cação das Equações Diferenciais
Por Tipo
Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis 
dependentes em relação a uma única variável independente, ela será chamada de equação 
diferencial ordinária (EDO).
Exemplos:
2
2
3
6 0
xdy y e
dx
d y dy y
dx dx
+ =
− + =
Por Ordem
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação:
3
2
2
2 
2
 
3 xd
d se
y y e
d
gundaor
dy
dy primeir
x dx
aor
d m
dem
e
→
 − + = 
 
→
Portanto, temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária
Toda função β, definida em um intervalo I tem pelo menos n derivadas contínuas nesse intervalo, 
as quais, quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduzem a equação a 
uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo.
Equações Diferenciais de Primeira Ordem e Soluções
Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação do tipo ( ),
dy f x y
dx
= sendo 
que f(x,y) é uma função de duas variáveis definida em uma região do plano xy. É chamada 
equação de primeira ordem por envolver apenas a primeira derivada dy
dx
.
Uma solução da equação 
dy
dx
 = f(x, y) é uma função derivável y = y(x) definida em um 
intervalo de valores de x, possivelmente infinitos, tal que:
11
( ) ( )( ), d y x f x y x
dx
=
A solução geral de uma equação de uma equação diferencial de primeira ordem é uma solução 
que contém todas as possíveis soluções. A solução geral sempre contém a constante arbitrária.
Em geral, uma equação diferencial é aquela que contém uma funçãodesconhecida e uma ou mais 
de suas derivadas. Vamos tomar um exemplo. Digamos que y seja a função desconhecida de x.
y xy′ =
Uma função f é chamada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita 
quando y = f(x)e suas derivadas são substituídas na equação.
Quando se pede a solução de uma equação diferencial, o que se pede são todas as possíveis 
soluções da equação. Algumas delas são muitos mais simples de resolver que aquelas da forma:
( )y f x′ =
Isso quer dizer: qual é a função que quando derivada dá f(x). Esse caso é simples de resolver, 
bastando achar a primitiva da função:
Exemplo:
5y x′ =
A solução geral é dada por:
6
6
xy C= +
Contudo, resolver equações diferenciais nem sempre é uma tarefa tão fácil, uma vez que não 
exista uma técnica sistemática que resolva todas as equações diferenciais. Quando aplicamos 
equações diferenciais, nem sempre estamos em busca de soluções gerais. Em muitos problemas, 
é preciso encontrar uma solução particular que atenda a uma condição do tipo: y(t0) = y0, que 
é chamada condição inicial. Achar uma solução de uma equação diferencial que atenda à 
condição inicial é chamada de problema do valor inicial.
Quando se impõe uma condição inicial, olha-se para uma família de curvas-solução e escolhe-
se uma que passe pelo ponto (t0, y0). Isso corresponde à medida do estado de um sistema a um 
tempo t0 e ao uso do problema do valor inicial para prever o comportamento futuro do sistema.
Vou deixar um pouco de lado a linguagem formal para que possamos entender melhor esse 
conceito. Para tanto, vamos pensar em três questões:
12
Unidade: Equações Diferenciais
1. O que é uma equação diferencial?
2. O que é solução de uma equação diferencial?
3. Como se pode resolver equações diferenciais?
Vamos começar entendendo o que é uma equação:
2 6x =
Temos uma sentença matemática que declara que se multiplicarmos o número x por 2 
obteremos o número 6. A solução dessa equação é encontrar o valor do x que torne a sentença 
verdadeira. Há vários tipos de equação, por exemplo:
2
1
1 8
2 32x
x
+
− =
=
As equações que são do tipo:
0y y′ + =
Temos um exemplo de uma equação diferencial que envolve a derivada e uma função 
desconhecida e a própria função. Achar uma função que torne essa sentença verdadeira é achar 
a solução de uma equação diferencial.
O problema consiste em achar uma função que resolva a equação, todavia nem sempre 
encontramos uma única solução. Uma equação diferencial poderá ter infinitas soluções. 
O nosso segundo questionamento é: o que é solução de uma equação diferencial? Portanto, 
vamos resolver alguns exercícios para poder compreendê-la.
Verifique se a função y = C3x é solução da equação diferencial y’ = 3y.
A pergunta a ser feita para resolver o problema é a seguinte:
Qual é a função, cuja derivada é o triplo dela?
Foi fornecida a função y = C3x e queremos saber se ela é solução da equação diferencial. 
Nosso primeiro passo é derivar a função y, e usaremos a regra da cadeia.
3
3 33 3 
x
x x
y Ce
y Ce Ce= →′
=
Como y = Ce3x, então:
3y y′ =
Como a derivada de y é igual ao triplo de y, concluímos que
y = Ce3x é solução da equação diferencial y’ = 3y
13
Vamos resolver outro exemplo:
Veja se a função y = Ccosx é solução da equação diferencial y’+ ytgx = 0.
Vamos seguir os mesmos passos:
y Ccosx
y Csenx
=
= −′
Substituindo na ED:
 . 0Csenx Ccosx tgx− + =
Lembre-se que 
 
cos
sen xtgx
x
= 
 . 0
cos
 0
sen xCsenx Ccosx
x
Csenx Csenx
− + =
− + =
Conclusão: y=Ccosx é solução da equação diferencial y’+ ytgx = 0.
Existem vários tipos de equações diferenciais e técnicas distintas para resolvê-las. Nesta 
unidade, nós vamos trabalhar a técnica conhecida como método da separação de variáveis.
Antes de iniciar o assunto propriamente dito, vamos relembrar:
Notação de derivadas:
2
2
dyy
dx
d yy
dx
′
′′
=
=
Suponha que tenhamos a seguinte situação:
2y x′ =
Qual é a função que derivada dá 2x.
Posso escrever da seguinte forma:
2
2dy xdx
y x C
=
= +
∫ ∫
14
Unidade: Equações Diferenciais
Se integrar os dois lados, é possível achar o valor de y:
2
2
dy x
dx
dy xdx
=
=
Portanto, achamos uma família de soluções que vão se diferenciar uma das outras, conforme 
a constante arbitrária C assuma valores diferentes.
Método da Separação de Variáveis
( ) ( )dyp y q x
dx
=
O processo para a resolução de uma equação diferencial, utilizando esse método, consiste 
em 3 passos:
1. Separar as variáveis, agrupando cada uma delas em um lado da equação.
2. Integrar ambos os lados da equação para achar a solução geral.
3. Se houver especificada uma condição inicial, aplicar para obter uma solução particular 
do problema.
Exemplo:
Ache a solução da equação diferencial y’= -4xy2, que atenda à condição inicial y(0) = 1.
Nosso primeiro passo é colocar a função na notação de Leibniz:
24dy xy
dx
= −
Colocar o que é x de um lado e y do outro:
2 4 
dy xdx
y
= −
15
Próximo passo consiste em integrar os dois lados da função:
2
2
1 2
2
4 
4 
4
1 2
1 2
dy xdx
y
y dy xdx
y x C
x C
y
−
−
= −
= −
 
= − + −  
− = − +
∫ ∫
∫ ∫
Multiplicando por -1:
21 2x C
y
= −
Essa é a solução geral. Temos que buscar, agora, uma solução específica que atenda à 
condição inicial.
( )0 1y =
Substituindo:
( )21 2 0
1
1 1
C
C C
= −
= − → = −
A solução particular é dada por:
( )2
2
1 2 1
1 2 1
x
y
x
y
= − −
= +
16
Unidade: Equações Diferenciais
Para concluir, basta inverter ambos os membros da equação, para que y fique em função de x:
2
1
2 1
y
x
=
+
Trocando Ideias
Achar as soluções de equações diferenciais exige que saibamos derivar e integcrar funções. 
Portanto, faça uma revisão desses assuntos.
Exercício de Aplicação
Ache a solução da equação diferencial y’ = 3x2y, que atenda à condição inicial y(0) = 3.
Vamos começar o exercício, seguindo os passos anteriores:
2
2
2
2
3
3
3
3
3
1 3
3
3
dy x y
dx
dy x dx
y
dy x dx
y
dy x dx
y
xln y C
ln y x C
=
=
=
=
= +
= +
∫ ∫
∫ ∫
Nosso próximo passo é isolar o y. Para isso, vamos usar a propriedade dos logaritmos:
log
 log
C
B
e
A C B A
lny y
= ⇔ =
=
17
Retomando. Vou tirar do módulo:
3
3
3loge
x C
lny x C
y x C
y e +
= +
= +
=
Essa expressão é o mesmo que:
3x Cy e e=
Observe que eC é um número (uma constante) que chamarei de C’. Portanto, a solução geral 
da ED é:
3
' xy C e=
Agora, temos que calcular a solução particular que atenda à condição inicial: 
( )
( )30
0 3
3 '
y
C e
=
=
Como qualquer número elevado a zero é um:
3C′ =
Portanto, a solução particular que atende à condição inicial é:
3
 3' xy e=
O estudo das equações diferenciais é análogo ao do cálculo integral. No cálculo, quando 
computamos uma primitiva ou integral indefinida, usamos uma única constante de integração 
“C”. Da mesma forma, quando estivermos resolvendo uma equação diferencial de primeira 
ordem F(x,y,y’)=0, obteremos uma solução contendo uma única constante arbitrária. Uma 
solução que contenha uma constante arbitrária representa um conjunto de soluções ou família 
de soluções. Isso significa que uma equação diferencial tem um número infinito de soluções. A 
solução que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular.
18
Unidade: Equações Diferenciais
Frequentemente, nos interessamos por problemas em que se busca uma solução que satisfaça 
a determinadas condições, que são chamadas de condições iniciais.
O assunto relacionado aequações diferenciais é muito extenso; portanto, vou me fixar na 
resolução demais alguns exercícios, envolvendo a técnica de separação de variáveis.
Exercícios de Aplicação:
1. Resolva (1 + x) dy - ydx = 0
 Nosso primeiro passo será colocar cada tipo de variável em um membro da equação:
1
dy dx
y x
=
+
Separada as variáveis, deve-se integrar ambos os lados da equação:
1
1
1
1 1
1
1
.
1
ln x C
ln x C
c
dy dx
y x
dy dx
y x
ln y ln x C
y e
y e e
y x e
+ +
+
=
+
=
+
= + +
=
=
= +
∫ ∫
∫ ∫
Como ec é uma constante, vou chamá-la de “C”
( )1y c x= +
2. Resolva a equação diferencial: 
( )21 xdy y edx = +
19
• Primeiro passo: separar as variáveis. O que é y fica de um lado o que é x fica do outro lado.
( )2
2
1
 
1
x
x
dy y e
dx
dy e dx
y
= +
=
+
Separadas as variáveis, vamos integrar ambos os lados da igualdade.
2
2
1
 
1
1 
1
tg
x
x
x
dy e dx
y
dy e dx
y
y e C−
=
+
=
+
= +
∫ ∫
∫ ∫
A equação 1tg xy e C− = + fornece y como uma função implícita de x. Quando 
2 2
xe Cπ π− < + <
, é possível explicitar y como uma função de x, calculando a tangente em ambos os lados:
( )
( )
1tg(tg ) x
x
y tg e C
y tg e C
− = +
= +
3. Resolva a equação:
( ) ( )21 1dxx x ydy+ = +
Seguindo os mesmos passos, começamos separando as variáveis. Vou fazer no passo a passo. 
Variável por variável:
( )
( )
2
2
2
1
1
1
1
1 1
x ydy
dx x
x y
dy dx
x
dy x dx
y x
+
=
+
+
=
+
=
+ +
20
Unidade: Equações Diferenciais
Separamos as variáveis. Agora, temos de integrar cada lado da equação:
2 1 1
dy x dx
y x
=
+ +∫ ∫
Preste atenção. Vou reescrever as integrais para facilitar o seu cálculo: 
2
1
1 1
1 1
1
dy xdx
y x
tg y x ln x C−
=
+ +
= − + +
∫ ∫
Vamos ver uma aplicação do que aprendemos:
A Lei de Torricelli diz que se drenarmos um tanque como o da figura 1, a taxa em que a água sai 
é uma constante vezes a raiz quadrada da profundidade da água “x”. A constante dependerá do 
tamanho do buraco da drenagem. No exemplo, vou assumir que o valor da constante seja 
1
2
.
Figura 1
 
Um tanque na forma de um cilindro circular reto, cujo raio mede 5 pés e sua altura 16 pés, 
que estava inicialmente cheio de água, está sendo drenado a uma taxa de 30,5 / .x pés min
. Determinar uma fórmula para a profundidade e para a quantidade de água no instante t e 
determinar qual o tempo necessário para o tanque ser esvaziado.
21
Solução:
O volume de um cilindro reto é dado por:
2V r hπ=
Portanto, o volume de água no tanque (Figura 1) é:
( )25 25V x xπ π= =
Derivando, obteremos:
25dV dx
dt dt
π=
A taxa de variação do volume em função do tempo é fornecida:
0,5 25 dxx
dt
π− =
Temos, agora, o problema do valor inicial, ou seja, a profundidade da água no instante zero 
é de dezesseis pés. Temos a seguinte situação:
( )
50
0 16
dx x
dt
x
π
= −
=
O problema foi modelado em uma equação diferencial. É possível resolvê-la pelo método de 
separação de variáveis.
1
2 1 
50
x dx dt
π
−
= −
22
Unidade: Equações Diferenciais
Integra-se os dois lados:
1
2 1 
50
x dx dt
π
−
= −∫ ∫
O resultado dessas integrações:
12
50
x t C
π
= − +
Achamos uma solução geral. Agora, vamos encontrar uma solução particular que atenda à 
condição inicial:
( )0 16
12 16 0
50
8
x
C
C
π
=
= − +
=
Portanto, a solução particular é:
1
2
2
12 8 4
50 100
4
100
tx t ou x
tx
π π
π
= − + = −
 = − 
 
O volume é:
2
25
25 4
100
V x
tV
π
π
π
=
 = − 
 
Com essas equações, é possível determinar em um instante t a profundidade da água. O 
exercício, também, quer saber em quanto tempo o tanque estará vazio. O tanque estará vazio 
quando V =0. Substituindo na equação, acharemos um tempo aproximado de 400π minutos 
que dá aproximadamente 21 horas.
23
Material Complementar
 
 Explore
Para aprofundar seus estudos, assista aos seguintes vídeos:
• https://www.youtube.com/watch?v=y36S9e006h8
• https://www.youtube.com/watch?v=F-CAdNrbkRc
• https://www.youtube.com/watch?v=I182ZGNpLzM
24
Unidade: Equações Diferenciais
Referências
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 
2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
BOULOS, Pré-Cálculo. São Paulo: Makron Books, 1999/2001.
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.