Condução de Calor: Regimes e Métodos

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6ºAula
Condução: equação da condução, 
condução em regime permanente 
e transiente
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
•	 saber	as	diferenças	entre	regimes	permanente	e	transiente;
•	 conhecer	os	métodos	de	condução;
•	 compreender	como	o	método	transiente	influencia	na	condução.
A condução pode ser descrita por uma transferência de 
calor causada por uma diferença de temperatura entre duas 
regiões em um mesmo meio ou entre dois meios em contato. 
Ela pode ser dividida em unidimensional, bidimensional, 
tridimensional, em regime permanente e transiente.
No caso em problema unidimensional em regime 
permanente, há fluxo de calor predominante em uma dada 
direção, independentemente do tempo. Se o sistema ainda for 
unidimensional em regime transiente, este tem o fluxo em uma 
só direção e muda de acordo com o tempo. Para entender como 
tudo isso funciona, vamos para mais uma aula?
Boa aula!
Bons estudos!
Fenômenos de Transporte 46
Seções de estudo
1. Equação da condução
2. Condução em regime permanente
3. Condução em regime transiente
4. Exemplo resolvido
1 - Equação da condução
A equação de condução de calor é uma equação 
diferencial parcial que descreve a distribuição de calor em um 
determinado instante de tempo. A condução como tratada 
nas outras aulas, agindo somente em uma direção não existe 
na	vida	real	e	utilizamos	desse	artifício	para	simplificação	dos	
problemas. Logo, é necessário conhecer as transferências de 
calor em diferentes direções e nas coordenadas retangulares, 
cilíndricas e esféricas. Aqui, demostraremos somente a equação 
da transferência de calor por coordenadas retangulares. 
Se aplicarmos um balanço de energia em um elemento 
de volume retangular durante um instante de tempo, temos:
Figura 1 – Elemento de volume retangular
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Onde as taxas de transferência de calor podem ser 
determinadas pela Lei de Fourier nas entradas nas direções 
x,	y	e	z.
As taxas de transferência de calor na saída também são 
determinadas pela lei de Fourier só que ganham um diferencial 
de	volume	de	controle	dx,	dy	e	dz.	Para	a	solução	é	necessário	
fazer	uma	expansão	em	série	de	Taylor,	na	qual	desprezamos	
termos de ordens superiores, pois estes tendem a zero.
Substituindo as taxas de transferência de calor no balanço 
de energia temos:
Não existe uma solução geral analítica para a mesma. 
Por isso, geralmente, ela é resolvida para diversos casos que 
dependem da geometria do problema, do tipo de regime e das 
condições iniciais e de contorno. 
Na qual:
 é a condutividade térmica [ ];
 é a energia gerada por volume ;
	é	a	massa	específica	 ;
	é	o	calor	específico	 .
 
2 - Condução em regime permanente
A transferência de calor por condução em regime 
permanente, sem geração interna de calor, unidimensional e 
propriedades de transporte constantes, reduz a equação de 
difusão de calor em: 
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Como	as	propriedades	são	constantes,	a	massa	específica	
pode sair da derivada parcial, o que transforma a expressão 
em uma EDO de segunda ordem.
Um dos casos mais estudados é a transferência de calor 
em placa planas, em que existe uma parede de espessura , 
cuja face esquerda é mantida a uma temperatura enquanto 
a face à direita é mantida à temperatura . 
Figura 2 – Placa plana.
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Para a solução de uma EDO é necessário encontrar uma 
solução geral de equação diferencial e aplicar uma condição 
de contorno.
Se integrarmos a função duas vezes, iremos baixar a 
segunda ordem da função e desta maneira encontraremos 
uma solução geral de equação diferencial.
1ª integral
2ª integral
Logo:
Para solução da equação geral é necessário encontrar as 
constantes e essas necessitam de condições de contorno. As 
condições de contorno existentes para solução de transferência 
de calor são:
a) Temperatura	especificada:
x = 0 T = 
x = L T = 
b) Fluxo	de	calor	especificado:
x = simétrico 
x = L adiabático 
x = 0 adiabático
c) Convecção na interface:
x = 0 
x = L 
d) Radiação na interface:
x = 0 
x = L 
As condições podem existir combinadas de acordo 
com o problema a ser solucionado, assim como existir mais 
condições de contorno se o problema for bidimensional 
(4 condições de contornos) e tridimensional (6 condições 
de contornos). Na maioria dos problemas iremos utilizar 
hipóteses	 simplificadoras	 para	 sua	 solução	 manualmente	 e	
uma	delas	é	ser	unidimensional	e	sem	fluxo	de	calor,	o	que	
facilita os cálculos, sendo os problemas bidimensionais e 
tridimensionais abordados por programas de simulação, 
como	TransCal	1.1,	Ansys,	OpenFoam,	entre	outros.
3 - Condução em Regime Transiente
Quando um corpo com temperatura inicial é subitamente 
posto a novas condições de temperatura ao seu redor, 
é necessário que seja restabelecido o equilíbrio térmico. 
Exemplos	práticos	são	o	aquecimento	e/ou	o	resfriamento	
de processos industriais, tratamento térmico, entre outros 
(MOREIRA, 2014).
Como existem diferenças de geometria e transferência 
de calor para corpos, existem métodos adequados para 
cada situação. Para determinação de qual método é o mais 
adequado encontramos o número de Biot, um adimensional 
que mede a razão entre a resistência térmica interna de um 
sólido e a resistência térmica na camada-limite. 
Na qual:
 é o comprimento característico [m];
	é	coeficiente	local	de	convecção	[W/ .K];
	é	a	condutividade	térmica	[W/m.K];
Fenômenos de Transporte 48
Figura 3 – Efeito do número do Biot na distribuição de 
temperatura de uma placa plana.
Fonte: Çengel (2012).
Sendo	 o	 comprimento	 característico	 definidos	 para	
corpos de geometria básica como placa plana, cilindro e 
esfera, temos:
•	 Placa plana 
•	 Cilindro 
•	 Esfera 
Figura 4 – a) Placa plana; b) Cilindro e c) Esfera.
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Quando trabalhamos com pequenos números de Biot, ou 
seja, menores que 1, temos campos de temperatura uniforme 
em todo corpo. Já para os números de Biot muito maiores 
que 1 não existe uniformidade dos campos de temperatura no 
corpo do objeto. 
No caso se, é razoável assumir uma distribuição 
de temperatura uniforme no sólido em qualquer tempo 
durante o processo transiente ( ). 
Se aumentarmos o o gradiente de temperatura dentro 
do	sólido	é	significativo	 . Nesse caso para o 
gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre a 
superfície	e	o	fluido.
Os	métodos	podem	ser	definidos	como:
•	 Se 	o	que	significa	 – Método é o 
de Capacitância Global.
•	 Se e – Métodos das Cartas 
de	Hesleir	 que	 é	um	método	gráfico	 e	Método	de	 solução	
analítica.
•	 	–	Método	dos	sólidos	Semi	Infinitos.
Nesta aula, abordaremos somente os métodos de 
Capacitância	global	e	das	Cartas	de	Heisler,	ficando	os	outros	
métodos como indicação de métodos de condução transiente. 
Outro	 parâmetro	 adimensional	 que	 ajuda	 na	 definição	
do método é o número de Fourier, que é razão entre a taxa 
condutiva de calor e a taxa de armazenamento de energia 
térmica em um sólido chamado de Tempo adimensional. O 
número de Fourier pode ser escrito tanto por como por 
, ambos representam a mesma coisa.
Na qual:
t é tempo [s];
L é o comprimento [m];
 é a difusividade térmica .
A	difusividade	térmica	é	a	razão	que	quantifica	o	quanto	
um corpo conduz sobre o quanto ele armazena.
Na qual:
	é	a	condutividade	térmica	[W/m.K];
	é	a	massa	específica	[ ];
	é	o	calor	específico	 .
	Método da capacitância global
É um dos métodos que trabalha com a transferência 
de	calor	em	corpos	pequenos,	finos	ou	com	condutividade	
térmica alta. Nele, o corpo analisado pode ter três geometrias 
básicas que seriam: a placa plana, o cilindro e a esfera. A 
hipótese para regime permanente diz que para cada instante 
de tempo t, o corpo teria diferentes temperatura nas posições 
x. Logo, teríamos uma temperatura que depende de posição e 
tempo . Como já dito anteriormente, nesses métodos 
trabalhamos com corpos de pequenas dimensões e dessa 
maneira	 a	 influênciada	 posição	 é	 irrelevante,	 portanto,	 a	
temperatura só depende do tempo o	que	significa	que	
o corpo terá a mesma temperatura da superfície no interior. 
A expressão a seguir serve para determinar a variação de 
temperatura dentro da parede:
Na qual:
 é a temperatura [adimensionalizada];
 é a temperatura inicial da placa [K];
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 é a temperatura do meio [K];
 é a temperatura em uma dada posição [K];
	é	a	massa	específica	[ ];
	é	o	calor	específico	 ;
	é	coeficiente	local	de	convecção	[W/ .K];
	é	a	área	superficial	 ];
 é o volume ];
t é o tempo [s].
Ou na forma adimensionalizada:
Na qual:
 é o número de Biot [adimensional];
 é o número de Fourier [adimensional].
	Cartas de Heisler
Este	é	um	método	gráfico	que	avalia	a	temperatura	no	
centro do objeto para condução de calor transiente 
por	meio	 de	 uma	 parede	 infinitamente	 longa	 de	 espessura	
,	um	cilindro	infinitamente	longo	de	raio	 e uma esfera 
de raio . Embora se trate de uma alternativa mais rápida 
e mais simples para as soluções exatas destes problemas, 
existem algumas limitações, como o (ÇENGEL; 
CIMBALA, 2012).
	Placa plana
Figura 5 – temperatura do plano médio para placa plana
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Figura 6 – Distribuição de temperatura para placa plana (lado direito) e transferência de calor para placa plana (lado 
esquerdo).
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Fenômenos de Transporte 50
	Cilindro
Figura 7 – Temperatura na linha do centro de um cilindro
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Figura 8 – Distribuição de temperatura para cilindro (lado direito) e transferência de calor para cilindro (lado esquerdo). 
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
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	Esfera
Figura 9 – Temperatura na linha do centro de uma esfera.
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Figura 10 – Distribuição de temperatura para esfera (lado direito) e transferência de calor para esfera (lado esquerdo). 
Fonte: Çengel e Cimbala (2012).
Vale	ressaltar	que	o	método	de	sólidos	semi-infinitos	e	
da solução analítica são mais complexos matematicamente 
quando comparados aos outros dois métodos, pois ambos 
utilizam	tabelas	para	definição	de	suas	constantes.	As	soluções	
analíticas	são	expressões	definidas	para	cada	geometria	básica	
e são muito parecidas com os da Cartas de Heisler só que nesse 
método a faixa para 	é	indefinida,	sendo	este	método	válido	
para até , existem limitações nas geometrias 
e para . Em se tratando de 	indefinidos	temos	
também	 o	 método	 de	 sólidos	 semi-infinitos	 onde	 existem 
situações mais usuais e para cada uma delas uma expressão 
matemática.
4 - Exemplo resolvido
Um ovo comum pode ser tratado como uma esfera de 
5,5 cm de diâmetro cujas propriedades são, aproximadamente,
 e . O 
ovo está, inicialmente, a uma temperatura uniforme de 
 e é colocado na água fervendo a . Considerando 
o	 coeficiente	 de	 transferência	 de	 calor	 por	 convecção	 de	
Fenômenos de Transporte 52
 determine o tempo necessário para o centro 
do ovo chegar a 
Dados:
 
t = ?
Solução:
O ovo pode ser aproximado para uma esfera. Logo, para 
definição	do	método	devemos	encontrar	o	número	de	Biot.	
Para isso, antes, faz-se necessário estabelecer o comprimento 
característicos.
Sendo para Esfera , temos:
O número de Biot:
Como o Bi utilizaremos as cartas de Heisler para a 
esfera, notem que o inverso do Bi são as curvas em rosa por 
se	tratar	de	um	método	gráfico	um	novo	número	de	Biot	deve	
ser calculado através do raio. 
Substituindo os valores encontramos o inverso de 
Como sabemos todas as temperaturas, podemos 
encontrar a distribuição de temperatura da esfera, indicada 
pelo	eixo	vertical.	Notem	que	no	método	gráfico	as	expressões	
estão nos próprios eixos.
Observem que com e encontramos 
graficamente	o	valor	para	o	número	de	Fourier	 .
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O valor para , sendo o número de Fourier 
um tempo adimensional, encontraremos através de sua 
expressão o tempo para que o seu centro atinja a temperatura 
de 70°C.
Reescrevendo a expressão, temos:
Se transformarmos isso em minutos temos:
 
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Espera-se 
que agora tenha ficado mais claro o entendimento 
de vocês sobre condução, bem como equação da 
condução, condução em regime permanente e 
transiente. Vamos, então, recordar?
1. Equação da condução
Vimos que a equação de condução de calor é uma equação 
diferencial parcial que descreve a distribuição de calor em um 
determinado instante de tempo. Ela nos demonstra que o 
calor por condução pode ocorrer nas quatro dimensões q (x, 
y,	z,	t).
2. Condução em regime permanente
Vimos que a transferência de calor por condução 
em regime permanente, sem geração interna de calor, 
unidimensional e propriedades de transporte constantes, 
reduz a equação de difusão de calor unidimensional. Essa 
equação quando manipulada e com as condições de contorno, 
nos	dá	o	perfil	de	temperatura	para	diferentes	geometrias	em	
diferentes posições.
3. Condução em regime transiente
Vimos que um corpo com uma dada temperatura quando 
é bruscamente submetido a novas condições de temperatura 
no seu contorno, não é mais um problema permanente. 
Logo, deve ser modelado de forma diferente, em que deve 
se	contabilizar	a	influência	do	aquecimento	ou	resfriamento.	
Para isso, vimos os métodos de capacitância global e as 
cartas de Heisler, em que cada um deles foi apresentado para 
as geometrias básicas de placa plana, cilindro e esfera.
4. Exemplo resolvido
Neste	tópico	foi	exemplificada	a	aplicação	de	conceitos	
de condução em regime transiente, além de conversão de 
unidades.
Fenômenos de Transporte 54
CONTREIRA, J. A. et al. Solução da equação de condu
ção de calor não estacionária em uma parede com quatro ca
madas.	Disponível	em:	http://periodicos.ifpr.edu.br/index.
php?journal=MundiETG&page=article&op=view&path%
5B%5D=592.	Acesso	em:	21	ago.	2020.	
Vale a pena ler
Estudo da condução de calor transiente através do 
método das diferenças finitas explícito. Disponível em: 
http://revista.liberato.com.br/ojs_lib/index.php/revista/
article/view/545.	Acesso	em:	20	ago.	2020.
Vale a pena acessar
Videoaula. Transferência de calor – Equação da 
difusão	 do	 calor.	 Disponível	 em:	 https://www.youtube.
com/watch?v=36VTONvwYps&t=210s.	 Acesso	 em:	 26	
ago. 2020.
Videoaula. Transferência de calor – condução 
transiente: método da capacitância global. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=74Coq7mXd1M.	
Acesso em: 26 ago. 2020.
Vale a pena assistir
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