Raciocínio Lógico

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raciocínio
l ó g i c o
conectivos
preposição
Exemplo 1
A: Cinco é ímpar. (verdadeira)
B: A água é incolor. (verdadeira)
A ∧ B: Cinco é ímpar e a água é incolor. (verdadeira)
Conectivo e
o conectivo e (símbolo ∧) entre duas proposições simples A e B, obtemos
uma proposição composta,sendo assim se declaram ao mesmo tempo A e
B.
A conjunção é verdadeira quando A e B forem ambas verdadeiras; se ao
menos uma delas for falsa, então A ∧ B é falsa.
Exemplo 1
A: Aranhas são mamíferos. (falsa)
B: Cobras são répteis. (verdadeira)
A ∨ B: Aranhas são mamíferos ou cobras são répteis.
(verdadeira)
Conectivo ou
denominada disjunção das proposições originais A e B, ou seja, é a
proposição em que se declara verdadeira pelo menos uma das proposições
A e B. 
A disjunção é verdadeira quando ao menos uma das proposições A e B for
verdadeira; somente se ambas forem falsas é que será falsa.
“A Bahia fica na região Nordeste.”
“Todo triângulo é equilátero.”
oração interrogativa, oração imperativa e equação.
Proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa) 
São proposições:
É uma proposição verdadeira.
É uma proposição falsa.
 
Não são proposições
Implicação
(5 é múltiplo de 3) ⇒ (5 > 3) (verdadeira)
(3 = 2) ⇒ (6 = 4) (verdadeira)
A condicional A ⇒ B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; caso
contrário, A ⇒ B é verdadeira.Observe que, se A for falsa, então a implicação
será sempre verdadeira. 
exemplo:
falsa ⇒ verdadeira, temos conclusão verdadeira.
falsa ⇒ falsa, temos conclusão verdadeira.
A ideia é que se partirmos de uma proposição falsa podemos concluir
qualquer coisa. Mas, a partir de uma proposição verdadeira, temos de deduzir
outra verdadeira.
A recíproca de uma implicação A ⇒ B é a implicação B ⇒ A.
Exemplo 
A: O triângulo ABC é equilátero.
B: O triângulo ABC é isósceles.
A ⇒ B: Se o triângulo ABC é equilátero, então é o triângulo
ABC isósceles. (verdadeira)
B ⇒ A: Se o triângulo ABC é isósceles, então é equilátero.
(falsa)
Equivalência entre as proposições A e B é a proposição indicada por A ⇔ B,
pela qual se declara, ao mesmo tempo, que A ⇒ B e B ⇒ A.
Portanto, A é a condição necessária e suficiente 
para B, e vice-versa.
Equivâlencia
As palavras se e então, com as proposições A e B na forma “se A, então B”,
determinam uma nova proposição, denominada condicional de A e B. Essa
proposição, que também é chamada de implicação, indica-se por A ⇒ B, e pode
ser lida de diversas maneiras, como:
i) Se A, então B.
ii) A implica B.
iii) A é condição suficiente para B.
iv) B é condição necessária para A.
Exemplo 
A: Pedro foi ao Ceará.
B: Pedro foi ao Nordeste.
A ⇒ B: Se Pedro foi ao Ceará, então Pedro foi ao Nordeste.
(verdadeira)
B ⇒ A: Se Pedro foi ao Nordeste, então Pedro foi ao Ceará. (falsa)
A ideia é que se partirmos de uma proposição falsa podemos concluir qualquer
coisa. Mas, a partir de uma proposição verdadeira, temos de deduzir outra
verdadeira.
A recíproca de uma implicação A ⇒ B é a implicação B ⇒ A.
Exemplo 
A: O triângulo ABC é equilátero.
B: O triângulo ABC é isósceles.
A ⇒ B: Se o triângulo ABC é equilátero, então é o triângulo
ABC isósceles. (verdadeira)
B ⇒ A: Se o triângulo ABC é isósceles, então é equilátero.
(falsa)
Quantificadoes
Há duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: atribuindo
valores específicos às variáveis ou utilizando um dos dois tipos de quantificadores.
Quantificador universal
O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀, e deve ser lido “qualquer que
seja”, “para todo” ou “para cada”.
Exemplo
Se x denota um número real, temos as proposições:
i) ∀ x: 2x > 0 (verdadeira)
ii) ∀ x: x + 3 = 1 (falsa)
Se x denota um estudante, podemos construir a proposição:
∀ x: x é inteligente. (falsa)
Escrevendo essa proposição em liguagem corrente, temos:
“todo estudante é inteligente”.
Quantificador existencial
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃,
e deve ser lido “existe”, “existe ao menos um” ou “existe um”.
Exemplo
Se x denota um número real, temos as proposições:
i) ∃ x: x + 2 = 5 (verdadeira)
ii) ∃ x: x2 + 1 < 0 (falsa)
Se x denota um estudante, podemos construir a proposição:
∃ x: x é inteligente. (verdadeira)
Escrevendo essa proposição em linguagem corrente, temos:
“existe estudante inteligente”.
OBSERVAÇÃO
Há também um tipo de quantificador, indicado pelo
símbolo ∃!, que significa “existe um único”.
Negação
De
Preposições
Negação de proposições compostas
Para negarmos uma conjunção ou disjunção, devemos inverter o
valor lógico de cada proposição e trocar “e” por “ou”, e vice-versa.
i) A negação da conjunção (A e B) é a disjunção
(~A ou ~B).
ii) A negação da disjunção (A ou B) é a conjunção
(~A e ~B).
Em símbolos, escrevemos:
~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)
~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)
Exemplo
A: Marcos trabalha. (verdadeira)
B: Marcos joga tênis. (falsa)
A ∨ B: Marcos trabalha ou joga tênis. (verdadeira)
~(A ∨ B): Marcos não trabalha e não joga tênis. (falsa)
Negação de “todo”
Para tornar falsa a proposição “todo professor é alto”, deve encontrar
pelo menos um professor que não é alto. Portanto, seja a afirmação:
A: Todo professor é alto. (falsa)
Sua negação é:
~A: Existe (pelo menos um) professor que não é alto.
(verdadeira)
~A: Nem todo professor é alto. (verdadeira)
Negação de “nenhum”
Analogamente, para negarmos a proposição “nenhum homem é fiel”, devemos
encontrar pelo menos um homem que seja fiel. Temos, então:
A: Nenhum homem é fiel. (falsa)
~A: Existe (pelo menos um) homem fiel. (verdadeira)
~A: Algum homem é fiel. (verdadeira)
Negação de “algum” ou “existe”
 
A: Existe cachorro inteligente. (falsa)
Se houver um ou mais cachorros inteligentes, a proposição
anterior é verdadeira. Para torná-la falsa, não pode haver
cachorro inteligente. Portanto, a negação da proposição A é:
~A: Nenhum cachorro é inteligente. (verdadeira)
~A: Todo cachorro não é inteligente. (verdadeira)
Contrapositiva
De Uma
Implicação
Dada uma implicação A ⇒ B, chamamos de contrapositiva dessa implicação a proposição ~B ⇒ ~A. Uma implicação qualquer e
sua contrapositiva sempre têm o mesmo valor lógico, como podemos perceber nos exemplos seguintes.
Exemplo 
A: Jorge trabalha. (verdadeira)
B: Jorge estuda. (falsa)
A ⇒ ~B: Se Jorge trabalha, então não estuda. (verdadeira)
B ⇒ ~A: Se Jorge estuda, então não trabalha. (verdadeira)
A: Todo número primo é ímpar. (falsa)
B: Nenhum número par é primo. (falsa)
A ⇒ B: Se todo número primo é ímpar, então nenhum
número par é primo. (verdadeira)
~B ⇒ ~A: Se algum número par é primo, então nem todo
número primo é ímpar. (verdadeira)
Negação de “nenhum”
para negarmos a proposição “nenhum homem é fiel”, devemos
encontrar pelo menos um homem que seja fiel. Temos, então:
A: Nenhum homem é fiel. (falsa)
~A: Existe (pelo menos um) homem fiel. (verdadeira)
~A: Algum homem é fiel. (verdadeira)