Unidade 5 - Componentes Simétricas

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Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
Unidade 5 – Componentes Simétricas
Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa
2020
1
1.5.1 Introdução
2
• Nesta seção, será apresentada a teoria de componentes simétricas e suas aplicações em sistemas elétricos de potência. Partimos do teorema
fundamental das componentes simétricas e demonstramos a existência e unicidade de uma sequência direta, uma inversa e uma nula, que
representam uma das sequências de fasores de um sistema trifásico.
• Aplicaremos, então, as componentes simétricas em sistemas trifásicos, procurando interpretar o significado de cada componente e verificar
relações entre as componentes simétricas das grandezas de fase e de linha.
• Estudaremos também a aplicação de componentes simétricas para a resolução de circuitos trifásicos, analisando as leis de Kirchhoff, o cálculo
de potências em componentes e as transformações de impedâncias da rede em impedâncias sequenciais.
• Para tanto, verificaremos a representação de vários elementos por suas impedâncias sequenciais, quais sejam, linhas de transmissão,
transformadores, geradores e cargas equilibradas. Veremos que, mesmo com sistemas trifásicos simétricos e equilibrados, teremos vantagens
significativas decorrentes da aplicação das componentes simétricas.
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Transmissão de Energia Elétrica I
1.5.1 Teorema Fundamental
3
• Dada uma sequência Va qualquer, vamos demonstrar a existência e a unicidade de uma sequência direta, uma inversa e uma nula que,
somadas, reproduzem a sequência dada. Em outras palavras, vamos ver que uma sequência qualquer pode ser decomposta nestas três
sequências e que essa decomposição é única. As três sequências são designadas por componentes simétricas da sequência dada. Pelo
quanto foi definido, devemos ter:
• Vamos relembrar o operador α:
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













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++
++
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

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
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




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
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


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
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
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

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•••
•••
•••
•••
•
•
•
2
2
10
21
2
0
210
2
2
2
10
11
1
1
1
VVV
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
C
B
A
A






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

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
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




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•••
•••
•••
•••
•
•
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10
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2
0
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2
2
2
10
11
1
1
1
VVV
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
C
B
A
A






1.5.1 Teorema Fundamental
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• Portanto, temos:
• Sequência de fase zero
• Sequência de fase direta
• Sequência de fase inversa
• Porém, temos que:
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













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
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


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



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

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

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++
•
•
•
•
•
•
•••
•••
•••
2
1
0
2
1
0
2
2
2
2
10
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2
0
210
1
1
111
V
V
V
T
V
V
V
VVV
VVV
VVV




1.5.1 Teorema Fundamental
5
• A matriz T é dada pela formação abaixo e é designada po matriz de transformação de componentes simétricas, logo:
• Assim, podemos desmembrar as sequências em:
• Ou seja, existe uma única sequência Va = Vo + V1 + V2. Quando a sequência Va é dada, para demonstrarmos a existência de Vo, V1 e V2
será suficiente demonstrar que a matriz T é não singular, isto é, que existe matriz T^-1. Invertendo a matriz T, temos:
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









=
2
2
1
1
111

T













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




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





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








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




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







•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
1
0
2
1
0
2
2
1
1
111
V
V
V
T
V
V
V
V
V
V
C
B
A





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




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•
1
1
1
00 VV



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


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•

 211
1
VV



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




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=
•
2
22
1

VV










=−


2
21
1
1
111
3
1
T
1.5.1 Teorema Fundamental
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• Em seguida, multiplicando nossa equação por T^-1:
• Obtemos:
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













=





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




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
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

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


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=





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







•
•
•
−
•
•
•
−
•
•
•
−
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1
0
1
2
1
0
2
211
1
1
111
V
V
V
TT
V
V
V
T
V
V
V
T
C
B
A







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






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=













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•
•
•
•
•
•
−
2
1
0
1
V
V
V
I
V
V
V
T
C
B
A
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



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





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




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





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•
•
•
•
•
•
−
2
1
0
1
V
V
V
V
V
V
T
C
B
A



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
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





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












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


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




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•
•
•
•
•
•
2
1
0
2
2
1
1
111
3
1
V
V
V
V
V
V
C
B
A










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







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++
++
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


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





•••
•••
•••
•
•
•
3
3
3
2
2
2
1
0
CBA
CBA
CBA
VVV
VVV
VVV
V
V
V


1.5.1 Teorema Fundamental
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• Portanto, das equações abaixo, notamos que, dada uma sequência Va, existem (e são únicas) as sequências Vo, V1 e V2, tais que Va = Vo +
V1 + V2.
• Da análise da equação da direita, notamos também que, para a obtenção do fasor Vo, é suficiente tomar um terço do fasor correspondente à
soma dos três fasores dados. Para o cálculo de V1, tomamos um terço da soma do promeiro fasor da sequência dada com o segundo rodado
de 120º e com o terceiro rodado de 240º (ou -120º). Analogamente, V2 é dado por um terço da soma do primeiro com o segundo rodado de
240º e o terceiro rodado de 120º.
• Vamos fazer um exemplo.
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



















++
++
++
=














•••
•••
•••
•
•
•
3
3
3
2
2
2
1
0
CBA
CBA
CBA
VVV
VVV
VVV
V
V
V







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





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




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
















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




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







•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
1
0
2
1
0
2
2
1
1
111
V
V
V
T
V
V
V
V
V
V
C
B
A


1.5.1 Teorema Fundamental
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• Dada a sequência abaixo, decomponha analitica e graficamente em suas componentes simétricas:
• Resolução analítica:
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





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


−

=














=
•
•
•
º90380
º90380
º0120
C
B
A
A
V
V
V
V








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








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++
++
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




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





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



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




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
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

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






•••
•••
•••
•
•
•
•
•
•
3
3
3
1
1
111
3
1
2
2
2
2
2
1
0
CBA
CBA
CBA
C
B
A
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
V
V














+−+
−++
+−+
=














•
•
•
º210380º210380º0120
º30380º30380º0120
º90380º90380º0120
3
1
2
1
0
V
V
V
1.5.1 Teorema Fundamental
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• Dada a sequência abaixo, decomponha analitica e graficamente em suas componentes simétricas:
• Resolução analítica:
• Onde:
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









+−+
−++
+−+
=














•
•
•
º210380º210380º0120
º30380º30380º0120
º90380º90380º0120
3
1
2
1
0
V
V
V
( ) º040º90380º90380º0120
3
1
0 =+−+=
•
V
( ) º0260º30380º30380º01203
1
1 =−++=
•
V
( ) º180180º210380º210380º0120
3
1
2 =+−+=
•
V










+










+










=











−

=













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•••
•
•
•
2
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2
10
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1
1
1
º90380
º90380
º0120



 VVV
V
V
V
C
B
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









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









+










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










−

=














•
•
•
2
2
1
º180180
1
º0260
1
1
1
º040
º90380
º90380
º0120




C
B
A
V
V
V
1.5.1 Teorema Fundamental
10
• Dada a sequência abaixo, decomponha analitica e graficamente em suas componentes simétricas:
• Resolução gráfica:
• A parte A da figura abaixo representa a sequência dada.
• A parte B determina Vo. Para a determinação de Vo, tomamos 1/3 da soma VA + VB + VC.
• A parte C determina V1. Para a determinação de V1, tomamos 1/3 da soma de VA, com αVB e α²VC.
• A parte D determina V2. Para a determinação de V2, tomamos 1/3 da soma de VA, com α²VB e αVC.
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• Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente.
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













=
•
•
•
C
B
A
A
V
V
V
V
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






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










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++
++
=












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









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













•••
•••
•••
•
•
•
•
•
•
3
3
3
1
1
111
3
1
2
2
2
2
2
1
0
CBA
CBA
CBA
C
B
A
VVV
VVV
VVV
V
V
V
V
V
V






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








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
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











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
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









=





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







•
•
•
•
•
•
•
•
•
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1
0
2
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0
2
2
1
1
111
V
V
V
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V
V
V
V
V
V
C
B
A
















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




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

















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











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•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
1
0
2
1
0
2
2
1
1
111
V
V
V
T
V
V
V
V
V
V
C
B
A












−


=














•
•
•
º60100
º0220
º30100
2
1
0
V
V
V










−













=














•
•
•
º60100
º0220
º30100
1
1
111
2
2


C
B
A
V
V
V
1.5.1 Teorema Fundamental
12
• Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente.
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I










−













=














•
•
•
º60100
º0220
º30100
1
1
111
2
2


C
B
A
V
V
V










−++
+−+
−++
=














•
•
•
º180100º120220º30100
º60100º120220º30100
º60100º0220º30100
C
B
A
V
V
V










+−
−
−
=










−++
+−+
−++
=














=
•
•
•
j
j
j
V
V
V
V
C
B
A
A
5,2404,123
9,536,26
6,366,356
º180100º120220º30100
º60100º120220º30100
º60100º0220º30100











−
−
=














=
•
•
•
º1,1173,270
º7,631,60
º9,55,358
C
B
A
A
V
V
V
V
1.5.1 Teorema Fundamental
13
• Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente.
Resolução gráfica:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
1.5.1 Teorema Fundamental
14
• Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente.
Resolução gráfica:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
1.5.2 Conversão Polar-Retangular
15
• Retangular para Polar
• Polar para Retangular
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
22 YXZ +=






= −
X
Y
tg 1
( )cos= ZX
( )sin= ZY
1.5.2 Conversão Polar-Retangular
16
• Exemplo: converta os números complexos a seguir de retangular a polar e de polar a retangular:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
22 YXZ +=






= −
X
Y
tg 1
43 jC +=
543 22 =+=Z
º13,53
3
41 =





= −tg
º13,535=C
1.5.2 Conversão Polar-Retangular
17
• Exemplo: converta os números complexos a seguir de retangular a polar e de polar a retangular:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
07,707,7 jC +=
º4510=C
( )cos= ZX
( )sin= ZY
( ) 07,7º45cos10 ==X
( ) 07,7º45sin10 ==Y
1.5.3 Sistemas Trifásicos
18
• Então, vimos que um sistema pode ser decomposto em componentes simétricas. Passando do ferramental, qual a utilidade do método das
componentes simétricas?
• Quando temos circuitos elétricos balanceados, podemos resolver as tensões e correntes utilizando as leis de Kirchhoff. Porém, nos casos em
que o sistema está desbalanceado, este procedimento torna-se muito trabalhoso.
• O método das componentes simétricas foi apresentado pelo Dr. Fortescue, em 1918, em artigo publicado no American institute of Electrical
Engineers, com o título “Método de Componentes Simétricos aplicado à solução de Circuitos Polifásicos”.
• Apesar do método ser aplicável a qualquer sistema polifásico, focaremos apenas nos sistemas trifásicos.
• De acordo com o teorema de Fortescue, três fasores desequilibrados de um sistema podem ser substituídos por três sistemas equilibrados de
fasores. Conforme vimos os cálculos, os três conjuntos equilibrados são:
• Componentes de sequência positiva: consiste de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120º, e tendo a mesma
sequência que os fasores originais.
• Componentes de sequência negativa: consistindo de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120º, e tendo a sequência da
fase oposta a dos fasores originais.
• Componentes de sequência zero: constituído de 3 fasores iguais em módulo com defasagem de 0º entre si.
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
1.5.3 Sistemas Trifásicos
19
• Dessa forma, se um sistema tem sequência de fases abc, as sequências de fase dos componentes de sequencia positiva e negativas serão,
respectivamente abc e acb.
• Vamos ver um exemplo: considere três fasores originais de tensão Va, Vb e Vc, que serão decompostos nos três conjuntos que seguem: a
soma gráfica dos 3 sistemas será:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
210
210
210
CCCC
BBBB
AAAA
VVVV
VVVV
VVVV
++=
++=
++=
•
•
•
22
1
2
1
00
AB
AB
AB
VaV
VaV
VV
=
=
=
2
2
2
11
00
AC
AC
AC
VaV
VaV
VV
=
=
=
1.5.3 Sistemas Trifásicos
20
• Logo, podemos reescrever:
• É exatamente a mesma expressão que encontramos nos slides anteriores. A única diferença é a nomenclarura de Vao, Va1 e Va2 para V0, V1
e V2.
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
210
210
210
CCCC
BBBB
AAAA
VVVV
VVVV
VVVV
++=
++=
++=
•
•
•
22
1
2
1
00
AB
AB
AB
VaV
VaV
VV
=
=
=
2
2
2
11
00
AC
AC
AC
VaV
VaV
VV
=
=
=
2
2
10
21
2
0
210
AAAC
AAAB
AAAA
VaaVVV
aVVaVV
VVVV
++=
++=
++=
•
•
•














++
++
++
=










+









+










=














•••
•••
•••
•••
•
•
•
2
2
10
21
2
0
210
2
2
2
10
11
1
1
1
VVV
VVV
VVV
VVV
V
V
V
C
B
A































=














•
•
•
•
•
•
2
1
0
2
2
1
1
111
V
V
V
V
V
V
C
B
A






















++
++
++
=














•••
•••
•••
•
•
•
3
3
3
2
2
2
1
0
CBA
CBA
CBA
VVV
VVV
VVV
V
V
V


1.5.3 Sistemas Trifásicos
21
• Percebam que estamos falando de sistemas equilibrados. Porém, o que aconteceria se um circuito trifásico equilibrado fosse modelado em
componentes simétricas? Vamos ver:
• Seja o sistema abaixo:
• A equação acima mostra que, em circuitos trifásicos equilibrados, não há componente de sequência zero.
• As equações valem também para corrente e podem ser resolvi as gráfica ou analiticamente.
• Em um sistema trifásico com condutor neutro, In = Ia + Ib + Ic. Assim, Ia0 = 1/3 In.
• Quando não há retorno, In é nula. Nestas condições, as correntes de sequência zero não existirão. Assim sendo, em uma carga ligada
em ∆, não há corrente de sequência zero.
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I













=














=
•
•
•
º240380
º120120
º0120
C
B
A
A
V
V
V
V




















++
++
++
=














•••
•••
•••
•
•
•
3
3
3
2
2
2
1
0
CBA
CBA
CBA
VVV
VVV
VVV
V
V
V


3
0
•••
• ++
= CBA
VVV
V
3
º240380º120120º0120
0
++
=
•
V 0
3
92.1036092.103600120
0 =
−−+−+
=
• jjj
V
1.5.3 Sistemas Trifásicos
22
• Vamos fazer um exemplo: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em ∆ pela linha a
é de 10A. Tomando a corrente na linha a com o referência e a linha c aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha.
Solução:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
A
III
I cbaa 0
3
0º18010º010
3
0 =
++
=
++
=
0;º18010;º010 === cba IAIAI
A
IaaII
I cbaa º3074,5
3
0º30010º010
3
2
1 −=
++
=
++
=
A
aIIaI
I cbaa º3074,5
3
0º42010º010
3
2
2 =
++
=
++
=
22
1
2
1
00
AB
AB
AB
IaI
IaI
II
=
=
=
2
2
2
11
00
AC
AC
AC
IaI
IaI
II
=
=
=
AIaI
AIaI
II
AB
AB
AB
º15078,5
º15078,5
0
22
1
2
1
00
==
−==
==
AIaI
AIaI
II
AC
AC
AC
º9078,5
º9078,5
0
22
1
2
1
00
−==
==
==
Comentários:
• Embora Ic = 0 , os componentes Ic1 e Ic2 têm
valores definidos, mas Ic1 + Ic2 = 0.
• A soma das componentes de A deve dar 10/_0º [A]
e de B, 10/_18ºo [A].
1.5.3 Sistemas Trifásicos
23
• Vamos fazer um exemplo: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em ∆ pela linha a
é de 10A. Tomando a corrente na linha a com o referência e a linha c aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha.
Solução:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
A
III
I cbaa 0
3
01010
3
0 =
+−
=
++
=
0;10;10 =−== cba IAIAI
Aj
jIaaII
I cbaa 87.25
3
067.8510
3
2
1 −=
+−+
=
++
=
Aj
jaIIaI
I cbaa 87,25
3
067.8510
3
2
2 +=
+++
=
++
=
22
1
2
1
00
AB
AB
AB
IaI
IaI
II
=
=
=
2
2
2
11
00
AC
AC
AC
IaI
IaI
II
=
=
=
AjIaI
AjIaI
II
AB
AB
AB
87.25
87.25
0
22
1
2
1
00
+−==
−−==
==
AjIaI
AjIaI
II
AC
AC
AC
78,5
78,5
0
22
1
2
1
00
−==
==
==
Comentários:
• Embora Ic = 0 , os componentes Ic1 e Ic2 têm
valores definidos, mas Ic1 + Ic2 = 0.
• A soma das componentes de A deve dar 10/_0º [A]
e de B, 10/_18ºo [A].
1.5.3 Sistemas Trifásicos
24
• Vamos fazer um outro exemplo: dadas as tensões abaixo, determine as componentes simétricas.
Solução:
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica I
V
VVV
V cbaa º4,4760,6
3
º14515º6030º3010
3
0 −=
+−+
=
++
=
VVVVVV cba º14515º6030º3010 =−==
V
aaVaaVV
V cbaa º456,17
3
º14515º6030º3010
3
22
1 −=
+−+
=
++
=
A
aaaVVaV
V cbaa º2,15625,8
3
º14515º6030º3010
3
22
2 −=
+−+
=
++
=
22
1
2
1
00
AB
AB
AB
VaV
VaV
VV
=
=
=
2
2
2
11
00
AC
AC
AC
VaV
VaV
VV
=
=
=
AVaV
AVaV
VV
AB
AB
AB
º2,3678,5
º756,17
º4,476,5
22
1
2
1
00
−==
−==
−==
AVaV
AVaV
VV
AC
AC
AC
º2,27678,5
º1656,17
º4,4760,5
22
1
2
1
00
−==
==
−==