exercicios dos temas 1 a 6 - Probabilidade e Estatística

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Cap 1
Modulo 1
Mão na massa
1-A alternativa "B" está correta. Observe que o peso é uma variável não contável, assumindo valores que pertencem ao conjunto dos números reais. Portanto, é uma variável quantitativa contínua.
2- A alternativa correta é "E". A distribuição de frequência é o arranjo dos dados em classes com suas respectivas frequências absolutas.
3- A alternativa "C" está correta. Veja que a terceira classe tem limite inferior e limite superior de classe, respectivamente igual a 20 e 30. Portanto, como o ponto médio da classe é a média aritmética entre os limites inferior e superior, temos que xi é igual a 30.
4- A alternativa "D" está correta.
	Classe (Notas)
	0├10
	10├20
	20├40
	40├80
	Soma
	Fi
	280
	320
	180
	220
	1000
	Fac
	280
	600
	780
	10000
	-
Para determinar a frequência acumulada da terceira classe, lembre-se de que, para a primeira classe, a frequência acumulada é igual à frequência absoluta. A partir daí, começamos a somar as frequências absolutas, de forma que a frequência acumulada da segunda classe é a frequência absoluta da primeira classe mais a frequência absoluta da segunda classe, ou seja, Fac (2º classe) = 280 +320=600. Para determinar a frequência acumulada da terceira classe somamos a frequência acumulada da segunda classe com a frequência absoluta da terceira classe, ou seja, Fac (3º classe)= Fac 2º classe + F3 = 600+180= 780.
5- A alternativa "A" está correta. O histograma é um gráfico de colunas ou barras, que tem por objetivo ilustrar como determinada amostra ou população de dados está distribuída.
6- A alternativa correta é "A". https://player.vimeo.com/video/505241342 
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/505243442
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "D" está correta. Observe que, inicialmente, devemos determinar as frequências relativas com base nos dados da distribuição de frequência. Lembre-se de que a frequência relativa para cada classe é dada por: fi% = .
	Classes
	0├6
	6├10
	10├14
	14├17
	Soma
	Fi
	20
	44
	64
	72
	200
	Fi%
	10
	22
	32
	36
	100
Como desejamos a amplitude entre as frequências relativas, basta calcular a diferença entre a maior e a menor frequência relativa. Assim, a amplitude entre as frequências relativas é igual a 36-10=26.
2- Parabéns! A alternativa "B" está correta. Vimos que o gráfico que representa os dados em distribuição de frequência é o histograma, que nada mais é do que um gráfico de barras justapostas, cujas classes se encontram ao longo do seu eixo horizontal (abcissa) e as frequências absolutas ou relativas são apresentadas no eixo vertical (ordenada).
Modulo 2
Mão na massa
1- A alternativa "C" está correta.
· Média: Veja que, como os dados estão em rol, a média é dada por:
Portanto, a média de vendas nesse dia de trabalho é de aproximadamente R$38,00 reais.
· Mediana: Para o cálculo da mediana levamos em consideração o tamanho da amostra (n). Dessa forma, como o tamanho da amostra é igual a 25, n é ímpar. Portanto:
Emd =
Logo, a mediana é o elemento que ocupa a décima terceira posição: Md=25
· Moda: Para determinarmos a moda, basta verificarmos no conjunto de dados qual o valor que mais se repete. Assim, verificamos que o valor que representa a moda é 25.
2- A alternativa correta é "D". Observe que se multiplicarmos os dados por 2, todos os valores serão multiplicados por 2. Por exemplo, se considerarmos os valores 1, 2, 2, 4 e 6, é fácil ver que a média é igual a 3 e a mediana e moda são iguais a 2. Se multiplicarmos os dados por 2, os seus novos valores serão 2, 4, 4, 8 e 12 e agora a sua média é 6 e a mediana e moda são iguais a 4. Portanto, as novas medidas de posição (média, mediana e moda) ficam multiplicadas por 2. Logo, a opção correta é a D).
3- A alternativa correta é "B".Observe que os dados são apresentados em uma distribuição de frequência. Portanto, utilizaremos as fórmulas para dados agrupados para o cálculo das medidas pedidas:
	Nº de dependentes
	Fi
	Xi.Fi
	Faac
	0
	800
	0
	800
	1
	1200
	1200
	2000
	2
	350
	700
	2050
	3
	150
	450
	2500
	Soma
	2500
	2350
	-
Media = Ẋ= 
Mediana
Para o cálculo da mediana, considere os seguintes passos: 
1) Determinar o elemento mediano.
Emd = 
2) Determinar a classe mediana Cdm, que é a classe que contém o 1250.
	Nº de dependentes
	Fi
	Xi.Fi
	Faac
	0
	800
	0
	800
	1
	1200
	1200
	2000
	→ Classe Mediana
	2
	350
	700
	2050
	3
	150
	450
	2500
	Soma
	2500
	2350
	-
A classe que contém o elemento mediano é a segunda, visto que essa classe contém o elemento de ordem 1250, que é o elemento mediano. 
3) Aplicar a fórmula: Veja que a amplitude das classes é zero. Então, a fórmula para o cálculo da mediana se reduz a: 
Md= LMd + 
Md=1
Na qual LMd é o limite inferior da classe mediana.
4- https://player.vimeo.com/video/505245620
5- A alternativa correta é "A".
Determinar o primeiro elemento quartil. Eqi=i.
Determinar a classe quartil 1 (CQ1).
	classe
	Xi
	Fi
	Xi.Fi
	20├30
	25
	25
	25
	30├40
	35
	35
	60
	
	40├50
	45
	20
	80
	50├60
	55
	12
	92
	60├70
	65
	8
	100
	soma
	-
	100
	-
Observe, pela frequência acumulada, que a classe que contém o elemento quartil 1 é a primeira classe, visto que essa classe contém do primeiro ao 25º elemento.
Aplicando a fórmula, temos:
Q1=Lq1+x h
Q1=20+x10
Q1=30
Logo, o primeiro quartil é igual a 30, o que significa que 25% dos funcionários têm menos de 30 anos e 75% deles têm mais de 30 anos.
6- A alternativa correta é "E". Observe que, para responder a essa questão, é necessário determinarmos a média, mediana e a moda para dados agrupados. Assim, para facilitar o cálculo vamos transportar os dados do histograma para uma distribuição de frequência. 
	Classe
	Fi
	Xi
	Fi.Xi
	Faac
	0├5
	15
	2,5
	37,5
	15
	5├10
	20
	7,5
	150
	35
	10├15
	10
	12,5
	125
	45
	15├20
	5
	17,5
	87,5
	50
	soma
	50
	-
	400
	-
Calculando a média: Ẋ=
Calculando a mediana: Emd= Md= 5+ 
Calculando a moda: Observe que a classe modal é a segunda classe, uma vez que possui a maior frequência absoluta. Daí, aplicando a fórmula de Czuber, temos:
Mo= 5+ 
Calculando o 1º quartil: Eq1 = 1x Qi= 0+ + 
Calculando o 3º quartil: Eq1 = 3xQi= 10+ + 
Portanto, a opção correta é a letra E, pois a mediana que é 7,5 divide o conjunto de dados em duas partes iguais, ou seja, 50% estão abaixo e 50% estão acima de 7,5.
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/505247099
Verificando o aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "E" está correta. Note que as informações estão em forma de dados brutos, visto que não seguem uma ordem aparente. Assim, o cálculo da média é dado por:
2- 
	Classe
	Fi
	Xi
	Fi.Xi
	Faac
	100├300
	8
	200
	2000
	10
	300├500
	10
	400
	3200
	18
	500├1000
	12
	750
	9000
	30
	1000├2000
	15
	1500
	22500
	45
	2000├10000
	5
	6000
	30000
	50
	soma
	50
	-
	66700
	-
Calculando a média: Ẋ=
Calculando a mediana: Emd= , está na 3º classe → Md= 500+ 
a classe modal é a 4º classe, possui a maior frequência absoluta. Mo= 1000+ 
Calculando o 1º quartil: Eq1 = 1x Qi= 300+ + → se encontra na segunda classe
Calculando o 3º quartil: Eq1 = 3xQi= 10+ + 
Modulo 3
Mão na massa
1- A alternativa correta é "B". Veja que, para determinar o desvio-padrão para dados não agrupados, temos que inicialmente calcular a média, que nesse caso é dado por: Ẋ=38,08 e S=22,44
2- A alternativa correta é "C". Como vimos, o desvio-padrão é dado por 26. Logo, podemos dizer que a dispersão em torno da média para o valor dos itens vendidos é de aproximadamente R$26,00 reais.
3- A alternativa "D" está correta. Vimos que, para determinar o Coeficiente de Variação, podemos usar a seguinte expressão: cv%= Assim, podemos dizer que esses dados têm uma dispersão relativa em torno da média de 69,43%.
4- A alternativa correta é "A". https://player.vimeo.com/video/505249213
5- A alternativa correta é "D". Observe que, para o cálculo do coeficiente de variação, precisamos determinar a média. Logo: Ẋ= Assim, cv%= 
6- A alternativa "C" está correta. Vimos que quando Cv%≥30% = Alta dispersão. Comoo CV% é igual a 30,97%, podemos dizer que os dados têm alta dispersão.
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/505250390 
Verificando o aprendizado
1- 
2- 
Cap 2
Mod 1
Mão na massa
1- LETRA E. No vídeo a seguir, o professor vai apresentar a resolução da questão. Assista: https://player.vimeo.com/video/463971980 
2- Observe que o espaço amostral, que é o conjunto de todos os possíveis resultados, é formado pelos seguintes elementos quando fazemos as combinações dos pares AA e Aa: S = {(AA), (Aa), (AA), (Aa)}. Assim, considere o evento A: “Ter um filho com gene dominante”. Dessa maneira, segundo o conceito de probabilidade frequentista: P(A)=	; Logo, a chance de o casal ter um filho com gene dominante é de 50%.
3- Letra a. https://player.vimeo.com/video/463972970 
4- Letra d. Já sabemos que nosso espaço amostral é composto por esses 100 números. Portanto, n(S) = 100. Agora, vejamos o evento de interesse. Seja A: “O número escolhido é divisível por 7”, então: {7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98}. Logo P(A)=	; Assim, para cada 50 números escolhidos, 7 são divisíveis por 7.
5- Letra b. Seja P: “O número escolhido é primo”, logo: n(A) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97} Então: P(A)=	. Assim, para cada 25 números escolhidos, 6 são números primos.
6- Seja o evento A: “Ter peso abaixo de 80kg”, portanto: P(A)=	. Portanto, a cada 10 funcionários, 3 têm peso abaixo de 80kg.
Testando conhecimento
1- https://player.vimeo.com/video/463969283 
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "C" está correta. Sejam os eventos A: “camisas com defeitos no tamanho” e B: “camisas com defeitos no fio”. Observe que não temos camisas com os dois tipos de defeito. Assim, podemos afirmar que os eventos são disjuntos: P(AUB)= 
2- Parabéns! A alternativa "D" está correta. Seja o evento B: “Ter altura acima de 1,70m”, então: P(AUB)= 
Modulo 2
Mão na massa
1- Apesar de a ideia de probabilidade frequentista estar sempre presente nas soluções de problemas que envolvem probabilidade, para encontrarmos o número de eventos no qual estamos interessados, poderemos recorrer a técnicas de contagem, como no caso desta questão. Assim, definimos o evento A como “Formar um código que contenha 2 números e 3 letras, de modo que não tenha nem números nem letras repetidas”. Dessa forma, considerando que podemos atribuir 10 números e 26 letras para o código, temos: P(A)= 
2- Para resolver este problema, podemos utilizar os conceitos de combinação – tópico inerente à análise combinatória. Primeiro, vamos fazer o cálculo do total de comissões satisfatórias. Seja o evento A: “Formar comissão com 3 engenheiros e 2 matemáticos”. Veja que, para escolher 3 engenheiros, escolheremos dos 20 existentes. Portanto, combinação de 20 escolhe 3. O mesmo raciocínio vale para a escolha dos 2 matemáticos: combinação de 10 escolhe 2, portanto: Por isso: n(A) = 51300.
Agora, vamos fazer o cálculo do total de comissões possíveis: Logo: n(S) = 142506.
Por fim, vamos fazer o cálculo da probabilidade: P(A)= 
Assim sendo, a chance de termos uma comissão formada por 3 engenheiros e 2 matemáticos é de, aproximadamente, 36%.
3- 
4- https://player.vimeo.com/video/463976170
5- 
6- https://player.vimeo.com/video/463978905
testando conhecimento
1- https://player.vimeo.com/video/463974133
verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "B" está correta. Seja o evento A: “Selecionar 3 candidatos dos quais exatamente dois tenham pós-doutorado”, assim: 
2- Parabéns! A alternativa "A" está correta.Para resolver esta questão, lembre-se da permutação com repetição, a fim de determinar o número de maneiras para escolher n elementos, dos quais x são iguais, y são iguais e z são iguais, que é dada por: Agora, multiplique por suas respectivas probabilidades elevadas ao número de elementos de cada estágio ou repetição. Assim, essa probabilidade é: 
Modulo 3
Mão na massa
1- Letra e. Sejam os eventos A: “O físico resolve a questão” e B: “O engenheiro resolve a questão”. Veja que os eventos A e B são independentes, pois o fato de o físico resolver a questão não interfere no fato de o engenheiro resolver a questão. Logo:
2- Letra c. https://player.vimeo.com/video/463981873 
3- Letra b. Considere novamente os eventos A: “Preferir a marca A” e M: “Ser mulher”. Para que os eventos sejam independentes, devemos saber que: 
4- Letra a. 
5- Letra c. Considere os eventos Ai: “A moeda na i-ésima retirada é de 1 real” e Bi: “A moeda na i-ésima retirada é de cinquenta centavos”. Observe que, como a retirada é sem reposição, a retirada da primeira moeda não afeta a probabilidade da segunda. Por isso:
6- Letra b. https://player.vimeo.com/video/463983258 
Testando conhecimento
1- https://player.vimeo.com/video/463980443 
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "B" está correta. Vamos ao raciocínio:
Portanto:
2- Parabéns! A alternativa "D" está correta. Como A e B são independentes, temos que: 
Modulo 4 
Mão na massa
1- Letra c. https://player.vimeo.com/video/463989551 
2- Letra b. Considerando os eventos da questão anterior, temos que Ac: “Ter resistência ao arranhão baixa” e Bc: “Ter resistência ao choque alta”. Assim, a probabilidade pedida é:
3- 
4- Letr C https://player.vimeo.com/video/463994181
5- LETRA A. Sejam os eventos A: “O componente foi produzido pela fábrica A”, B: “O componente foi produzido pela fábrica B” e D: “O componente é defeituoso”. Empregando o teorema de Bayes, temos:
6- LETRA D. Sejam os eventos Y: “Comprar um notebook da marca Y”, A: “Classe A”, B: “Classe B” e C: “Classe C”. Usando o teorema de Bayes, temos:
Testando conhecimento
1 - https://player.vimeo.com/video/463985167 
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "D" está correta. Observe que queremos determinar a probabilidade de que o empregado seja mulher, dado que ganha mais de 10 salários mínimos. Como conhecemos as probabilidades individuais do sexo dos empregados e as probabilidades condicionais dos empregados que ganham mais de 10 salários mínimos dado o sexo, o teorema mais apropriado para resolver a questão seria o teorema de Bayes.
2- Parabéns! A alternativa "C" está correta. Considere os eventos H: “O cliente é homem” e P: “O cliente pertence ao plano pré-pago”, logo:
Cap 3
Modulo 1
Mão na massa
1- A alternativa "C" está incorreta. Como vimos neste módulo, toda probabilidade condicional também é uma probabilidade; portanto, os três axiomas da probabilidade também valem para ela. A letra "a" nada mais é do que o segundo axioma da probabilidade. Pela lei da probabilidade condicional, sabemos que:
Desse modo, a letra "b" também está correta. Graças a essa lei, também estamos cientes de que:
Portanto, a letra "c" está incorreta.
Sabendo que P(AIB) =0,2 e P(B)=0,8, podemos fazer substituições na equação da probabilidade condicional para obtermos isto: P(A∩B)=0,16. Desse modo:
A alternativa "d" é verdadeira. Por fim, pela Lei de De Morgan, AcUBc=(A∩B)c. Já pela lei da probabilidade condicional, verificamos que P(A∩B)=0,2x0.6=0,12. Sabemos, assim, que:
E, por fim, vemos que:
Logo, a alternativa "e" é correta.
2- A alternativa correta é "D".
Queremos a probabilidade de ser mulher dado que está desempregada: 
Essa probabilidade é igual a 0,12. Já a de ser desempregada é igual a 0,16. Desse modo, a probabilidade de ser mulher dado que está desempregada é igual a 0,12/0,16 = 0,75.
3- A alternativa correta é "C".
Eis a probabilidade de ser mulher: 
Vejamos agora a probabilidade de ser mulher e pobre: 
Queremos calcular
4- A alternativa correta é "A". A probabilidade de sair uma peça defeituosa na primeira retirada é igual a: P(D1)= . Além disso, dado que, na primeira retirada, já saiu uma peça defeituosa, a probabilidade de que saia outra com defeito na segunda retirada é igual a P(D2ID1)= . Desse modo: 
P(D1, D2) =P(D1∩D2) = P(D1)∙P(D2|D1) = 310∙29=690 =115
5- A alternativa correta é "C". O primeiro evento de interesse é ter olhos castanhos: C. A probabilidadede ocorrer C é dada pela soma daquelas com olhos dessa cor dividido pelo número de mulheres: P(C) = (9+14+3) /50 = 26/50 = 13/25
O segundo evento, por sua vez, é ser morena: M. A probabilidade de ser morena é dada pelo número daquelas que o são dividido pelo total de mulheres: P(M) = (14+4) /50 = 18/50 = 9/25
Já a probabilidade de ser morena e ter olhos castanhos é dada por: P(C∩M) = 14/50 = 7/2
Com isso, utilizando nossos conhecimentos de probabilidade condicional, verificamos que: P(M|C) = P(C∩M) /P(C) ⇒ P(M|C) = (7/25) / (13/25) = 7/25.25/13 ⇔ P(M|C) = 7/13 ou 14/26
6- A alternativa correta é "D". No todo, temos:
Há 10 possíveis grupos formados por três pessoas sabendo que há cinco delas.
Nosso primeiro evento é o número de grupos em que Joana não participa:
Assim:
Já o segundo evento de interesse é o número de grupos em que Rafael é membro:
Desse modo:
Sendo J^C∩R igual aos grupos que não têm Joana, mas têm Rafael, vemos que:
Sabemos, assim, que:
Testando conhecimento
1- Para saber a probabilidade de um homem ser promovido, é preciso que ela obtenha a probabilidade condicional de um funcionário sê-lo dado que ele é homem. A ideia por trás da probabilidade condicional é que apenas os casos favoráveis ao evento condicionante (B = ser homem) passam a ser os casos possíveis. Portanto, a probabilidade de A dado B é igual ao número de homens promovidos (46) dividido pelo número total deles (230): 46/230 = 0,2.
Para vermos como a condicional é distinta da probabilidade de interseção, suponhamos que a aluna queira calcular a probabilidade de um funcionário ser homem e ser promovido. Diretamente da tabela, vemos que 46 indivíduos satisfazem a ambas as condições, isto é, A = “ter sido promovido e B = “ser homem”. Dessa forma, verificamos que:
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "C" está correta. Para cada dado, existem seis possibilidades de resultado. Como temos dois dados, elas são 36, uma vez que, para cada possibilidade do primeiro, há seis possibilidades do segundo. Para encontrarmos P(A), precisaremos obter as combinações que somam seis: (5,1); (4,2); (3,3); (2,4); (1;5). Ou seja, P(A)=5/36.
As possíveis combinações nas quais os dois dados dão um resultado par estão expressas a seguir: (6,6); (6,4); (6,2); (4,6); (4,4); (4,2); (2,6); (2,4); (2,2). Ou seja, são nove eventos. Assim, P(B) = 9/36.
Temos apenas duas opções que atendem simultaneamente aos dois requisitos: (2,4) e (4,2). Assim, P(A∩B) = 2/36. Desse modo: 
2- Parabéns! A alternativa "E" está correta. Consideremos o evento de José perder na primeira partida denotado por P1. A probabilidade de derrota nessa partida é o evento complementar a ele ganhar. Assim:
De forma análoga, podemos calcular a probabilidade de ele perder na segunda partida:
Na terceira partida, a probabilidade de derrota é a de ele ganhar na 1ª partida vezes a de ele ganhar na 2ª multiplicada pela probabilidade de perder na terceira. Com isso, vemos que:
De forma análoga, a probabilidade de ele perder na final é calculada por:
Desse modo, a probabilidade de José ser campeão, P(C), é 0,168. Com isso, a de ele chegar à semifinal, dado que ele não é campeão, é dada por esta fórmula:
Sabemos que:
Também sabemos que:
Fazendo a substituição, chegamos a:
Modulo 2
Mão na massa
1- A alternativa correta é "B". Sabemos que os eventos são disjuntos:
Com isso, temos:
2- A alternativa correta é "D". Como os eventos são independentes, temos:
Sabemos, assim, que:
Neste caso particular, verificamos que:
Assim:
Logo:
Portanto, temos:
3- A alternativa "D" está correta. Se dois eventos são independentes, a ocorrência de um não afeta a de outro. Com isso, sabemos duas coisas :P(AIB)= P(A) , assim como a probabilidade condicional é igual à incondicional. Por meio desses conceitos, verificamos que AC e B, A e BC e AC e BC serão independentes quando houver independência entre A e B. Portanto, a alternativa "D" está incorreta. Pela definição de independência, vemos que: 
4- A alternativa correta é "B". Dado que são eventos independentes, vemos que:
A probabilidade de que nenhum deles ocorra é dada por:
5- A alternativa correta é "D". A probabilidade de A dado B pode ser reescrita como:
Essa probabilidade é obtida por meio de:
Como os eventos A e B são independentes, sabemos que:
Dado que X e Y são um número entre 0 e 1, a probabilidade de eles serem maiores ou iguais a 0,5 é igual a 1/2. Com essas informações, vemos que:
6- A alternativa correta é "A". Por definição, eventos mutuamente exclusivos são aqueles em que a ocorrência de um impede a de outro. Portanto, eventos mutuamente exclusivos não podem ser independentes, o que já torna as alternativas "c", "d" e "e" incorretas. Como a ocorrência de um evento impossibilita a de outro, é impossível que o evento certo ocorra. Dessa maneira, a alternativa "b" também está incorreta. Por exclusão, concluímos que a probabilidade condicional é zero.
Teoria na pratica
1- Como Fernanda retira duas peças com reposição ao acaso, ou seja, após retirar a primeira peça, ela a coloca de volta no lote para que possa efetuar a segunda retirada, temos de: 
Como queremos a probabilidade de Fernanda tirar duas peças defeituosas, precisamos encontrar a probabilidade de ela retirar uma peça defeituosa na primeira e na segunda retirada. Como a primeira e a segunda retiradas são realizadas de maneira independente, verificamos que:
Portanto, a probabilidade de ela retirar uma peça defeituosa nas duas retiradas é igual a 9%.
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "C" está correta. A probabilidade de ser defeituoso, P(D) = 5/12 e a de ser bom, é P(B)=7/12. Já a probabilidade dos quatro serem defeituosos é igual à de o primeiro e o segundo e o terceiro e o quarto o serem. Dessa maneira, encontramos isto:
Como os eventos são independentes, notamos que:
Dado que não há reposição, verificamos o seguinte:
Desse modo:
2- Parabéns! A alternativa "D" está correta. Considere C1 o evento do primeiro cliente pagar com cartão de crédito e C2 o do segundo cliente fazer o pagamento da mesma forma. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de o primeiro e o segundo cliente pagarem com cartão de crédito, ou seja, P(C1∩C2). Como sabemos que os dois eventos são independentes, podemos escrevê-lo da seguinte maneira:
Sabemos que:
Com isso:
Modulo 3
Mão na massa
1- A alternativa correta é "C". Para calcularmos P(BIA), temos de utilizar a regra de Bayes: Pela árvore de probabilidade, vemos que P(AIB)= 0,45x0,3= 0,135. Sabemos que P(B)= 0,45 e, pela lei da probabilidade total, P(A)= (0,45x0,3) + (0.x0.55)= 0,19. Desse modo, vemos que:
2- A alternativa correta é "A". Consideremos P(reec)=0,2 igual à probabilidade de uma economia passar por uma recessão. O evento complementar é igual à probabilidade de ela não passar por uma: P(ñreec)=0,8. A probabilidade de o modelo prever uma recessão quando ela, de fato, ocorre é igual a P(MPIreec)=0,8. Já a de o modelo a prever quando ela não ocorre é P(MPInreec)=0,1. Queremos calcular:
Podemos escrever desta forma:
Primeiramente, devemos encontrar a probabilidade de o modelo prever uma recessão. Vamos usar a lei da probabilidade total, em que:
Assim, temos que:
3- A alternativa correta é "E". Consideremos A = “passar na ANPEC” e B = “ter tido bom desempenho em probabilidade". O enunciado, portanto, nos fornece o seguinte: P(AIB)= 0,9; P(AIBC)=0,3; P(B)=0,02. O que a questão nos pede é P(A) . Pela lei da probabilidade total, vemos que:
Com isso, encontramos:
4- A alternativa correta é "A". Consideremos A = “passar na ANPEC” e B = “ter tido bom desempenho em probabilidade". O enunciado nos fornece isto: P(AIB)= 0,9; P(AIBC)=0,3; P(B)=0,02. Para respondermos à questão, precisamos calcularmos P(B|A). Vamos utilizar a regra de Bayes para isso:
5- A alternativa correta é "B". Consideremos os eventos A = ser diretor da empresa, B1 = ser analista, B2 = ser engenheira, e B3 = ser economista. O enunciado nos fornece as seguintes probabilidades: P(B1)=0,2; P(B2)=0,3; P(B3)=0,5;P(AIB1)= 0,01; P(AIB2)= 0,02 e P(AIB)= 0,03. Ampliando a lei da probabilidade total para três eventos, vemos que:
6- A alternativa "C" está correta. Consideremos os eventos A = ser diretor da empresa, B1 = ser analista, B2 = ser engenheira e B3 = ser economista. O enunciado nos fornece as seguintes probabilidades: P(B1)=0,2; P(B2)=0,3; P(B3)=0,5; P(AIB1)= 0,01; P(AIB2)= 0,02 e P(AIB)= 0,03. Para respondermos à questão acima, precisamos calcular P(B2IA). Aplicando a regra de Bayes, vemos que:
Teoria na pratica
1- Resolução
a) Para respondermos a essa pergunta, o que nos interessa é P(M∩R). Podemos então reescrever as probabilidades no formato da árvore de probabilidade. Vemos então que: P(M∩R) = P(MIR). P(R)= 0.37.0,1=0,037. Desse modo, a probabilidade de um eleitor escolhido ao acaso morar na RM e votar na Marina Silva é 3,7%.
b) Para calcularmos a probabilidade de o eleitor escolhido ao acaso votar na Marina Silva, temos de achar P(M). Pela lei da probabilidade total, podemos escrever o seguinte:
Pela nossa árvore de probabilidades, sabemos que:
Desse modo, vemos que: 
Portanto, a probabilidade de um eleitor escolhido ao acaso votar nela é 6,85%.
c) Para calcularmos a probabilidade de um eleitor morar em uma RM dado que ele vota na Marina Silva, devemos obter P(RIM). Pela regra de Bayes, podemos escrever isto e substituindo os valores na fórmula, obtemos:
Portanto, a probabilidade de um eleitor morar em uma RM, dado que ele vota na Marina Silva, é de 54%.
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "E" está correta. Para resolvermos esse problema, consideraremos D o evento de a pessoa testada ter a doença e E, o de que o resultado do teste seja positivo. Dessa maneira, a probabilidade desejada P(DIE) é dada por:
Portanto, apenas 32% das pessoas cujos resultados do teste deram positivo realmente possuem a doença.
2- Parabéns! A alternativa "C" está correta. Consideremos C o evento de chover em julho e B o de o Bangu ganhar um jogo. Pelo enunciado, sabemos que: P(C)= 0,3; P(BIC)= 0,4 e P(BICC)=0,6. Pelo primeiro axioma da probabilidade, vemos que: P(BCIC)= 1 - P(BIC)= 1- 0,4 = 0,6. A questão nos pede P(C|B). Pela regra de Bayes, sabemos que:
Pela lei da probabilidade total, chegamos ao seguinte resultado: 
P(B)= P(BIC). P(C) + P(BICC). P(CC) = 0,3 . 0.4+ 0,6 .0,7 = 0,54
Substituindo a probabilidade total de F na regra de Bayes, chegamos a isto:
Cap 4
Modulo 1
Mao na massa
1- A alternativa correta é "E". Para obtermos a probabilidade de Mariana obter 3 caras, vamos usar a distribuição de probabilidade de X, a variável aleatória que representa o número observado de caras. Essa variável aleatória pode assumir qualquer valor no conjunto {0,1,2,3}. Para obtermos X=3, devemos ter 3 caras. Cada uma tem probabilidade igual a 1/2 e os lançamentos são independentes. Portanto, P(X=3)=(1/2)3=1/8. A distribuição completa de X é:
2- A alternativa "B" está correta. Para encontramos o valor da constante, precisamos utilizar a propriedade que . Assim:
3- A alternativa correta é "B". Para x < 0, temos que F(x) = 0. Para 0≤ x < 1, devemos integrar a f(x) com respeito a x para obtermos F(x). Assim, 
Substituindo f(x), temos que 
Já para valores de x ≥ 1, F(x) = 1.
4- A alternativa correta é "E". As alternativas a, b, c e d seguem diretamente das propriedades vistas no módulo 1. A alternativa e está incorreta, uma vez que, para obtermos f(x), derivamos F(x) com respeito a x.
5- A alternativa "C" está correta. Como sabemos que Y = X2, primeiro devemos calcular os valores que Y pode assumir. Assim, para cada valor de x teremos um valor de y. Quando x = -1, y = x2 =1 e assim por diante, de forma que y∈ {1,4,9}. Agora, podemos calcular a distribuição de Y da seguinte maneira: Quando y = 1:P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) =1/4 + 1/4 = 1/2, o que responde à questão. Quando y = 4:P(Y=4) = P(X=2) = ¼ e Quando y = 9:P(Y=9) = P(X=3) = ¼
6- A alternativa correta é "A". Sabemos que F(y) = P(Y≤y). Sabemos também que Y = -ln(x), e, portanto, podemos substituir Y = -ln(x) em F(y) = P(Y≤y), de modo que obteremos P(-ln(X)≤y). Assim, P(X≥e-y)= 1-Fx (e-y), para y>0. Para obtermos f(y), devemos derivar F(y) com respeito a y. Teremos então:
Teoria na prática
1- Resolução. Seja V o evento do ativo sofrer valorização e seja N o evento em que o ativo não sofreu valorização. Podemos montar a seguinte tabela:
Seja G os possíveis valores que o ganho pode assumir. Temos que G ∈{-199,-1,201}. 
Temos, então:
P(G=-199)=0,16
P(G=-1)=0,48
P(G=201)=0,36
Portanto, a probabilidade de o investimento não ser lucrativo (G<0) é de 0,16+0,48 = 0,64.
Verificando aprendizado
1-Parabéns! A alternativa "A" está correta. Para resolvermos a questão, é preciso encontrar primeiro o valor de k. Para isso, vamos usar a propriedade da função de densidade, em que 
Substituindo nossa função de densidade na equação, temos que: 
Assim, 
2- Parabéns! A alternativa "E" está correta. Para encontrarmos P(X+Y=3), precisamos primeiro encontrar os valores possíveis que Y assume. Para isso, devemos substituir os valores que X assume na expressão Y. Assim, temos que Y assume os seguintes valores: -2, 1 e 4, com as respectivas probabilidades 1/3, 1/2 e 1/6. Para calcularmos a probabilidade da soma ser igual a 3, precisamos saber quais das possíveis combinações sejam igual a 3. Assim, P(X+Y=3) acontece quando X assume valor -1 e Y assume valor 4. A probabilidade de que isto ocorra é (1/3)×(1/6)=1/18.
Módulo 2
Mão na massa
1- A alternativa correta é "D". Para calcularmos o valor esperado de uma variável aleatória contínua, temos que utilizar a seguinte fórmula:
2- Letra A. Queremos encontrar V(Y). Sabemos que Y = 6X+10, assim, V(Y) = V(6X+10). Pela propriedade da variância, sabemos que V(6X+10) = 62 V(X). Portanto, precisamos calcular V(X). O enunciado nos fornece apenas a função de densidade de probabilidade, de forma que será preciso calcular o valor esperado de X, para então aplicarmos V(X)= E(X) - E2(X). Como vimos neste módulo, E(X)=∫x xf(x)dx. Assim, substituindo nossa f(x), temos que:
Agora, podemos calcular E(X2), que será igual a. Portanto:
3- A alternativa correta é "A".
E(X)=1×0.5+0×0.5=0.5
E(X2 )=12×0.5+02×0.5=0.5
E2(X)=0.52=0.25
Logo: V(X)= E(X2) - E2(X)= 0.5-0.25 = 0.25
4- A alternativa correta é "D". Observe inicialmente que E(X)=pa+(1-p)b. Logo: E2(X)=(pa+(1-p)b)2=
 p2a2+(1-p)2b2 + 2ap(1-p)b= p2 a2+(1-2p+p2)b2+2apb-2ap2 b= p2a2+b2-2pb2+p2b2+2apb-2ap2b
Além disso: E(X2 )= pa2+(1-p) b2=pa2+b2-pb2
Temos, então: V(X)= E(X2 )-E2 (X) =pa2+b2-pb2 -(p2 a2 + b2- 2pb2 +p2b2+2apb-2ap2b)
=pa2+pb2-(p2a2+ p2b2+ 2apb-2ap2 b)
5- A alternativa correta é "C". A primeira e a última alternativas estão incorretas, uma vez que, pela classificação em relação à assimetria, a distribuição A possui assimetria positiva. De maneira semelhante, a segunda e a quarta alternativas estão incorretas, uma vez que a distribuição B é simétrica. Assim, a única correta é a letra c.
6- A alternativa correta é "A". A diferença entre a esperança do quadrado e o quadrado da esperança é simplesmente a variância, que é não negativa porque é a esperança de um valor elevado ao quadrado (e o quadrado de qualquer número real é não negativo).
Teoria na pratica
1- Primeiro, ela decide começar pelo valor esperado. L=2L1+3L2 E(L)=E(2L1)+E(3L2)
Pela propriedade da esperança, sabemos que E(AX)=AE(X). Assim: E(L)=2E(L1) + 3E(L2) = E(L)=2.5+3.4=22
Portanto, o lucro esperado da corretora é de 22 milhões de reais. A gerente, agora interessada no desvio padrão, calcula a variância: V(L)=V(2L1)+V(3L2)
Pelas propriedades vistas sobre variância, sabemos que, sendo a uma constante, temos que V(aX)=a2X. Assim, podemos aplicar a propriedade e obteremos: V(L)= 4V(L1)+9V(L2) = 4.16+9.4=64+36 = 100
Portanto, a variância do lucro da corretora é igual a 100 milhões de reais. Por fim, para obter o desvio padrão do lucro, a gerente utiliza a seguinte fórmula:
Sendo, então, o desvio padrão do lucro da corretora igual a 10 milhões de reais.
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa"B" está correta. Seja X o preço do produto em dólares. Então: E(X)=80, DP(X)=8 eV(X)=64. Seja Y o preço do produto em reais. Y=2X. Assim, E(Y)=2E(X)=160, V(Y)=22 V(X)=4*64=256 e DP(Y)=16.
2- Parabéns! A alternativa "E" está correta. Seja Z o preço em dólares após o aumento. Então: Z=X+10. Logo, E(Z)=E(X)+10=90 dólares e V(Z)=V(X)=64 dólares.
CAP 5
MODULO 1
MÃO NA MASSA
1- A alternativa "C" está correta. Veja que, no lançamento de uma moeda 4 vezes, podem ocorrer de 0 a 4 faces cara!
2- A alternativa correta é "B". Para determinar o valor esperado de X, precisamos inicialmente apontar a distribuição de probabilidade de X, ou seja, definir a probabilidade de cada um dos seus possíveis valores. Para facilitar o cálculo dessas probabilidades, considere o seguinte espaço amostral associado ao experimento de lançar 4 moedas:
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	P(X = x)
	1/16
	4/16
	6/16
	4/16
	1/16
Simplificando o resultado das probabilidades, temos:
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	P(X = x)
	1/16
	1/4
	3/8
	1/4
	1/16
Assim, o valor esperado de X é dado por: 
3- A alternativa "D" está correta. https://player.vimeo.com/video/480855797
4- A alternativa correta é "A". Para calcular o ganho esperado, basta aplicar a fórmula da esperança matemática
5- A alternativa correta é "E". Observe que a função de distribuição acumulada é dada por:
6- A alternativa correta é "A". Note que a variância de X é dada por: v(x)= E(x2)- E(X)2
E(x2) = 02X0,10 + 12X0,3 + 22X0,4 + 32X0,20 = 0+ 1X0,3 + 4X0,4 + 9X0,20= 0 +0,3+1,6+ 1,8= 3,7
E(X)= 0X0,10 + 1X0,3 + 2X0,4 + 3X0,20 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7
v(x)= E(x2)- E(X)2 = 3,7 – (1,7) 2= 3,7 – 2,89 = 0,81
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/480857920
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "C" está correta. Para resolver a questão, precisamos determinar inicialmente a distribuição de probabilidade de X. Assim,
	X
	0
	1
	2
	3
	P(X = x)
	1/8
	3/8
	3/8
	1/8
 
2- Parabéns! A alternativa "D" está correta. Considere a variável aleatória D: “Despesa com disciplina”. Então, para uma disciplina, o estudante terá uma despesa de R$300,00, para duas disciplinas terá uma despesa de R$600,00, e assim por diante, de forma que a distribuição de probabilidade de X é dada por: 
	D
	300
	600
	900
	1200
	P(D = d)
	1/8
	3/8
	3/8
	1/8
Logo, a despesa esperada será de R$885,00.
MODULO 2
MÃO NA MASSA
1- A alternativa correta é "D". Note que a variável aleatória X se caracteriza como uma distribuição de Bernoulli, pois temos uma única tentativa de um experimento, nesse caso, o lançamento do dado, com dois resultados possíveis, sucesso quando o resultado do dado for par e fracasso quando o resultado for ímpar. Além disso, sabemos que o valor esperado da distribuição de Bernoulli é p, que é a probabilidade de sucesso, portanto, a resposta é 1/2, visto que p = 3/6 = 1/2.
2- A alternativa "B" está correta. Seja X: “Obter cara no lançamento de uma moeda”. Veja que esse experimento se caracteriza como uma distribuição binomial, visto que temos 10 tentativas sucessivas e independentes de um experimento, que nesse caso é o lançamento da moeda. Além disso, só temos dois resultados possíveis para a variável aleatória que conta o número de caras, sucesso com probabilidade p = 1/2 e fracasso com probabilidade q = 1/2. Assim,
3- A alternativa correta é "E". Considere a variável aleatória X que representa o resultado cara.
4- A alternativa correta é "C". Seja a variável aleatória X que representa o número de meninos. Logo,
5- https://player.vimeo.com/video/480861848 
6- A alternativa correta é "C". Sabendo que o valor esperado de uma binomial com parâmetros n e p é igual a np, temos: E(X)=np = 100x 0,02 = 2. Como queremos a média para 10 lotes, temos: 10×2=20 dispositivos.
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/480862977 
Verificando aprendizado
1- Letra e. Seja a variável aleatória X: “O motor funcionar”. Assim, calcular a probabilidade que todos funcionem bem equivale a determinar a probabilidade que nenhum funcione. Daí,
2- Letra d. Seja X a variável aleatória que representa a quantidade de itens não conformes. Dessa forma, podemos dizer que X segue um binomial (n, p = 0,01). Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no mínimo um item não conforme na amostra seja de, no mínimo, 0,90.
Para resolver essa desigualdade, aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade. Assim,
MODULO 3
MÃO NA MASSA
1- A alternativa "A" está correta. Veja que o problema trata do número de tentativas para se obter um evento pela primeira vez. Portanto, possui a característica da distribuição geométrica. Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas até a ocorrência da primeira face dois. Então, X~G(p=1/6) e vimos que: Se X é geométrica:
2- https://player.vimeo.com/video/480865594 
3- A alternativa correta é "D". Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior tem distribuição geométrica com parâmetro p = 1/3. Temos:
4- A alternativa correta é "E". Observe que temos uma população de 30 bolas e que será retirada uma amostra de 5 bolas na qual se quer calcular a probabilidade de termos 2 bolas brancas, que é uma característica que está dentro da população. Portanto, temos que a questão se caracteriza como uma distribuição hipergeométrica. Nessa questão temos N=30, r=10, n=5 e x=2. 
5- A alternativa "B" está correta. Seja a variável aleatória X: “Número de peças defeituosas na amostra”. Nesse caso, X segue uma distribuição hipergeométrica, em que N=150, r=15, n=30 e x=5. Assim,
6- A alternativa correta é "A". Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior segue uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=150, r=15 e n=30, temos:
Teoria na prática
1 https://player.vimeo.com/video/480866110 
Verificando aprendizado
1 - Parabéns! A alternativa "B" está correta. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o passageiro terá que passar no raio-X para que a moeda seja detectada pela primeira vez. Então, X~G(p=0,80). Assim,
2- Parabéns! A alternativa "C" está correta. Seja X a V.A. que representa as vagas de idosos nesse estacionamento. Portanto, X é uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=180, r=30 e n=20. Assim,
MODULO 4
MÃO NA MASSA
1- A alternativa correta é "C". Seja X a variável aleatória discreta que representa chamadas por dia. Veja que X representa o sucesso (chamadas) em um processo de Poisson, em que eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (dia). Assim, pode-se dizer que X~P(λ=2), ou seja,
2- A alternativa correta é "B". Observe que, na questão anterior, a média λ era de 2 chamadas por dia. Utilizando a propriedade de proporcionalidade de λ, temos que em uma semana λ = 14 (2 x 7). Logo, 
3- Letra d. https://player.vimeo.com/video/480868819
4- A alternativa "E" está correta. Observe que, se em 5 páginas a média λ é igual a 3, portanto, em uma página, teremos 3/5 erros. Então,
5- A alternativa correta é "A". Seja a variável aleatória X: “Reclamações por hora”. Logo, X~P(λ=5). No entanto, o problema pede a probabilidade de que receba apenas uma reclamação em 10 minutos. Portanto, em 10 minutos, λ = 5/6. Assim
6- A alternativa correta é "E". Observe que a questão poderia ser resolvida por meio de uma distribuição Binomial, pois temos que a variável aleatória, digamos X, representa o número de defeitos (sucessos) nas visitas, isto é: X-B (n=1000; p=0,01). Dessa forma, a solução poderia ser obtida por:
Note que quanto maior o valor de x a calcular, mais trabalhoso seria o montante dos cálculos. Além disso, teríamos que trabalhar com os fatoriais das combinações. Dessa forma, para facilitar os cálculos poderíamos usar a distribuição de Poisson para resolver esta questão. Nesse caso, consideraremos a aproximação da distribuição Binomial pela distribuição de Poisson, bastando fazer λ = np = 1000 x 0,01 = 10. Assim,
Observe que os resultados são bem aproximados.
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/480869830
Verificando aprendizado1- Parabéns! A alternativa "B" está correta. Seja a variável aleatória X: “Incidência da doença por habitante”. Veja que X~P(λ=1). Portanto, em uma cidade de 500.000 habitantes, X será uma Poisson com λ = 5. Assim,
2- Parabéns! A alternativa "A" está correta. Veja a probabilidade de uma lâmpada queimar com probabilidade 0,01 e poderíamos resolver utilizando a distribuição binomial. No entanto, para evitar, usaremos a distribuição de Poisson com λ = 100.
Cap 6
MODULO 1
MÃO NA MASSA
1- A alternativa correta é "E". Solução: Para que f(X) seja uma fdp, é necessária que essa função satisfaça:
2- A alternativa "B" está correta.
3- https://player.vimeo.com/video/489089946
4- A alternativa "D" está correta.
5- A alternativa correta é "A".
6- A alternativa correta é "E".
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/489091149
Verificando o aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "A" está correta. Para que f(X) seja uma fdp é necessário que essa função satisfaça:
2- Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Modulo 2
MÃO NA MASSA
1- A alternativa "C" está correta. 
2- A alternativa "B" está correta.
3- A alternativa correta é "E".
4- A alternativa "A" está correta.
5- https://player.vimeo.com/video/489100524 
6- A alternativa correta é "D".
Teoria na prática
1 https://player.vimeo.com/video/489102023 
Verificando o aprendizado
1 - Parabéns! A alternativa "B" está correta.
2- Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Modulo 3
MÃO NA MASSA
1- A alternativa correta é "D". Solução: Se 
Observe que para resolver essa questão, podemos utilizar a função de distribuição acumulada. Dessa forma, sabendo que a distribuição acumulada da Exponencial é dada por:
Tem-se:
2- A alternativa "C" está correta. A função de distribuição acumulada é dada por e como λ = 1 e x = 3, temos:
3- A alternativa correta é "A". Solução: Sabemos que, se:
4- https://player.vimeo.com/video/489105541 
5- A alternativa correta é "C".
6- A alternativa correta é "A".
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/489106673 
Verificando aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "B" está correta. Solução: Seja a variável aleatória X o tempo entre chegadas de mensagens no e-mail. Como o tempo médio é de 30 minutos, isso implica que
2- Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Modulo 4
MÃO NA MASSA
1- A alternativa "B" está correta.
2- A alternativa "D" está correta. Note que a questão dá a variância, mas na transformação para a variável Z, utilizamos o desvio-padrão, que é a raiz quadrada da variância. Portanto, o desvio-padrão é igual a 10.
3- A alternativa correta é "E".
4- A alternativa correta é "C".
5- https://player.vimeo.com/video/489109919 
6- A alternativa correta é "A". Solução: Vimos que a distribuição t de Student tem média zero e variância dada por n/(n-2) . Como n = 4, temos que essa distribuição t terá média zero e variância = (4/(4-2)) = 2.
Teoria na prática
1- https://player.vimeo.com/video/489112680 
Verificando o aprendizado
1- Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Assim, temos que a probabilidade de um funcionário ganhar mais de R$ 5.500,00 é de 0,02, o que significa, em termos práticos, que apenas 2% dos funcionários dessa empresa ganham mais de R$ 5.500,00.
2- Parabéns! A alternativa "A" está correta. Solução: Seja S a variável que representa o peso do saco de cimento, de forma que C~N(20,1), e C a variável que representa o peso do caminhão, ou seja, C~N(1000,10000). Seja D a variável que representa o caminhão com os 50 sacos de cimento. Então: