Apostila Matemática Básica

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• “Zeros” no final da escrita decimal não alteram o valor do número representado. 
 
 
• Compare números decimais começando pela parte inteira. Depois compare os 
décimos, centésimos, milésimos, etc. 
 
 
 
 
576,28 + 94,7 = 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ADIÇÃO 
Introdução Operação de adição entre números inteiros 
 3875 + 763 = 
 
Operação de adição entre números decimais 
 Notas 
 
 
 
2 
 
 
794,3 + 81 + 50,542 = 
 
 
 
Propriedades 
• Elemento neutro 
𝑎 + 0 = 𝑎 
 
• Comutativa 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
 
• Associativa 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Operação de subtração entre números inteiros 
1938 − 375 = 
 
 
 
 
 
Operação de subtração entre números decimais 
475,08 − 86,5 = 
 
 
 
 
 
 
1. Oposto de um número 
 
 
 
 2. 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 
 
8 + 3 − (4 − 9) = 
 
 
Notas 
SUBTRAÇÃO 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Regra de sinais 
O produto entre dois números de sinais iguais é positivo e o produto entre 
dois números de sinais contrários é negativo. 
 
 
 
3 ⋅ 5 = 
3 ⋅ (−5) = 
−3 ⋅ 5 = 
(−3) ⋅ (−5) = 
 
Notação 
3 × 5 = 3 ⋅ 5 = 3(5) = (3)(5) 
 
Operação de multiplicação entre números inteiros 
328 ⋅ 52 = 
 
 
Operação de multiplicação entre números decimais 
30,2 × 24,75 = 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MULTIPLICAÇÃO 
 
 
 
2 
Propriedades 
Elemento neutro 
𝑎 ⋅ 1 = 𝑎 
 
Comutativa 
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 
 
Associativa 
(𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐) 
 
 Distributiva 
𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐 
 
 Anulação 
𝑎 ⋅ 0 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Regra de sinais 
A divisão entre dois números de sinais iguais é positiva e a divisão entre dois 
números de sinais contrários é negativa. 
 
Notação 
3 ÷ 5 = 3/5 = 
3
5
 
Operação de divisão entre números inteiros 
 
 
 
348 ÷ 6 
 
 
 
 
 
433 ∶ 6 
 
 
 
 
 
DIVISÃO 
 
 
 
4 
 
 
4518
15
 
 
 
 
 
 
 
 
7502 ÷ 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 ÷ 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Operação de divisão entre números decimais 
 
 
7,2 ÷ 3 
 
 
 
 
52,7
1,24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟔𝟎 + {𝟒 + [(𝟖 − 𝟏𝟐) − (𝟓 + 𝟑) − 𝟕] + 𝟐} = 
 
 
 
 
 
𝟐 + {𝟏𝟐 ÷ [𝟐 + 𝟑 × 𝟔 − (𝟑 + 𝟓) × 𝟐]} = 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
Ordem na 
Reunião
Parênteses 
( )
Colchetes [ ]
Chaves { }
Ordem nas 
Operações
Potência ou 
Raiz
Multiplicação 
ou Divisão
Adição ou 
Subtração
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
 
2 
 
 
 
 
{[(𝟖 ⋅ 𝟒 + 𝟑): 𝟕 + (𝟑 + 𝟏𝟓: 𝟓) ⋅ 𝟑] ⋅ 𝟐 − (𝟏𝟗 − 𝟕): 𝟔} ⋅ 𝟐 + 𝟏𝟐 = 
 
 
 
 
 
 
{𝟔 − [(𝟑𝟐 × 𝟒 ÷ 𝟐 − 𝟏) − (√𝟏𝟔 × 𝟐𝟑 ÷ 𝟒)] × 𝟑} ÷ 𝟕 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Notação 
𝒂
𝒃
 
 
 
Frações Equivalentes 
 
 
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
FRAÇÕES 
 
 
2 
 
 
Redução de frações a um mesmo denominador 
 
𝟐
𝟑
 
 
𝟒
𝟓
 
 
 
 
 
Reduza ao mesmo denominador as seguintes frações: 
 
𝟓
𝟐
 
 
𝟑
𝟒
 
 
𝟐
𝟓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Comparação de Frações 
Comparar duas frações é determinar se elas são iguais e, caso sejam diferentes, 
determinar qual delas é maior. 
1ª Situação: os denominadores são iguais; 
𝟑
𝟓
 
𝟕
𝟓
 
2ª Situação: os denominadores são diferentes. 
𝟒
𝟓
 
𝟔
𝟕
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Adição e Subtração de Frações 
1ª Situação: os denominadores são iguais; 
𝟑
𝟓
+
𝟔
𝟓
+
𝟏𝟐
𝟓
= 
 
 
2ª Situação: os denominadores são diferentes. 
𝟐
𝟓
+
𝟓
𝟑
−
𝟏𝟏
𝟔
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
Número misto 
FRAÇÕES (Parte 2) 
 
 
2 
 
 
Multiplicação de Frações 
𝟑
𝟕
⋅
𝟓
𝟐
= 
 
𝟒
𝟓
⋅
𝟏𝟎
𝟑
⋅
𝟕
𝟏𝟐
= 
 
 
Divisão de Frações 
𝟖
𝟑
:
𝟔
𝟓
 
 
 
A divisão de uma fração por outra é igual ao produto da 1ª pelo inverso da 2ª. 
 
 
 
 
𝟑 ⋅ {[(
𝟐
𝟑
−
𝟒
𝟓
) ⋅
𝟏𝟓
𝟖
] +
𝟒
𝟗
÷
𝟐
𝟑
} 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Seja 𝑎 um número real e 𝑛 um número natural, com 𝑛 ≥ 2. A potência de 
base 𝑎 e expoente 𝑛 é o número 𝑎𝑛 tal que: 
𝑎𝑛 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
 
a. (−𝟓)𝟐 = 
 
b. −𝟓𝟐 = 
 
c. −𝟐𝟑 = 
 
d. −(−𝟐)𝟑 = 
 
e. (𝟑
𝟐
)
𝟐
= 
 
f. −(− 𝟑
𝟐
)
𝟑
= 
 
g. (−𝟏)𝟏𝟎 = 
 
h. (−𝟏)𝟏𝟓 = 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POTENCIAÇÃO 
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2 
 
Seja 𝑎 um número real não nulo e 𝑛 um número natural, com 𝑛 ≥ 2. A 
potência de base 𝑎 e expoente −𝑛 é o número 𝑎−𝑛 tal que: 
𝑎−𝑛 = (
1
𝑎
)
𝑛
=
1
𝑎𝑛
 
 
 
 
a. 𝟒−𝟐 = 
 
b. (𝟑
𝟐
)
−𝟑
= 
 
c. −(𝟏
𝟐
)
−𝟒
= 
 
d. 𝟏𝟎−𝟓 = 
 
e. ( 𝟏
𝟏𝟎
)
−𝟔
= 
 
 
 
 Toda potência de expoente 𝟏 é igual à base. 
 
𝑎1 = 𝑎 
 
 
 Para 𝒂 ≠ 𝟎: 
𝑎0 = 1 
Notas 
 
 
 
3 
Propriedades 
Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ e 𝒎,𝒏 ∈ ℕ, valem as seguintes propriedades: 
P1: 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
 
𝟐 ⋅ 𝟑𝟔 + 𝟑𝟕
𝟑𝟒 − 𝟑 ⋅ 𝟑𝟓
= 
 
 
 
P2: 𝒂
𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏 
 
 
Simplifique 𝑎
2(𝑛+1)⋅𝑎3−𝑛
𝑎1−𝑛
. 
 
 
 
 
P3: (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎⋅𝒏 
 
 
Assinale V para verdadeiro e F para falso nos itens abaixo: 
( ) 43000 < 34000 
 
( ) (−23)2 = (−22)3 
 
 
 
 
4 
 
 
P4: (𝒂 ⋅ 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 
 
 
Quantos algarismos possui o número 58 ⋅ 43? 
 
 
 
 
P5: (𝒂
𝒃
)
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
 
 
 
Assinale V para verdadeiro e F para falso nos itens abaixo: 
( ) 
64
26
= (
9
2
)
2
 
( ) 
64
4 ⋅ 34
= 2 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Veremos nesta aula que a radiciação é a operação inversa da potenciação. 
 
Seja 𝑎 um número real e 𝑛 um número natural diferente de zero. Dizemos 
que √𝑎𝑛 é um número 𝑏, tal que 𝑏𝑛 = 𝑎. 
 
 
a. √−𝟖𝟑 = 
 
 
b. √𝟐𝟓 = 
 
 
Nomenclatura 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RADICIAÇÃO 
𝑛 𝑎
𝑛 é o índice
⬚ é o radical
𝑎 é o radicando
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2 
 
 
 
1. Da definição temos que √𝒂𝒏𝒏 = 𝒂, para todo 𝒂 ≥ 𝟎. 
 
 
2. Raiz quadrada de um quadrado perfeito: 
 √𝒂𝟐 = |𝒂| , no qual |𝒂| = { 𝒂, 𝒔𝒆 𝒂 ≥ 𝟎
−𝒂, 𝒔𝒆 𝒂 < 𝟎
 
 
 
3. 𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ainda segundo a definição, 
√𝟒𝟗 = e não √𝟒𝟗 = 
Mas −√𝟖𝟑 = 
 −√𝟒 = 
 ±√𝟗 = 
 
 
 
 
 
5. √𝒙𝑷𝑨𝑹 ⇒ 𝒙 ≥ 𝟎 
 √𝒙Í𝑴𝑷𝑨𝑹 ⇒ 𝒙 ∈ ℝ 
 
Notas 
 
 
 
3 
 
 
 
 
a. √(−9)2 = 
b. √(3 − √2)
2
= 
c. √(2 − √5)
2
= 
 
PotÊncia de Expoente Racional 
 
A potência de base 𝑎 (𝑎 > 0), e expoente racional 𝑚
𝑛
, é o número: 
 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛 
 
 
 
a. 3
3
2 = 
 
b. 5
5
2 = 
 
 
 
4 
Propriedades 
 √𝑎 ⋅ 𝑏𝑛 = √𝑎𝑛 ⋅ √𝑏
𝑛 
 
 
Simplifique os radicais: 
√𝟏𝟐 = 
 
 
 
√𝟖𝟔𝟒
𝟑
= 
 
 
 
 
 
 
 √
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
 
 
Calcule o valor da expressão √𝟑𝟐
𝟒
√𝟐
𝟒 +
√𝟏𝟗𝟐
𝟑
√𝟑
𝟑 
 
 
 
 ( √𝑎𝑛 )
𝑚
= √𝑎𝑚
𝑛 
 
 
 
5 
 
 
(√𝟏𝟔
𝟒
)
𝟐
= 
 
 
 
 √𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚⋅𝑝
𝑛⋅𝑝
 
 
 
Coloque os seguintes números em ordem crescente: 
√𝟑
𝟑
 √𝟓
𝟒
 √𝟕
𝟔 
 
 
 
 
 
 
 
 √ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚⋅𝑛
 
 
 
Simplifique: 
√𝟐 √𝟏𝟔
𝟑
√𝟐√𝟖
𝟑 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais do 
denominador sem alterá-la. 
1º Caso: Denominadores do tipo √𝒂𝒎𝒏 
 
 
Racionalize os denominadores: 
a. 𝟐
√𝟓
= 
 
 
b. 𝟒
√𝟓
𝟑 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADOREShttp://www.professorferretto.com.br
 
 
 
2 
2º Caso: Denominadores do tipo √𝒂 ± √𝒃 
 
 
Racionalize os denominadores: 
a. 𝟐
√𝟓+√𝟑
= 
 
 
 
b. 𝟑
𝟑√𝟐−𝟓
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Nesta aula veremos que os produtos notáveis são multiplicações que se destacam na 
matemática, por serem frequentemente utilizadas. 
 Quadrado da Soma de Dois Termos 
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 
 
 
 
 (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
 
 
(5𝑥 + 3)2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PRODUTOS NOTÁVEIS 
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2 
 
 Quadrado da Diferença de Dois Termos 
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 
 
 
 
 (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
 
 
 
(𝟐 −
𝟑
𝒙
)
𝟐
= 
 
 Produto da Soma pela Diferença de 
Dois Termos 
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 
 
 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
 
 
 
 
(𝟓 + 𝟐√𝟑)(𝟓 − 𝟐√𝟑) = 
 
 
 
 
3 
 
Triângulo de Pascal 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
 
(𝒂 ± 𝒃)𝒏 
 
 
(𝒂 ± 𝒃)𝟑 = 
 
 
 
 
 
(𝟑 − 𝟐𝒙)𝟑 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Fatorar é transformar uma soma ou diferença de duas ou mais parcelas 
como produto de dois ou mais fatores. 
 
 Fator Comum 
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 
 
 
 
a. 3𝑥2 − 6𝑥 = 
 
 
 
b. 36𝑥2𝑦3 − 24𝑥4𝑦 = 
 
 Agrupamento 
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 = 
 
 
 
6x2 − 4ax − 9bx + 6ab = 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
FATORAÇÃO 
 
 
2 
 
 
 Diferença de Quadrados 
A diferença de dois quadrados é igual ao produto da soma pela 
diferença. 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
 
 
 
a. 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 
 
 
b. 1 − 4𝑎4 = 
 
 
 Trinômio Quadrado Perfeito 
O trinômio quadrado perfeito é igual ao quadrado da soma/diferença 
de dois termos. 
𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 ± 𝒃)𝟐 
 
 
 
a. 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = 
 
 
b. 𝟒𝒂𝟐 − 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 
 
 
 
3 
 
 
 Trinômio do Segundo Grau 
Supondo que 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 sejam as raízes do trinômio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, (𝒂 ≠ 𝟎), então: 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
 
 
 
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sistema Hindu-Arábico 
 É um sistema decimal (Base 10): 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 É um sistema posicional: 
Cada algarismo muda de valor de acordo com a posição que ele ocupa em um 
determinado número. 
 5555 
 
 
 
 Utilização do zero 
 5055 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
cinco unidades 
cinco dezenas 
cinco centenas 
cinco milhares 
 
 
2 
 
 
Classes e Ordens 
Classes MILHÕES MILHARES UNIDADES 
Ordens centena dezena unidade centena dezena unidade centena dezena unidade 
 100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 
 108 107 106 105 104 103 102 101 100 
 
 
 
84.506 
 
 
Representação para números decimais 
centena dezena unidade décimo centésimo milésimo 
100 10 1 0,1 0,01 0,001 
102 101 100 10-1 10-2 10-3 
 
 
 
35,147 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Quadro comparativo: 
... 105 104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 ... 
... 100.000 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ... 
 
Reescreva os números abaixo utilizando a potência de base 10: 
12.000.000.000.000 = 
 
0,0000000000023 = 
 
30.000.000 × 0,000005 = 
 
48.000.000.000
2.000.000 × 0,00008
= 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POTÊNCIA DE 10 E NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
PotÊncia de dez 
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2 
Notação Científica 
A notação científica é uma forma de escrever números que acomodam valores 
demasiadamente grandes ou pequenos. Sua representação numérica é composta de dois 
fatores: 
1º Número decimal 𝒂, tal que 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎; 
 2º Potência de base 10 e expoente inteiro. 
 𝑥 = 𝑎 ⋅ 10𝑛 
 
Reescreva os números abaixo em notação científica: 
365.000.000.000.000 = 
 
0,0000000000001345 = 
 
0,0006 × 1015 = 
 
870.000 × 10−8 = 
 
 
 
 
 
3 
Ordem de grandeza 
Se um determinado número em notação científica é representado por 𝒂 ⋅ 𝟏𝟎𝒏, a ordem 
de grandeza desse número é definida assim: 
𝑶𝒓𝒅𝒆𝒎 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒛𝒂 = {
 10𝑛 𝑠𝑒 𝑎 < √10
 10𝑛+1 𝑠𝑒 𝑎 > √10
 
√10 = 3,1622776601 … 
 
Determine a ordem de grandeza dos números a seguir: 
2,45 = 
 
34,5 = 
 
0,002 × 10−5 = 
 
6,02 × 1023 = 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sistema Métrico Decimal 
O sistema métrico decimal foi proposto em 1792 e evoluiu para o Sistema Internacional 
de Unidades (S.I.) proposto em 1960. Ele considera o metro como padrão de 
comprimento, o quilograma como padrão de massa e o segundo como padrão de tempo. 
 
Prefixos do S.I. 
Os prefixos usados no Sistema Internacional para os múltiplos das unidades são: 
Fator Nome Símbolo Fator Nome Símbolo 
101 deca da 10-1 deci d 
102 hecto h 10-2 centi c 
103 kilo k 10-3 mili m 
106 mega M 10-6 micro 𝝁 
109 giga G 10-9 nano n 
1012 tera T 10-12 pico p 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
 
2 
 
 
Metro 𝒎 : a unidade de medida de comprimento 
Veja como transitar entre os múltiplos e submúltiplos do metro: 
 
 
 
Faça as seguintes conversões de comprimento solicitadas: 
a. 𝟏𝟐, 𝟒 𝒌𝒎 ⟶ ______𝒎 
 
b. 𝟒𝟑𝟎 𝒄𝒎 ⟶ _______𝒎 
 
c. 𝟑𝟐 𝒅𝒂𝒎 ⟶ ______𝒄𝒎 
 
d. 𝟒𝟐𝟑𝟎𝟎 𝒅𝒎 ⟶ _______𝒌𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 × 10 
 
 
3 
 
 
Segundo 𝒔 : a unidade de medida de tempo 
As igualdades importantes para a unidade de tempo são: 
 
𝟏 𝒎𝒊𝒏 = 𝟔𝟎 𝒔 
𝟏 𝒉 = 𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 
 
 
Faça as seguintes conversões de tempo solicitadas: 
a. 𝟑 𝒉 𝒆 𝒎𝒆𝒊𝒂 ⟶ _____𝒎𝒊𝒏 
 
b. 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏 ⟶ _____ 𝒔 
 
c. 𝟏𝟓𝟎 𝒎𝒊𝒏 ⟶ _____ 𝒉 
 
d. 𝟒𝟑𝟐 𝒎𝒊𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔 ⟶ _____ 𝒉 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Unidade de Área 
Veja como transitar entre os múltiplos e submúltiplos da unidade de área: 
 
 
 
Unidade de Volume 
Veja como transitar entre os múltiplos e submúltiplos da unidade de volume: 
 
 
 
 
Faça as seguintes conversões solicitadas: 
a. 𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 ⟶ ______𝒎𝟐 
 
b. 𝟎, 𝟒𝟐 𝒌𝒎𝟐 ⟶ ______ 𝒎𝟐 
 
c. 𝟎, 𝟎𝟕𝟏 𝒅𝒂𝒎𝟑 ⟶ ______𝒄𝒎𝟑 
 
d. 𝟖, 𝟑𝟐 ⋅ 𝟏𝟎𝟒 𝒎𝒎𝟑 ⟶ ______𝒎𝟑 
 
 
 
5 
 
 
Capacidade 
A capacidade é uma grandeza que obedece à norma de prefixos do sistema decimal. 
Assim temos: 
 
 
Importante mencionar as seguintes equivalências: 
1 ℓ ⟷ 1 𝑑𝑚3 
1 𝑚ℓ ⟷ 1 𝑐𝑚3 
 
 
Determine a capacidade em litros equivalente a cada um dos volumes: 
a. 𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟑 = 
 
b. 𝟎, 𝟎𝟒 𝒎𝟑 = 
 
c. 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑 = 
 
 
 
 
Determine, em 𝒄𝒎𝟑, o volume equivalente a cada uma das capacidades: 
a. 𝟎, 𝟔 𝓵 = 
 
b. 𝟒𝟎 𝓵 = 
 
c. 𝟕𝟎𝟎 𝒎𝓵 = 
Notas 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Equação do 1º grau, na variável real 𝑥, é toda equação que pode ser expressa 
na forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, no qual 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
 
 
 
a. 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎 
 
 
 
b. 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟏 
 
 
 
 
c. 𝟏𝟐 − 𝟑𝒙
𝟒
= 𝟐𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
2 
 
 
Raiz de uma Equação do primeiro Grau 
Raiz de uma equação do primeiro grau é um número que transforma a equação em uma 
sentença verdadeira. 
 
 
 
𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
 
 
 
Soluções de uma Equação do primeiro Grau 
Uma equação do primeiro grau pode ter uma única solução, infinitas soluções ou 
nenhuma solução no conjunto dos números reais. Veja: 
a. 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟑𝒙 + 𝟔 
 
 
 
 
 
b. 𝟒 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝟐(𝟑 − 𝒙) 
 
 
 
 
 
c. 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝒙 + 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Resolver a equação 𝒙[𝟐𝒙 − (𝟑 − 𝒙)] − 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva, em ℝ, a equação 𝟑𝒙−𝟐
𝟐
−
𝒙
𝟑
= 𝟑.4 
 
 
 
Problemas que envolvem a Equação do primeiro Grau 
 
 
Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do 
tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 litros para ir da cidade A até a cidade B; 
sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua 
capacidade. Qual é a capacidade do tanque desse veículo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A idade de uma pessoa é o dobro da de outra. Há cinco anos, a soma das idades das duas 
pessoas era igual à idade atual da mais velha. Quais são as idades atuais das duas 
pessoas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Vamos relembrar dois métodos para achar as soluções de um 
sistema de duas equações e duas incógnitas. 
Método da Substituição 
{
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏
 
 
 
 
 
Método da Adição 
{
𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟏
𝒙 + 𝒚 = −𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
 
2 
 
 
 
 
Numa fazenda existem galinhas e cabras, num total de 40 cabeças e 128 pés. 
Determine o número de cabras dessa fazenda. 
 
 
 
 
 
 
 
Há cinco anos a idade de Paulo era o dobro da idade de Amanda. Daqui a cinco anos 
a soma das duas idades será de 65 anos. Quantos anos Paulo é mais velho do que 
Amanda? 
 
 
 
 
 
 
 
Uma empresa solicitou que seus funcionários entregassem panfletos nas 
residências de uma certa cidade. Se cada funcionário entregasse os panfletos em 100 
residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram 
visitadas e cada funcionário visitou 102, quantas residências possui a cidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do 2º grau, na variável real 𝑥, é toda equação da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, no qual 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, com 𝑎 ≠ 0. 
 
 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 
 
 
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝟎 
𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 
 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 
𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 1) 
 
 
2 
 
 
Raiz de uma Equação do segundo Grau 
Uma equação do segundo grau possui no máximo duas raízes. Essas raízes podem ser 
determinadas através da seguinte fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
 
2𝑥2 − 9𝑥 + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
no qual
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
 
 
3 
 
 
Equações Incompletas 
1º Caso: 𝒃 = 𝟎. 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟒 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Caso: 𝒄 = 𝟎. 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Discriminante ∆ 
∆ > 𝟎 ⇒ a equação possui duas raízes reais e diferentes 
 
∆ = 𝟎 ⇒ a equação possui duas reais e iguais 
 
∆ < 𝟎 ⇒ a equação não possui raízes reais 
 
 
 
 
 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Relação entre os Coeficientes e as Raízes 
A equação do 2º grau possui duas importantes relações entre as raízes 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 e os 
coeficientes 𝒂, 𝒃 e 𝒄. Essas relações são conhecidas como Soma e Produto ou, também, 
Relações de Girard. 
 
 
 
 
 
 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
 
 
 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2) 
Soma: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝒂
 
Produto: 
𝒙𝟏 ⋅ 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
 
2 
 
 
 
 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎, determine o valor 
da expressão 𝟓
𝒙𝟏
+
𝟓
𝒙𝟐
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Determinação da Equação do segundo Grau 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes de uma equação do 2º grau, então essa equação pode ser escrita 
como: 
 
 
 
Determine a equação do 2º grau que possui {𝟑,−𝟕} como conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2
P = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
 
 
4 
 
 
Problemas que envolvem a Equação do 
segundo Grau 
 
 
O produto da idade de Pedro pela idade de Augusto é igual a 374. Pedro é 5 anos 
mais velho do que Augusto. Quantos anos tem cada um deles? 
 
 
Um homem caminhou 240 km em uma certa viagem. Se caminhasse mais 4 km 
por dia, teria gasto dois dias a menos na viagem. Quantos dias gastou na viagem e 
quantos quilômetros andou por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1. definição 
Considere três números reais 𝒂, 𝒃 e 𝒄 com 𝒂 ≠ 𝟎. Uma equação polinomial do 
4º grau, que pode ser expressa na forma 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎, chama-se 
equação biquadrada. 
Exemplos: 
• 𝑥, − 5𝑥/ + 4 = 0 
• 𝑥, − 8𝑥/ = 0 
• 3𝑥, − 27 = 0 
2. Forma de resolução 
Para resolvermos uma equação biquadrada, podemos fazer uma substituição de 
variável. No lugar de 𝑥/ podemos colocar uma outra variável, como, por 
exemplo, 𝑦. Vejamos: 
 
2𝑥, − 7𝑥/ − 4 = 0 
 
 
2𝑥, − 2𝑥/ = 0 
 
 
𝑧, − 13𝑧/ + 36 = 0
 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 
EXEMPLO 1: 
 
EXEMPLO 2: 
 
EXEMPLO 3: 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Relação entre os Coeficientes e as Raízes 
A equação do 2º grau possui duas importantes relações entre as raízes 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 e os 
coeficientes 𝒂, 𝒃 e 𝒄. Essas relações são conhecidas como Soma e Produto ou, também, 
Relações de Girard. 
 
 
 
 
 
 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
 
 
 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2) 
Soma: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝒂
 
Produto: 
𝒙𝟏 ⋅ 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
 
2 
 
 
 
 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎, determine o valor 
da expressão 𝟓
𝒙𝟏
+
𝟓
𝒙𝟐
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Determinação da Equação do segundo Grau 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes de uma equação do 2º grau, então essa equação pode ser escrita 
como: 
 
 
 
Determine a equação do 2º grau que possui {𝟑,−𝟕} como conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2
P = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
 
 
4 
 
 
Problemas que envolvem a Equação do 
segundo Grau 
 
 
O produto da idade de Pedro pela idade de Augusto é igual a 374. Pedro é 5 anos 
mais velho do que Augusto. Quantos anos tem cada um deles? 
 
 
Um homem caminhou 240 km em uma certa viagem. Se caminhasse mais 4 km 
por dia, teria gasto dois dias a menos na viagem. Quantos dias gastou na viagem e 
quantos quilômetros andou por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1. definição 
Considere três números reais 𝒂, 𝒃 e 𝒄 com 𝒂 ≠ 𝟎. Uma equação polinomial do 
4º grau, que pode ser expressa na forma 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎, chama-se 
equação biquadrada. 
Exemplos: 
• 𝑥, − 5𝑥/ + 4 = 0 
• 𝑥, − 8𝑥/ = 0 
• 3𝑥, − 27 = 0 
2. Forma de resolução 
Para resolvermos uma equação biquadrada, podemos fazer uma substituição de 
variável. No lugar de 𝑥/ podemos colocar uma outra variável, como, por 
exemplo, 𝑦. Vejamos: 
 
2𝑥, − 7𝑥/ − 4 = 0 
 
 
2𝑥, − 2𝑥/ = 0 
 
 
𝑧, − 13𝑧/ + 36 = 0
 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 
EXEMPLO 1: 
 
EXEMPLO 2: 
 
EXEMPLO 3: 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Relação entre os Coeficientes e as Raízes 
A equação do 2º grau possui duas importantes relações entre as raízes 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 e os 
coeficientes 𝒂, 𝒃 e 𝒄. Essas relações são conhecidas como Soma e Produto ou, também, 
Relações de Girard. 
 
 
 
 
 
 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
 
 
 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2) 
Soma: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝒂
 
Produto: 
𝒙𝟏 ⋅ 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
 
2 
 
 
 
 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎, determine o valor 
da expressão 𝟓
𝒙𝟏
+
𝟓
𝒙𝟐
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Determinação da Equação do segundoGrau 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes de uma equação do 2º grau, então essa equação pode ser escrita 
como: 
 
 
 
Determine a equação do 2º grau que possui {𝟑,−𝟕} como conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2
P = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
 
 
4 
 
 
Problemas que envolvem a Equação do 
segundo Grau 
 
 
O produto da idade de Pedro pela idade de Augusto é igual a 374. Pedro é 5 anos 
mais velho do que Augusto. Quantos anos tem cada um deles? 
 
 
Um homem caminhou 240 km em uma certa viagem. Se caminhasse mais 4 km 
por dia, teria gasto dois dias a menos na viagem. Quantos dias gastou na viagem e 
quantos quilômetros andou por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 2 se esse número for par, ou seja, se o algarismo 
das unidades terminar em 0, 2, 4, 6, ou 8. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 2: 
234 9830 
 
 8537 19834 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for um número 
divisível por 3. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 3: 
 234 9830 
 
8537 21654 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
 
http://www.professorferretto.com.br
 
 
2 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos 
algarismos for também divisível por 4. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 4: 
 234 9860 
 
 8537 21648 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 5: 
 456 8720 
 
 7348 96245 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e por 3. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 6: 
 864 8720 
 
 2635 95046 
 
 
 
 
3 
 
Divisibilidade por 
 
 
46067172109 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos 
algarismos também for divisível por 8. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 8: 
 548864 87206783 
 
 387000 952034680 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos resultar em 
um número divisível por 9. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 9: 
 873 840803 
 
 8905 78057 
 
 
 
 
4 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0. 
 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 10: 
 8920 102890 
 
 17902 38522 
 
 
 
 
Divisibilidade por 
 
83038180168658 
 
 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 12 se ele for divisível por 3 e 4. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 12: 
 864 7920 
 
 2635 84048 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Número primo 
 
Um número natural primo é aquele que possui somente dois divisores 
naturais distintos: o número um e ele mesmo. 
 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ... 
 
Número composto 
 
Um número natural composto é aquele que possui mais de dois divisores 
naturais distintos. 
 
 
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, ... 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
NÚMEROS PRIMOS 
 
 
2 
 
 
 
 
Como identificar um número natural primo 
Um número natural é primo se as divisões sucessivas por números primos 
resultarem resto diferente de zero até o divisor ser maior ou igual ao quociente. 
 
 
253 
 
 
 
 
 
223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Fatoração de um número inteiro positivo 
O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos 
maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo essa 
decomposição única, a menos da ordem dos fatores. 
 
 
Decomponha em fatores primos os seguintes números compostos: 
a. 12 
 
b. 90 
 
Regra prática 
Decomponha em fatores primos os seguintes números compostos: 
a. 180 
 
 
 
 
b. 1470 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
FATORAÇÃO E DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
 
2 
 
 
 
Quantidade de divisores de um número inteiro positivo 
 
 
Quantos divisores naturais possuem os números abaixo? 
a. 20 
 
 
 
 
 
b. 300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Divisores de um número inteiro positivo 
 
 
Quais são os divisores naturais dos seguintes números? 
a. 60 
 
 
 
 
 
 
 
b. 360 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Múltiplos de um número inteiro 
 
 
𝑴(𝟑) = 
 
𝑴(𝟒) = 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
 
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais inteiros é o menor 
inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente desses números. 
 
MMC – Regra prática 
 
 
Determine o MMC entre os números 12, 15 e 20. 
 
 
 
 
 
𝑴(𝟏𝟐) = {𝟏𝟐, 𝟐𝟒, 𝟑𝟔, 𝟒𝟖, 𝟔𝟎, 𝟕𝟐, 𝟖𝟒, 𝟗𝟔, 𝟏𝟎𝟖, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟐,… } 
𝑴(𝟏𝟓) = {𝟏𝟓, 𝟑𝟎, 𝟒𝟓, 𝟔𝟎, 𝟕𝟓, 𝟗𝟎, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟓,… } 
𝑴(𝟐𝟎) = {𝟐𝟎, 𝟒𝟎, 𝟔𝟎, 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟎,… } 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MÚLTIPLOS E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
 
2 
 
 
Propriedades que envolvem o MMC 
 
O mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois ou mais números primos será 
sempre o produto entre eles. 
 
 
Entre dois ou mais números, se o maior deles é múltiplo dos outros, então 
esse maior número é o mmc. 
 
 
Se os números forem multiplicados/divididos por uma constante 𝑘, então o 
mmc entre esses números também será multiplicado/dividido por 𝑘. 
 
 
Problemas sobre MMC 
 
 
Uma pessoa dá a volta completa em uma pista circular em 24 minutos enquanto 
que outra realiza a mesma volta em 30 minutos. As duas partem juntas e ao mesmo 
tempo às 13h30min. A que horas as duas pessoas se encontrarão novamente no ponto 
onde partiram e quantas voltas deu cada uma? 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Em uma sala existem quatro lâmpadas. A primeira acende a cada 27 minutos, a 
segunda a cada 45 minutos, a terceira a cada hora e a quarta lâmpada só acende quando 
as outras três estiverem acesas ao mesmo tempo. Em um certo momento as quatro 
lâmpadas estão acesas. Pergunta: quantas horas após esse momento as quatro lâmpadas 
voltarão a estar acesas simultaneamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Máximo divisor comum - MDC 
 
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números inteiros é o 
maior número inteiro que é divisor de tais números. 
 
 
Qual é o máximo divisor comum entre os números 12 e 18? 
 
 
MDC – Regra prática 
O máximo divisor comum entre dois ou mais números inteiros pode ser obtido 
pelo método da fatoração simultânea de números inteiros. 
 
 
Calcule o máximo divisor comum nos itens abaixo: 
a. 𝒎𝒅𝒄(𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟎) = b. 𝒎𝒅𝒄(𝟖𝟒, 𝟏𝟔𝟖, 𝟐𝟏𝟎) =ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
 
2 
 
 
Propriedades 
 
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números primos é 
sempre igual a 1. 
 
 
O Se 𝑎 é divisor de 𝑏, então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 
 
 
 
 
Se os números forem multiplicados/divididos por uma constante 𝑘, então o 
mdc entre esses números também será multiplicado/dividido por 𝑘. 
 
 
 
Problemas sobre MDC 
 
 
Três barbantes que medem respectivamente 24 m, 84 m e 90 m foram cortados 
em pedaços iguais do maior tamanho possível, sem deixar sobras. Determine o número 
de pedaços obtidos e o tamanho de cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos 
e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo 
um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade 
possível. Sabendo que todos os itens foram utilizados, calcule o número total de 
pacotinhos feitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Razão 
 
Razão é toda a relação existente entre dois valores de uma mesma grandeza, 
expressa geralmente “𝑎 para 𝑏“, 𝑎: 𝑏 ou 𝑎
𝑏
. 
 
 
Quando comparamos duas medidas, dois valores ou até duas grandezas, 
estamos determinando uma relação entre dois números que os representam. 
 
 
a. Um concurso público possui 20.000 candidatos concorrendo a 50 vagas. 
 
 
b. Em uma sala de aula existem 20 meninas e 15 meninos. 
 
 
 
 
c. Os modelos mais antigos de televisores possuem telas 4:3. Os modelos 
widescreen possuem telas 16:9. 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RAZÃO E PROPORÇÃO (PARTE 1) 
 
 
2 
 
 
Proporção 
 
Proporção é igualdade entre duas ou mais razões 
 
 
 
Propriedades nas proporções 
a. 𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇒ 
b. 𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
= 
 
 
 
Encontre o valor de 𝑥 na seguinte proporção: 
2𝑥 − 4
8
=
5
2
 
 
 
 
 
 
Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de 
efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos? 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
 
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são diretamente proporcionais se 𝑎
𝑏
= 𝑘. 
 
 
 
 
 
Três amigas, Roberta, Beatriz e Andréia, abriram uma loja. Roberta entrou com 
R$6.000,00, Beatriz com R$9.000,00 e Andréia com R$12.000,00. No primeiro ano, a loja 
teve um lucro de R$540.000,00, que será dividido de forma proporcional aos valores 
integralizados por elas na abertura do negócio. Quanto cada uma deverá receber? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RAZÃO E PROPORÇÃO (PARTE 2) 
 
 
2 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são inversamente proporcionais se uma delas é 
proporcional ao inverso da outra, ou seja, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑘. 
 
 
 
 
 
José recebeu um prêmio de R$3.000,00 e irá dividi-lo entre suas três filhas de forma 
inversamente proporcional a suas idades. Sabendo que suas filhas têm 20 anos, 15 anos 
e 12 anos, determine a quantia que cada uma receberá. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Grandeza 
 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado ou comparado. 
 
 
 
Assinale se as grandezas abaixo são diretamente proporcionais (D) ou inversamente 
proporcionais (I): 
( ) Velocidade e Tempo 
( ) Velocidade e Distância 
( ) Tempo e Distância 
( ) Quantidade de Operários e Tempo 
( ) Horas Trabalhadas por dia e Tempo de Realização de um Serviço 
( ) Eficiência e Quantidade de Operários 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 
2 
 
 
Regra de TrÊs Simples 
 
Regra de três simples é uma regra prática para resolver problemas que 
envolvam duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 
Um jardineiro consegue cortar a grama de um gramado, em forma de quadrado 
com 120 m de lado, em 15 horas. Quantas horas o mesmo jardineiro levaria para cortar 
um gramado de 6000 m² de área? 
 
 
Um suinocultor tinha ração para alimentar os seus 100 porcos por 30 dias. Se o 
consumo diário de ração de cada porco é constante e o suinocultor comprou mais 20 
porcos, então a ração irá durar quantos dias? 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
É uma regra prática para resolver problemas que envolvam três ou mais 
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 
Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam sem parar, 10 horas 
por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das 
impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por 
dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes? 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 
2 
 
 
 
Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 6 dias para fazer 
determinado trabalho, então 3 impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) 
trabalhando 8 horas por dia levarão quantos dias para fazer o mesmo trabalho? 
 
 
Vinte e quatro operários fazem 2/5 (dois quintos) de um determinado serviço em 
10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-
se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora 
por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de uma pequena escala: sabendo que no mapa a distância entre São 
Paulo e Manaus seja de 8 cm, determine a distância real entre as duas cidades. 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ESCALAS NUMÉRICAS 
 
 
2 
 
 
 
 
Exemplo de uma grande escala: 
 
 
 
Exemplo de uma escala microscópica: - veja o exemplo de ampliação de 400 
vezes. 
 
 
 
Um aluno do curso de Engenharia Mecânica recebeu o desenho de uma peça, fez 
as devidas medições e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da peça no 
desenho tinha 1,5 mm e a largura da peça já fabricada tinha 45 cm, qual é a escala do 
desenho? 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
(Ueg) Analise o desenho. 
 
Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma área de 1800 m2, a escala 
numérica da planta é: 
a) 1:10000 
b) 1:1000 
c) 1:100 
d) 1:10 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de Representação da Porcentagem 
 
 
 
 
Transformação de Taxas 
 
 
 
 
 
 32% = 
 0,43% = 
 0,15 = 
 0,081 =
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PORCENTAGEM 
Taxa 
Percentual 
Taxa 
Unitária 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
Porcentagem de uma quantia 
 
 
a. Qual é o valor de 30% de R$ 80,00? 
 
 
 
 
b. 60% de quanto dá 27? 
 
 
 
 
c. O valor 24 corresponde a quanto de 150? 
 
 
 
 
 
 
Para calcular 10% ou 1% de um número, basta “andar com a vírgula” uma ou duas 
casas para a esquerda. 
 10% de 32,8 
 
 
 1% de 123 
 
 
 
Notas 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Aumento de x% de um valor A 
 
 
a. Aumente em 30% o valor 400. 
 
 
 
 
b. Aumente em 8% o valor 250. 
 
 
 
 
Desconto de x% de um valor A 
 
 
a. Diminua em 40% o valor 600. 
 
 
 
b. Diminua em 15% o valor 360. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores 
individuais e obter o fator acumulado. 
 
 
Uma determinada quantia recebe um aumento de 30%, depois um desconto de 
10% e, por último, outro desconto de 20%. . Ao final, a quantia teve um aumento ou 
diminuição ao valor original? Qual é a porcentagem? 
 
 
 
 
 
Problemas que envolvem a Porcentagem 
 
 
De toda a produção agrícola de uma região no ano passado, 68% foram grãos e, 
destes, 75% foi soja. Qual foi o percentual de soja produzida em relação a toda a 
produção agrícola da região noano passado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
A quantidade de desempregados de um certo país, em 2001, era de 4.400.000, 
correspondendo a 22% da população total. Em 2010, este número aumentou para 
5.400.000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da 
população do país no período considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Termos Utilizados 
 
 
 
 
Maria Luísa emprestou R$ 1.000,00 a Roberta por 3 anos. Durante esse período, a 
taxa de juros simples aplicada foi de 10% ao ano. Qual é o montante desse empréstimo 
ao final de três anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo geral, podemos dizer que: 
Quando um capital C é aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i de juros, 
por unidade de tempo, incide apenas sobre o capital inicial, os juros j são chamados de 
juros simples. Esses juros ao final da aplicação são calculados por: 
 
𝑱 = 𝑪 ⋅ 𝒊 ⋅ 𝒕 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS SIMPLES 
 
 
2 
 
 
 
 
Qual é o juro simples produzido por um capital de R$ 1.200,00 aplicado durante 
um ano e meio à taxa de 4% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em quanto tempo se pode duplicar um capital aplicado a juro simples à taxa de 
0,1% ao dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Gráfico dos Juros Simples 
 
 
Imagine uma taxa de juros simples de 6% ao mês aplicada sobre um capital de 
R$ 500,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T (meses) 
Montante 
(R$) 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Termos Utilizados 
 
 
Maria Luísa emprestou R$ 1.000,00 a Roberta por 3 anos. Durante esse período, a 
taxa de juros compostos aplicada foi de 10% ao ano. Qual é o montante desse 
empréstimo ao final de três anos? 
 
 
 
Fórmula 
 
 Início Juros Montante 
1º Período 
 
2º Período 
 
3º Período 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS 
 
 
2 
 
 
 
 
Determine os juros compostos gerados por uma aplicação de R$ 4.000,00 por 
um período de um ano e meio, à taxa de 8% ao mês. Dado: (1,08)18 = 3,99. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apliquei um capital de R$ 10.000,00 durante 3 anos, a juro composto. A taxa de 
juro no primeiro ano foi de 10%, no segundo, 12% e no terceiro, 8%. . Qual foi o 
montante acumulado nos 3 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Gráfico dos Juros Compostos 
 
 
Imagine uma taxa de juros compostos de 6% ao mês aplicadas sobre um capital 
de R$ 500,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1. definição 
Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mais radicais. 
Exemplos: 
• √𝑥 − 3 = 2 
• √3𝑥 + 2( = 4 
• √2𝑥 + 1 + √2𝑥 − 4 = 8 
2. Forma de resolução 
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-la em outra equação equivalente, 
eliminando os radicais. Para isso, basta elevar os dois lados da igualdade a potências convenientes. Ao 
final, sempre devemos testar as raízes encontradas na equação original, pois talvez tenhamos raízes 
que não satisfaçam a igualdade. 
 
 
√2𝑥 − 3 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-𝑥. + 5𝑥 + 1 + 1 = 2𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
EXEMPLO 1: 
 
EXEMPLO 2: 
 
 
 
2 
 
 
 
√2𝑥 + 1 + √2𝑥 − 4 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√2𝑥 − 3 + √4𝑥 + 1 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√2𝑥 + 1( = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4𝑥. + 9𝑥 + 1( = 𝑥 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: 
 
EXEMPLO 5: 
 
EXEMPLO 6: 
 
EXEMPLO 4: 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Normalmente, usamos letras maiúsculas para nomear os conjuntos e letras 
minúsculas para representar seus elementos. 
 Representação através de chaves 
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 
 
 
 Representação por diagrama de Venn 
 
 
 
 
 
 Representação por propriedade 
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃} 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
CONJUNTOS 
Representação de um Conjunto 
A 
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2 
Subconjunto 
 
Dizer que um conjunto 𝐵 é subconjunto de um conjunto 𝐴, é equivalente a 
dizer que, se 𝑥 é elemento de 𝐵, então 𝑥 é elemento de 𝐴. 
 
Em símbolos: 𝑩 ⊂ 𝑨 ⟺ (∀𝒙)(𝒙 ∈ 𝑩 ⇒ 𝒙 ∈ 𝑨) 
 
 
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 
𝐵 = {3, 4, 5} 
𝐶 = {4, 5, 6} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Operações 
 União 
 
A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem ao conjunto 𝐴 ou ao conjunto 𝐵. 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
𝐴 = {1, 2, 3, 4} 
𝐵 = {3, 4, 5} 
𝐶 = {1, 2, 3}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 Intersecção 
 
A intersecção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e ao conjunto 𝐵. 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
𝐴 = {4, 5, 6, 7} 
𝐵 = {4, 6, 8} 
𝐶 = {8, 9, 10} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 Diferença 
 
A diferença de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e não pertencem a 𝐵. 
 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
𝑨 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕} 
𝑩 = {𝟒, 𝟔, 𝟖} 
𝑪 = {𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} 
 Complementar 
 
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos tais que 𝐴 ⊂ 𝐵. Chama-se complementar 
de 𝐴 em relação a 𝐵, o conjunto o qual os elementos pertencem a 𝐵 e não 
pertencem a 𝐴. 
𝐶𝐵
𝐴
= {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∉ 𝐴} 
 
𝑨 = {𝟒, 𝟓} 
𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕} 
𝑪 = {𝟓, 𝟔, 𝟕} 
 
 
 
 
 
6 
Resolução de Problemas 
É importante que saibamos resolver problemas que relacionam as operações 
entre conjuntos aprendidas até aqui com a quantidade de elementos desses conjuntos. 
 
 
Dos 35 alunos de uma classe, 15 falam inglês, 8 falam espanhol e 16 não falam 
inglês e nem espanhol. Quantos alunos dessa classe falam as duas línguas? 
 
 
Em uma pesquisa, 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 
22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os 3 
jornais. Qual é a porcentagem que lê os jornais A e B, mas não lê C? 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros ℤ 
O conjunto dos números inteiros é representado por: 
ℤ = {… ,−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } 
Subconjuntos importantes de ℤ: 
ℤ∗ = {… ,−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑,… } 
ℤ+ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒,… } = ℕ 
ℤ+
∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔,… } = ℕ∗ 
ℤ− = {… ,−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎} 
ℤ−
∗ = {… ,−𝟒,−𝟑,−𝟐,−𝟏} 
 
 
Todo número natural é inteiro, isto é, ℕ ⊂ ℤ. 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Conjunto dos Números Naturais ℕ 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔,… } 
O conjunto dos números naturais não nulos é representado por: 
ℕ∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔,… } 
 
Nota 
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2 
Conjunto dos Números Racionais ℚ 
 
Número racional é aquele que pode ser representado por uma razão entre 
dois números inteiros, sendo o denominador não nulo. 
ℚ = {
𝑎
𝑏
 | 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ∗} 
Um número racional pode ser: 
 Um número inteiro 
−𝟏𝟓
𝟑
= 𝟖
𝟏
= 
 
 Um número decimal exato 
𝟐𝟓
𝟏𝟎
= −𝟗
𝟒
= 
 
 Um número decimal periódico (Dízima Periódica) 
𝟏
𝟑
= 
 −𝟑𝟐𝟒
𝟕
= −𝟒𝟔, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕… 
 
 
 
 Todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional, isto é, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. 
 
 
 
 
Nota 
 
 
3 
Conjunto dos Números Irracionais 
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é 
periódica: esses são os números irracionais. Eles não podem ser representados por uma 
razão entre dois números inteiros, tal como os números racionais. 
 
 
√2 = 1,4142136… 
√3 = 1,7320508… 
𝜋 = 3,1415926… 
 
 
 
Até esse momento, um número é racional ou irracional e ℤ⋂𝐼 = ∅ 
 
 
Conjunto dos Números Reaisℝ 
A união entre o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais resulta no conjunto dos números reais ℝ . 
 
 
Nota 
 
 
 
1 
 
 
 
Representação Decimal Finita 
𝟗
𝟐
= 
 
 
 
 
𝟓 = 
 
−𝟐, 𝟒𝟕𝟓 = 
 
𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
REPRESENTAÇÃO DECIMAL 
 
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2 
Representação Decimal Infinita 
Um número com representação decimal infinita é chamado de dízima. 
 Dízima não periódica 
É um número que quando escrito na forma decimal apresenta uma série infinita de 
algarismos após a vírgula e, em nenhum momento, se repetem em grupos de um ou 
mais algarismos. 
 
 
𝟐𝟑, 𝟏𝟕𝟖𝟗𝟎𝟑𝟖𝟔𝟐𝟕𝟑𝟗𝟒𝟓… 
 
−𝟓, 𝟑𝟗𝟎𝟓𝟕𝟐𝟓𝟏𝟖𝟎𝟑𝟗𝟎𝟎𝟏… 
 
 
 Dízima periódica 
É um número que quando escrito na forma decimal apresenta uma série infinita de 
algarismos após a vírgula e, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um 
ou mais algarismos. 
 
 
𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑… =
𝟏
𝟑
 
 
𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑… =
𝟐𝟏
𝟗𝟎
 
 
𝟐, 𝟕𝟖𝟐𝟔𝟎𝟖𝟔𝟗𝟓𝟔𝟓𝟐𝟏𝟕𝟑𝟗𝟏𝟑𝟎𝟒𝟑𝟒𝟕𝟖𝟐𝟔𝟎𝟖𝟔𝟗𝟔… =
𝟔𝟒
𝟐𝟑
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒… 
 
 
 
 
 
𝟓, 𝟑𝟓𝟑𝟓𝟑𝟓… 
 
 
 
 
 
 
𝟔, 𝟑𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐… 
 
 
 
𝟒, 𝟐𝟔𝟐𝟔𝟐𝟔𝟐𝟔… 
 
 
 
 
 
𝟖, 𝟐𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑… 
 
 
 
 
 
 
𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗… = 𝟏? 
 
 
 
 
 
Notas 
 
 
1 
 
 
 
 
A reta real 
A cada ponto de uma reta pode-se associar um único número real. 
 
 
 
 
 
Intervalos reais 
Considere 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, no qual 𝒂 < 𝒃. Os intervalos reais são os subconjuntos de 
ℝ apresentados a seguir: 
Intervalo fechado 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃} = [𝒂, 𝒃] 
 
Intervalo aberto 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 < 𝒙 < 𝒃} = ]𝒂, 𝒃[ 
 
Intervalo fechado à esquerda 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃} = [𝒂, 𝒃[ 
 
Intervalo fechado à direita 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃} = ]𝒂, 𝒃] 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
INTERVALOS REAIS 
ℝ 
ℝ 
ℝ 
ℝ 
ℝ 
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2 
 
Intervalo ilimitado 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 ≥ 𝒂} = [𝒂, +∞[ 
 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 < 𝒂} = ] − ∞, 𝒂[ 
 
Operações com intervalos 
Intervalos são subconjuntos de ℝ, logo é possível fazer operações com eles. 
 
 
Dados os intervalos 𝑨 = ]𝟒, 𝟖], 𝑩 = [𝟔, 𝟏𝟎], 𝑪 = ] − 𝟑, +∞[ e 𝑫 = ] − ∞, 𝟕], 
determinar: 
a. 𝑨 ∪ 𝑩 
b. 𝑨 ∩ 𝑩 
c. 𝑪 − 𝑫 
 
 
 
 
 
 
 
ℝ 
ℝ 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Progressão Aritmética 
 
Progressão Aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual à soma do termo antecedente com uma constante 
r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do Termo Geral de uma PA 
 
 
 
Numa 𝑷𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … , 𝒂𝒏, … ) de razão r, temos: 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – Parte 1 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 
 
 
2 
 
 
 
 
 
1. Determinar o 48º termo da 𝑷𝑨(𝟑, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟓,… ). 
 
 
 
 
2. Determine a PA em que o 6º termo é 7 e o 10º termo é 15. 
 
 
 
 
 
3. Inserir 6 meios aritméticos entre 2 e 16, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Propriedades das Progressões Aritméticas 
 
 
Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual 
à soma dos extremos. 
 
𝑷𝑨(−𝟒, −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒) 
 
 
 
 
 
Em uma PA de três termos, o termo médio é igual à média aritmética entre 
os outros dois. 
 
𝑷𝑨(𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐) 
 
 
As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 𝒙 + 𝟏, 𝟐𝒙, 𝒙𝟐 − 𝟓 e 
estão em PA, nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
PA de Termos 
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar a PA de maneira 
genérica. Veja: 
 PA de 3 termos: (𝒙 − 𝒓, 𝒙, 𝒙 + 𝒓) 
 
 
Numa PA decrescente de três termos, a soma desses termos é −6 e o 
produto é 64. Determine a PA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – Parte 2 
 
 
2 
 
 
Soma dos Termos de uma PA 
Somar os números naturais de 1 a 100. 
 (𝟏 𝟐 𝟑 … 𝟗𝟖 𝟗𝟗 𝟏𝟎𝟎) 
 
 
 
Esse raciocínio pode ser generalizado pela seguinte fórmula: 
 
 
 
Estudos realizados em um município mostraram que o desmatamento do cerrado 
cresce assustadoramente. A cada dia são desmatados 4 ℎ𝑎 a mais que a área desmatada 
no dia anterior. No primeiro dia de determinado mês foram desmatados 50 ℎ𝑎 nesse 
município. Quantos hectares foram desmatados nos 20 primeiros dias desse mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ⋅ 𝑛
2
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Progressão Geométrica 
 
 Progressão Geométrica (PG) é toda sequência numérica em que cada termo, 
a partir do segundo, é igual ao produto do termo antecedente por uma 
constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica. 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do Termo Geral de uma PG 
 
 
Numa 𝑷𝑮(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … , 𝒂𝒏, … ) de razão r, temos: 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – Parte 1 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
𝑛−1 
 
 
2 
 
 
 
 
1. Determinar o 12º termo da 𝑷𝑮(𝟏𝟐𝟖, 𝟔𝟒, 𝟑𝟐,… ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Inserir 5 meios geométricos positivos entre 𝟏 e 𝟔𝟒, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
Propriedades das Progressões Geométricas 
 
 Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual ao produto dos extremos. 
 
𝑷𝑮(−𝟐, 𝟒, −𝟖, 𝟏𝟔, −𝟑𝟐, 𝟔𝟒, −𝟏𝟐𝟖) 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 Em uma PG de três termos, o termo central é igual à média geométrica 
entre os outros dois. 
 
𝑷𝑮(𝟑, 𝟗, 𝟐𝟕) 
 
 
 
1. Determinar x de modo que a sequência (𝟑, 𝒙 + 𝟐, 𝟑𝒙) seja uma PG crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Para dois números positivos 𝒂 e 𝒄, a sequência (𝒂, 𝟒, 𝒄) é PA e a sequência 
(𝒄 + 𝟐, 𝟒, 𝒂) é PG. Determine 𝒂 e 𝒄. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
PG de Termos 
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar a PG de maneira 
genérica. Veja: 
 PG de 3 termos: (𝒙
𝒒
, 𝒙, 𝒙 ⋅ 𝒒) 
 
 
Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que 
a soma do 2º com o 3º termo é 14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – Parte 2 
 
 
2 
 
 
Soma dos 𝒏 Termos de uma PG 
A soma 𝑺𝒏 dos n primeiros termos de uma 𝑷𝑮(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … , 𝒂𝒏, … ) de 
razão 𝒒 é dada por: 
 
 
 
 
Nos 14 dias de inscrição para um concurso público, o número diário de candidatos 
inscritos aumentou em progressão geométrica. No primeiro dia foram feitas 3 
inscrições, e no último, 24.576. Quantos candidatos se inscreveram para esse concurso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ⋅ (𝑞
𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
 
3 
 
 
Soma dos 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 Termos de uma PG 
A soma 𝑺∞ dos infinitos termos de uma 𝑷𝑮(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … ) de 
razão −𝟏 < 𝒒 < 𝟏 é dada por: 
 
 
 
 
 
Determine o limite da soma dos termos da progressão geométrica 1/3, 1/9, 1/27, ... 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Entendimento 
A Análise Combinatória é embasada no Princípio Fundamental da Contagem. A seguinte 
situação ajudará a compreender esse princípio: 
 
 
Existem três cidades A, B e C. Há duas rodovias que ligam A e B e três que ligam B 
e C. Partindo de A e passando por B, de quantas formas podemos chegar até C? 
 
 
 
 
Se um experimento E pode apresentar n resultados distintos e um 
experimento F pode apresentar k resultados distintos, então o número de 
resultados distintos que o experimento composto de E e F pode apresentar, 
nessaordem, é dado pelo produto 𝒏 ⋅ 𝒌. 
 
 
Considerando a situação anterior das cidades e rodovias, imagine que ao chegar 
na cidade C, deseja-se ir a uma lanchonete ou a uma sorveteria. Quantas são as 
possibilidades, considerando os possíveis trajetos já mencionados? 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC 
 
 
2 
 
 
 
 
 
Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os números 
𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 e 𝟓? 
 
 
 
 
Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e 
coroa? 
 
 
 
 Cinco atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para 
o 𝟏º, 𝟐º e 𝟑º lugares? 
 
 
 
 
Com os algarismos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 e 7, determine: 
a. Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem ser formados? 
 
 
b. Quantos números naturais pares de quatro algarismos distintos podem ser 
formados? 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Uma sala possui 10 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode 
estar iluminada por essas lâmpadas? 
 
 
 
 
Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3000 que 
podemos representar utilizando somente os algarismos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕 e 𝟖, de modo que 
não figurem algarismos repetidos em um mesmo número. 
 
 
 
 
 
Uma bandeira é formada por 7 listras, que devem ser pintadas de três cores 
diferentes. De quantas maneiras diferentes será possível pintá-la de modo que duas 
listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Definição 
Com a finalidade de simplificar as operações que envolvem a Análise Combinatória, 
vamos definir o símbolo de fatorial. 
 
Seja 𝑛 um número natural, com 𝑛 ≥ 2. Define-se o fatorial de 𝒏, 
representado por 𝑛!, por meio da relação: 
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 
 
 
 
 
Por definição, 𝟏! = 𝟏 e 𝟎! = 𝟏. Não existe fatorial de número negativo. 
 
 
 
 
Simplifique as seguintes frações: 
a. 9!
7!
= 
 
b. 8!
10!
= 
 
c. 10!⋅5!
8!⋅6!
= 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
FATORIAL 
Notas 
 
 
2 
 
 
 
 
Resolva a equação: 
(𝒏 + 𝟏)!
(𝒏 − 𝟏)!
= 𝟐𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Quatro jogadores de futebol concorrem a um dos títulos de 1º e 2º melhor 
jogador de um campeonato. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser 
distribuídos? 
 
 
 
 
 
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, 
chama-se arranjo simples de 𝑝 elementos de 𝐼 toda sequência formada por 
𝑝 elementos distintos de 𝐼 com 𝑝 ≤ 𝑛. 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
 
Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantas são as 
possibilidades para os três primeiros lugares? 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ARRANJOS 
 
 
2 
 
 
 
 
Uma pousada possui 12 quartos e 3 hóspedes desejam passar o final de semana. 
Qual é o número de maneiras diferentes com que esses hóspedes podem ser 
distribuídos nos quartos de modo que cada quarto seja ocupado por um único hóspede? 
 
 
 
 
 
 
 
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas 
pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma urna A contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna B contém 3 
bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que 
podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna A e, em 
seguida, 2 bolas da urna B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Com os algarismos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 e 𝟔, quantos arranjos desses 
algarismos tomados 4 a 4 têm o algarismo 𝟏 antes do 𝟒? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Permutações Simples 
 
 
De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em fila indiana? 
 
 
Definição de Permutação Simples 
 
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, chama-
se permutação simples dos 𝑛 elementos de 𝐼 todo arranjo simples desses 𝑛 
elementos tomados 𝑛 a 𝑛. 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
 
 
Dez livros diferentes, 3 de ficção e outros 7 diversos, devem ser colocados lado a 
lado em uma estante. Em quantas sequências diferentes esses livros podem ser dispostos 
de modo que os de ficção fiquem juntos? 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PERMUTAÇÕES 
 
 
2 
 
 
 
 
De quantas formas 6 pessoas podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras se duas 
delas, Arnaldo e Samuel, se recusam a sentar um ao lado do outro? 
 
 
 
 
 
Com relação à palavra ESCOLA: 
a. Quantos anagramas existem? 
 
b. Quantos anagramas começam com E? 
 
c. Quantos anagramas começam com vogal? 
 
d. Quantos anagramas têm as vogais juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Permutações com Repetição 
 
 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ABA? 
 
 
 
 
Fórmula da Permutação com Repetição 
 
 
 
 
 
 
Em relação à palavra NATALINA: 
a. Quantos anagramas existem? 
 
 
b. Quantos anagramas começam com a letra A? 
 
 
c. Quantos anagramas têm as vogais juntas? 
 
𝑃𝑛
𝑎,𝑏,𝑐,… =
𝑛!
𝑎! ⋅ 𝑏! ⋅ 𝑐! ⋅ …
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Na aula anterior estudamos os Arranjos, que são agrupamentos no qual a ordem 
dos elementos altera a formação. Estudaremos agora a Combinação, no qual a ordem 
dos elementos é desconsiderada. 
 
 
Em uma empresa, três funcionários serão escolhidos como representantes do 
sindicato de trabalhadores. Sabendo que apenas quatro funcionários se candidataram, 
quantas são as possibilidades de escolha para a formação desse sindicato? 
 
 
 
 
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, 
chama-se combinação simples de 𝑝 elementos de 𝐼 todo subconjunto 
formado por 𝑝 elementos distintos de 𝐼 com 𝑝 ≤ 𝑛. 
𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)! 𝑝!
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
COMBINAÇÕES 
 
 
2 
 
 
 
como diferenciar Arranjo de Combinação 
Em um problema de análise combinatória devemos, antes de tudo, verificar se os 
agrupamentos em questão são arranjos, permutações ou combinações. No caso da 
permutação, todos os elementos do grupo serão utilizados na formação das 
possibilidades. 
 
E como diferenciar um caso de arranjo ou um de combinação? 
1º Forme um dos grupos sugeridos pelo problema; 
2º Altere a ordem dessa formação; 
3º Faça a seguinte análise: 
 Se a alteração obteve um agrupamento diferente do original, é ARRANJO; 
 Se a alteração obteve um agrupamento igual ao original, é COMBINAÇÃO. 
 
 
 
Uma prova consta de 10 questões, das quais o aluno deve escolher apenas 6 para 
responder. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões? 
 
 
 
 
 
De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem 
reposição. Qual é o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem 
das cartas extraídas? 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior, quantas são as possibilidades de escolha de modo que em 
cada possibilidade haja pelo menos um rei? 
 
 
 
 
Em um encontro de amigos, cada pessoa cumprimentou todas as outras, 
havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia no encontro? 
 
 
 
 
 
 
Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá 
associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não poderão estar juntas 
porque produzem uma mistura explosiva? 
 
 
 
 
 
 
Uma organização dispõe de 10 economistas e 10 engenheiros. Quantas comissões 
de cinco pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha 3 economistas 
e 2 engenheiros? 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Quando elementos são dispostos ao redor de um círculo, a cada disposição 
possível chamamos de permutação circular. 
 
Podemos calcular o número de permutações circulares de 𝒏(𝒏 ≥ 𝟑) elementos, da 
seguinte forma:De quantas formas 6 crianças podem formar uma roda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
 
1 
 
 
 
 
É a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem. 
 
 
 
Bissetriz de um ângulo 
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no 
vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes. 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso 
 
 
 
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo. 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ÂNGULOS 
 Definição 
 
EXEMPLO 1: 
2
y x + 30° 
B 
P 
A 
O 
http://www.professorferretto.com.br
 
 
2 
 
UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS 
1. Grau (°) 
 
 
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo. 
Faça as operações com os ângulos abaixo: 
a. 32°28′36′′ + 17°44′48′′ = 
 
b. 20°16′14′′ − 10°44′48′′ = 
2. Radiano (rad) 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90°. 
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180° 
 
 
Um ângulo excede o seu complemento em 48°. Determine o suplemento desse 
ângulo. 
EXEMPLO 2: 
EXEMPLO 3: 
 
 
1 
 
 
 
 
É a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem. 
 
 
 
Bissetriz de um ângulo 
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no 
vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes. 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso 
 
 
 
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo. 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ÂNGULOS 
 Definição 
 
EXEMPLO 1: 
2
y x + 30° 
B 
P 
A 
O 
http://www.professorferretto.com.br
 
 
2 
 
UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS 
1. Grau (°) 
 
 
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo. 
Faça as operações com os ângulos abaixo: 
a. 32°28′36′′ + 17°44′48′′ = 
 
b. 20°16′14′′ − 10°44′48′′ = 
2. Radiano (rad) 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90°. 
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180° 
 
 
Um ângulo excede o seu complemento em 48°. Determine o suplemento desse 
ângulo. 
EXEMPLO 2: 
EXEMPLO 3: 
 
 
1 
 
 
 
1. Classificação 
 
 
 
 
2. Nomenclatura 
De acordo com o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais: 
n = 3 Triângulo ou trilátero 3 lados 
n = 4 Quadrilátero 4 lados 
n = 5 Pentágono 5 lados 
n = 6 Hexágono 6 lados 
n = 7 Heptágono 7 lados 
n = 8 Octógono 8 lados 
n = 9 Eneágono 9 lados 
n = 10 Decágono 10 lados 
n = 11 Undecágono 11 lados 
n = 12 Dodecágono 12 lados 
n = 20 Icoságono 20 lados 
 
3. Elementos 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POLÍGONOS 
 
Polígono Convexo Polígono Côncavo 
http://www.professorferretto.com.br
 
 
2 
 
4. Número de diagonais 
O número de diagonais 𝑑 de um polígono de 𝑛 lados 𝑛 ≥ 3 é dado por: 
 
 
 
 
Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados. 
 
 
 
 
5. Soma dos ângulos 
 Soma dos ângulos internos 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por: 
 
 
 
 
 Soma dos ângulos externos 
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é dada por: 
 
 
 
 
Determine o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais 
multiplicado por 180°. 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
EXEMPLO 2: 
 
 
3 
 
6. Polígono regular 
 
 
 
 
 
 
Um polígono é regular se possuir todos os lados congruentes e todos os 
ângulos congruentes. 
 
 
 
O ângulo externo de um polígono regular é igual à metade do seu ângulo 
interno. Determine o número de diagonais desse polígono. 
 
 
 
Polígono Equilátero Polígono Equiângulo 
Polígono Regular 
EXEMPLO 3: 
Anotações: 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono é uma figura plana com lados, no qual o número de lados é igual ao 
número de ângulos. 
 
Soma dos Ângulos Internos 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte 
fórmula: 
𝑆𝑖 = 180° ⋅ (𝑛 − 2) 
 
 
Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado 
por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno 
e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o 
ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, determine a 
medida do ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa. 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POLÍGONOS REGULARES 
Introdução 
 
 
2 
 
 
Polígono Regular 
 
Um polígono convexo é regular se possuir todos os lados congruentes e 
todos os ângulos internos congruentes.
 
 
 
 
 
 
Em um pentágono regular, determine a medida do seu ângulo interno e a 
medida do seu “ângulo cêntrico”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Apótema 
 
Apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no 
centro e a outra no ponto médio de um lado. 
 
 
 
 
 
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência. 
 
Nota 
Pentágono Regular inscrito 
em uma circunferência 
Pentágono Regular circunscrito 
a uma circunferência 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Propriedades 
P1. Soma dos Ângulos Internos 
 
 
 
 
P2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado 
 
 
 
 
 
P3. Desigualdade Triangular 
 
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
TRIÂNGULOS 
60
° 
50
° 
a 
b c 
a 
b 
c 
 
 
2 
 
 
 
 
Dois lados de um triângulo medem 8 cm e 21 cm. Quanto poderá medir o terceiro 
lado, sabendo que é múltiplo de 6? 
 
 
 
 
Área de um Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 
40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos 
nessa placa nas direções AE e AC, de modo que 𝐷�̂�𝐸 = 45° e 𝐵�̂�𝐶 = 30°, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois 
esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √3 =
1,7, determine a área do triângulo CAE, em cm2. 
A B 
C D E 
 
 
1 
 
 
 
Elementos 
 
 
 
 
 
Classificação 
1. Classificação quanto aos lados 
 
 
 
 
2. Classificação quanto aos ângulos 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
TRIÂNGULOS 
 
Equilátero Isósceles Escaleno 
Retângulo Acutângulo Obtusângulo 
http://www.professorferretto.com.br
 
 
2 
 
 
Classifique o triângulo que possui os seguintes lados: 9 cm, 7 cm e 6 cm. 
 
 
 
 
Propriedades 
P1. Soma dos ângulos internos 
 
 
 
 
 
P2. Soma dos ângulos externos 
 
 
 
 
P3. Teorema do ângulo externo 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
 
3 
 
P4. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo 
 
 
 
 
P5. Desigualdade triangular 
 
 
 
 
 
 
 
Dois lados de um triângulo medem 7 cm e 18 cm. Quanto poderá medir o terceiro 
lado, sabendo que é múltiplo de 9? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anotações: 
EXEMPLO 2: 
 
 
1 
 
 
 
Baricentro - Medianas 
 O ponto de interseção das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo. 
 
 
 
Nota: O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. 
 
 
Os segmentos AB, BC, AC e CD medem, cada um, 3 cm. Sabendo que E é o ponto médio do lado 
AB, determine CF. 
 
 
 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
EXEMPLO 1: 
http://www.professorferretto.com.br
 
 
2 
 
Incentro - Bissetrizes 
 O ponto de interseção das trêsbissetrizes de um triângulo é o encentro do triângulo. 
 
 
 
Nota: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
 
Teorema da bissetriz interna de um triângulo 
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais 
aos lados adjacentes. 
 
 
 
 
Sabendo que AB é uma bissetriz, determine o valor de x. 
 
 
EXEMPLO 2: 
12 
B 
8 
x 
A 
10 
 
 
3 
 
Circuncentro - Mediatrizes 
 O ponto de interseção das três mediatrizes de um triângulo é o circuncentro do triângulo. 
 
 
 
Nota: O circuncentro é centro da circunferência circunscrita no triângulo. 
 
 
 
 
Ortocentro - Alturas 
O ponto de interseção de três alturas de um triângulo é o ortocentro do triângulo. 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Dois triângulos serão semelhantes se possuírem os três ângulos congruentes 
e os lados homólogos proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores de a e b nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
6 
a b
3
7
5
 
 
2 
 
 
Teorema Fundamental 
 
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros 
dois lados em dois pontos distintos, então o triângulo que ele determina é 
semelhante ao primeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, 
mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 
0,6m. Determine a altura do poste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
a 
b
a 
c
a 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Com base na semelhança de triângulos, se a razão de semelhança é k, então: 
 A razão entre os lados homólogos é k; 
 A razão entre os perímetros é k; 
 A razão entre as alturas homólogas é k; 
.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em 
forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do 
exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um 
holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, determine o raio aproximado 
do disco-voador, em m. 
 
 
 
Notas 
 
 
4 
 
 
Razão entre Áreas de dois Triângulos Semelhantes 
 
Dois A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Elementos 
Hipotenusa: 
Catetos: 
Altura relativa à hipotenusa: 
Projeções dos catetos na hipotenusa: 
 
Relações Métricas 
Com base na semelhança de triângulos, podemos deduzir as relações métricas mais 
importantes do triângulo retângulo. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
2 
 
 
Teorema de Pitágoras 
 
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
 
 
 
 
 
 
Uma luminária está presa ao teto por duas cordas perpendiculares, tal como 
mostra a figura. Essas cordas medem 50 cm e 120 cm. Determine a distância da luminária 
até o teto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Um cabo de aço foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão. 
Sabendo que a torre menor tem 20m de altura, a maior 50 m de altura e que a distância 
entre as duas torres é de 40m, determine o comprimento do cabo. 
 
 
 
 
Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um 
arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e 
estacionamento (E), como mostra a figura abaixo. 
 
Sabendo que P, H e R são colineares, que 𝑷𝑯̅̅̅̅̅ mede 9 m e que 𝑺𝑯̅̅ ̅̅ mede 12 m, 
determine a área total do restaurante, em metros quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
1. Um garoto empina uma pipa com um fio 
esticado de 50 m. Sabendo que o ângulo entre 
o fio e o solo é de 30°, calcule a altura que 
está a pipa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Do alto da torre de uma plataforma de 
petróleo marítima, de 45 m de altura, o 
ângulo de depressão em relação a proa de um 
barco é de 60°. A que distância o barco está 
da plataforma? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um barco atravessa um rio e segue numa 
direção que forma com uma das margens um 
ângulo de 30°. Sabendo que a largura do rio é 
de 60 m, calcule a distância percorrida pelo 
barco para atravessar o rio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 
10° em relação ao plano horizontal. Se a 
rampa tem 30 m de comprimento, a quantos 
metros o caminhão se eleva, verticalmente, 
após percorrer toda a rampa? 
Dados: sin 10° = 0,17; cos 10° =
0,98; tan 10° = 0,18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Trigonometria no triângulo retângulo 
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2 
 
5. Sendo 𝛼 um ângulo agudo de um triângulo 
retângulo e cos 𝛼 = 5/13. Calcule sin 𝛼 e 
tan 𝛼. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Sendo 𝛼 um ângulo agudo de um triângulo 
retângulo e tan 𝛼 = 2/3. Calcule sin 𝛼 e 
cos 𝛼. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. O acesso a um edifício é feito por uma escada 
de dois degraus, sendo que cada um tem 16 
cm de altura. Para atender portadores de 
necessidades especiais, foi construída uma 
rampa. Respeitando a legislação em vigor, a 
rampa deve formar, com o solo, um ângulo de 
6°, conforme a figura: Dados: sin 6° =
0,10; cos 6° = 0,99 
 
Determine, em metros, a medida c do 
comprimento da rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 25 m 
2. 15√3 𝑚 ou 25,95 𝑚 
3. 120 m 
4. 5,10 m 
5. 12/13 e 12/5 
6. 2√13
13
 e 
3√13
13
 
7. 3,2 m 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Triângulo Retângulo
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em relação ao ângulo 𝜶: 
• Cateto adjacente: 
• Cateto oposto: 
 Em relação ao ângulo 𝜷: 
• Cateto adjacente: 
• Cateto oposto: 
 
Razões Trigonométricas 
Em um triângulo retângulo, teremos as seguintes razões trigonométricas 
 
 
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
2 
 
 
 
 
Dado o triângulo retângulo, calcule: 
a. 𝒔𝒆𝒏 𝜶 
b. 𝐜𝐨𝐬 𝜶 
c. 𝒕𝒈 𝜶 
d. 𝒔𝒆𝒏 𝜷 
e. 𝐜𝐨𝐬 𝜷 
f. 𝒕𝒈 𝜷 
 
 
 
 
 
 
 
Razões Trigonométricas de Ângulos Especiais 
 30° 45° 60° 
seno 
cosseno 
tangente 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
12 
𝛼 
𝛽 
 
 
3 
 
 
 
 
 
(UEM) Um triângulo retângulo ABC tem cateto AB com medida 30 m e cateto AC 
com medida 40 m. Sabe-se que a medida de um dos ângulos agudos 𝜶 é tal que 𝒕𝒈 𝜶 =
𝟑/𝟒. Deseja-se ampliar a área desse triângulo em 30% por meio de um prolongamento 
do lado AB, na semirreta de origem A, que passa por B, formando um novo triângulo 
retângulo ADC, cujo ângulo 𝑨�̂�𝑪 mede 𝜷. Nessas condições, assinale o que for correto. 
 
01) O lado AB deve ser prolongado em 9 m. 
02) A área que foi ampliada é de 360 m2. 
04) A medida 𝜽 do ângulo formado entre o cateto AB e a hipotenusa BC é maior 
que a medida do ângulo 𝜷. 
08) A tangente de 𝜷 é 9/2. 
16) O seno de 𝜶 é 4/5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Triângulo Equilátero 
 
 
 
 
 
Inscrição e Circunscrição 
 
 
 
 
 
 
(UECE) Os pontos médios dos lados de um triângulo equilátero cuja medida da 
área é 9√3 𝑚2 são ligados dividindo o triângulo em quatro outros triângulos 
equiláteros congruentes. Calcule a medida da altura de cada um destes 
triângulos menores. 
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TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
Altura Áre
a 
 
 
1 
 
 
 
1. Fórmula Tradicional 
 
 
 
 
Determine a área do triângulo abaixo: 
 
 
 
2. Triângulo equilátero 
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