Tema 04 - 01 - Distribuição de Probabilidade - Esperança - Distribuição Binominal

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
 
Catiúscia A. B. Borges 1 
 
Tema 04 – Distribuição de Probabilidades - Valor Esperado 
- Distribuição Binomial 
 
Variáveis Aleatórias 
 
“A Vida é uma grande probabilidade... Há varáveis infinitas, aleatórias e infinitas” 
Autor desconhecido 
Variável aleatória: 
É a função que associa cada elemento do espaço amostral (𝑆) de um 
experimento aleatório, um número real, ou seja, 𝑓: 𝑆 → ℜ. 
 
As variáveis aleatórias podem ser classificadas como discretas ou contínuas. 
 
Variável Aleatória Discreta (VAD): é aquela em que todos os possíveis 
valores da variável, podem ser listados numa tabela, com as probabilidades 
correspondentes. 
Variável Aleatória Continua (VAC): é aquela em que não podem ser listados 
todos os possíveis valores fracionários da variável, e assim, as probabilidades 
determinadas por uma função matemática, são retratadas, por uma função 
densidade ou por uma curva de probabilidade. 
O número de pessoas por domicilio, a quantidade de artigos em um 
determinado inventário são exemplos de variáveis aleatórias discretas. Enquanto o 
tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo, o número médio de 
pessoas por domicilio em uma grande comunidade, a temperatura são exemplos de 
variáveis aleatórias contínuas. 
Em resumo, pode-se dizer que VAD é aquele resultado que pode ser 
contado; e VAC é aquele resultado que deve ser medido e que por isto depende da 
precisão do instrumento de medida e pode ocupar qualquer valor dentro de um 
determinado intervalo. 
 
Distribuição de Probabilidades: 
 
 A Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é a 
função P(X = x) que determina a probabilidade de X assumir o valor x. Para uma 
variável aleatória contínua é a função que determina a probabilidade de X assumir 
valores em um determinado intervalo. 
 
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Distribuição de Probabilidades Discreta 
 
A distribuição de probabilidade discreta pode ser interpretada pela 
transformação das frequências relativas em probabilidades, como no exemplo a 
seguir: 
 
Exemplo: 
Na tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes solicitados em 
uma agencia de aluguel de carros, durante um período de 50 dias. Baseado nela, 
calcular: 
a)a probabilidade de serem solicitados exatamente 7 caminhonetes em um 
dia escolhido aleatoriamente; 
b)a probabilidade de serem solicitados seis ou mais caminhonetes. 
 
Demanda possível (X) 
(caminhonetes) 
Número de dias Probabilidade P(X) 
3 3 3/50 = 0,06 
4 7 7/50 = 0,14 
5 12 12/50 = 0,24 
6 14 14/50 = 0,28 
7 10 10/50 = 0,20 
8 4 4/50 = 0,08 
 50 50/50 = 1 
 
Assim teremos: 
a) P(X=7) = 10/50 = 0,20 
 
b) P(X≥6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 14/50 + 10/50 + 4/50 = 0,28 + 0,20 
+ 0,08 = 0,56 
 
Observação: 
 𝑃(𝑋 = 𝑎) = 1 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8) 1 
 
2.1.1. Valor Esperado 
Considere uma distribuição de probabilidade discreta. Então o valor 
esperado dessa variável é definido por: 
 
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 . 𝑝(𝑥𝑖) 
 
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Exemplo: 
Suponha um jogo de tabuleiro onde o pião deve andar o número 
correspondente a face superior de um dado honesto, no entanto, se o dado for igual 
a 6 o pião deve ficar no lugar. Determine o número de casas que um indivíduo deve 
esperar andar em uma jogada qualquer, considerando a probabilidade de 
ocorrência de cada face. 
 
Resultados 1 2 3 4 5 6 
X 1 2 3 4 5 0 
P(Xo) 
(probabilidade 
de ocorrência 
de cada face) 
6
1
 6
1
 6
1
 6
1
 6
1
 6
1
 
 
 
𝐸(𝑥) = 1 .
1
6
+ 2.
1
6
+ 3.
1
6
+ 4.
1
6
+ 5.
1
6
+ 0.
1
6
= 
1
6
+
2
6
+
3
6
+
4
6
+
5
6
+
0
6
=
15
6
= 2,5 
 
Distribuição Binomial 
 
Processo de Bernoulli: 
Uma sequência de testes resulta em um processo de amostragem de 
BERNOULLI, sempre que forem obedecidas as seguintes regras: 
Em cada tentativa existirem somente dois resultados possíveis, mutuamente 
exclusivos, chamados SUCESSO E FRACASSO. 
As séries de tentativas e/ou observações, são constituídas de eventos 
independentes. 
O processo é estacionário, isto é, a probabilidade de sucesso, indicado por “p” 
, permanece constante de tentativa para tentativa. A probabilidade de falha, indicada 
apor “q” , é (1-p), pois p + q = 1. 
 
Exemplo: 
Suponhamos um experimento de 10 lançamentos de uma moeda, onde 
queremos observar como sucesso o efeito “cara”. 
 
Observe que: 
1º) Em cada lançamento há somente dois resultados possíveis: sucesso (cara) 
ou falha (coroa). 
2º) As séries de tentativas são independentes. 
 
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3º) O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso p (cara) é 
sempre igual a 1 / 2. 
 
Distribuição Binomial 
É uma das distribuições discretas de probabilidade, mais comuns em 
estatística. É aplicável sempre que o processo de amostragem for do tipo 
BERNOULLI. 
 
A probabilidade de se obter exatamente “k” sucessos em “n” repetições, é 
denominada por : 
 
𝐵(𝑛, 𝑘, 𝑝) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 , onde k é o número de sucessos, n é o número de 
tentativas e/ou observações, e p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa; (
𝑛
𝑘
) 
é o coeficiente binomial dado por (
𝑛
𝑘
) = 𝐶𝑘
𝑛 =
𝑛!
𝑘! .(𝑛−𝑘)! 
. 
 
Exemplos: 
1) Em uma maternidade estão programados o nascimento de 8 crianças. 
Determine a probabilidade de que 6 dessas crianças sejam meninas. 
 
Há duas maneiras de utilizarmos o coeficiente binominal para resolvermos 
esta questão: 
1ª) 
S = “nascimento de 8 crianças”  𝑛(𝑆) = 28 = 256 
A = “6 meninas”  𝑛(𝐴) = 𝐶6
8 =
8!
6! .(8−6)! 
=
(8.7.6!)
6!.2!
=
8.7
2
= 28 
Assim pela definição de probabilidade: 𝑃(𝐴) =
28
256
≅ 0,1094 ⇒ 10,94% 
2ª) 
𝑘 = 6 é o numero de meninas (sucessos) 
𝑛 = 8 é o número de nascimentos (repetições) 
𝑝 =
1
2
 é a probabilidade de nascer uma menina considerando apenas um 
nascimento. 
 
Assim aplicando a distribuição Binominal, temos: 
𝐵(8,6, 1 2⁄ ) = (
8
6
) (1 2⁄ )
6
 (1 2⁄ )
8−6
= 
=
8!
6! . (8 − 6)! 
. (1 2⁄ )
8
=
8.7
2
.
1
256
=
28
256
≅ 0,1094 ⇒ 10,94% 
 
 
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2) Suponhamos um experimento de 10 lançamentos de uma moeda, 
determine a probabilidade de obtermos 8 ou mais “caras”. 
𝑘1 = 8 , 𝑘2 = 9, 𝑘3 = 10 8 ou mais “caras” (sucessos) 
𝑛 = 10 é o número de lançamentos (repetições) 
𝑝 =
1
2
 é a probabilidade de obtermos cara no lançamento de uma moeda 
 
Assim aplicando a distribuição Binominal, temos: 
𝐵(10,8, 1 2⁄ ) + 𝐵(10,9,
1
2⁄ ) + 𝐵(10,10,
1
2⁄ ) = 
 
= (
10
8
) (1 2⁄ )
8
 (1 2⁄ )
2
+ (
10
9
) (1 2⁄ )
9
 (1 2⁄ )
1
+ (
10
10
) (1 2⁄ )
10
 (1 2⁄ )
0
= 
 
=
10!
8! 2! 
. (1 2⁄ )
10
+
10!
9! 1! 
. (1 2⁄ )
10
+
10!
10! 0! 
. (1 2⁄ )
10
= 
 
= 0,4939 + 0,0098 + 0,0010 = 0,0547 = 5,47% 
 
 
Propriedades: 
Média - Medida de tendência central  µ = 𝑛 . 𝑝 
Variância - Medida de dispersão  𝜎2 = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞 
Desvio Padrão - Medida de dispersão  𝜎 = √𝑛 . 𝑝 . 𝑞 
 
 
Exemplo: 
Considere o nascimento de 36 crianças 
 
 A média de meninas (µ) é dada por µ = 36 .
1
2
= 18, onde 36 é o 
número de tentativas, e 
1
2
 é a probabilidade de nascer uma menina. 
 A variância 𝜎2 = 36 .
1
2
 .
1
2
= 9 
 
 O desvio padrão 𝜎 = √9 = 3 
 
Observação: 
A média, também é chamada de Esperança e/ou Número Esperado De 
Sucessos.