Teoria de probabilidade parte 2

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2. TEORIA DE PROBABILIDADE
2.5VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Até agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais para definirmos nosso Espaço Amostral S e associarmos suas respectivas probabilidades aos experimentos aleatórios.
 Contudo, existem experimentos cujos resultados podem ser expressos por quantidades numéricas. Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor específico a cada resultado do experimento aleatório.
Assim, quando atribuímos a um experimento, por exemplo, uma lâmpada, classificamos como sendo uma lâmpada perfeita ou uma lâmpada defeituosa. Para a classificação acima, podemos atribuir valores numéricos a cada resultado do experimento, asociando, por exemplo, valor 1 (um) às lâmpadas perfeitas e valo 0 (zero) às lâmpadas defeituosas.
Se atribuirmos a cada evento “s” do espaço amostral S um número real “x”, tal que z=X(s) e o valor de uma função X do espaço amostral S no campo dos números reais, podemos definir uma variável aleatória como: seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral desse experimento; seja uma função X, que se associa a cada elemento s do espaço amostral S, um número real X(s). se isso ocorrer, dizemos que X(s) é chamada vaiável aleatória (discreta ou contínua) conforme ilustração s seguir.
Variável Aleatória ou casual ou estocástica é aquela cujos valores são obtidos por um experimento aleatório e aos quais podemos associar probabilidades. Lebrando que a soma das probabilidades de todos valores que a variável aleatória pode assumir é igual a 1 (um).
Exemplo: jogar uma moeda simétrica duas vezes. A tabela seguinte representa todos os eventos do espaço amostral correspondente a esse esperimento e as probabilidades associadas a cada evento.
	Eventos de S
	CaCa
	CaCo
	CoCa
	CoCo
	Probabilidades
	1/4
	1/4
	1/4
	1/4
Façamos a seguinte correspondência: a cada evento de S um número real. Portanto, vamos definir X=número de caras.
Logo, no exemplo, X pode assumir os seguintes valores X={0,1,2}:
	Valores de X
	Eventos correspondentes
	0
	CoCo
	1
	CaCo ou CoCa
	2
	CaCa
Como o X pode assumir o valor de zero somente quando ocorrer o evento CoCo, podemos afirmar P(X=0)=1/4. Da mesma maneira podemos escrever para os outros valores de X:
 P(x=1)=P(CaCo)+P(CoCa)=1/4+1/4=1/2. 
 P(x=2)=P(CaCa)=1/4
Em esumo:
	X
	0
	1
	2
	
	P(x)
	1/4
	1/2
	1/4
	
2.5.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
É aquela que pode assumir apenas um número limitado de valores em qualquer escala de medida e é obtida mediante alguma forma de contagem, e também na interpretação de seus valores é dada exactamente por esse mesmo valor.
Exemplo 1: a renda pode ser medida até centavos; não pode assumir valores que terminem por metade de um centavo ou 2/7 de um centavo.
Exemplo 2:quando dizemos que um casal tem 5 filhos, isto significa que o casal tem exactamente 5 filhos.
2.5.2 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Teoricamente pode assumir qualquer valor numa ecala de medida e resulta frequentemente de uma medição, sendo dada, em geral, em alguma unidade de medida, que se trata geralmente de valor aproximado. Isto porque, mesmo utilizando instrumentos de medidas capazes de oferecer precisão absoluta em seus resultados, não interessaria em se querer determinar uma grandeza contínua com todas suas casas decimais.
Exemplo1: medidas de comprimento, peso e tempo;
Exemplo2: se, por exemplo, o diâmetro externo de uma peça for medido em milímetros e dado por 12,78mm, devemos considerar que o valor exacto desse diâmetro será algum valor entre 12,775mm e 12, 785mm, que foi aproximado para 12,78mm devido à precisão adoptada até centésimos de mm.
2.6 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE
Se uma variável aleatória X pode assumir um conjunto discreto de valores x1, x2, x3, …, xk ; com probabilidades respecivamente P1, P2, P3,….,Pk, sendo que P1+P2+P3+…+Pk=1diremos que está definida uma distribuição de probabilidade discreta de X, ou seja, P(X=Xi)= f(Xi), onde i=1,2,3,…,k e f(Xi). A função P(X) é denominada função de probabilidade ou de frequência de X.
Assim , 
Exemplo1: vamos supor o lançamento de um dado honesto, onde X= 1,2,3,4,5 e 6 são possíveis valores. Ou seja obter as faces 1,2,3,4,5 e 6.
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	P(x)
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	
Esta mesma função pode ser expressa graficamente
Exemplo2: uma urna contém 5 bolas pretas e 4 brancas. Façamos o X igual ao número de bolas brancas enquanto retiramos 3 bolas sucessivas.
	X
	0
	1
	2
	3
	
	P(x)
	5/42
	20/42
	15/42
	2/42
	
Graficamente:
a)Função de distribuição para variáveis discretas
Definimos como sendo a probabilidade da variável aleatória assumir valores menores ou iguais a X. ou seja: 
 onde 
Considerando X um número real, isto é, .
Mediante a acumulação das probabilidades, obtém-se distribuições de probabilidades aumuladas, análogas às frequência relativa acumulada.
A função associada a essa distribuição é, as vezes, denominada função de distribuição
 b)Propriedades da função de distribuição (repartição)
i. F(x)=
ii.
 (evento impossível)
iii. ( evento certo)
iv.
O intervalo pode ser escrito como: 
Assim, 
v.
vi. 
vii. F(x) é contínua à direita do ponto 
viii.F(x) é descontínua à esquerda do ponto
ix.A função é não decrescente, isto é, , pois, 
Exemplo1: jogando se dois dados, o espaço amostral (S) é:
`					
Onde X representa a soma dos números obtidos das faces dos dados voltados para cima, ou seja, S associa a cada ponto (a,b) de S o maior desses números, isto é, X(a,b)=máximo (a,b). Então X é uma variável aleatória com conjunto imagem: X(S)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Determine a função de distribuição da variável aleatória e trace o gráfico.
	X
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	P(X)
	1/36
	2/36
	3/36
	4/36
	5/36
	6/36
	5/36
	4/36
	3/36
	2/36
	1/36
	F(X)
	1/36
	3/36
	6/36
	10/36
	15/36
	21/36
	26/36
	30/36
	33/36
	35/36
	36/36
															
2.7DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE
Para definir uma função de probabilidade contínua, é necessário utilizar critérios diferentes das variáveis discretas, isto porque X deverá estar compreendido entre dois valores diferentes ( em se considerar X uma variável aleatória contínua), sendo que em geral a probabilidade de X assumir um determinado valor é zero.
Além do mais, não podemos saber qual a probabilidade do i-ésimo valor de X, pois, os mesmos valores possíveis assumidos por esta variável são considerados infinitos ou inumeráveis.
Consideremos X uma variável aleatória contínua. Uma função f(x) que satisfaça as propriedades a seguir, é chamada função de densidade de probabilidade ou função de densidade.
a) 
 b)
Assim definimos a probabilidade de X(variável aleatória) estar compreendida entre a e b, ou seja, por: 
Nota: qualquer valor especificado para X terá sua probabilidade igual a zero, assim: 
Quaiquer das probabilidades a seguir são iguais, admitindo X variável aleatória contínua:
2.7.1 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Definimos fuunão de distribuição F(x) para uma variável aleatória contínua, por:
Exemplo: Numa variável aleatória, X tem função de densidade dada por:
Pede-se:
a) O valor da constante “m”;
b) A probabilidade de X estar entre 2 e 4;
c) A função de distribuição da variável aleatória.
Resolução:
a) 
De acordo com as propriedades da função para uma variável aleatória contínua,teremos:
E como se sabe das propriedades, 
b) 
c) 
Logo a função de distribuição será:
 
2.8.DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS
 Com base nos tópicos anteriores podemos expandir o número de variáveis aleatórias para duas ou mais.consideremos o caso mais comum, no qual empregamos duas variáveis ( discretas e contínuas).
 Consideremos X e Y duas variáveis aleatórias discretas. Definimos a funão de probabilidade conjunta de X e Y, por:
Onde:
( ou seja, a soma sobre todos valores de x e y é 1);
No caso em que as duas variáveis aleatórias são contínuas, definimosa funão de probabilidade conjunta de X e Y, por:
2.9 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE MARGINAL
Dada uma distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias (X,Y), podemos determinar as distribuições de X sem considerar Y ou vice-versa.
a) Distribuição Marginal de X (para X,Y) discreta
b) Distribuição Marginal de Y (para X,Y) discreta
c) Distribuição Marginal de X (para X,Y) contínuas
d) Distribuição Marginal de Y (para X,Y) contínuas
e) Função de distribuição Marginal de X
f) Função de distribuição Marginal de Y
2.10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
Duas variáveis aleatórias discretas X e Y serão consideradas independentes se e somente se: 
Se variáveis aleatórias forem contínuas, diremos que elas serão independentes se e somente se: 
Exemplo: Dada a distribuição conjunta a seguir, determinar:
a) As marginais de X e Y;
b) Verificar se X e Y são independentes;
c) Calcular a funão de distribuição para X=2 e Y=2;
d) 
Calcular a probabilidade de .
	 X
Y
	1
	2
	3
	P(Y)
	1
2
3
	1/72
1/36
1/12
	1/36
1/18
1/6
	5/72
5/36
5/12
	8/72
8/36
8/12
	P(X)
	9/72
	9/36
	45/72
	1
Resolução:
a) 
	X
	1
	2
	3
	
	P(X)
	9/72
	9/36
	45/72
	
	Y
	1
	2
	3
	
	P(Y)
	8/72
	8/36
	8/12
	
b) Verificar se X e Y são Independentes:
Para X=2, temos P(x=2)= 9/36;
Para Y=2, temosP(Y=2)=8/36
Como P(X=2; Y=2)=P(x=2)*P(y=2)=9/36*8/36=1/18
Logo da tabela de distribuição dada pode se ver que X e Y são independentes;
c) Calcular a funão de distribuição para X=2 e Y=2;
d) 
Calcular a probabilidade de .
1. VALOR ESPERADO E MOMENTO DE VARIÁVEIS DISCRETAS
O valor esperado ou média de uma variável aleatória discreta ou de uma função de variável aleatória é o valor médio da função para todos os possíveis valores da variável, denotada por 
Dada uma variável aleatória X, denominamos valor esperado de X ou, ainda, esperança de X, a .
Denominamos Momento de uma distribuição como sendo os valores esperados das potências da variável aleatória, ou seja, , podendo ser classificados em momentos naturais e momentos centrais.
13.1 MOMENTO NATURAL DE ORDEM k
Onde, 
- fução de probabilidade
Se K=1, -média aritmética
Logo, 
		
Se K=2, - média quadrática
Logo, 
a) Propriedades da Esperança 
1) 
- a media de uma constant é igual a constant;
2) 
- a mediade uma variável multiplicada por uma constant é igual à constante multiplicada por média da variável.
3) 
- a méia da soma ou diferença é a soma ou diferença das médias.
4) 
- somando ou subtraindo uma constant a uma variável aleatória, a sua média fica somada ou subtraída da mesma constante.
5) 
- a media de uma variável aleatória centralizada é zero.
6) 
- a media do produto de variáveis aleatórias independentes é o produto das médias de cada uma. Lembrando que esta condição é apenas necessária, portanto, a recíproca não é verdadeira.
Onde, 
Exemplo: Dados:
	X
	1
	2
	3
	
	P(X)
	3/10
	4/10
	3/10
	
	Y
	1
	2
	3
	
	P(Y)
	2/10
	6/10
	2/10
	
Pede-se:
a) Distribuição de probabilidade XY;
b) A esperança de X e Y;
c) A esperança (X,Y);
d) Para verificar se X e Y são independentes
Resolução:
a) Distribuição de probabilidade XY;
	Y X
	1
	2
	3
	P(Y)
	1
2
3
	1/10
1/10
1/10
	1/10
2/10
1/10
	0
3/10
0
	2/10
6/10
2/10
	P(X)
	3/10
	4/10
	3/10
	1
	XY
	1
	2
	3
	4
	6
	9
	
	P(XY)
	1/10
	2/10
	1/10
	2/10
	4/10
	0
	
b) A esperança de X e Y.
c) A esperança (X,Y);
d) Para verificar se X e Y são independentes
Logo, 
 4=2x2
Mas ou seja 	
Portanto, X e Y não são independentes.
13.2 MOMENTOS CENTRADOS DE ORDEM K
Denominamos Momentos Centrados de Ordem K a seguinte esperança:
Se K=1
Se K=2
a) Propriedades da Variância
1) 
2) 
Observe:
3), se X e Y são independentes.
Observe:
4) , se X e Y são independentes.
5) Se X e Y não são independentes, então,
Exemplo: Dada a distribuição:
	X
	0
	1
	2
	
	P(X)
	2/5
	1/5
	2/5
	
Determinar a Var(X).
Resolução:
Como 
Exercícios
1.Seja X uma variável aleatória, cujas distribuições são dadas pelas tabelas a seguir:
Tabela-1
	X
	0
	1
	2
	
	P(X)
	2/5
	1/5
	2/5
	
Tabela-2
	X
	0
	1
	2
	3
	
	P(X)
	1/8
	1/4
	1/2
	1/8
	
Determinar :
.
Resp.:Tabela-1: 
Tabela-2: 
2.Dadas a funções de distribuições de uma variável aleatória Y, determinar a esperana e variância.
Tabela-3
	Y
	0
	1
	2
	3
	P(Y)
	1/8
	4/8
	7/8
	8/8
Tabela-4
	Y
	-4
	-2
	2
	4
	6
	P(Y)
	0,2
	0,3
	0,4
	0,6
	1,0
Resp.
Tabela-3 :
Tabela-4:
3.Calcular a esperança da distribuição em que X assume os valores 1,2,3,4,….,n, cada qual com frequência absoluta unitária.
Resp. 
4.considere a variável aleatória discreta bidimensional (x,y),com a seguinte distribuição de probabilidade conjunta:
	Y X
	1
	2
	3
	1
2
3
	5/27
4/27
2/27
	1/27
3/27
3/27
	3/27
4/27
2/27
Pede-se:
a) Determinar as distribuições marginais de X e Y;
b) 
Calcular ;
c) 
Calcular ;
d) 
Calcular ;
e) 
Calcular ;
f) Verificar se X e Y são independentes.
g) Calcular a função de distribuição para X=2 e Y=2.
h) 
Calcular a probabilidade de .
Resp.
a) 
	X
	1
	2
	3
	P(X)
	11/27
	7/27
	9/27
	Y
	1
	2
	3
	P(Y)
	9/27
	11/27
	7/27
b) 
c) 
d) 
e) 
f) Independente
g) 
h) 
CORRELAÇÃO
Como vimos em estatistica descritiva, o Coeficiente de Correlação de Pearson, r, mede o grau de associação linear entre x e y ( amostra bivariada quantitativa). Este coeficiente assume a Normalidade dos dados e é dado por : , , para , existe associação linear negativa muito alta; para não existe associação linear entre as variáveis; para existe associação linear positiva muito alta.
1
)
(
1
=
å
=
k
i
i
X
f
(
)
(
)
(
)
Y
P
X
P
Y
X
P
=
,
(
)
(
)
(
)
Y
F
X
F
Y
X
F
=
,
2
£
X
(
)
å
=
1
X
P
(
)
å
=
1
Y
P
(
)
(
)
72
9
18
1
36
1
36
1
72
1
2
,
2
}
2
;
2
{
2
,
2
=
+
+
+
=
£
£
=
F
Y
X
P
F
(
)
(
)
(
)
72
27
72
18
9
36
9
72
9
2
}
;
2
{
2
}
;
{
=
+
=
+
=
=
£
=
=
£
=
F
qualquer
Y
X
P
F
qualquer
Y
x
X
P
x
F
(
)
.
x
E
(
)
m
=
.
x
E
(
)
.
k
x
E
å
=
=
6
1
1
)
(
i
i
x
P
(
)
(
)
(
)
.
0
å
=
=
¢
=
n
x
k
k
k
x
p
X
x
E
k
x
E
m
(
)
x
p
(
)
.
1
.
m
¢
=
x
E
(
)
.
2
.
m
¢
=
x
E
(
)
.
k
k
E
=
(
)
(
)
.
.
x
E
K
KX
E
=
(
)
(
)
(
)
y
E
x
E
Y
X
E
±
=
±
.
(
)
(
)
(
)
k
E
x
E
K
X
E
±
=
±
.
å
=
=
3
0
1
)
(
i
i
x
P
(
)
(
)
K
x
E
K
X
E
±
=
±
.
(
)
0
.
=
±
m
X
E
(
)
(
)
(
)
y
E
x
E
XY
E
=
.
(
)
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)
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)
(
)
(
)
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)
å
å
å
å
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m
j
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i
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x
p
y
x
XY
E
y
p
y
Y
E
x
p
x
X
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1
1
1
,
.
(
)
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=
1
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(
)
å
=
1
y
P
(
)
å
=
1
XY
P
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
10
/
3
3
10
/
4
.
2
10
/
3
.
1
1
=
+
+
=
=
å
=
x
E
x
p
x
X
E
n
i
i
i
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
10
/
2
.
3
10
/
6
.
2
10
/
2
.
1
1
=
+
+
=
=
å
=
Y
E
y
p
y
Y
E
n
i
i
i
(
)
(
)
(
)
(
)
4
0
10
/
24
10
/
8
10
/
3
10
/
4
10
/
1
10
/
6
10
/
3
10
/
18
10
/
8
10
/
2
10
/
2
10
/
1
10
/
1
.(
2
.
3
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10
/
1
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1
.
3
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10
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3
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3
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2
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10
/
2
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2
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2
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10
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1
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1
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2
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10
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1
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2
.
1
)
10
/
1
.(
1
.
1
,
.
1
1
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
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+
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å
å
=
=
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E
y
x
p
y
x
XY
E
n
i
m
j
i
i
i
i
1
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(
)
(
)
(
0
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=
=
=
£
=
n
i
i
x
P
x
X
P
x
F
(
)
(
)
(
)
(
)
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)
(
)
2
;
2
;
4
.
=
=
=
=
y
E
x
E
xy
E
y
P
x
P
XY
P
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)
(
)
(
)
10
/
6
10
/
3
10
/
3
2
3
.
2
;
3
´
¹
=
=
=
=
=
y
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x
P
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)
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]
k
k
X
E
o
X
E
onde
X
E
X
E
m
m
-
=
-
log
[
]
(
)
(
)
[
]
0
1
=
-
=
-
-
=
-
m
m
m
m
m
X
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E
X
E
X
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[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
s
m
-
=
+
-
=
-
=
=
=
-
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