Espaço e forma

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Metodologia do 
Ensino da Matemática: 
Espaço e Forma
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Douglas Tinti
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
• Introdução
• Ensino de Geometria: prescrições apontadas nos Parâmetros 
Curriculares Nacionais
• A utilização de softwares como estratégia para ensinar Geometria
 · Apresentar um breve panorama do Ensino de Geometria no 
Brasil apontando o movimento de abandono desta prática e suas 
consequências;
 · Indicar as prescrições dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 
para o Ensino de Geometria em toda a Educação Básica;
 · Apresentar softwares que possam ser utilizados para ensinar 
Geometria, capacitando os futuros professores de Matemática, a fim 
de superar o histórico de abandono do Ensino de Geometria nas 
escolas do país;
 · Propor reflexões acerca da trajetória individual de cada um e sua 
relação com o conhecimento geométrico, no intuito de estimular e 
promover aprendizagens docentes.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Abordaremos a construção histórica dos conhecimentos geométricos, 
bem como a trajetória do Ensino de Geometria no Brasil. Também serão 
apresentados alguns softwares que podem ser considerados como ferramentas 
importantes para os processos de ensino e de aprendizagem da geometria.
Nesse sentido, as discussões teóricas apresentadas aqui alicerçam-se nos 
seguintes questionamentos:
 · Como foram construídos os conceitos e as noções geométricas que 
estudamos na Educação Básica?
 · De que maneira esses conhecimentos adentraram o currículo de 
Matemática da Educação Básica brasileira?
 · Que recursos tecnológicos os professores de Matemática podem 
considerar em sua prática pedagógica?
Não deixe de instalar os softwares sugeridos nesta Unidade em seu 
computador e explorá-los. É importante que você leia o Plano de Ensino 
da disciplina e explore a bibliografia recomendada, navegando na Biblioteca 
Virtual. Participe, também, do fórum de discussões proposto, assista às 
videoaulas e não esqueça de conferir as datas de avaliação.
ORIENTAÇÕES
O ensino de geometria e as tecnologias 
educacionais
UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Contextualização
Vivemos em um mundo geométrico! Ao nosso redor nos deparamos com 
inúmeras formas geométricas. Quando éramos alunos da Educação Infantil ou dos 
anos iniciais da Educação Básica, muitas vezes, vivenciamos situações como a que 
descrevemos a seguir:
Juliana é uma professora de Matemática do 1º ano do Ensino Fundamental e trouxe 
para sua sala de aula o material manipulável denominado “Blocos Lógicos” para 
apresentar a seus alunos as formas geométricas.
Fonte: Acervo do autor
Pediu a seus alunos que se sentassem em círculo para iniciar a aula. Retirou uma 
figura da caixa dos “Blocos Lógicos” e perguntou aos alunos: que figura geométrica 
é essa? É um quadrado, responderam os alunos.
Essa situação de sala de aula nos propõe algumas reflexões: o que é um quadrado? 
As peças dos “Blocos Lógicos” apresentam que dimensões? Esse é um quadrado 
ou representa um quadrado?
Apesar de parecerem questões simples, estas estão carregadas de significado. 
Na tentativa se simplificar um conceito matemático, podemos fazer com que 
nossos alunos apresentem compreensões equivocadas sobre o mesmo. Por 
isso, é indispensável que o professor de Matemática, mediador dos processos de 
ensino e aprendizagem, tenha muita clareza dos conceitos para pensar em boas 
transposições didáticas.
Transposição Didática : pode ser entendida enquanto a passagem do saber científico para 
o saber escolar.
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Um olhar para a Geometria – de “objeto matemático” a “saber escolar
Quando olhamos para a História da Matemática nos depararemos com o 
matemático Euclides de Alexandria (300 AC), intitulado por muitos como o “Pai 
da Geometria” em função de seus escritos, dentre os quais se destaca a obra “Os 
Elementos”, cuja autoria foi atribuída a ele. Essa obra é composta por 13 (treze) 
volumes, dos quais 5 (cinco) apresentam escritos relacionados à Geometria Plana e 
3 (três) sobre Geometria no Espaço.
Fonte: Wikimedia/Commons
Nos “Elementos” de Euclides, é possível encontrar as definições matemáticas 
para as noções de ponto, linha, reta, plano, dentre outros. Além disso, é possível 
encontrar postulados e teoremas importantes da Geometria, que contribuíram para 
o desenvolvimento da matemática.
Mas como será que esses conhecimentos sobre a geometria adentraram os currículos 
escolares nas escolas brasileiras? 
Antes de mais nada, é importante recordar que o ensino escolar brasileiro 
teve início ainda quando o Brasil era uma colônia de Portugal, por meio da 
Companhia Jesuítica e que, nesse período, a matemática era entendida como 
uma ferramenta para desenvolver um certo modo de raciocinar, necessário para 
a compreensão da Física.
Mocrosky et al (2012) apontam que com a exploração das terras brasileiras, 
principalmente na extração do ouro e a necessidade de fortalecer a defesa da 
colônia nas fronteiras marítima, em 1699 foi criada a Aula de Fortificação no Rio 
de Janeiro que, entretanto, não teve início nessa data pela falta de material didático 
e instrumentos para atender aos ensinamentos de desenho e fortificação.
Em síntese, Valente (1999) aponta que os estudos de geometria, no Brasil, foram 
alavancados pela necessidade de preparo militar e que, por esse fato, em 1730 foi 
escrito o livro “Exames de Artilheiros e Exames de Bombeiros”, compreendido 
como o primeiro livro brasileiro que apresentava conceitos de geometria. Essa 
necessidade impulsionou, posteriormente, a inserção de noções de geometria nos 
currículos oficiais de matemática.
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Nesse sentido, Sena e Dorneles (2013) apontam que:
• Até a década de 30, a Matemática foi pautada, de um lado, no modelo euclidiano, 
ou seja, na sistematização lógica do conhecimento matemático com base em 
elementos primitivos, tais como axiomas, definições e postulados e, de outro, 
na concepção platônica, caracterizada por uma visão estática, a-histórica e 
dogmática das ideias, como se elas existissem independentemente do homem;
• Já a década de 30 tornou-se um marco para a Matemática a partir da reforma 
educacional (Francisco Campos). Foram criadas as primeiras instituições 
de ensino, destinadas à formação dos professores dos cursos secundários. 
Houve preocupação com a organização do currículo. Ela serviu para formular 
diretrizes metodológicas e unificar o ensino da Matemática, que ficou composta 
no currículo por aritmética, álgebra, geometria e trigonometria. O estudo 
geométrico passou a ser ensinado em todo o curso secundário, composto 
de desenho (natural e técnico - com ramificações na indústria), e o estudo 
dedutivo da geometria;
• Em abril de 1942, a lei orgânica do ensino secundário reestrutura o ensino 
(ginásio – 4 anos e científico – 3 anos). A geometria é organizada com o 
mesmo programa estabelecido na reforma de 30: é abordada intuitivamente 
nas duas primeiras séries ginasial e dedutivamente nas duas últimas. No 
científico, estava presente em todos os anos. No entanto, as críticas aos 
programas extensos levou a nova reestruturação do ensino. A geometria foi 
então redistribuída e passou a não constar no programa da 2ª série do ensino 
ginasial e, no 2º ciclo, ficou toda concentrada no 1º ano. A geometria analítica 
passou a ser desenvolvida no 3º ano do 2º ciclo, sob o nome de função linear.
O Movimento da Matemática Moderna (MMM), cujas ideias essenciais já haviam 
sido introduzidas na década de 30, ganha força na década de 60 e, de certo modo, 
influenciou a reforma das estruturas de ensino no Brasil. Em função de a Teoria dos 
Conjuntos ganhar força, os conhecimentos geométricos ficaram em segundo plano. 
Houve a substituição da disciplina Desenho Geométrico por Educação Artística, e 
pouco a pouco os conteúdos relativos foram deixadosde lado.
Nesse contexto, Sena e Dorneles (2013, p.142) apontam que:
No ginásio, sem o suporte do desenho geométrico e com a popularização 
do ensino, os alunos passaram a apresentar maiores dificuldades em 
geometria. Os conteúdos eram deixados de lado ou para o final do 
bimestre, se houvesse tempo.
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Corroborando com essa ideia, Pavanello (1993) aponta que, nos diferentes níveis 
de ensino, o ensino de geometria tem sido relegado a um plano secundário. A 
autora infere que esse fenômeno é um problema global resultante, principalmente, 
da ausência desse tema nos programas e currículos escolares, que implica a redução 
da importância de ensinar geometria nas escolas.
Pavanello (1993) aponta, também, que esse abandono do ensino de geometria 
no Brasil está relacionado à formação dos professores, que ainda sofre com os 
resquícios do Movimento da Matemática Moderna (MMM) de priorização do 
ensino de Álgebra. A consequência desse abandono pode ser percebida e sentida 
nas salas de aula das escolas da Educação Básica e mesmo nas salas de aula das 
Universidades. Se retomarmos à situação descrita anteriormente, que retrata o 
trabalho realizado pela professora Juliana, perceberemos algumas fragilidades em 
sua formação no que tange aos conceitos geométricos.
Diante desses apontamentos,
• Como superar esse cenário? 
• Como romper com esse ciclo vicioso e de abandono do ensino de geometria 
no Brasil? 
• Quais ações precisam ser desencadeadas? 
• Quais mudanças nos processos de formação inicial e continuada de professores 
precisam ser feitas? 
• Quais Políticas Públicas precisam ser implementadas?
São muitas as interrogações!
De certo modo, embora não reconhecido como um currículo oficial, a publicação 
dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) sinaliza e ampara os professores, no 
processo de superação do abandono do ensino de geometria no Brasil, ao propor que 
no Ensino Fundamental seja trabalhado o Bloco de conteúdo denominado “Espaço 
e Forma” e que no Ensino Médio seja abordado o conteúdo “Geometria e Medidas” 
(PCN+). Sugere-se que o processo de ensino e aprendizagem de geometria possa 
ser desenvolvido por meio de atividades que emirjam do cotidiano, dado que vivemos 
em um mundo geométrico. Além disso, é possível que os professores explorem 
outros recursos como a régua e compasso, além de recursos computacionais, tal 
como abordaremos nesta unidade. Vamos aprender juntos?
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Introdução
Não há dúvidas de que ensinar Geometria configura-se como uma prática 
desafiadora. Afinal de contas, quem nunca se questionou ou foi questionado: “por 
que preciso aprender geometria?” ou mesmo “onde aplico este conhecimento?”. 
Por esse fato, nesta unidade, realizaremos uma reflexão sobre a geometria enquanto 
conhecimento matemático a ser ensinado em todos os níveis da educação básica. 
Nessa perspectiva, torna-se indispensável ao professor uma ótica interdisciplinar 
a fim de perceber a aplicabilidade da geometria e, também, o seu relacionamento 
com outras áreas do conhecimento.
Antes de seguirmos, gostaríamos que você refletisse e registrasse sua percepção 
sobre os seguintes questionamentos:
Como está estruturado o ensino de geometria no Ensino Fundamental? E no Ensino Médio? 
Considerando o ensino de geometria, quais as principais diferenças entre esses dois segmentos?
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Ensino de Geometria: prescrições apontadas 
nos Parâmetros Curriculares Nacionais
Para iniciarmos esta conversa, partiremos da reflexão trazida por Almouloud 
et al. (2004) quando aponta que um dos aspectos que provocam dificuldades 
no ensino-aprendizagem de geometria no Ensino Fundamental está relacionado 
à precariedade na formação dos professores, no que se trata de Geometria. 
Essa reflexão parece complementar as trazidas por Lorenzato (1993, 1995), 
quando aponta duas grandes evidências como possíveis causas da omissão 
geométrica nas atividades desenvolvidas em sala de aula: a primeira é que muitos 
professores do Ensino Fundamental não possuem os conhecimentos necessários 
em geometria para aplicar em suas atividades pedagógicas; a segunda causa 
deve-se à exagerada importância que o livro didático desempenha, quer devido à 
má formação de nossos professores, quer devido à estafante jornada de trabalho 
a que estão submetidos.
Considerando nossa prática enquanto professores de Matemática e enquanto 
pesquisadores em Educação Matemática, temos percebido que embora muito 
se aponte, nas pesquisas desenvolvidas pela academia, que o problema está na 
formação do professor, produz-se pouco material de apoio para auxiliar esses 
professores, quer seja para o seu processo continuum de formação, quer seja para 
auxiliar sua prática pedagógica.
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Se considerarmos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática 
como um dos documentos oficiais que norteiam o trabalho do professores, 
perceberemos que, para os anos iniciais, 6º ao 9º ano (antiga 5ª à 8ª série), o 
bloco “Espaço e Forma” enfatiza o trabalho com as construções geométricas a 
fim de promover “o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial, e 
como recurso para induzir de forma experimental a descoberta, por exemplo, das 
condições para que duas figuras sejam congruentes ou semelhantes.”
Em relação ao Bloco de Conteúdos Espaço e Forma a ser trabalhado nos anos 
iniciais do Ensino Fundamental, de acordo com os PCN (1997, p. 51), espera-se 
que, ao longo desse ciclo, os alunos compreendam:
• Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de 
referência e algumas indicações de posição.
• Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos 
de referência e algumas indicações de direção e sentido.
• Descrição da localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando 
sua própria terminologia.
• Dimensionamento de espaços, percebendo relações de tamanho e forma.
• Interpretação e representação de posição e de movimentação no espaço a partir da 
análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários.
• Observação de formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos 
criados pelo homem e de suas características: arredondadas ou não, simétricas ou 
não, etc.
• Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico e objetos 
geométricos — esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais, prismáticos — 
sem uso obrigatório de nomenclatura.
• Percepção de semelhanças e diferenças entre cubos e quadrados, paralelepípedos 
e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e círculos.
• Construção e representação de formas geométricas.
Que atividades o professor de Matemática pode planejar e implementar com vistas a 
desenvolver tais compreensões? Que recursos podem ser considerados? Quais desses 
recursos você conhece? Em quais precisaria aprofundar seus estudos?
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Olhando para o Ensino de Geometria nos anos finais do Ensino Fundamental, 
o Bloco de Conteúdos Espaço e Forma dos PCN (1997, p. 51), espera-se que, ao 
longo desse ciclo, os alunos compreendam:
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
• Descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no 
espaço, de diferentes pontos de vista.
• Utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a posição de uma pessoa 
ou objeto.
• Descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou 
objeto no espaço e construção de itinerários.
• Representação do espaço por meio de maquetes.
• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como a 
esfera, o cone, o cilindro e outros.
• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros (como os prismas, 
as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas.
• Composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes 
possibilidades.
• Identificação da simetria em figuras tridimensionais.
• Exploração das planificaçõesde algumas figuras tridimensionais.
• Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies planas das figuras 
tridimensionais.
• Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como 
número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, etc.
• Exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez 
triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc.
• Composição e decomposição de figuras planas e identificação de que qualquer 
polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares.
• Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas.
• Percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações 
artísticas.
• Representação de figuras geométricas.
Olhando para sua trajetória escolar, ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental, esses 
conceitos geométricos foram abordados por seus professores? Se sim, de que modo? Se não, 
quais ações você precisa/precisou mobilizar para compreender esses conceitos? Quais ainda 
não estão claros para você? O que fará para aprendê-los?
Lembre-se do que apontou a pesquisadora Regina Pavanello: “o abandono do ensino 
de Geometria no Brasil”. Contamos com você para ser um agente de transformação e de 
superação desse cenário em nosso país!
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Em relação ao Ensino Médio, os PCN+ (BRASIL, s.d) apontam que, nesse ciclo, o 
ensino de geometria trata das formas planas e tridimensionais e suas representações 
em desenhos, planificações, modelos e objetos do mundo concreto. Nesse sentido, 
sugere que, para o desenvolvimento desse saber matemático, sejam desenvolvidas 
quatro unidades temáticas: geometrias plana, espacial, métrica e analítica.
Geometria plana: semelhança e congruência; representações de fi guras.
• Identifi car dados e relações geométricas relevantes na resolução de situações-problema.
• Analisar e interpretar diferentes representações de fi guras planas, como desenhos, 
mapas, plantas de edifícios etc.
• Usar formas geométricas planas para representar ou visualizar partes do mundo real.
• Utilizar as propriedades geométricas relativas aos conceitos de congruência e
semelhança de fi guras.
• Fazer uso de escalas em representações planas.
Geometria espacial: elementos dos poliedros, sua classifi cação e representação; 
sólidos redondos; propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e 
perpendicularismo; inscrição e circunscrição de sólidos.
• Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo 
real, como peças mecânicas, embalagens e construções.
• Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações 
bidimensionais, como projeções, planifi cações, cortes e desenhos.
• Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.
• Compreender o signifi cado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer 
o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma 
específi ca para validar resultados.
Retomemos este último tópico: Compreender o signifi cado de postulados ou axiomas e 
teoremas e reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como 
ciência com forma específi ca para validar resultados.
O que é um postulado? O que é um axioma? O que é um teorema? Qual a importância de os 
alunos saberem demonstrar propriedades matemáticas? Como desenvolver atividades que 
contribuam para o desenvolvimento dessa habilidade?
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
ALMOULOUD, Saddo Ag. et al. Formação de professores de Matemática e apreensão 
significativa de problemas envolvendo provas e demonstrações. In: Educ. Mat. Pesquisa, 
São Paulo, v. 10, n. 2, pp. 217-246, 2008 Disponível em: http://goo.gl/xAn6E6. 
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Métrica: áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado.
• Identificar e fazer uso de diferentes formas para realizar medidas e cálculos.
• Utilizar propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas 
de comprimentos, áreas e volumes em situações reais relativas, por exemplo, de 
recipientes, refrigeradores, veículos de carga, móveis, cômodos, espaços públicos.
• Efetuar medições, reconhecendo, em cada situação, a necessária precisão de dados 
ou de resultados e estimando margens de erro.
Geometria analítica: representações no plano cartesiano e equações; intersecção 
e posições relativas de figuras.
• Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas geométricos.
• Reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentais 
matemáticos, de acordo com suas características.
• Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes formas algébricas 
e representações gráficas e vice-versa.
• Construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudo da 
Matemática, estabelecendo conexões entre eles.
Quais softwares podem ser utilizados para auxiliar o professor de Matemática a ensinar os 
conceitos de Geometria Analítica? Que outros recursos o professor de Matemática dispõe 
para ensinar esses conceitos?
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Diante do exposto, sem sombra de dúvidas, o conhecimento geométrico é 
indispensável para todos os cidadãos. Sabemos que os conceitos geométricos 
constituem parte importante do currículo de Matemática, sobretudo porque por 
meio dele o sujeito desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite 
compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. 
(BRASIL, p.39, 1997)
Retomemos, agora, os questionamentos feitos anteriormente. Para respondê-
los, buscaremos respaldo nos PCN+ (s.d, p. 123-124). Nesse documento, podemos 
entender que, no Ensino Fundamental, o Ensino de Geometria está estruturado visando 
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propiciar uma primeira reflexão dos alunos – por meio de atividades de experimentação 
e de deduções informais sobre as propriedades relativas a lados, ângulos e diagonais 
de polígonos, bem como o estudo de congruência e semelhança de figuras planas. 
Nessa perspectiva, no Ensino Médio, é preciso que haja um aprofundamento dessas 
ideias no sentido de que o aluno possa conhecer um sistema dedutivo, analisando o 
significado de postulados e teoremas e o valor de uma demonstração para fatos que 
lhe são familiares. Desse modo, espera-se que no Ensino Médio o aluno alcance um 
maior desenvolvimento do raciocínio geométrico.
Se o conhecimento geométrico é tão importante, por que ele é considerado como um vilão 
em vestibulares ou mesmo em concursos públicos? 
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A utilização de softwares como estratégia 
para ensinar Geometria
Os PCN (1997, p. 83) apontam que a utilização de softwares pode contribuir com 
o desenvolvimento do pensamento geométrico. Em linhas gerais, o pensamento 
geométrico desenvolve-se por meio dos processos de: visualização, observação, 
experimentação, reconhecimento, conceituação e aplicação. Entendemos que os 
softwares, em especial os que se voltam para o processo de ensino e aprendizagem 
da geometria, possibilitam o desenvolvimento desses processos.
Há diversos e diferentes softwares (gratuitos e pagos) que podem ser utilizados 
pelos professores de Matemática nessa tarefa de ensinar geometria. Dentre estes, 
apresentaremos a seguir algumas possibilidades de trabalho com três softwares: 
um voltado à geometria dinâmica, outro à geometria posicional e outro ao estudo 
de simetrias.
Importante!
Prezado aluno, não temos a pretensão de esgotar as possibilidades de trabalho com 
esses softwares; pelo contrário, defendemos a ideia de que o professor é o gestor de sua 
aprendizagem e, portanto, é indispensável que baixe esses softwares em seu computador 
e interaja com ele. Além disso, é indispensável que busque tutoriais na internet, além 
de artigos científi cos e sugestões de atividades com os mesmos. Combinado? Pesquise, 
interaja e aprenda!
Importante!
a) Possibilidades com o Software CaR 
O software CaR é um software de geometria dinâmica. Mas, o que é geometria 
dinâmica?O que significa “CaR”? Quem inventou esse software?
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Em busca de respostas para esses questionamentos, realizamos uma pesquisa na 
internet e descobrimos que o nome C.a.R é uma abreviação de Compasses and 
Ruler, que significa Compassos e Régua. Ancorados nessa pesquisa realizada, 
descobrimos que a história do C.a.R teve início em 1988 na Alemanha, quando o 
professor René Grothman produziu uma versão para o Atari ST. Quatro anos depois, 
ele escreveu uma versão para o Windows e, com a popularização da linguagem Java, 
em 1995, René abandonou as versões anteriores e partiu do zero novamente. Após 
quatro anos de trabalho, completou a versão Java do C.a.R em 1999.
Mas, e o que vem a ser geometria dinâmica? Para 
buscar responder esse questionamento, fizemos 
uma associação entre uma atividade desenvolvida 
com régua e compasso e a mesma atividade 
desenvolvida com o auxílio de um software de 
geometria dinâmica.
Consideremos, pois, a atividade proposta por 
Gravina (2009): a construção de um pistão, como 
exemplo a seguir:
Figura: 1
Quais as figuras geométricas presentes num pistão?
Figura: 2
Como vemos, para realizar essa construção, um aluno pode utilizar régua e 
compasso ou mesmo um software de geometria dinâmica. Então, qual a vantagem 
de construí-lo num software? A vantagem está na possibilidade de colocar a figura em 
movimento. Isso com apenas um comando. Assim, a construção deixa de ser estática 
e possibilita-nos uma percepção muito maior sobre sua construção. É fascinante!
Por exemplo, o pistão construído em sala pode se mexer, como tentamos 
representar na figura a seguir:
Figura: 3
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Atividade
Para realizar esta atividade você precisará baixar em seu computador o software 
CaR. O endereço está disponível no Material Complementar.
Um Tutorial do CaR está disponível em: http://www.professores.uff .br/hjbortol/car/
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Geometria Dinâmica na Escola, da autora Maria Alice Gravina (2009), 
propõe uma série de atividades utilizando um outro software de geometria 
dinâmica. Sugerimos que você, utilizando o software Car, tente desenvolver as 
atividades propostas.
O texto Geometria Dinâmica na Escola da autora Maria Alice Gravina está disponível 
em : https://goo.gl/WgQxcl. Ex
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b) Possibilidades com o software Super Logo
O software Superlogo deriva de uma linguagem que foi desenvolvida pela 
Universidade de Berkeley, nos Estados Unidos da América, para a automação e o 
controle de dispositivos robóticos. Sendo, assim, o LOGO é uma linguagem LOGO 
e esta foi desenvolvida na década de 60, também nos Estados Unidos da América, 
no Massachusetts Institute of Tecnology (MIT), com base em pesquisas desenvolvidas 
pelos matemáticos Seymour Papert e WallaceFeurzeig. Essa linguagem sofreu 
influência das pesquisas cognitivistas desenvolvidas por Jean Piaget.
A linguagem LOGO foi traduzida para a Língua Portuguesa pelo NIED (Núcleo 
de Informática Educativa) da Universidade de Campinas (UNICAMP), em São 
Paulo, e passou a ser utilizada no Brasil.
Trata-se de um software de fácil manuseio e que apresenta, atualmente, um 
layout bastante simples e convidativo à interação, como apresentamos a seguir:
Figura: 4
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Como podemos visualizar na imagem, o cursor gráfico do software é uma 
tartaruga e, utilizando os comandos, ela se movimenta e, semelhante a um lápis, 
produz os desenhos solicitados. Os principais comandos para a movimentação são:
Comando Minemônico Função
parafrente pf Descolamento para frente
paratras pt Descolamento para trás
paraesquerda pe Gira para a esquerda de acordo com seu eixo de simetria em um ângulo específico
paradireita pd Gira para a direita de acordo com seu eixo de simetria em um ângulo específico
Esses comandos, embora pareçam primitivos, fazem com que o software 
se constitua numa ferramenta de ensino que permite a estimulação e o 
desenvolvimento das noções posicionais, sobretudo com alunos dos anos iniciais 
do Ensino Fundamental. O trabalho com atividades neste software possibilita o 
desenvolvimento das habilidades de lateralidade e posicionamento.
Os comandos devem ser digitados no Painel de Comando, seguidos de um 
número, por exemplo, “pf 90”, representando a “quantidade de passos” da 
tartaruga. Além desses comandos, é possível criar procedimentos automatizados, 
utilizando, por exemplo, o comando “repita”. Vejamos alguns exemplos: 
Comando Resultado
repita 4 [pd 360 pf 90 pd 180 pe 90]
Figura: 5
repita 9 [pd 45 pf 60]
Figura: 6
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repita 9 [pe 45 pf 60 pd 45 pf 60 pd 45 pf 60]
Figura: 7
repita 360 [pd 245 pf 210 pd 215 pe 210]
Figura: 8
Como podemos perceber, o Super Logo pode ser uma valiosa ferramenta no 
ensino de Matemática, pois oferece ao aluno a oportunidade de colocar em prática 
seus recursos cognitivos, tais como: concentração, lateralidade, atenção e percepção.
Embora pareça ser um trabalho simples, você perceberá, num primeiro 
contato, algumas dificuldades. Em alguns momentos, o pensamento referente ao 
posicionamento da tartaruga confunde um pouco, às vezes você quer que ela vá 
para a direita e precisaremos solicitar que ela rotacione (num determinado grau) 
para a esquerda. Que sufoco! Mas com um pouco de atenção e raciocínio a tarefa 
é concretizada com êxito.
Você já conhecia este software? Já havia desenvolvido alguma atividade com ele? 
Acreditamos que possa ser uma experiência muito significativa, uma vez que possibilita 
exercitar o pensamento cartesiano conjuntamente com o pensamento geométrico.
Agora é a sua vez! Explore o Super Logo e crie figuras geométricas como as que 
apresentamos até aqui.
Um Tutorial do Super Logo está disponível em: http://goo.gl/TNJlvv
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Atividade
Para realizar esta atividade, você precisará baixar em seu computador o software 
Super Logo. O endereço está disponível no Material Complementar. Fique atento: 
os comandos podem variar de acordo com a versão.
1. Utilizando o software Super Logo, construa uma casa como a imagem a seguir:
Figura: 9
Uma possível solução pode ser visualizada no vídeo: Linguagem Logo - teoria e prática.
https://goo.gl/GB6Vbt. 
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2. Leia o artigo: Contribuições do Superlogo ao ensino de geometria, dos 
autores Marcelo Souza Motta e Ismar Frango Silveira.
Esse artigo está disponível em: http://goo.gl/jjZkhh. Ex
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O software que apresentaremos a seguir trata do estudo de simetrias. Antes de seguirmos, 
faremos uma pausa para uma reflexão e, se necessário, uma breve pesquisa: quais são as 
propriedades que envolvem o estudo de simetrias?
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a) Possibilidades com o software Tess 1.7
Em uma determinada aula de Prática de Ensino,
Figura: 10
Fonte: iStock/Getty Images
questionei meus alunos: “o que é simetria?” e as 
respostas adquiridas também estavam atreladas à ideia 
da Reflexão. É recorrente a exemplificação da 
propriedade de Reflexão utilizando as asas de uma 
borboleta e dizendo: “o que está de um lado é igual ao 
que está do outro”.
Será que esse fato é pontual? Será que esse 
conteúdo matemático é ensinado de maneira plena 
na Educação Básica? Esse conceito é importante para 
um cidadão? Por quê?
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Esses foram os questionamentos que nos motivaram a inserir nesta unidade 
um software que pudesse auxiliá-los, na futura prática profissional, a ensinar esse 
conceito matemático. Para tanto, escolhemos o software Tess 1.7 e o utilizaremos 
para exemplificar as propriedades que envolvem o conceito de Simetria.
Para iniciar, consideremos um triângulo qualquer, como o da figura a seguir:
Figura: 11
Se inserirmos uma reflexão, teremos a seguinte figura:
Figura: 12
Essa figura nos possibilita identificar a propriedade da Reflexão. Mas seria só 
essa propriedade? Quais seriam as outras?
Isso mesmo! Além da Reflexão, temos a Translação e a Rotação. Vamos ver 
como ficaria cada uma delas?21
UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
A figura a seguir ajuda a perceber a Translação:
Figura: 13
Já a figura a seguir a Rotação:
Figura: 14
Podemos também combinar as Propriedades e criar uma infinidade de imagens 
bem interessantes. Com elas podemos perceber a relação Arte e Matemática.
Figura: 15
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Figura: 16
São muitas as possibilidades. Não deixe de instalar o software em seu computador 
e explorá-lo!
Como, neste tópico, abordamos o conceito de Simetria e, considerando as indicações dos 
PCN (BRASIL, 1997) acerca da interdisciplinaridade, entendemos que uma obra de artista 
pode ser um ponto de partida para ensinar esse conceito. A seguir indicamos um exemplo: 
o quadro Fish/Boat, pintado por Escher, em 1948.
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Figura: 17
Fonte: wikiart.org
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Figura 18: Fotografia de Maurits Cornelis Escher
Fonte: Wikimedia/ Commons.org
Escher foi um artista gráfico holandês que, em suas obras, buscou representar 
construções impossíveis. Suas obras estão repletas de conhecimento matemático: 
padrões geométricos, simetrias, isometrias, dentre outros. Embora não fosse um 
matemático “teórico”, soube utilizar a matemática para nos surpreender.
Para conhecer um pouco mais sobre Escher, recomendamos uma visita na 
página oficial dedicada ao artista.
Página Oficial M.C. Escher. Nesta página, é possível visualizar grande parte das obras de 
Escher e conhecer um pouco mais de sua trajetória. http://www.mcescher.com
Vídeo: NOVA ESCOLA. Escher e a geometria. 
https://www.youtube.com/watch?v=6aRFy73cZxY. 
Vídeo: BOSDRIESZ, Jan. Escher – Metamorfose. Documentário.
https://www.youtube.com/watch?v=pVwrUUwzBRo. 
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Apresentação do livro Matemática e Arte
ZALESKI FILHO, Dirceu.
https://www.youtube.com/watch?v=Bpjr2glii34
CaR - Parte 01 - Programa Ferramentas - Construções Geométricas com Régua e Compasso.flv.
https://www.youtube.com/watch?v=CHNsXHa04CU 
História da Matemática para Professores 4
PITOMBEIRA, João Bosco. Os Elementos de Euclides. Videoaula de História da 
Matemática do mestrado PROFMAT.
 https://www.youtube.com/watch?v=Ugq0xHNTpWM
História da Matemática para Professores 5
PITOMBEIRA, João Bosco. Os Elementos de Euclides 2.
 https://www.youtube.com/watch?v=SMk2KwzHjks
Perguntas e reflexões sobre o livro Matemática e Arte.
ZALESKI FILHO, Dirceu. 
 https://www.youtube.com/watch?v=pup-2Yp6yN0
O Geogebra
ZALESKI FILHO, Dirceu. 
 https://www.youtube.com/user/ogeogebra
 Leitura
Por que não ensinar Geometria?
LORENZATO, Sérgio Aparecido. In: Revista A educação matemática em revista, 
Florianópolis (SC), SBEM, vol. 4, 1995, p. 3-13. Acesso em: 16 set. 2015.
http://goo.gl/1cJjOO
Anais do III Simpósio Nacional de Ensino de Ciências e Tecnologia.
MOCROSKY, Luciane Ferreira et al. O ensino de geometria no Brasil: alguns aspectos 
da sua origem nos livros didáticos brasileiros. Anais do III Simpósio Nacional de 
Ensino de Ciências e Tecnologia. Ponta Grossa (PR), 2012. Acesso em: 16 set. 2015.
http://goo.gl/GVPqA6
O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e consequências.
PAVANELLO, Regina Maria. In: Revista Zetetiké. Ano I – nº1/1993. Acesso em: 16 
set. 2015.
https://goo.gl/cLHJSs
Ensino de Geometria: Rumos da Pesquisa (1991-2011)
SENA, Rebeca Moreira; DORNELES, Beatriz Vargas. In: REVEMAT. ISSN 1981-
1322. Florianópolis (SC), v. 08, n. 1, p. 138-155, 2013. Acesso em: 16 set. 2015.
https://goo.gl/qllY7e 
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UNIDADE O Ensino de Geometria e as Tecnologias Educacionais
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Página do Geogebra
http://wiki.geogebra.org/pt/P%C3%A1gina_Principal
Portal Khan Academy – Geometria
https://pt.khanacademy.org/math/geometry
Tess 1.7.
http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_recreativos.php
 Livros
Geometria Euclidiana plana
BARBOSA, J. L. M. 6. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.
Introdução à geometria espacial
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. 4. ed. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática.
Matemática: prática pedagógica para o Ensino Médio.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman; NUNES, Kátia Regina Ashton. Porto Alegre: 
Penso, 2012. (e-book)
Manual Oficial Geogebra: versão 3.2.
HOHENWARTER, Markus; HOHENWARTER, Judith. 
Disponível em: http://static.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf
Matemática e Arte. Coleção Tendências em Educação Matemática.
ZALESKI FILHO, Dirceu. São Paulo: Autentica, 2013.
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Referências
ALMOULOUD, Saddo Ag et al. A geometria no ensino fundamental: reflexões sobre 
uma experiência de formação envolvendo professores e alunos. Revista Brasileira 
de Educação, n. 27, p. 94 - 108, set/out/nov/dez. 2004.
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. 6. ed. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática, 2004.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Fundamental. 
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. 
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso 
em: 16 set. 2015.
BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. Parâmetros curriculares 
nacionais PCN+ ensino médio: ciências da natureza, matemática. Brasília: MEC, s.d. 
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. 
Acesso em: 16 set. 2015.
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução à geometria espacial. 4. ed. São 
Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática.
LORENZATO, Sérgio Aparecido. Por que não ensinar Geometria? In: Revista 
A educação matemática em revista, Florianópolis (SC), SBEM, vol. 4, 1995, 
p. 3 - 13. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/97762456/Por-que-nao-
ensinar-geometria-Lorenzato#scribd>. Acesso em: 16 set. 2015.
LORENZATO, Sergio; VILA, Maria do Carmo. Século XXI: qual Matemática é 
recomendável? Zetetiké. Campinas, v. 1, n. 1, p.41-50, 1993.
MOCROSKY, Luciane Ferreira et al. O ensino de geometria no Brasil: alguns aspectos 
da sua origem nos livros didáticos brasileiros. Anais do III Simpósio Nacional de 
Ensino de Ciências e Tecnologia. Ponta Grossa (PR), 2012. Disponível em: <http://
www.sinect.com.br/anais2012/html/artigos/ensino%20mat/19.pdf>. Acesso em: 
16 set. 2015.
PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da geometria no Brasil: 
causas e consequências. In: Revista Zetetiké. Ano I – nº1/1993. Disponível 
em:<https://www.fe.unicamp.br/revistas/ged/zetetike/article/view/2611>. 
Acesso em: 16 set. 2015. 
SENA, Rebeca Moreira; DORNELES, Beatriz Vargas. Ensino de Geometria: rumos 
da pesquisa (1991-2011) In: REVEMAT. ISSN 1981-1322. Florianópolis (SC), v. 08, 
n. 1, p. 138 - 155, 2013.
VALENTE, V. R. Uma história da Matemática escolar no Brasil (1730-1930). 
São Paulo: FAPESP, 1999.
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