AV2 - Álgebra Linear e Vetorial

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AV2 - Álgebra Linear e Vetorial Período: 22/03/2021 à 10/05/2021
1) Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 sobre : .
Neste espaço vetorial considere os seguintes produtos internos:
Produto interno 1: 
Produto interno 2: 
Produto interno 3: .
Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem. 
 I- Os vetores  são ortogonais em relação ao produto interno 1 mas não são ortogonais em relação ao produto interno 2.
II - Os vetores  não são ortogonais em relação ao produto interno 2 mas são ortogonais com respeito ao produto interno 3.
III- Os vetores  não são ortogonais com relação a nenhum dos produtos internos anteriores.
Agora, assinale a alternativa correta.
· a)Apenas a afirmativa III está correta.
· b)Apenas as afirmativas II e III estão corretas.Alternativa assinalada
· c)Apenas as  afirmativas I e III estão corretas.
· d)Apenas as  afirmativas I e II estão corretas.
· e)Apenas a afirmativa II está correta.  
2) O ângulo entre dois vetores de um espaço vetorial qualquer depende do particular produto interno que estivermos usando.
 Para u e v vetores em um espaço vetorial qualquer o ângulo entre u e v é dado por
 onde 
Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.
(   ) Considere o  com o produto interno usual:  e , .
Com este produto interno o ângulo entre os vetores   é .
(   ) Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2: , com o produto interno   e os vetores  e .
Com este produto interno os vetores f e g são paralelos.
 (   ) Considere o espaço vetorial , os vetores  e  com o produto interno Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta
· a)V – V – V – F.
· b)F – V – F – V.
· c)F – V – V – F.
· d)V – F – F – V.
· e)V – F – V – F . Alternativa assinalada
3) Um importante caso de mudança de base é a rotação, tanto no plano quanto no espaço. Considere um sistema de coordenadas bidimensional e um vetor na forma . Suponha ainda que os eixos tenham sido rotacionados de um ângulo  no sentido anti-horário.
 Considere x e y os eixos usuais do plano e representemos por u e v as retas obtidas a partir dos eixos x e y após rotação de um ângulo  .
 I. A matriz de rotação para a situação descrita é dada por 
 II. Um vetor  após rotação no sentido anti-horário de  será representado por
 III. Suponha que o vetor  sofra uma rotação no sentido anti-horário de .
 Então, após esta rotação o vetor v fica:
Agora, assinale a alternativa que apresenta a correta 
· a)Apenas a afirmativa III está correta.
· b)As afirmativas I e III estão corretas.
· c)As afirmativas I e II estão corretas.  
· d)Apenas a afirmativa I está correta.Alternativa assinalada
· e)Apenas a afirmativa II está correta.  
4) Considere  um espaço vetorial qualquer e as bases  e . Seja x um vetor de .
 
Considere  o vetor x escrito em termos da base B e   este mesmo vetor escrito em termos dos vetores da base C.
Representemos por  a matriz de mudança de base de C para B e a matriz de mudança de base de B para C.
 Efetuar a mudança de base do vetor x da base B para a base C consiste em multiplicar a matriz de mudança de base de B para C pelo vetor x escrito na base B:
 Para efetuar a mudança de base do vetor x da base C para a base B devemos efetuar a multiplicação . Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem e marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso.
(   ) Sejam as bases  de .
A matriz de mudança de base de C para B é dada por 
 (   ) Considere as bases  do  e o vetor 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta
· a)F – F – F.
· b)V – F – F 
· c)F – F – V .
· d)V – V – F.  Alternativa assinalada
· e)V – F – V.
5) Os subespaços vetoriais são subconjuntos de um espaço vetorial, nos quais as operações de adição e multiplicação por escalar estão definidos no espaço vetorial.   Assim a soma de dois subespaços vetoriais também pertence ao espaço vetorial. Ou seja, sejam  dois subespaços de um espaço vetorial . A soma   de , que se representa por , é o conjunto de todos os vetores  de  tais que .
Sejam os  subespaços vetoriais  do espaço vetorial . Neste contexto,  avalie as asserções e a relação proposta entre elas.
I- A soma  é um subespaço vetorial de 
                      PORQUE
II-  consiste no  próprio .
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
· a)As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.Alternativa assinalada
· b)As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
· c)A primeira afirmação é falsa, e a segunda é  verdadeira.
· d)A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
· e)  As duas afirmações são falsas.