RETAS DE UM PLANO

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RETAS DE UM PLANO
Plano Horizontal ou de Nível
	Reta horizontal	Reta fronto-horizontal	Reta de topo
Plano Frontal ou de Frente
	Reta frontal	Reta fronto-horizontal	Reta vertical
Plano Vertical
	
	Reta qualquer	Reta horizontal	Reta vertical
Plano de Topo
	Reta qualquer	Reta frontal	Reta de topo
	
Plano de perfil
	Reta de perfil	Reta vertical	Reta de topo
Plano Paralelo à Linha de Terra
	Reta qualquer	Reta fronto-horizontal	Reta de Perfil
Plano que Contém a Linha de Terra
Seja o plano () definido pela linha de terra e pelo ponto (A).
	Reta qualquer	Reta fronto-horizontal	Reta de Perfil
Plano qualquer
Plano Qualquer
Reta qualquer	Reta horizontal	Reta frontal	Reta de Perfil
PLANO PROJETANTE
O plano perpendicular a pelo menos um dos planos de projeção é chamado de plano projetante. Portanto, são planos projetantes: plano horizontal, plano frontal, plano vertical, plano de topo e plano de perfil. 
Qualquer objeto, de um plano projetante, tem uma das projeções situada sobre um dos traços do plano, este traço é suficiente para indicar se o objeto pertence ou não a um plano projetante, por esta razão, costuma-se, muitas vezes, representar os planos vertical e de topo apenas pelos traços horizontal e vertical, respectivamente.
Plano projetante de uma reta é um plano que contém a reta e é perpendicular a um dos planos de projeção.
Exercícios
1-	Representar por seus traços o plano () definido pela fronto- horizontal (r) que contém o ponto (M) do (P) e pela fronto-horizontal (s) que contém o ponto (N) do (I). Sabe-se que:
	(M) [ 4 ; -2 ; ? ]	(N) [ 8 ; ? ; 1 ].
2-	No plano de topo () construir, pelo ponto (A) [ 4 ; 2 ; 1 ], a horizontal (h) e a frontal (f) do plano, sabendo-se que ' = 30o.
3-	Traçar pelo ponto (S) um plano (), paralelo à linha de terra, inclinado de 30o em relação ao plano horizontal e que não atravesse o 4o diedro. Dado:
	(S) [ 8, -5, -1 ].
	
4-	Construir os traços dos planos projetantes das retas (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(J), (K)(L) e (M)(N). Dados:
	(A) [ 2 ; 2 ; 1 ]	(B) [ 6 ; 0 ; 4 ] ---	(C) [ 2 ; 4 ; 2 ]	(D) [ 6 ; 2 ; 2 ]
	(E) [ 2 ; - 1 ; 4 ]	(F) [ 6 ; - 1 ; 2 ] ---	(G) [ 2 ; 1 ; 3 ]	(J) [ 6 ; 1 ; 3 ]
	(K) [ 4 ; 5 ; 1 ]	(L) [ 4 ; 2 ; 7 ] ---	(M) [ 2 ; 3 ; - 3 ]	(N) [ 6 ; 1 ; -1 ].
RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E DE MÁXIMA INCLINAÇÃO
Pela sua importância, no estudo que será realizado, será enunciado e demonstrado o seguinte teorema de Geometria Espacial:
Teorema:
Se duas retas no espaço são ortogonais, suas projeções ortogonais sobre um plano, paralelo a uma delas e não ortogonal à outra, são perpendiculares.
Hipótese:
() – plano de projeção
(r) // ()
r – projeção ortogonal de (r) em ()
(s) (r)
(s) ()
s – projeção ortogonal de (s) em ()
() – plano projetante de (s)
Tese:
s r
Demonstração:
Se (r) // () r // (r) r (s).
Por pertencer à () – r às retas de () perpendiculares à ().
r (), por ser a duas retas de (), de direções distintas. Ou seja, r a todas as retas de (). Particularmente, r s pois s é uma reta de () coplanar com r.
Se () (), plano horizontal de projeção, (r) será uma reta horizontal e r e s serão as projeções horizontais de (r) e (s), respectivamente. Conclui-se, portanto, que toda reta ortogonal a uma reta horizontal tem projeção horizontal perpendicular à projeção horizontal da horizontal.
Se () ('), plano vertical de projeção, (r) será uma reta frontal e r e s serão as projeções verticais de (r) e (s), respectivamente. Conclui-se, portanto, que toda reta ortogonal a uma reta frontal tem projeção vertical perpendicular à projeção vertical da frontal.
Reta de máximo declive de um plano
Reta de máximo declive de um plano é a reta do plano que faz o maior ângulo possível com o plano horizontal de projeção.
O ângulo de uma reta com um plano é o ângulo que a reta faz com sua projeção ortogonal sobre o plano.
Seja (A)(B) reta de () perpendicular à ( e (C)(B) uma reta qualquer do plano.
AB e CD são, respectivamente, as projeções ortogonais de (A)(B) e (C)(D) em (). Portanto:
	- ângulo de (A)(B) com ().
 - ângulo de (C)(B) com ().
Deseja-se mostrar que (A)(B) é reta de máximo declive do plano. Para isto, deve-se mostrar que .
No triângulo retângulo (B)(A)(C), tem-se:
.
Girando o triângulo (B)BC, em torno de (B)B, até que seu plano se torne coincidente com o de (B)BA, verifica-se que, em relação ao triângulo (B)CA, é ângulo externo, não adjacente à , portanto, , cqd. Ou seja (A)(B) é reta de máximo declive do plano.
A reta de máximo declive de um plano é, portanto, perpendicular às horizontais do plano e, pelo teorema anterior, tem projeção horizontal perpendicular à projeção horizontal das horizontais.
Reta de máxima inclinação
Reta de máxima inclinação de um plano é a reta do plano que faz o maior ângulo possível com o plano vertical de projeção. Por analogia, pode-se concluir que a reta de máxima inclinação é perpendicular às frontais do plano, portanto, tem projeção vertical perpendicular à projeção vertical das frontais.
Reta de máximo declive e de máxima inclinação de acordo com a natureza do plano
Plano QualquerV
ap
T
ap' 
H
H’
V
V’
md
m’d
ap
T
ap' 
m’i
V’
H’
H
mi
ap' 
m’i
mi
Plano Horizontal
Não existe reta de máximo declive em um plano horizontal, pois, por ser paralelo à (), todas as suas retas são paralelas à ().
Plano Frontalap
md
m’d
Não existe reta de máxima inclinação em um plano frontal, pois, por ser paralelo à ('), todas as suas retas são paralelas à (').
Plano Verticalap' 
T
ap
md
m’d
ap' 
T
ap
m’i
mi
Plano de TopoT
ap
ap' 
md
m’d
ap
T
ap' 
m’i
mi
ap
T
ap' 
md
m’d
ap
T
ap' 
m’i
mi
Plano de Perfil
Plano paralelo à (')					 Plano que contém (')
ap' 
ap
M
M'
A’
A
fh
f’h
B
B’
ap
ap' 
H
H’
V
V’
Nestes dois planos a reta de máximo declive é também reta de máxima inclinação.
Exercícios:
1- 	Determinar os traços do plano definido pela reta de máxima inclinação (A)(B). Dados:
	(A) [ 2 ; 6 ; 2 ]	(B) [ 6 ; 2 ; 4 ].
2-	Obter os traços do plano () de que se conhece a reta de máximo declive (T)(U). Dados:
	(T) [ 2 ; 0 ; 0 ]	(U) [ 7 ; 2 ; 4 ].
3-	Determinar os traços do plano () definido por sua reta de máxima inclinação (M)(N). Dados:
	(M) [ 2 ; 1 ; 0,5 ]	(N) [ 2 ; 4 ; 2 ].
4-	Determinar os traços do plano definido pela reta de máxima inclinação (A)(B), sem utilizar os traços desta reta. Sabe-se que:
	(A) [ 2 ; 6 ; 2 ]	(B) [ 6 ; 2 ; 4 ].
5-	Conhecida a projeção vertical de uma reta de máxima inclinação de um plano e uma reta (M)(N) deste plano, determinar os traços do plano. Dados:
	(A) [ 0 ; ? ; 2 ]	(B) [ 3 ; ? ; 1 ]	(M) [ 4 ; 1,5 ; 4 ]	(N) [ 1 , 0 , 1 ].
6-	São dados dois pontos (A) e (B) de um plano () e a projeção vertical do ponto (C) do plano. Determinar a projeção horizontal C sabendo-se que (A)(C) é reta de máximo declive do plano. Dados:
	(A) [ 2 ; 7 ; 4 ]	(B) [ 6 ; 3 ; 1 ]	(C) [ 3 ; ? ; 2 ].
m
ˆ
n
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n
m
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A)(B
(
 
 
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C)(B
(
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