Resolução lista 2

Prévia do material em texto

3




 
 
Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 
Professor: REINALDO DE OLIVEIRA LIMA 
Aluno: João Paulo Araújo Santos 
 
Obs.: As resoluções das questões estão após o gabarito. 
 
 
 
 
Lista 2 - Retas e planos 
 
 
1. Dados A (1,2,3) e v  (3,2,1) , escreva equações da reta que contém A e é paralela a v , nas 
formas vetorial, paramétrica e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja 
ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta. 
 
2. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas 
x  1 
 
y   ,   R . Verifique se os pontos P(1,3,3) e Q 3,4,12 pertencem à reta. 
z  4  2

3. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto 1,4,7 e é paralela à reta de 
x  200  
equações paramétricas 
 
y   3 ,  R 
z  0 
 
 
4. Escreva equações nas formas paramétricas e simétricas da reta que contém o ponto 
A2,0,3 e é paralela à reta descrita pelas equações 1 x  3y  z  3 
5 4 6 
 
5. Sejam A1,2,5 e B(0,1,0). Determine o ponto P da reta AB tal que  3 PA . 
 
6. Sejam A1,1,1, B(0,0,1) e r: X  1,0,0 1,1,1. Determine os pontos de r eqüidistantes 
de A e B. 
PB 







z  0 


7. Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A(1,1,2) e é paralelo ao 
x  1    2
plano 

:  y  2   . 
z  

8. Obtenha equações paramétricas e gerais dos planos coordenados. 
 
9. Decomponha v  (1,2,4) como soma de um vetor paralelo à reta 
x  1  
r : X  1,9,18 2,1,0
com outro paralelo ao plano 

:  y  1  
z    
10. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso: 
a. π contém 
b. π contém 
A1,1,0 e B(1,-1,-1) e é paralelo a v  2,1,0. 
A1,0,1, B(2,1,-1) e C(1,-1,0). 
c. π contém P1,0,1 e r : x 1  y  2  z 
2 3 
d. π contém P1,1,1 e r : X  0,2,2 1,1,1

11. Dadas as equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano: 
x  1    
a. 
 
y  2  
z  3  
x  2    
b. 
 
y  2  2
z    


12. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano. 
a. 4x + 2y – z + 5 = 0 
b. 5x – y – 1 = 0 
c. z – 3 = 0 
d. y – z – 2 = 0 
 
13. Determine a interseção da reta 
x 
 
y 
 z com o plano x  2 y  z  9  0. 
6 2 
 
14. Determine a equação do plano que contém o ponto A(1, 1,-2 ) e é perpendicular à reta 
r: X  t (3, 1,  3). 
 
15. Obtenha a equação do plano que contém P(1,2,1) e cuja interseção com o plano z  0 é a 
reta r : 
 y  3x  2 

x  t 
16. Obtenha a equação do plano que contém a reta r:y  t 
z  2  t 
 
e é perpendicular ao plano 
 : x  2y  z 1  0. 

y  3z 
 
y  2z  3  y  z 1 

17. Obtenha a equação do plano que contém a reta r : x  y  - z e é paralelo à reta s : 
x  z 



18. Dado o triedro cujas arestas são as retas x = 2y = z, – x = y = z e x = – 3y =2z, determine 
a equação dos planos das faces. 
 
19. Determine as equações da reta que passa pelo ponto 
X  2,1, 1 3,2,5. 
P2,1,1 e é perpendicular ao plano 
 
20. Determine as equações da reta que passa pela origem, é paralela ao plano 
3x  2y  z  2  0 e intercepta a reta x 1 
y  2  z . 
3 
 
21. Dada a reta 
x  3 
 
y  1 
 
z  2 
, determine as coordenadas dos pontos de intersecção 
 
2 5 1 
com os planos coordenados. 
 
22. Determine as equações paramétricas da reta que contém o ponto 
 
P1,2,1 e intercepta 
 
as retas reversas r: 
x  z 1 

e s: 
x  z  2 
.
 


23. Determine as equações paramétricas da reta perpendicular comum às retas reversas 
r: x 1  y 1  z 


s: x 
 2 
2 1 
 y  z 
 2 
 
24. Verifique se as retas
 x  4 
 
y 
 
z  6 
e X  1,1,1 λ2,1,  3 são coplanares. 
3 2 5 
25. Determine o ponto simétrico de P1,2,-1
a) em relação à reta x 1  y  z 
b) em relação ao plano 2x  y  z 1  0 
 
26. 2
6
. 
Dadas duas retas reversas r : X  0,1,1 1,0,1 e s : X  3,1,4 (2,1,3), determine 
o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apóiam em r e s. 
 
 
27. Determine o plano que contém a reta r: 
x  y  2z 1  0 
x  2  y  3  z 
3 2 
 
e o ponto comum aos três planos 
3x  y  z 1  0 . 
x  4 y  2z  2  0 

 2 
28. 2
8
. 
Dado um plano : X  0,0,1 1,1,1 1,2,4e a reta r que passapor AB, sendo 
A0,0,0e B1,1,1, determine a equação do plano que passapelopontoonde a reta r 
intercepta o plano π e é paralelo ao plano 1 : x  3  0. 
 
29. 2
9
. 
Decompor o vetor v  2,1,3em dois vetores u 
 
 
e w, de modo que u seja paralelo ao plano 
 : 2x - y  z - 3  0 e w ortogonal ao plano. 
30. Considerando os pontos A-1,-3,4, B 2,1,4e C3,11,5, mostreque o triângulo ABC é isósceles. 
 
31. Determine a distância entreo pontoP e a reta r, nos seguintes casos : 
 a) P(1,2,-1) e r : 
x -1 
  y  
z  2 
; b) P(1,-1,0) e r : 
2x - y  z  0 

2 3 3x  y - 2z  1  0 
 
 
32. Determine a distância entreo pontoP e o plano , nos seguintes casos : 
a) P2,1,-3 e  : X  1,2,1  3,2,1  1,0,0
x  2  
b) P(0,0,-1) e 

:  y    
z  1  2

33. Determine o lugar geométrico dos pontosequidistantes dos dois planosdados : 
1 : 2x  y  z 1  0 
 
: x  y  z  2  0 
 
 
34. 3
4
. 
Determine o ângulo entre as retas r : 
x -1 
 y  z 
2 
e s : X  (1,0,0)  (2,1,1). 
 
35. Determine o ângulo da reta r : x  -y  z com o plano : 2x - y- z -1  0. 
 
36. Determine o ângulo dos planos1 : 2x - y - z  0 e 2 : X  (1,1,1)  2,1,3 1,1,2. 
 
37. Obtenha as equações da reta que passapelopontoP(1,0,1), interceptaa reta t: x  y  z  1 
formando um ângulo de 
 
radianos. 
3 
 
38. Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2, -1, 1), C(0, -1, -1) e D(3, 1, 0), calcule a 
medida da altura do vértice D ao plano ABC. 
 
 
39. Do paralelepípedo a seguir, temos os seguintes dados: 
 
i. O plano ABC: x +y –z + 6 = 0 e a reta 
DG: X = t(1, 2, -3), t real. 
3 
14 
2 
14 


3

  
   
2 
ii. O plano ABF é perpendicular ao 
Plano ABC e F(0, 2, 0). 
 
Determine: 
a. As equações simétricas da reta AF. 
b. As equações paramétricas do plano ABF. 
c. As coordenadas do ponto D. 
d. A equação geral do plano EFG. 
 
 
 
Respostas 
 
x  1  3t 
1. X = (1,2,3) + t(3,2,1),t  R ,  y  2  2t , 
x 1 
 
y  2 
 z  3 , v  


 
, , 
1 

z  3  t 
3 2
 
 
 14 
2. A  1,0,4, B  0,1,6, u  1,1,2 e v  2,2,4. P  r e Q  r . 
x  1   x  2  5
  4 x  2 y z  3 
3. r :  y  4  3 ,  R 
z  7 
4. r :  y  

z  3  6
,  R e 
15 
 
4 
 
18 
 3 5 15   3 7 15  x  1    2
5. P=  , ,  ou P=  , ,  6. P= 1,0,0 7.  :  y  1  2   , ,   R . 
 2 2 2   4 4 4 
x  

x  
z  2  
x  0 
8. Plano x0y: z = 0 e 
 
y   . Plano xoz: y = 0 e  y  0 . Plano yoz: x = 0 e  y   . 

z  0 
9. (1,2,4)  10,5,0 11,7,4

z  

z  
10. a) x  2y  4z 1  0 ; b) 3x  y  z  4  0 ; c) 3x  2y  3  0 ; d) x  z  2  0 
11. a) 2x  y  3z  7  0 ; b) y  2z  0 
x   x   x   x  
12. a) 
 
y   ; b) 
 
y  5  1 ; c)  y   ; d)  y   , ,   R. 

z  5  4  2

z  

z  3 

z  2  
13. 
16. 
P  6,2,1. 14.  : 3x  y  3z  8  0 
 : x  z  2  0 
15.  : 3x  y  3z  2  0 
17.  : 2x  y  z  0 
3 : 7x  6y 10z  0 
18. 1 : x  4y  3z  0 , 2 : 5x  9y  4z  0 , 
19. X  2,1, 1 t7, 13,1. 20. X  t9,17,7. 
21. P  7,9,0, P  17 ,0, 9  e P 
 
 
  0,
17 
, 
7 

1 2 

 3  
  2 5 5 
2 
21 
2
 
 
3
 
3

x  1  t 
22. 
 
y  2  t 23.  

z  1  2t 


b) P'  
7 
, 

4 
, 1 
3 
26. O lugar geométrico é o 

 
27.  :16x  5y  38z  47  0.

30. d ( A, B)  d ( A, C)  9 e
 
 
32. a) 
 
 
b) 33. Os
 
 
34. 
 
  0. 
 
r // s coincidentes.
 
 
37. r : X  (1, 0,1)  t   
 3



38. 
 
 

8 19 
19 
 
39. a) AF : x  
y  2 
 
z
 2 3
5 
69 
14 
14
3
2 3  2 3  2 



3 3 
2


3 
 

x  t 
y  0 24. Não 25. a) P'  
5 
, 
4 
, 
5 
   
z  t 
 

 
x  
3 
 
 
 

  2 2 
O lugar geométrico é o plano de equações  
:  y  , 

z  3    3
 
,   R
 2 2 2 
0. 28.  : 4x  3  0 29. v   2 1 5   
e 
 
 
d (B, C)  5 10. 31. a) b) 
 3 3 

3 
5 
33. Os planos 
  : 2 

 : 2 


2  x  1
2  x  1
2  y  1
2  y  1
coincidentes. 35.   arcsen 2 36.   arccos
3 
 
  , , ou r ' : X  1, 0,1  t  
3 3 3   
 
 
 x    
 3 b) ABF :  y  2  2  
 z  3  
14 
3 
2 3  2 
5  ; 



 . 
R 
2 1 5    8 ,  4 , 4 
 , ,   
3 3 3   3 3 3 


2  z  1 2 2   0 
2  z  1 2 2   0 
arccos 
210
 
 15 


2  3 
 , , 
 3 3 3 

















