Acionamentos_e_Comandos_Eletricos

Prévia do material em texto

i 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 
 
 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
 
 DEMAT - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS 
 COORDENAÇÃO DE ELETROMECÂNICA E MECATRÔNICA 
 
 
 
 
Fundamentos para o Ensino Técnico  Teoria, problemas e exercícios  Guias de Aulas Práticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANDRÉ BARROS DE MELLO OLIVEIRA 
 
 
 
Campus I – Belo Horizonte 
 MINAS GERAIS 
Maio de 2015 Departamento de 
Engenharia de Materiais 
 
qe 
ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus I – Belo Horizonte 
Av. Amazonas 5253 - Nova Suiça - Belo Horizonte - MG - Brasil 
CEP 30.421-169 - Telefone: +55 (31) 3319-7000 
iii 
 
Prefácio 
 
 
 
Este texto tem por objetivo principal oferecer um material básico de referência para a disciplina 
Acionamentos e Comandos Elétricos, para os Cursos Técnicos de Eletromecânica e Mecatrônica do 
CEFET-MG, do Departamento de Engenharia de Materiais – DEMAT. 
O texto conta com oito capítulos, numa sequência que possibilita ao aluno consolidar os conceitos 
teóricos através da leitura dos tópicos, dos exemplos resolvidos e da resolução de problemas e exercícios, 
incluindo exercícios de simulação. Além disso, foram inseridos vários guias de aulas práticas (Apêndice 
III) que os (as) alunos (as) utilizarão nas aulas em laboratório. 
É importante que o leitor tenha como pontos de partida conceitos fundamentais da eletricidade, 
como o conhecimento do Sistema Internacional de Unidades (SI), da notação científica e de grandezas 
elétricas básicas. No primeiro capítulo são apresentados conceitos básicos de corrente alternada (CA), 
com ênfase no sistema trifásico. Para um aprofundamento neste assunto, o aluno já conta com uma 
disciplina no curso, Circuitos Elétricos. 
Vale salientar que o presente texto não deve substituir a literatura técnica da área de 
Acionamentos e Comandos Elétricos, pois as referências bibliográficas são, além de base desta obra, 
muito enriquecedoras em aspectos teóricos e práticos. O bom aluno deve sempre ler e pesquisar os 
assuntos referentes a esta disciplina do curso nos excelentes livros editados em português, além de 
apostilas e tutoriais disponíveis na Internet. 
Uma observação importante: considera-se no texto, para acionamento dos contatores, a tensão de 
alimentação de 220 V. Caso contrário, será informada a tensão no esquema do acionamento, por exemplo, 
contator acionado por 24 V (60 Hz). 
Pede-se a compreensão dos alunos e professores pelos eventuais erros. Assim sendo, são 
imensamente bem-vindas as críticas, sugestões e correções, que certamente contribuirão para a melhoria 
deste material didático, que brevemente, poderá se transformar em livro. 
 
 
 
Belo Horizonte, maio de 2015. 
 
 
Professor André Barros de Mello Oliveira 
E-mails: mellogalo@deii.cefetmg.br 
 mellogalo@gmail.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus I – Belo Horizonte 
Av. Amazonas 5253 - Nova Suiça - Belo Horizonte - MG - Brasil 
CEP 30.421-169 - Telefone: +55 (31) 3319-7000 
 
v 
 
BIOGRAFIA 
 
 
André Barros de Mello Oliveira nasceu em Belo Horizonte, Minas Gerais, em 17 de julho de 1969. 
Formou-se em Engenharia Industrial Elétrica pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas 
Gerais (CEFET-MG), em dezembro de 1992. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela 
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), em dezembro de 1998, na área de Eletrônica de 
Potência. Atuou como professor em Escolas de formação técnica em Belo Horizonte, como o SENAI, a 
Utramig, o SESI e o CEFET-MG, até 2001. De 2001 a 2006 foi professor/pesquisador nos cursos de 
Engenharia de Telecomunicações e de Engenharia Elétrica do Centro Universitário de Belo Horizonte 
(Uni-BH). Desde outubro de 2006 é professor efetivo do CEFET-MG, atuando inicialmente no campus 
Varginha (2006 a 2014), nos cursos técnicos de Informática Industrial e Mecatrônica. Atualmente é 
professor do DEMAT, Departamento de Engenharia de Materiais, no campus I, em Belo Horizonte, onde 
leciona nos cursos técnicos de Mecatrônica, Eletromecânica e Mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos - Ensino Técnico – MECATRÔNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Um país se constrói com Homens e Livros.” 
Monteiro Lobato 
 
 
“Vencer a si próprio é a maior das vitórias.” 
Platão 
 
 
“Nossa maior fraqueza está em desistir. 
O caminho mais certo de vencer é tentar mais uma vez.” 
Thomas Edison 
 
 
http://pensador.uol.com.br/autor/platao/
vii 
 
Lista de Abreviaturas 
 
 
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas - atua em todas as áreas técnicas do país. Os textos 
das normas são adotados pelos órgãos governamentais (federais, estaduais e municipais) e pelas firmas. 
Compõe-se de normas: NB, TB (terminologia), SB (simbologia), EB (especificação), MB (método de 
ensaio) e PB (padronização). 
AC – Alternating Current (corrente alternada). 
ANSI – American National Standards Institute, Instituto de normas dos Estados Unidos que publica 
recomendações e normas em praticamente todas as áreas técnicas. Na área dos dispositivos de comando 
de baixa tensão, tem adotado frequentemente especificações da UL e da NEMA. 
AT – Alta Tensão. 
BT – Baixa Tensão. 
CA – Corrente Alternada. 
CC – Corrente Contínua. 
CNC – Controle Numérico Computadorizado. 
CV – Cavalo-Vapor, unidade de potência mecânica, correspondente a 736 Watts. 
DC – Direct Current (corrente contínua). 
DIN – Deutshe Industrie Normen, Associação de normas industriais alemãs. Suas publicações são 
devidamente coordenadas com as da VDE. 
fem – força eletromotriz. 
FT – Relé de Sobrecarga. 
IEC – International Electrotechinical Comission. Comissão formada por representantes de todos os 
paises industrializados. As recomendações do IEC, publicadas por esta comissão, são normalmente 
adotadas na íntegra pelos diversos paises ou, em outros casos, está se processando uma aproximação das 
normas nacionais ao texto destas internacionais. 
HP – Horse-Power, unidade de potência mecânica, correspondente a 746 Watts. 
K – Contator. 
KT – Relé de Tempo. 
MI – Motor de Indução. 
MIM ou MM – Motor de Indução Monofásico. 
MIT – Motor de Indução Trifásico. 
NA – Normalmente Aberto (relativo ao tipo de contato de uma chave). 
NEMA – National Electrical Manufactures Association, Associação americana dos fabricantes de 
materiais elétricos. 
NF – Normalmente Fechado. 
 - Rendimento. 
RPM (ou rpm) – Rotações por minuto. 
UL – Underwriters’ Laboratories Inc., entidade nacional de ensaio da área de proteção contra incêndio, 
nos Estados Unidos, que entre outras coisas, realiza ensaios de equipamentos elétricos e publica as suas 
prescrições. 
VCC – Tensão Contínua (o mesmo que VDC). 
VDE – Verband Deutscher Elektrotechniker, Associação de normas alemãs que publica normas e 
recomendações da área de eletricidade. 
VF – Tensão de Fase (tensão elétrica entre fase e neutro, VFN). 
VL – Tensão de linha (tensão elétrica entre duas fases, VFF). 
 
viii 
 
Sumário 
 
 
Capítulo 1 - Revisão de conceitos e aplicações de Corrente Alternada (CA) ............................................................. 13 
1.1 – Introdução ......................................................................................................................................................................... 13 
1.2 – Geração de Corrente Alternada ......................................................................................................................................... 18 
1.2.1 - Princípio de funcionamento deum gerador elementar .................................................................................................... 19 
1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. induzida ................................................................................................................................... 19 
1.2.3 – Sinais CA – principais parâmetros ................................................................................................................................. 21 
1.2.4 – Sinais CA – valores característicos e conceitos importantes .......................................................................................... 23 
1.2.4.1 – Valor médio, VCC ou VDC ........................................................................................................................................ 25 
1.2.4.2 – Valor eficaz, Vef ou Vrms ........................................................................................................................................ 25 
1.3 – Relacionando graus elétricos e tempo e graus elétricos e mecânicos ................................................................................ 27 
1.4 – Representação fasorial de uma grandeza elétrica senoidal ................................................................................................ 28 
1.4.1 – Fasores ........................................................................................................................................................................... 28 
1.4.2 - Representação matemática de um fasor .......................................................................................................................... 29 
1.4.3 – Operações matemáticas com fasores .............................................................................................................................. 31 
1.4.3.1 – Fasores representados por números complexos .................................................................................................... 31 
1.5 - Comportamento de circuitos resistivos, indutivos e capacitivos em CA ............................................................................ 35 
1.5.1 – Circuito resistivo - corrente e tensão em fase ........................................................................................................... 35 
1.5.2 – Circuito puramente indutivo – tensão adiantada de 90 graus da corrente ............................................................... 36 
1.5.3 - Circuito puramente capacitivo – corrente adiantada de 90 graus da tensão ............................................................ 37 
1.5.4 – Impedância de circuito CA ....................................................................................................................................... 38 
1.5.4.1 – Lei de Ohm para a impedância Z em Corrente Alternada ..................................................................................... 40 
1.5.4.2 – Associação de impedâncias ................................................................................................................................... 40 
1.6 - Sistema trifásico................................................................................................................................................................. 41 
 
Capítulo 2 – Introdução aos motores elétricos ............................................................................................................ 51 
2.1 – Introdução ......................................................................................................................................................................... 51 
2.2 – Aplicações de motores CC e CA ....................................................................................................................................... 51 
2.2.1 – Motores de Corrente Contínua (ou motores CC) ................................................................................................................. 52 
2.2.2 – Motores de Corrente Alternada (ou motores CA) ..................................................................................................... 54 
2.3 – O motor CA trifásico ......................................................................................................................................................... 55 
2.3.1 – Motor de indução ...................................................................................................................................................... 55 
2.3.1.1 - Motor de indução com rotor do tipo gaiola de esquilo........................................................................................... 56 
2.3.1.2 - Motor de anéis ou com rotor bobinado .................................................................................................................. 57 
2.3.2 – Motor trifásico de múltiplas velocidades .................................................................................................................. 57 
2.3.2.1 – Motor trifásico de enrolamentos separados ........................................................................................................... 58 
2.3.2.2 – Motor Dahlander ................................................................................................................................................... 58 
2.4 – Partes constituintes ............................................................................................................................................................ 58 
2.5 – Princípio de funcionamento do motor CA ......................................................................................................................... 59 
2.5.1 – Campo girante de um motor trifásico ....................................................................................................................... 59 
2.5.2 – Velocidade síncrona (ns) ........................................................................................................................................... 66 
2.5.3 – Escorregamento (s) ................................................................................................................................................... 67 
2.5.3.1 – Tensões induzidas no rotor .................................................................................................................................... 67 
2.5.4 – Conjugado................................................................................................................................................................. 69 
2.5.5 – Energia, potência elétrica e potência mecânica ....................................................................................................... 70 
2.5.6 – Potência aparente, ativa e reativa ............................................................................................................................ 71 
2.5.7 – Fator de potência ...................................................................................................................................................... 71 
2.5.8 – Rendimento ............................................................................................................................................................... 73 
2.5.9 – Categorias de conjugado .......................................................................................................................................... 74 
2.6 – Principais características nominais .................................................................................................................................... 76 
2.7 – Ligações de motores de indução ....................................................................................................................................... 79 
2.7.1 – Ligações de motores de 6 (seis) terminais ................................................................................................................ 80 
2.7.2 – Ligaçõesde motores de 9 (nove) terminais ............................................................................................................... 81 
2.7.3 – Ligações de motores de 12 (doze) terminais ............................................................................................................. 83 
ix 
 
2.7.4 – Ligações de motores de duas velocidades (Dahlander) ............................................................................................ 85 
 
Capítulo 3 – Contator magnético ................................................................................................................................ 90 
3.1 – Introdução ......................................................................................................................................................................... 90 
3.2 – Contatores – aspectos construtivos, classificação e aplicações ......................................................................................... 91 
3.2.1 – Classificação dos contatores .................................................................................................................................... 92 
3.2.2 – Tipos de contatores ................................................................................................................................................... 92 
3.2.3 – Outras considerações................................................................................................................................................ 93 
3.3 – Diagrama de carga ............................................................................................................................................................ 95 
3.4 – Diagrama de comando....................................................................................................................................................... 98 
3.5 – Circuitos elétricos lógicos com contatores ........................................................................................................................ 98 
3.5.1 – Função lógica SIM (afirmação) ................................................................................................................................. 99 
3.5.2 – Função lógica NÃO (negação) .................................................................................................................................. 99 
3.5.3 – Função lógica E ou AND (associação em série) ........................................................................................................ 99 
3.5.4 – Função lógica OU (or) - associação em paralelo ...................................................................................................... 99 
3.5.5 – Função lógica não E (ou NAND) ............................................................................................................................. 100 
3.5.6 – Função lógica não OU (ou EXOR) .......................................................................................................................... 100 
3.5.7 – Função lógica OU exclusivo (EXOR) ...................................................................................................................... 100 
 
Capítulo 4 – Dispositivos de proteção e de comando ............................................................................................... 115 
4.1 – Introdução ....................................................................................................................................................................... 115 
4.1.1 - Curto-circuito e proteção ........................................................................................................................................ 116 
4.2 – Fusíveis ........................................................................................................................................................................... 116 
4.2.1 - Operação do fusível ................................................................................................................................................. 117 
4.2.2 - Fusível – definição clássica ..................................................................................................................................... 117 
4.2.3 - Classificação ........................................................................................................................................................... 118 
4.2.4 - Principais características ........................................................................................................................................ 119 
4.3 – Disjuntores ...................................................................................................................................................................... 125 
4.3.1 - Aspectos construtivos de um disjuntor ..................................................................................................................... 125 
4.3.2 – Curvas de disparo do Disjuntor .............................................................................................................................. 127 
4.3.3 – Disjuntor diferencial residual (DR) ........................................................................................................................ 127 
4.3.3.1 - Princípio de proteção das pessoas ....................................................................................................................... 128 
4.4 – Relés de sobrecarga ......................................................................................................................................................... 131 
4.4.1 – Relé de sobrecarga bimetálico com botão RESET e tecla multifunções ................................................................. 132 
4.4.2 – Relés eletrônicos ..................................................................................................................................................... 134 
4.5 – Relé de tempo ................................................................................................................................................................. 136 
4.5.1 – Relés de tempo eletrônicos ...................................................................................................................................... 137 
 
Capítulo 5 – Dispositivos de acionamento e de sinalização ...................................................................................... 145 
5.1 – Botão de comando ........................................................................................................................................................... 145 
5.1.1 – Tipos de contato ...................................................................................................................................................... 145 
5.2 – Chave de fim-de-curso .................................................................................................................................................... 150 
5.3 – Sinalizadores ................................................................................................................................................................... 150 
5.4 – Tomadas de uso industrial ............................................................................................................................................... 152 
 
Capítulo 6 – Comando de motores trifásicos com contator ...................................................................................... 158 
6.1 – Comando local e à distância ............................................................................................................................................ 158 
6.2 – Partida direta ................................................................................................................................................................... 158 
6.3 – Reversão derotação (manual e semi-automático) ........................................................................................................... 159 
6.3.1 – Chave reversora de comando manual ..................................................................................................................... 160 
6.3.2 – Chave reversora de comando semi-automático ...................................................................................................... 161 
6.4 – Motor de duas velocidades (Dahlander) .......................................................................................................................... 164 
6.5 – Comando condicionado de motores elétricos .................................................................................................................. 165 
 
x 
 
Capítulo 7 – Sistemas de partida de motores elétricos de indução ............................................................................ 177 
7.1 – Introdução ....................................................................................................................................................................... 177 
7.2 – Chave estrela-triângulo manual e semi-automática ......................................................................................................... 178 
7.2.1 - Vantagens e desvantagens da partida Y- ............................................................................................................... 178 
7.2.2 – Diagrama da chave de partida estrela-triângulo no modo manual ........................................................................ 180 
7.2.3 – Diagrama da chave de partida estrela-triângulo no modo semi-automático .......................................................... 180 
7.2.4 – Dimensionamento dos contatores para a chave de partida estrela-triângulo......................................................... 181 
7.2.5 – O Conjugado de partida da chave estrela-triângulo .............................................................................................. 182 
7.3 – Chave compensadora semi-automática ........................................................................................................................... 184 
7.3.1 – Equacionamento do torque de partida da chave de partida compensadora ........................................................... 186 
7.3.2 – Correntes da chave compensadora ......................................................................................................................... 189 
7.3.2.1 – O Autotransformador ........................................................................................................................................... 189 
7.3.2.2 – Equacionamento das correntes da chave compensadora ..................................................................................... 191 
7.4 – Chave para motor de indução com rotor bobinado .......................................................................................................... 193 
7.4.1 – Chave de partida para motor de indução com rotor bobinado ............................................................................... 195 
 
Capítulo 8 – Motor monofásico ................................................................................................................................ 201 
8.1 – Motor monofásico - princípio de funcionamento e componentes.................................................................................... 201 
8.1.2 – A partida em um motor monofásico ........................................................................................................................ 201 
8.1.3 – Características principais do motor monofásico .................................................................................................... 204 
8.1.4 – Motor monofásico x motor trifásico ........................................................................................................................ 204 
8.2 – Diagramas de ligação em 127 V e em 220 V .................................................................................................................. 205 
8.2.1 – Motor monofásico de 2 terminais ........................................................................................................................... 205 
8.2.2 – Motor monofásico de 4 terminais ........................................................................................................................... 205 
8.2.3 – Motor monofásico de 6 terminais ........................................................................................................................... 205 
8.3 – Sistema de reversão de rotação no MM .......................................................................................................................... 206 
 
Apêndice I – Plano de Ensino da disciplina Acionamentos e Comandos Elétricos .................................................. 211 
 
Apêndice II – Informações úteis. Normas e símbolos utilizados em comandos elétricos ......................................... 214 
 
Apêndice III – Guias de aulas práticas ...................................................................................................................... 215 
 
Aula Prática 1 - ACIONAMENTO DE LÂMPADAS E MEDIÇÃO DE CORRENTE E TENSÃO MONOFÁSICAS ............................................. 216 
Aula Prática 2 - COMANDOS DE ACIONAMENTO POR CHAVES E MEDIÇÃO DE VALORES TRIFÁSICOS ............................................... 218 
Aula Prática 3 – CONTROLE DE CARGA UTILIZANDO CONTATOR E RELÉ DE TEMPO ........................................................................ 221 
Aula Prática 4 - CHAVE DE PARTIDA DIRETA - MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO (MIT) DE 6 TERMINAIS ......................................... 223 
Aula Prática 5 – PARTIDA DE UM MOTOR ELÉTRICO COM COMANDO DIRETO E INTERMITENTE ....................................................... 225 
Aula Prática 6 – PARTIDA DIRETA DE UM MIT COM REVERSÃO TEMPORIZADA .............................................................................. 227 
Aula Prática 7 – RELÉ ELETRÔNICO TEMPORIZADOR APLICADO NA PARTIDA E NA SINALIZAÇÃO DE UM MIT .................................. 230 
Aula Prática 8 – COMANDO CONDICIONADO DE CARGAS................................................................................................................ 234 
Aula Prática 9 – MONTAGEM DE CHAVE DE PARTIDA MANUAL E AUTOMÁTICA PARA UM MOTOR DAHLANDER ............................. 238 
Aula Prática 10 – MONTAGEM DE CHAVE DE PARTIDA ESTRELA-TRIÂNGULO SEMI-AUTOMÁTICA ................................................. 241 
Aula Prática 11 – CHAVE DE PARTIDA COMPENSADORA ................................................................................................................. 244 
Aula Prática 12 – MOTOR MONOFÁSICO – ACIONAMENTO MANUAL EM 127 E EM 220 V ................................................................ 247 
Aula Prática 13 – ACIONAMENTO E REVERSÃO AUTOMÁTICA DO MOTOR MONOFÁSICO................................................................. 251 
Aula Prática 14 – CHAVE DE PARTIDA PARA MIT COM ENROLAMENTOS SEPARADOS (2 VELOCIDADES) ......................................... 254 
Aula Prática 15 – FRENAGEM DE MOTOR DE INDUÇÃO ................................................................................................................... 256 
 
Referências Bibliográficas ........................................................................................................................................ 258 
 
xi 
 
Alfabeto Grego 
Maiúsculas Minúsculas 
Nome 
 Clássico 
Prefixos SI
* 
A  Alfa 
 
Fator Prefixo Símbolo 
10-3 mili m 
10-6 micro  
10-9 nano n 
10-12 pico p 
103 quilo k 
106 mega M 
109 giga G 
1012 tera T 
 
* SI: Sistema Internacional de Unidades, é um conjunto sistematizado e padronizado de 
definições para unidades de medida, utilizado emquase todo o mundo moderno, que visa a 
uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais daí decorrentes. 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades 
 
 
 
B  Beta 
  Gamma 
  Delta 
E  Epsilon 
Z  Zeta 
H  Eta 
  Theta 
I  Iota 
K  Kappa 
  Lambda 
M  Mu 
N  Nu 
  Xi (ksi) 
O  Omicrón 
  Pi 
P  Rho 
  Sigma 
T  Tau 
Y  Upsilón 
  Phi 
X  Chi 
  Psi 
  Ômega 
 
 
 
"Escola de Atenas", Rafael Sanzio. Retrata filósofos gregos e personalidades da época do pintor. 
Fonte: http://www.drsa.com.br/wp-content/uploads/2010/10/escola_atenas_rafael.jpg. 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_de_medida
http://pt.wikipedia.org/wiki/Medi%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades
 
xii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usina Hidrelétrica de Estreito. Descida do maior rotor Kaplan do Brasil. Agosto de 2010. 
Fonte: http://www.uhe-estreito.com.br/ver_imgprincipal.php?noticia_id=129
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
13 
 
 
Capítulo 
RREEVVIISSÃÃOO DDEE CCOONNCCEEIITTOOSS EE AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS 
DDEE CCOORRRREENNTTEE AALLTTEERRNNAADDAA ((CCAA)) 11 
 
Capítulo 1 - Revisão de conceitos e aplicações de Corrente Alternada (CA) 
1.1 – Introdução 
 
No Brasil, a energia elétrica que é fornecida às residências, indústria e comércio, em geral, é 
produzida nas usinas hidrelétricas, onde ocorre a conversão de energia mecânica em elétrica (produção de 
tensão alternada pela rotação do eixo de um gerador trifásico, através de uma turbina acionada pela força 
da água). 
Em uma usina hidrelétrica, a água represada possui energia potencial gravitacional que se converte 
em energia cinética. Essa energia cinética é transferida às turbinas, que movimentam o gerador. Este, por 
sua vez, converte essa energia cinética em energia elétrica a qual será enviada através de condutores ao 
seu destino, através das linhas de transmissão (da usina geradora até as subestações de distribuição) e das 
linhas de distribuição (das subestações aos consumidores). 
Outras formas de se obter energia elétrica estão ilustradas na Figura 1.1: energia eólica (força dos 
ventos para tocar o eixo do gerador), energia solar, energia nuclear etc. 
 
 
 
Figura 1.1 – Exemplos de fontes alternativas de Corrente Alternada (CA). Fonte: BOYLESTAD, R. L. 
Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle 
River, New Jersey 07458. All rights reserved. 
 
 As Figuras 1.2a e 1.2b mostram as partes constituintes de uma usina hidrelétrica. 
 
- Questão importante: qual é a função do canal na entrada do duto? Responda se possível, com 
suas palavras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
14 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
Figura 1.2 – (a) Aspecto de uma Usina Hidrelétrica (UHE) – vista de perfil. (b) Esquema de barragem de UHE com 
destaque para a turbina. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hydroelectric_dam_portuguese.PNG 
 
 
A Figura 1.3 mostra um zoom sobre a 
operação da turbina. Note-se que o seu eixo é que 
aciona o gerador de energia elétrica. 
A Figura 1.4 mostra um perfil da represa 
Grand Coulee que é atualmente a terceira usina 
hidroelétrica mais potente do mundo. 
A represa, localizada no Rio Columbia 
(EUA), possui cerca de 1,6 km de comprimento, 
e o dobro da altura das Cataratas do Niágara. 
A sua construção foi iniciada em 1933, 
tendo sido inaugurada a 22 de março de 1941, 
quando possuía a maior capacidade de geração de 
eletricidade do mundo – aproximadamente 21000 
GWh/ano. Fonte: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Represa_Grand_Coulee 
 
 
Figura 1.3 – Esquema de uma turbina que aciona 
um gerador de uma usina hidrelétrica1. 
 
 
1
 Fonte: http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Aula03_Sistemas_Trifasicos.ppt 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
15 
 A instalação de uma turbina do tipo Francis é mostrada na Figura 1.5. Repare no diâmetro do 
rotor da turbina, onde os técnicos trabalham. Na Figura 1.6 vê-se o rotor de uma turbina de um gerador da 
usina de Itaipu. 
A Turbina Francis é uma turbina hidráulica que foi desenvolvida pelo engenheiro americano 
James B. Francis, em 1849, daí o seu nome. Turbinas Francis são adequadas para operar entre quedas de 
40 m até 400 m. No Brasil, a usina hidrelétrica de Itaipu, assim como a usina hidrelétrica de 
Tucuruí, usina hidrelétrica de Furnas, usina hidrelétrica de Foz do Areia, AHE de Salto Pilão e outras 
funcionam com turbinas tipo Francis, com cerca de 100 m de queda de água. Fonte: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Turbina_Francis. 
 
 
Figura 1.4 - Represa Grand Coulee, no estado americano de Washington, EUA. 
 
 
 
Figura 1.5 - Uma das 6 novas turbinas Francis, que produzem 1 milhão de HP de potência (cerca de 745 MW), sendo instalada 
na unidade 3 da represa Grand Coulee. Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
16 
 
Figura 1.6 – Descida do rotor do gerador da Unidade Geradora 1 (turbina) da Usina Hidrelétrica Estreito. 
Fonte: http://www.pnegrao.com.br/2010/12/montagem-da-primeira-unidade-geradora.html. 
 
 A usina hidroelétrica de ITAIPU, nacional, é uma das que mais produz eletricidade (veja a 
matéria a seguir, dados de 2010). É um empreendimento binacional desenvolvido pelo Brasil e pelo 
Paraguai no Rio Paraná. A potência instalada da usina é de 12.600 MW (megawatts), com 18 unidades 
geradoras de 700 MW cada. A Figura 1.7 mostra o seu aspecto de sua barragem. 
 
Itaipu fecha 2010 com geração de 85,9 milhões de MWh 
 
Itaipu produziu em 2010 um total de 85.970.318 megawatts-hora (85,97 milhões de MWh), o suficiente 
para suprir todo o consumo do Paraná durante três anos e sete meses. Ou então, os três estados da região Sul por um 
ano e dois meses. O mesmo volume ainda abasteceria a demanda de Portugal por energia elétrica durante um ano e 
oito meses. 
Como comparação, a usina de Três Gargantas, na China, que tem maior capacidade instalada (maior 
barragem e maior represa do mundo), fechou o ano anterior (2009) com 79,5 milhões MWh. A produção da 
megausina chinesa em 2010 ainda não foi divulgada. A terceira maior produtora do mundo, a usina de Guri, na 
Venezuela, produziu 53,4 milhões MWh em 2009. Quase a metade de Itaipu. 
Com um detalhe: Itaipu foi projetada para gerar até 75 milhões MWh. Um número que foi superado já em 
1995, com a produção de 77,2 milhões MWh. Depois disso, Itaipu sempre gerou acima do teto. Na maioria dos 
anos, muito acima. Considerando a média dos últimos cinco anos, a geração chega a 91,1 milhões MWh, um 
desempenho sem igual no setor elétrico mundial. 
 
Fonte: www.itaipu.gov.br/sala-de-imprensa/noticia/itaipu-fecha-2010-com-geracao-de-859-milhoes-de-mwh 
 
A Tabela 1.1 mostra uma comparação de alguns aspectos técnicos entre as usinas de Itaipu e a de 
Três Gargantas (chinesa). 
 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG17 
 
 
Tabela 1.1 – Quadro comparativo das usinas de Itaipu e de Três Gargantas (dados de 2010). 
Fontes: http://www.itaipu.gov.br/energia/comparacoes e China Three Gorges Corporation. 
Usina Itaipu (Brasil) Três Gargantas (China) 
Turbinas 20 32 (6 subterrâneas) 
Potência nominal 700 MW 700 MW 
Potência instalada 14.000 MW 
22.400 MW (quando completa, em 
2011) 
Recorde de 
produção anual 
94,7 bilhões kWh/ano (2008) 84,3 bilhões kWh/ano (2010) 
Produção anual 85,9 bilhões kWh/ano (2010) 84,3 bilhões kWh/ano (2010) 
Concreto utilizado 12,57 milhões m³ 27,94 milhões m³ 
Altura 196 metros 181 metros 
Comprimento da 
barragem 
7.744 metros 
(concreto, enroscamento e terra) 
175 metros (dique de 
Hernandárias) 
4.149 metros (concreto 2.309 m e dique 
Maoping 1.840 m) 
Vertedouro - 
capacidade de 
vazão 
62.200 m³/s 120.600 m³/s 
Escavações 63,85 milhões m³ 134 milhões m³ 
Número de 
pessoas 
reassentadas 
40 mil 1,13 milhão 
 
 
 
 
Figura 1.7 – Aspecto da Barragem da Usina hidrelétrica de Itaipu. 
Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453. 
 
 
http://www.itaipu.gov.br/energia/comparacoes
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
18 
1.2 – Geração de Corrente Alternada 
 
A Figura 1.8 apresenta o esquema de um gerador elementar de uma espira, submetida à ação de 
um fluxo magnético, interno à região entre os pólos norte e sul de um ímã. 
 Mas, o que é uma espira? Numa definição simples, uma espira constitui um tipo de circuito 
elétrico, com aplicações na produção de campo magnético e eletricidade. É um componente encontrado 
em geradores de energia elétrica, motores elétricos, transformadores e indutores, dentre outros. 
 
 
Figura 1.8 – Aspecto básico de um gerador CA com um alternador para geração de uma tensão senoidal. 
 
 
A Figura 1.9 mostra dois exemplos de bobinas, construídas a partir de um conjunto de espiras. A 
Figura 1.10 mostra a aplicação de uma bobina em um disjuntor (dispositivo de proteção, a ser estudado no 
capítulo 4). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.9 – (a) Detalhe de uma bobina. (b) Indutor ou bobina de comprimento l formado por N espiras. 
 
 
O transformador é outro equipamento onde, a partir do projeto de suas bobinas (entrada: primário 
e saída: secundário), se pode elevar ou reduzir a amplitude de um sinal alternado aplicado nos terminais 
de entrada – veja a Figura 1.11a. 
Estas bobinas são enroladas em torno de um núcleo comum (em baixa freqüência o núcleo é feito 
de material magnético como o aço laminado e em alta freqüência é feito de materiais não magnéticos, 
como o ferrite). 
 A Figura 1.11b mostra um transformador de potência (rede de distribuição de energia elétrica). 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
19 
 
 
Figura 1.10 - Aspecto de um Disjuntor 
(veja detalhe da bobina). Fonte: 
 http://www.abracopel.org.br 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.11 – (a) Esquema de um transformador 
monofásico. (b) Transformador trifásico (rede de 
distribuição de energia elétrica. 
 
 
1.2.1 - Princípio de funcionamento de um gerador elementar 
 
O condutor (na prática uma bobina) é girado por uma turbina a vapor ou qualquer outra forma de 
energia mecânica. Esta rotação provoca uma alteração contínua no fluxo magnético em torno do 
condutor, o que faz surgir uma tensão induzida sob forma senoidal no mesmo. A Figura 1.12a mostra uma 
espira inclinada em relação às linhas de campo magnético (pelo vetor B

). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.12 – (a) Espira da Figura 1.8 inclinada por um ângulo alfa () em relação às linhas de campo magnético B. (b) A mesma 
espira girando na região de campo magnético, o que produz uma tensão senoidal nos seus terminais. Fonte: 
http://macao.communications.museum/images/exhibits/small/2_4_1_1_por.png 
 
 
1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. induzida 
 
 Está associado à quantidade de linhas de indução magnética que atravessa a superfície delimitada 
por uma espira (1.1). 
 
. .cosB A  (1.1) 
 
BOBINA 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
20 
Onde: 
 
- B é dado em Tesla [T]; A é a área da espira, em m
2
 e  é o ângulo 
determinado entre a reta normal à superfície e a direção do vetor 
indução. 
A Lei de Faraday, também chamada de lei da Indução 
Eletromagnética, está relacionada com a força eletromotriz induzida em uma 
espira, quando há variação de fluxo magnético com o tempo. 
 “A f.e.m. em volts, induzida em um circuito é igual ao negativo 
da taxa de variação com que o fluxo magnético através do circuito 
está mudando no tempo”. (Michael Faraday, 1791-1867 – Figura 
1.13). Matematicamente a Lei de Faraday é expressa por (1.2): 
 
 
N
t



 

 (1.2) 
Fig. 1.13 - Michael Faraday. 
 
A variável N, nesta equação, é o número de espiras e o sinal negativo indica a polarização da 
f.e.m. induzida (Lei de Lenz). 
Para uma variação infinitesimal (valores do delta, , tendendo para zero), utiliza-se a derivada, 
d/dt. Logo, para uma função cosenoidal - veja a Equação (1.1): 
 
cos sen
d
x x
dx
  (1.3) 
 
A função seno é a derivada do co-seno, daí: 
 
 
 
 
cos
cos
. sen
Nd BANd
dt dt
d
NBA k
dt



 
   
     
 
 
 . k sen  (1.4) 
 
Onde k = B.A.N é o valor máximo da tensão ou f.e.m. induzida. 
Logo, teremos 
 
max em  = 90 graus (sen 90
o
 = 1). 
min em  = 270 graus (sen 270
o
 = - 1). 
 
 A Figura 1.14 mostra a formação de uma senóide de acordo com o giro de uma espira. Pela 
Equação (1.4), determina-se o valor da f.e.m. induzida nos instantes 1, 2, 3, 4 e 5. 
Outra interpretação da formação da senóide da Figura 1.13 leva em conta que: 
 
- para os instantes 1, 3 e 5, onde a f.e.m. é nula, isto se justifica pelo fato de que não há variação 
de fluxo magnético. A variação máxima ocorre nos intervalos entre os instantes 1 e 2 (variação max 
positiva), 2 e 3 (max negativa), 3 e 4 e 4 e 5. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
21 
 
Figura 1.14 – Um ciclo completo da tensão CA com o giro de 360 graus de uma espira. 
 
Pela Figura 1.15, pode-se acompanhar o ciclo completo da senóide formada pelo giro de um 
fasor, indicado no diagrama indicando um ciclo de 0 a 360 graus. 
Para um gerador de 2 pólos (norte e sul), a rotação de uma bobina ao longo de 360º geométricos 
(ou graus mecânicos) gera sempre 1 ciclo de 360º elétricos de tensão (gerador de 2 pólos). Observe que, 
por exemplo, para um ângulo  de 90 graus – veja a Equação (1.4), a tensão induzida na espira é máxima, 
já que 
0
max.sen .sen90 .k k     
 
 
Figura 1.15 – Dois ciclos de tensão alternada gerados pela rotação de uma espira. 
Fonte: B. Grob, Eletrônica Básica, 4a. Ed. New York: McGraw Hill, 1977. 
 
1.2.3 – Sinais CA – principais parâmetros 
 
• Período (T) - duração de um ciclo ou ainda o intervalo de tempo entre dois pontos da curva de mesma 
situação (picos positivos ou negativos, p. ex.). 
É medido em segundos (s). 
• Freqüência (f)– número de repetições de um movimento ou ainda a quantidade de ciclos que cabem 
em um segundo. 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
22 
É medida em Hertz (Hz). 
1
f
T
  Logo, 
1
T
f
  . Daí, Hz = 1/s ou s
-1
. 
• A frequência do sistema elétrico no Brasil é de 60 Hz; em outros países se usa 50 Hz. 
• Curiosidade 1: na área de telefonia celular, os padrões de frequência de operação atuais estão na faixa 
de GHz (lembre-se de que 1 G = 1 x 10
9
). 
• Curiosidade 2: para ondas de rádio (sinais sonoros), temos os sinais em AM (amplitude modulada) e 
em FM (frequência modulada). O Rádio FM oferece maior qualidade sonora do que o AM, já que a 
sua banda de passagem é de 200 kHz por canal, bem maior que os 10 kHz do rádio AM. Fonte: 
http://www.willians.pro.br/frequencia/cap3_espectro.htm 
 
 
EF - Exercícios de Fixação 
Série 1 
 
EF1 – Para a forma de onda de corrente CA (e 
mA) da Figura 1.16, pede-se encontrar o seu 
período e a sua frequência e desenhar outro 
sinal de corrente com freqüência duas vezes 
maior. 
 
Figura 1.16. 
 
EF2 – Por que, na construção de uma bobina, utiliza-se o fio de cobre envernizado? 
 
EF3 – Explicar matematicamente (através de uma ou mais equações) por que em uma bobina com muitas 
espiras se consegue induzir mais tensão elétrica. 
 
EF4 – Seja o esquema da Figura 1.17. 
a) Por que a corrente é alternada no resistor R? 
b) Se um técnico projeta uma espira 3 x menor em relação à apresentada nesta figura, o que ocorre com o 
valor de pico da senóide produzida? Justifique. 
c) Se a espira fica parada, há indução de tensão nos terminais do resistor R? 
 
EF5 – Examinar a Figura 1.18 e explicar porque a corrente é contínua no circuito externo (representado 
pelo resistor R). 
 
 
 
 Figura 1.17. Figura 1.18. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
23 
1.2.4 – Sinais CA – valores característicos e conceitos importantes 
 
 
 A equação geral de um sinal de tensão senoidal (o mesmo vale para um sinal de corrente) é dada, 
de acordo com a Lei de Faraday, pela Equação (1.5): 
 
maxv( t) = V .sen (ωt + )  (1.5) 
 
Onde: 
1) v(t) é o valor instantâneo da tensão; 
2) Vmax é o máximo valor que a tensão pode atingir, 
também denominada de amplitude ou tensão de pico (ver 
a Figura 1.19); 
3) Valor de pico-a-pico, Vpp : é a distância entre os 
valores máximo e mínimo. Matematicamente, para um 
sinal simétrico como o da Figura 1.19, este parâmetro é: 
 
max max max( ) 2ppV V V V    (1.6) 
 
Fig. 1.19 – Representação de uma senóide. 
 
4) O ângulo  (phi, legra grega) é o ângulo de fase inicial, que indica a posição angular onde se inicia o 
semiciclo positivo da forma de onda senoidal. 
Pela Figura 1.20a vê-se que o semiciclo positivo começa antes do zero (0) no eixo t. A onda 
senoidal está ADIANTADA em relação ao instante 0 (zero). O ângulo de fase é considerado positivo (ou 
seja,  > 0) na Equação (1.5). 
Já na Figura 1.20b o semiciclo positivo começa após o instante zero (0) no eixo t. Portanto, a 
onda senoidal está ATRASADA em relação ao instante 0 (zero) e o ângulo de fase é considerado negativo 
( < 0) na Equação (1.5). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.20 – (a) Ângulo de fase  > 0 (onda senoidal ADIANTADA em relação a t = 0. 
(b) Ângulo de fase  < 0 (onda senoidal ATRASADA em relação a t = 0. 
 
Na Equação (1.5) t =  é um ângulo (onde  é uma letra grega, teta), onde  é a frequência 
angular (rad/s) e t é o tempo (s). Graficamente,  é representado no eixo horizontal. 
 
 =t = (2/T).t [rad] (1.7) 
 
EExemplo 1.1 - A expressão 0( ) 5.sen (100 35 )v t t   mostra que este sinal está com um ângulo de fase  
= 35
0
, logo, encontra-se adiantado em relação ao instante 0 s (ou ao ângulo 0
0
). 
Teste: para t = 0, 
0( ) 5.sen (35 ) 2,87 V.v t   Veja a forma de onda deste sinal na Figura 1.21, bem como o 
valor instantâneo em t = 0, para um ângulo de fase  = 35
0
. Nesta figura, o ângulo de fase está indicado com a 
letra grega , ao invés de . 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
24 
 
Figura 1.21. 
 
5)  (letra grega ômega) indica a velocidade de giro angular, dada por 
 
  = 2f ou  = 2 / T [rad/s] (1.8) 
 
 onde f = freqüência e T = período. 
 
6) Identificação de grandezas elétricas variantes no tempo 
 
 As grandezas elétricas, quando variantes no tempo, são identificas pela letra MINÚSCULA. Por 
exemplo: v(t), tensão CA e i(t), corrente CA. 
 Quando se quer escrever/identificar os parâmetros destas grandezas, como valor máximo, valor 
de pico-a-pico, valor médio, valor eficaz etc., faz-se o uso de letras MAIÚSCULAS. 
 Exemplo: 
pp max RMS DCV ,V ,V ,V etc. 
 
EF - Exercícios de Fixação 
Série 2 
 
EF6 – Sejam as formas de onda da Figura 1.22. Pede-se determinar as equações de i(t) e v(t). As duas 
formas de onda estão em fase? Justifique. 
 
 
Figura 1.22 – EF6 (BOYLESTAD, 2002). Figura 1.23 - EF7 (BOYLESTAD, 2002). 
Copyright © 2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All rights reserved. 
 
EF7 – Seja a tensão senoidal (Figura 1.23), cuja equação é v(t) = 20 sen (500..t -  /4). 
 
a) Qual é o seu valor máximo, Am? Qual é a sua velocidade angular () em rad/s? 
b) Qual é o seu ângulo de defasagem inicial () em rad? Encontre este parâmetro em ms. 
c) Encontre para este sinal o período (T) em s e a freqüência (f) em Hz. 
 
EF8 – Para o sinal da Figura 1.24, pede-se encontrar, com base nas informações: 
Escala vertical: 2 V/div. e 1 A/div. Escala Horizontal: 0,2 ms / div. 
a) o período de i(t) e e(t), em ms e a amplitude de pico a pico do sinal e(t); 
b) o defasamento em graus e em ms entre os sinais e(t) e i(t). 
 
( + )
- Am.sen 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
25 
1.2.4.1 – Valor médio, VCC ou VDC 
 
 O valor médio de uma função representa o 
resultado líquido da variação de uma grandeza física 
como deslocamento, temperatura, tensão, corrente, etc. 
(MUSSOI, 2006). 
 Para uma grandeza em função do tempo, por 
exemplo, o valor médio é dado pela soma das áreas 
positivas e negativas que são descritas periodicamente 
ao longo do tempo. 
 
Fig.1.24 – Dois sinais defasados no tempo 
(BOYLESTAD, 2002). 
 
Assim, para uma forma de onda, como mostra a 
Figura 1.25, o valor médio é determinado pela área total 
sob a curva, dividido pelo período da forma de onda. 
A equação (1.9) retorna o valor médio de uma 
função, e é apropriada para funções simétricas como a 
onda quadrada, onda triangular etc. 
 
 
Comprimento da curva
med
A Areas sob a curva
V
T
 
  (1.9) 
 
 
Fig. 1.25 – Exemplo gráfico do valor médio 
de uma forma de onda (MUSSOI, 2006). 
 
EExemplo 1.2 - Qual é o valor médio da forma de onda da Figura 1.26? 
 
 
 
Figura 1.26 (BOYLESTAD,2002). 
Solução: 
 
 
 
EExemplo 1.3 - Determine o valor médio para a forma de onda da Figura 1.27. 
 
Solução: 
       4 2 2 2 3 2 1 2
8
8 4 6 2 12
 1,5.
8 8
medioV
       

  
  
 
 
 Figura 1.27 (MUSSOI, 2006). 
 
1.2.4.2 – Valor eficaz, Vef ou Vrms 
 
 O valor eficaz de uma função representa a capacidade de produção de trabalho efetivo de uma 
grandeza variável no tempo entre as excursões positivas e negativas da mesma. 
 Para uma grandeza senoidal (ver a Figura 1.28), cuja equação no domínio do tempo é dado por 
v(t) = Vmax sen t, o seu valor eficaz é dado pela Equação (1.10). 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
26 
max
2
ef
V
V  (1.10) 
 
 Para entender de modo simples o significado 
físico do valor eficaz (também conhecido como 
valor RMS, de root mean square, valor médio 
quadrático), faz-se a análise da potência elétrica 
fornecido a um mesmo resistor, primeiro com uma 
fonte de tensão contínua e depois com uma fonte CA 
senoidal, como mostra a Figura 1.29. 
No primeiro circuito, alimentado pelo sinal 
em CC: 
1 1 127 100 1,27 .I V R A   
Daí, P1 = V1I1 = 127 V  1,27 A 
 = 161,29 W. 
 
Figura 1.28 – Conceito gráfico do valor eficaz 
de uma senóide (MUSSOI, 2006). 
 
 
 
Figura 1.29 - Circuitos para medição da potência RMS num resistor. Simulação no Software PSpice
®
. 
 
 O segundo circuito é alimentado por um sinal senoidal, que é ajustado para que um amperímetro 
indique uma corrente de 1,27 A (alternada), a fim de que seja dissipada a mesma potência que no 
primeiro circuito. 
 Logo, 
 
 P2 RMS = 127 VRMS . 1,27RMS A = 161,29 WRMS. 
 
 O valor ajustado para a senóide equivale a uma tensão contínua a qual aplicada a um elemento 
resistivo, dissipa a mesma potência (em CA) que no primeiro circuito (em CC). 
 O circuito da Figura 1.30 mostra um modo prático de se medir a energia térmica entregue por 
ambas as fontes ao resistor R. 
 
 
 
Figura 1.30 – Circuito para medição da energia dissipada pelo resistor alimentado por fontes 
CC e CA. Fonte: BOYLESTAD, R. L. Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
27 
Em resumo: o valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz é o valor que produz numa resistência o 
mesmo efeito que uma tensão/corrente contínua constante desse mesmo valor. 
 
Observações: 
 
• Os instrumentos comuns de medição em corrente alternada (voltímetros, amperímetros e multímetros) 
fornecem valores eficazes somente para sinais senoidais; 
• Para medir o valor eficaz de uma forma de onda de tensão (ou de corrente) não perfeitamente senoidal 
deverá ser usado um voltímetro (ou amperímetro) mais sofisticado, conhecido como True RMS (Eficaz 
Verdadeiro) que é capaz de fazer a integração da forma de onda e fornecer o valor eficaz exato para 
qualquer forma de onda. 
• Para uma forma de onda contínua constante (de tensão ou corrente, por exemplo) o valor eficaz é igual 
ao valor médio. 
 
 
1.3 – Relacionando graus elétricos e tempo e graus elétricos e mecânicos 
 
 De acordo com a Figura 1.15, é muito simples relacionar graus elétricos (referentes a grandezas 
elétricas, obviamente) e o tempo em segundos. 
 Supondo que um ciclo da senóide desta figura (360 graus) ocorre em um tempo de 10 ms, para 
encontrar, por exemplo o instante onde ocorre o primeiro valor máximo positivo (vB), basta resolver a 
regra de três simples: 
 
 360 graus 10 ms 
 090 graus tB 
 
 Encontra-se para tB o instante 2,5 ms, correspondente a ¼ de ciclo. 
 Para relacionarmos graus elétricos e mecânicos, basta aplicar a seguinte definição: 
 
 
Numa máquina de p pólos (veja a Figura 1.31), uma rotação completa do rotor corresponderá a 
p/2 ciclos de tensão. A denominação da posição do rotor de graus mecânicos e do ângulo correspondente 
a cada valor do ciclo de tensão gerada de graus elétricos permite estabelecer a seguinte relação: 
 
2
elet mec
p
   (1.11) 
Onde elet = graus elétricos (em graus ou radianos); mec = graus 
mecânicos (físicos, em graus ou radianos) e p = número de pólos. 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 1.31 – (a) Gerador elementar CA monofásico de 2 pólos. (b) Gerador elementar CA trifásico de 2 pólos. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
28 
1.4 – Representação fasorial de uma grandeza elétrica senoidal 
 
1.4.1 – Fasores 
 
Uma grandeza senoidal pode ser representada por um vetor que gira com velocidade angular 
constante , em rad/s. Se este representa uma grandeza elétrica (tensão ou corrente), damos a ele o nome 
de FASOR (Figura 1.32). 
 
 
 
Figura 1.32 – (a) Representação fasorial de uma grandeza senoidal x(t), ilustrada em (b). 
 
Notas: 
 
1) o FASOR não é como o vetor, pois possui somente módulo e sentido (horário ou anti-horário); 
2)  = 2f  frequência angular (rads/s). 
Na Figura 1.33 a onda B está adiantada ou atrasada da onda A? Qual é o ângulo de fase? 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.33 – Ondas senoidais. (a) Formas de onda. (b) Diagrama de fasores. 
 
 Na Figura 1.34 vêem-se dois sinais, de tensão, v(t) e de corrente, i(t). No primeiro gráfico o 
defasamento é de 180 graus (sinais fora de fase). No segundo gráfico as grandezas estão em fase (ângulo 
de defasagem nulo entre ambas as formas de onda). 
 
 
Figura 1.34 – Sinais em contra fase e em fase. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
29 
 O oscilograma da Figura 1.35 mostra três sinais de tensão. Qual deles está mais adiantado? Os 
três sinais possuem a mesma freqüência? Justifique. 
 
 
Figura 1.35 – Três senóides defasadas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2 - Representação matemática de um fasor 
 
 FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude (alguns autores utilizam o 
valor máximo; outros o valor eficaz) e a fase (ângulo de fase) de uma tensão ou corrente senoidal. Neste 
texto será adotado o valor eficaz como amplitude do fasor. 
 
DOMÍNIO DO TEMPO:  maxx(t) = X sen ωt+ FORMA POLAR: eficazX X  
 
 
EExemplo 1.4 
 
Seja um sinal de  0( ) 180. 377 45v t sen t  [V]. Qual é a sua forma polar? 
Solução: 
Na forma polar ele pode ser representado como:   0180 2 45 V.V  
Relembrando, o valor eficaz de um sinal senoidal é max 2efV V  
 
EExemplo 1.5 
 
Um fasor é representado como 05 15 AI   . Pede-se encontrar a expressão de i(t) e a queda de tensão em 
um resistor R de 10 ohms por onde circula esta corrente, escrita no domínio do tempo e na forma polar. 
 
Solução: 
 
a) i(t) será representado no domínio do tempo como:  0( ) 5 2. 15 .i t sen t  
b) Da Lei de Ohm, vR(t) = Ri(t). 
    
0 0
0
( ) ( ) 10 5 2. 15 50 2. 15
 50 -15 .
R
R
v t R i t sen t sen t
Na forma polar V V
       
 
 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG30 
EF - Exercícios de Fixação 
Série 3 
 
EF9 - Escreva a função e desenhe a forma de onda de um sinal senoidal 1 com freqüência 50 Hz e valor 
de pico de 5 V. Adote este sinal como referência (angulo 0°). 
 
EF10 - Suponha um sinal senoidal 2 atrasado de 90° em relação ao sinal 1, com valor de pico de 2 V e 
mesma frequencia. Escreva a função e a forma de onda do sinal 2. 
 
EF11 - Desenhar o diagrama fasorial dos sinais 1 e 2. Qual o período destes sinais? 
 
EF12 - Desenhe um sinal senoidal com período 1 ms e valor eficaz (rms) de 8 V, adiantado de 45° em 
relação à referência. Escreva a função e o diagrama fasorial do sinal. 
 
EF13 - Uma certa tensão elétrica é descrita pela equação v = 120 sen 377t. 
 
a) Qual é a tensão instantânea quando t = 10 ms ? 
b) A onda co-seno (com o mesmo aspecto da onda senoidal) é deslocada da onda senoidal de 90 graus 
(1/4 de período à frente). Escreva a equação da onda de tensão dada neste exercício na forma co-senoidal 
e desenhe a mesma no oscilograma da Figura 1.36. 
 
EF14 - Se uma tensão CA tiver um valor máximo de 155,6 V, qual será o ângulo de fase para o qual a 
tensão instantânea é de 110 V? 
 
 
 
Figura 1.36 – EF 14. 
 
EF15 – Encontre o defasamento entre as formas de onda de tensão e corrente nas duas situações da Figura 
1.37 (formas de onda em (a) e em (b)). 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.37 – EF15. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
31 
1.4.3 – Operações matemáticas com fasores 
 
 Na análise de circuitos elétricos, a representação trigonométrica (expressões trigonométricas, no 
domínio do tempo) permite realizar algumas operações matemáticas entre as grandezas tensão, corrente e 
potência elétricas, mas de modo trabalhoso. 
 A representação fasorial surge então como uma importante ferramenta, já que facilita as 
operações matemáticas, pois os sinais senoidais de tensão, de corrente e de potência podem ser 
representados através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por números complexos. 
Os números complexos são operados por uma álgebra própria, bem mais simples que os cálculos 
envolvendo trigonometria. A Figura 1.38 explica isto de forma bastante visual. 
Assim, uma forma de onda senoidal dada por v(t) = 5 sen (30t + 45
0
) poderá ser representada na 
forma retangular ou polar na seguinte forma: 
 
v(t) = 5 sen (30t + 45
0
)  0
5
 45 V
2
ef vV V    
 
 
 
Figura 1.38 – Representação em diagrama de blocos da operação com fasores (MUSSOI, 2006). 
 
 
1.4.3.1 – Fasores representados por números complexos 
 
 Um fasor é um vetor radial girante, como já foi visto, e permite realizar com facilidade operações 
algébricas entre os sinais de um sistema elétrico. 
Basta, para isto, utilizar uma ferramenta matemática para a sua representação, a qual faz uso dos 
números complexos. 
Um número complexo pode ser representado na forma retangular (ou forma cartesiana), como 
mostra a Figura 1.39. É um número composto por uma parte real e uma parte imaginária: 
 
Z a jb  (1.12) 
 
onde j é um operador matemático que desloca um fasor real de  90 graus para o eixo imaginário (logo, o fasor b, 
deslocado de + 90 graus é representado por + jb e, deslocado de – 90 graus, é representado por - jb). Assim, j é 
considerado um operador rotacional. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
32 
 
 
Figura 1.39 – Álgebra fasorial e números complexos. 
 
 O operador j, apresentado na Equação (1.12), é denominado operador complexo e definido: 
 
1j   (1.13) 
 
 Na matemática é utilizado o operador i é usado invés do j, mas em Eletricidade o fator i poderia 
ser confundido com o valor instantâneo da corrente, daí o uso preferencial do j. 
 Na Figura 1.38 o coeficiente a representa a projeção de Z no eixo real e b representa a projeção 
de Z sobre o eixo imaginário. 
O ângulo do fasor pode ser encontrado facilmente da Equação (1.14): 
 
 1tan b a  (1.14) 
 
 já que tan  = b/a, onde 
 
a = cateto adjacente e 
b = cateto oposto (ao ângulo teta, ), como ilustra a Figura 1.40. 
 
 
 
Figura 1.40 – O fasor Z e seus componentes a e b. 
 
 Resumindo, as relações apresentadas anteriormente possibilitam transformações entre as notações 
RETANGULAR  POLAR e POLAR  RETANGULAR. 
 
 
2 2
1
Forma polar Z
Z = a + jb 
 
a b
Z Z tg b a  
  
 
  
 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
33 
EExemplo 1.6 
 
Um fasor representado forma POLAR como 
01 30 AI   será representado na forma 
RETANGULAR ou COMPLEXA como I = (1.cos 30
0
) + j (1.sen 30
0
)  I = 0,87 + 0,5 j. 
 
1.4.3.2 – Adição e Subtração entre Fasores 
 
 Para estas operações, utiliza-se a forma retangular para obter o fasor resultante. Sejam os fasores 
1 1 1Z a jb  e 2 2 2Z a jb  , sobre os quais se deseja obter: 
 
 SOMA: 1 2Z Z Z   
12( ) 1 1 2 2
12( ) 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
soma
soma
Z a jb a jb
Z a a j b b
   
   
 
 
 SUBTRAÇÃO: 1 2Z Z Z   
12( .) 1 1 2 2
12( .) 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
Subtr
Subtr
Z a jb a jb
Z a a j b b
   
   
 
 
Em resumo: 
 
1) na operação de soma e subtração entre dois fasores, trabalha-se na forma complexa e somam-se 
ou subtraem-se separadamente os coeficientes reais e os imaginários; 
2) soma e subtração algébrica de números complexos são feitas na forma retangular. 
 
 
EExemplo 1.7 - Determinar a resultante de 1 2Z Z Z  , onde: 1 25 2 e 5 7. Z j Z j    
 
Solução: 
(5 5) (2 7)
10 5
Z j
Z j
   

 
 
 
EExemplo 1.8 
 
Qual é a resultante C12 dos fasores indicados na Figura 1.41? 
Solução: 12 12(2 3) (4 1) 5 5C j C j       
O fasor resultante está desenhado na Figura 1.42. Conferir as suas coordenadas. 
 
 
 
Figura 1.41. 
 
 
Figura 1.42. 
 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
34 
 
1.4.3.3 – Multiplicação e divisão entre fasores 
 
a) Multiplicação 
 
 A multiplicação de números complexos deve ser feita na forma polar, não sendo recomendável 
a multiplicação na forma retangular, embora possa ser realizada (os cálculos ficam difíceis). Multiplicam-
se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos. 
 Sejam dois números complexos escritos na forma polar: 
 
 1 1 1 2 2 2 C Z e C Z   
 
 A multiplicação destes entes será dada por: 
 
 1 2 1 2 1 2 C C Z Z      
 
b) Divisão 
 
 A divisão de números complexos também deve ser feita na forma polar. O processo é análogo ao 
da multiplicação, porém, deve-se, ao dividir C1 por C2, dividir os seus respectivos coeficientes e subtrair 
os seus respectivos ângulos. 
 De modo resumido: 
 
dividem-se os módulos e subtraem-se algebricamente os ângulos. 
 
Matematicamente, pode-se escrever: 
 
1 1
1 2
2 2
 
C Z
C Z
   
 
A Tabela 1.2 mostra um resumo de alguns parâmetros e operadores de tensão e corrente elétricas. 
 
Tabela 1.2 – Representações matemáticas de sinais senoidais. 
 
 
 
Acionamentos e Comandos ElétricosCEFET-MG 
35 
1.5 - Comportamento de circuitos resistivos, indutivos e capacitivos em CA 
 
 
 Os componentes passivos - resistores (R), indutores (L), capacitores (C) – possuem 
comportamentos distintos quando conectados em uma fonte de CA. Todos estes tendem a fazer oposição 
à passagem da corrente, porém cada qual irá provocar ou não um defasamento entre os ângulos da tensão 
e o da corrente. 
 
1.5.1 – Circuito resistivo - corrente e tensão em fase 
 
 Considerando a carga R puramente resistiva (Figura 1.43), a potência fornecida pelo gerador AC 
será totalmente absorvida por R. Isto ocorre porque a corrente (iR) e tensão (vR) presentes em R estão na 
mesma fase. 
 A oposição à passagem da corrente é dada pelo valor ôhmico de R, ou seja: 
max
max
 
 
 
R R
R
R
V sen tv v
i sen t
R R R
i I sen t



   

 
 
Figura 1.43 – Circuito CA com carga puramente resistiva. 
 
EExemplo 1.9 (BOYLESTAD, 2002) 
 
Dado um circuito puramente resistivo como o da Figura 1.43, onde, esboçar as suas formas de 
onda de v(t) e i(t) e o seu diagrama fasorial. São dados: R = 2 ohms e i(t) = 4 sen (t + 30
0
) A. 
 
Solução: 
 O fasor de corrente será dato por: 0 0
4
30 2,83 30 .
2
I A A  
 Logo, a tensão v(t) na forma polar será encontrada por: 
 
 
0 0 0 0 00 2,83 30 = 2 0 2,83 30 5,66 30 .V R I R V      
 
No domínio do tempo, encontra-se v(t) por: 
 
 
   
 
0
max
0
( ) . 5,66 2 30
( ) 8,0. 30
v t V sen t t sen t
v t sen t
   

    
 
 
 A Figura 1.44a mostra as formas de onda de v(t) e i(t). Os respectivos fasores estão desenhados 
na Figura 1.44b, em fase (0
0
 de deslocamento entre ambos). 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
36 
 
 (a) (b) 
Figura 1.44 – (a) Formas de onda do circuito do Exemplo 1.8. (b) Fasores de i(t) e v(t). Fonte: Robert L. Boylestad. 
Introductory Circuit Analysis, 10ed. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey. All rights 
reserved. 
 
 
1.5.2 – Circuito puramente indutivo – tensão adiantada de 90 graus da corrente 
 
 Seja uma bobina alimentada por um 
sinal CA senoidal (Figura 1.45). 
 Um indutor oferece uma oposição à 
variação de corrente i(t) devido à sua 
propriedade de auto-indução de tensão. Esta 
oposição estabelecida por um indutor em um 
circuito AC senoidal pode ser encontrada 
aplicando a equação 
 
Figura 1.45 – Circuito puramente indutivo alimentado 
 por uma fonte de tensão senoidal (MUSSOI, 2006). 
 
Efeito = Causa / Oposição  Oposição = Causa / Efeito 
 Do circuito da Figura 1.45: 
Oposição 
max
 max max
max max max
.2
2
L ef
L ef
V
V V L I
L
II I I

     
 Esta oposição à corrente iL é a reatância indutiva do indutor L – Equação (1.15). 
 
XL = L = 2π f L (1.15) 
 
onde: XL: reatância indutiva Ω; f: frequência em Hertz (Hz) e L: indutância em Henry (H). 
 A tensão induzida na bobina é fornecida pela Equação (1.16). 
 
. ( )Lv L di t dt (1.16) 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 1.46 – (a) Formas de onda do circuito indutivo puro (Figura 1.42). (b) Fasores. 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
37 
 Pela Figura 1.46a é fácil verificar que quando a derivada diL(t)/dt é máxima (instante A, igual em 
ângulo a 90 graus), a tensão induzida na bobina é máxima. Para o instante B, diL(t)/dt é nula e, pela 
Equação (1.16), vL(t) = 0. Na Figura 1.46b vê-se o fasor VL adiantado de 90
0
 do fasor IL. 
 Observando as formas de onda da Figura 1.47 - agora com a corrente iL(t) na referência, ou seja, 
com ângulo de fase nulo - se conclui que: 
nos terminais de um indutor num circuito CA, a tensão sempre estará adiantada de 90
0
 em 
relação à corrente. 
 
 
Figura 1.47 – Sinais de i(t) e vL(t) para o circuito da Figura 1.45 (BOYLESTAD, 2002). Fonte: Robert L. Boylestad. 
Introductory Circuit Analysis, 10ed. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All 
rights reserved. 
 
1.5.3 - Circuito puramente capacitivo – corrente adiantada de 90 graus da tensão 
 
 A oposição à passagem da corrente iC(t) em um circuito capacitivo puro (Figura 1.48) é 
determinada pela reatância capacitiva do capacitor C, expressa por: 
 
 
1 1
 
2
CX
C fC 
   (1.17) 
 
 Onde:  = frequência angular, em 
rad/s; XC: reatância capacitiva em ohms (Ω); f: 
frequência do gerador em Hertz (Hz) e C: 
capacitância em Farad (F). 
 As formas de onda deste circuito são 
visualizadas na Figura 1.49. A corrente em um 
capacitor é encontrada pela Equação (1.18). 
 
 
( )
( ) CC
dv t
i t C
dt
  (1.18) 
 
Fig. 1.48 – Circuito capacitivo puro, alimentado 
por uma fonte de tensão senoidal. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.49 – (a) Ondas de corrente e tensão em um circuito capacitivo puro. (b) Fasores. 
 
Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG 
38 
 Analisando a Figura 1.49a, vê-se que o máximo da corrente ocorre quando a derivada da tensão 
no capacitor é máxima (inclinação da reta tangente na curva vc(t), em 90 graus), o que é fácil comprovar 
com a Equação (1.18). 
 Se conclui então que: nos terminais de um capacitor num circuito CA, a corrente sempre estará 
adiantada de 90
0
 em relação à tensão. Na Figura 1.49b vê-se o fasor IC adiantado de 90
0
 do fasor VC. 
 
1.5.4 – Impedância de circuito CA 
 
 A impedância Z, dada pela relação entre tensão e corrente num circuito misto, contendo 
elementos resistivos (R), capacitivos (C) e indutivos (L), representa a medida da oposição que este 
circuito oferece à passagem de uma corrente alternada (MUSSOI, 2006). 
 Os elementos XL e XC (reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente), são fasores que são 
posicionados no eixo imaginário, enquanto que a resistência R fica posicionada no eixo real do plano 
complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand. 
 As Figuras 1.50 e 1.51 mostram a disposição destes fasores no plano complexo. O fasor XL está 
posicionado para cima, com ângulo de + 90
0
 enquanto XC está posicionado para baixo, com ângulo de - 
90
0
. Estes dois fasores são denominados de componentes reativas de um circuito, ou seja, armazenam 
energia. Já o resistor é um elemento passivo, pois somente dissipa a energia elétrica que recebe. 
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura 1.50 (MUSSOI, 2006) – Diagrama fasorial de impedância (Z). (a) Reatâncias indutiva e capacitiva (disposição no eixo 
imaginário do plano complexo). (b) Z resultante em um circuito RL (resistência + reatância indutiva). (c) Z resultante em um 
circuito RC (resistência + reatância capacitiva). 
 
 Do diagrama fasorial da Figura 1.51, a impedância COMPLEXA ou retangular é: 
 
 ( ) L CZ R j X X    (1.19) 
 
Como encontrar o módulo da impedância Z? 
 
 O módulo de Z é encontrado aplicando-
se o teorema de Pitágoras