Matemática Logaritmos e Trigonometria - Questões de Avaliação

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20/04/2021 Logaritmos e Trigonometria - Questões de Avaliação 7
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/ LOGARITMOS E TRIGONOMETRIA - QUESTÕES DE AVALIAÇÃO 7
Iniciado em terça, 20 abr 2021, 20:49
Estado Finalizada
Concluída em terça, 20 abr 2021, 21:15
Logaritmos e Trigonometria - Questões de Avaliação 7
  Orientações
  Estatística 
  Escala, Porcentagem e Juro 
  Lógica e Métodos Dedutivos 
  Sucessões e Progressões 
  Potenciação, Radiciação e Funções 
  Conjuntos e Funções 
Logaritmos e Trigonometria
Questões de Fixação
Atividade Avaliativa
  Logaritmos e Trigonometria 
  Geometria Analítica I 
  Geometria Analítica II 
  Propriedades Figuras Planas 
  Certificado
 
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a. 11,4 horas.
b. 13,4 horas.
c. 12,8 horas. Primeiramente, é preciso determinar o valor x correspondente a 19/02/2015. Para isso, perceba
que o mês de janeiro possui 31 dias, assim 19/02/2015 corresponde a x =31 +19 =50, ou seja, quinquagésimo dia do
ano. Substituindo x = 50, tem-se: 
  
  
 
  
Como corresponde a 60º, então . Daí: 
  
 
 
  
Portanto, a duração do dia 19/02/2015 a partir da função D(X) é de 12,8 horas. 
 
d. 12 horas.
e. 14 horas.
Tempo
empregado
25 minutos 34 segundos
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A função D(x) a seguir fornece uma aproximação para a duração do dia em horas em uma determinada cidade do Brasil
(entende-se como duração do dia a diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol):
 
 
em que x representa o dia do ano variando de 1 até 365. Assim, x = 1 representa 1º de janeiro e x = 365 representa o dia 31 de
dezembro. Considere essa função apenas para anos que não são bissextos.
A duração do dia 19/02/2015, ou seja, o tempo em horas em que o sol ficou “aparente” é:
Escolha uma:
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Uma máquina foi comprada por uma empresa pelo valor de R$ 20.000,00. O setor contábil da empresa verificou que a
depreciação dessa máquina é da ordem de 10% ao ano. Assim, a função exponencial que representa o valor da máquina em
milhares de reais em função do tempo T em anos é dada por:
 
Com o intuito de realizar um planejamento, a empresa decide reescrever a função de forma que o tempo T
esteja em função do valor da máquina, pois assim a empresa poderá estimar o tempo necessário para que máquina atinja
determinado valor. A nova formulação é dada por:
Foram apresentados aos gestores dessa empresa cinco gráficos para descrever essa nova formulação, em que o tempo de
depreciação T está em função do valor da máquina V. Entretanto, apenas um desses gráficos foi montado corretamente. Os
gráficos apresentados foram:
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a. Gráfico II.
b. Gráfico I.
c. Gráfico III.
d. Gráfico V. Primeiramente, observe que a função por meio da qual se deseja determinar o gráfico é 
. Isso significa que o gráfico deverá ser decrescente, já que a base é b = 0,9 (menor que 1).
Assim, os gráficos I e II podem ser eliminados. 
  
Além disso, quando V = 18 o tempo correspondente à depreciação é: 
  
 
  
Então, é formada a coordenada (18,1). Assim, o gráfico IV também pode ser eliminado, já que a curva neste gráfico
passa pela coordenada (18, 1,2). 
  
Por fim, quando V = 20 o tempo correspondente à depreciação é: 
  
 
  
Então, é formada a coordenada (20,0). Assim, o gráfico III também pode ser eliminado, haja vista que a curva
neste gráfico não passa por essa coordenada. 
Portanto, o gráfico V pode indicar o comportamento da função  . 
e. Gráfico IV.
O gráfico que pode indicar o comportamento da função , com tempo de depreciação em função do valor
da máquina é:
 
Escolha uma:
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a. 5 horas.
b. 20 horas.
c. 15 horas.
d. 24 horas.
e. 10 horas. Para determinar o período da função deve-se determinar a
constante que se trata do coeficiente da variável que está no argumento da função trigonométrica.
Assim, . 
O período da função seno é dado por , então: 
  
 
  
Portanto, o tempo em horas para a maré completar um ciclo é 10 horas.
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um oceanógrafo, através de várias análises, constatou que em determinada época do ano, em certa cidade litorânea, a altura da
água do mar (pelo efeito da maré) em uma faixa litorânea da cidade é dada pela função
 
 
 
em que x representa o número de horas decorridas a partir da zero hora de determinado dia e h(x) é dado em metros.
O tempo em horas para a maré completar um ciclo nessa faixa litorânea, ou seja, o período da função h(x) é:
Escolha uma:
h (x) = 3 + 2 ⋅ cos( x)π
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a. 48 m/s.
b. 152 m/s.
c. 130 m/s. A fórmula da velocidade pode ser simplificada utilizando a identidade trigonométrica
fundamental da seguinte forma: 
  
 
  
Então, sabendo que e substituindo esse resultado na fórmula, temos: 
  
  
 
 
 
 
  
Como , então 
  
 
  
Assim, tomando segundos, temos: 
 
 
 
  
Portanto, a velocidade da partícula no instante é v = 130 m/s. 
 
d. 70 m/s.
e. 100 m/s.
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Uma partícula no espaço possui uma velocidade que segue o comportamento de uma função periódica. Após vários estudos,
um cientista encontrou uma aproximação para a fórmula da velocidade dessa partícula em função do tempo. A fórmula é dada
por:
 
, com x tal que e .
 
Nesse caso, v representa a velocidade em m/s e x o tempo em segundos. Perceba que essa fórmula ainda pode ser simplificada.
A velocidade da partícula no instante   segundos é:
 
Escolha uma:
x =
π
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a. 6 meses.
b. 8 meses.
c. 10 meses.
d. 4 meses. Inicialmente, é possível montar a expressão que denota a evolução da dívida utilizando o
conceito de função exponencial. Assim, como a dívida aumenta 10,67% ao mês, então o fator de aumento é 1,1067
(100%+10,67% = 1 + 0,1067 = 1,1067). Assim, a função M(x) montante da dívida em função do número de meses x
será: 
  
 
  
O próximo passo é determinar x tal que M(x) = 2.250, ou seja, resolver a equação exponencial 
. Assim: 
  
  
 
  
Pela definição de logaritmo, é equivalente a . Entretanto, esse logaritmo
torna-se difícil de ser determinado de forma direta, já que se trata de valores decimais.  Nesse caso,como o
próprio problema fornece o resultado de três logaritmos na base 10 ( , e 
), então pode-se utilizar a propriedade da mudança de base dos logaritmos. Desta forma: 
  
 
  
  
Então, o valor de x será: 
 
  
 
  
 
  
Isso significa que, após aproximadamente quatro meses, a dívida de R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 10,67%
a.m. passará a ser de R$ 2.250,00.
e. 2 meses.
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um correntista de um banco ultrapassou o limite do cheque especial em R$1.500,00, ou seja, ele contraiu uma dívida
automaticamente com o banco no valor de R$1.500,00 a uma taxa de juros de 10,67% a.m. Adote, 
.
O número de meses para que a dívida inicial de R$ 1.500,00 passe a ser de R$ 2.250,00 é:
 
Escolha uma:
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a. 
b. O problema solicita o tempo em anos necessário para que a cidade tenha 250.000 habitantes. Como
a fórmula do número de habitantes é dada por , deve-se determinar x tal que: 
  
 
  
Simplificando a equação, tem-se: 
  
 
  
Assim, a equação a ser resolvida é . Pela definição de logaritmo, essa equação pode ser representada
por: 
  
 
  
Como o enunciado fornece , é possível transformar na base dez. Então:
  
 
Para determinar o resultado de é necessário encontrar o valor de . Para isso pode ser utilizado o
seguinte artifício: 
  
 
  
 
Assim, . Como , então: 
 
  
Deste modo, como , então . 
  
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A fórmula fornece o número de habitantes em uma cidade em função do tempo x em anos. O
instante x = 0 representa o ano de início do estudo, de forma que o número de habitantes nesse instante (x = 0) é dado por:
 
 
Ou seja, 50.000 habitantes.
Dado que , o tempo em anos para que cidade tenha 250.000 habitantes é:
Escolha uma:
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 Portanto, após anos a cidade terá 250.000 habitantes. 
c. 
d. 
e. 70
a. 124,5 mmHg. Assim, tomando x = 2 na função P(x), tem-se: 
  
 
Como corresponde à º, então . Deste modo, 
 
  
Portanto, o valor da pressão quando x = 2 segundos é 124,5 mmHg.
b. 77,5 mmHg
c. 85,5 mmHg.
d. 128,5 mmHg
e. 133,5 mmHg.
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um médico constatou através de pesquisas clínicas que a pressão P (mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos de um
paciente em função do tempo x em segundos é dada por:
 
O valor para a pressão P(x) em mmHg  quando x = 2 segundos é:
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P (x) = 115 + 19 ⋅ cos( x)π
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a. 650 N
b. 700 N.
c. 725 N.
d. 750 N.
e. 675 N. Para determinar o resultado de , deve-se utilizar os resultados de 
. Assim, pela definição de logaritmo, tem-se: 
  
 
 
  
  
Como , elevando ao cubo ambos os lados, tem-se: 
  
 
  
Da mesma forma, como , elevando ao quadrado ambos os lados, tem-se: 
  
 
  
  
Deste modo, como , então: 
  
 
  
Portanto, por propriedade de potenciação, , ou seja, F = 675 Newtons.
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um aluno de engenharia precisa determinar o valor da força que age sobre uma estrutura metálica. A fórmula para a situação
estudada é dada por:
 
 
Em que a e b são constantes que dependem do tipo de material a ser utilizado na estrutura metálica, e F é dado em Newton.
Sabendo-se que , o valor da força F é:
Escolha uma:
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a. Março e maio.
b. Março e agosto.
c. Janeiro e abril.
d. Janeiro e maio. Para resolver esse problema, deve-se encontrar x tal que N = 1,8 (1800 é equivalente 1,8
mil, já que N está em milhares), ou seja: 
  
 
  
Isolando a relação trigonométrica, tem-se: 
  
 
 
  
Deve-se então determinar x tal que , como sen(30°) = 0,5 e  30° é equivalente a 
radianos, então . Assim, basta tomar x= 1 para obter 
  
 
  
Portanto, x =1 representa uma solução. 
  
A outra solução pode ser obtida a partir do ciclo trigonométrico a seguir: 
 
Perceba que também tem como resultado o valor 0,5. Assim, outro valor possível para x é 5, já que
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O número de pessoas que visitam uma estância turística pode ser modelado pela seguinte função trigonométrica:
 
 
Em que N representa o número de turistas em milhares  e x o mês do ano (x = 1 janeiro, x = 2 fevereiro, x = 3 março e assim
sucessivamente).
Os meses em que a cidade recebe um total de 1800 turistas são:
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em quando x = 5 tem-se: 
  
  
 
Portanto, quando x = 1 ou x = 5 , ou seja, em janeiro e maio, o número de visitantes será 1800. 
 
e. Março e abril.
a. 50 mmHg.
b. 141 mmHg. A função trigonométrica seno tem como valor máximo o número 1. Então, o maior valor para
a pressão dada pela função acontecerá quando .
Assim, 
considerando , o maior valor da pressão será: 
  
 
 
  
Portanto, o valor máximo de pressão será 141 mmHg.
c. 125 mmHg.
d. 16 mmHg.
e. 109 mmHg.
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um médico veterinário constatou através de pesquisas clínicas que a pressão P (mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos de
um certo animal em função do tempo x em segundos é dada por .
O maior valor para a pressão P(x) em mmHg é:
 
Escolha uma:
P (x) = 125 + 16 ⋅ sen( x)π
4