ECONOMIA EMPRESARIAL E MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Economia Empresarial e 
Matemática Financeira
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Cabrera
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Kelciane da Rocha Campos
Nesta unidade, trabalharemos os seguintes tópicos:
• Capitalização Simples;
• Juros Simples;
• Desconto Simples;
• Juros Compostos;
• Análise de taxas.
Fonte: Getty Im
ages
Objetivos
• Analisar, através da capitalização simples e/ou composta, a situação econômica e finan-
ceira da empresa;
• Entender, através das várias fórmulas apresentadas de juros simples/compostos, como o 
mercado financeiro pode ajudar ou atrapalhar o desenvolvimento das empresas.
Caro Aluno(a)!
Normalmente, com a correria do dia a dia, não nos organizamos e deixamos para o úl-
timo momento o acesso ao estudo, o que implicará o não aprofundamento no material 
trabalhado ou, ainda, a perda dos prazos para o lançamento das atividades solicitadas.
Assim, organize seus estudos de maneira que entrem na sua rotina. Por exemplo, você 
poderá escolher um dia ao longo da semana ou um determinado horário todos ou alguns 
dias e determinar como o seu “momento do estudo”.
No material de cada Unidade, há videoaulas e leituras indicadas, assim como sugestões 
de materiais complementares, elementos didáticos que ampliarão sua interpretação e 
auxiliarão o pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de 
discussão, pois estes ajudarão a verificar o quanto você absorveu do conteúdo, além de 
propiciar o contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de 
troca de ideias e aprendizagem.
Bons Estudos!
Matemática Financeira com 
Juros Simples e Compostos
UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Contextualização
Nesta unidade, apresentaremos os estudos sobre Matemática Financeira com Juros 
Simples e Compostos de uma maneira simples e amigável. Esperamos que o conteúdo 
apresentado seja atual e relevante para as empresas.
Além disso, apresentaremos vários artigos e publicações que aparecem em vários 
sites e livros, que procuram apresentar situações de como as empresas utilizam os vários 
processos da Matemática Financeira.
Muitas das empresas sobre as quais vamos discutir são bem familiares e de várias 
áreas do mercado de negócios. Utilizamos exemplos de empresas do mundo todo.
Espero que você perceba a importância da Matemática Financeira com Juros Sim-
ples e Compostos e se interesse e aprenda bastante sobre o tema desta unidade.
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Capitalização Simples
Conceitos financeiros
Desde épocas muito remotas, o homem já tinha a necessidade de se comunicar e 
expressar seus ganhos e prejuízos, através de uma maneira padronizada de valores. 
Esses valores é que deram origem aos conceitos de: Capital, Juros, Taxas e Montante.
• Capital: é o valor (ou dinheiro) que se pode aplicar ou se pedir emprestado em 
uma instituição financeira (banco), isto é, podemos ter um investimento ou um 
empréstimo. Em outras palavras, o Capital (C) ou Valor Presente (VP) ou, em in-
glês, Present Value (PV) é o valor que temos no momento em que realizamos uma 
operação financeira, isto é, o dinheiro que temos para fazer um investimento ou 
aplicação em um banco ou é o dinheiro que recebemos do banco quando estamos 
fazendo um empréstimo.
• Juros: é a remuneração do Capital empregado. Juros (J) é o valor que representa 
o rendimento do investimento que o nosso dinheiro vai gerar ou representa o valor 
que teremos que pagar pelo empréstimo solicitado.
Portanto, se nós investirmos R$ 1.000,00 (um mil reais) numa poupança, após 1 
mês nós vamos ter um valor maior, por exemplo, R$ 1.006,00 (um mil e seis reais), 
cuja diferença de R$ 6,00 (seis reais) representa o valor do Juro que vamos receber. 
Se nós pedimos emprestado em um banco o mesmo valor de R$ 1.000,00 (um mil 
reais), após um mês nós vamos ter que pagar, por exemplo, R$ 1.150,00 (um mil e 
cento e cinquenta reais), cuja diferença de R$ 150,00 (cento e cinquenta reais) vai 
representar o valor do Juro que o banco está cobrando para nos emprestar esse di-
nheiro por um mês.
• Taxa de Juros: é o valor que determina a remuneração de um Capital, apresentado 
como uma porcentagem de um número, num determinado período de tempo (dias, 
meses, bimestres, trimestres, semestres, anos, biênios, triênios, etc.), e é represen-
tada pela letra (i), do inglês interest.
• Montante: representa o valor igual ao Capital inicial acrescido do Rendimento 
(Juro) obtido durante o período de aplicação ou empréstimo. O Montante (M) ou 
Valor Final (VF) ou, em inglês, Future Value (FV) é o valor que recebemos no final 
do investimento ou é o valor que temos que pagar no final do empréstimo.
Assim, podemos concluir que o Montante é igual ao Capital acrescido do Juro e po-
demos escrever a Fórmula Matemática: M = C + J ou FV = PV + J
Observe que esta fórmula matemática vale tanto para Juros Simples, como para Ju-
ros Compostos e que estamos usando as siglas em inglês.
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Note:
• Período (n) é a unidade de tempo utilizada e deve ser a mesma da Taxa de Juros (i) 
para não ocorrer erros quando da aplicação da fórmula matemática acima, isto é:
 » se (n) é dado em Dias → Taxa tem que ser ao dia (i% a. d.);
 » se (n) é dado em Meses → Taxa tem que ser ao mês (i% a. m.);
 » se (n) é dado em Anos → Taxa tem que ser ao ano (i% a. a.).
Nos exemplos desta Unidade de Ensino, vamos utilizar operações com Fração, que é 
um número que define uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou 
um número inteiro. Caso você tenha alguma dificuldade neste ponto, consulte o site 
https://goo.gl/LkubQ6 e/ou assista ao vídeo disponível em: https://youtu.be/IImqH5D29Uo.
Também nos vários exemplos vamos utilizar operações com Porcentagem. Você lembra o 
que é uma porcentagem? Como podemos representá-la? Caso você tenha alguma dificul-
dade neste ponto, consulte o site https://goo.gl/bVNvc2 e/ou assista ao vídeo disponível em: 
https://youtu.be/6mabSuuL8tc.
Nesta Unidade de Ensino, não vamos considerar os efeitos da inflação.
Juros Simples
No item 1.1. Conceitos financeiros, como já visto, podemos escrever:
1ª Fórmula Matemática de Juros Simples: FV = PV + J
[...] no regime de juros simples a taxa de juro incide somente sobre o 
principal, não ocorrendo “juros sobre juros”, mesmo considerando 
que os juros não tenham sido pagos. A taxa é aplicada somente sobre 
o principal (valor inicial). (ASSAF NETO, 2017)
Em outras palavras, no regime de Juros Simples, a Taxa de Juros (i) incide sobre o 
Capital inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação (que é 
o período representado pela letra n).
Portanto, o valor dos Juros (J) acumulados é igual ao Valor Presente (PV) multiplica-
do pela Taxa de Juros (i) e multiplicado pelo período (n), isto é:
Juros (J) = Valor Presente (PV) . Taxa de Juros (i) . período (n)
Então, podemos escrever:
2ª Fórmula Matemática para Juros Simples: J = PV . i . n
Exemplo 1: João conseguiu guardar um Capital de R$ 10.000,00 e decidiu fazer 
uma aplicação no seu banco a uma Taxa de Juros Simples de 1% ao mês, durante 6 
meses. Qual o valor final da aplicação?
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Dados:
• Valor Presente = R$ 10.000,00;
• i = 1% a.m. = 1 / 100 = 0,01 (ao utilizarmos uma fórmula matemática, sempre 
temos que dividir o valor da Taxa de Juros por 100, porque ela é sempre dada em 
porcentagem);
• n = 6 meses (como o período da aplicação está em meses e a taxa de juros é ao 
mês, então não temos que transformar nada, mas se estivessem em tempos diferen-
tes teríamos que transformar um deles, sendo que é mais fácil sempre transformar 
o período de aplicação n);
• FV = ?
Solução:
Vamos trabalhar com o valor de Juros Acumulados e vamos construir uma Tabela onde:
• n = 0 representa o momento em que João fez a aplicação no banco;
• n =1 representa o final do primeiro mês, onde temos o valor de Juros de R$ 100,00, o 
valor de Juros acumulados de R$ 100,00 e o Valor Futuro de R$ 10.100,00 desse mês.
• n = 2 representa o final do segundo mês, onde temos para esse segundo mês o 
valor de Juros de R$ 100,00, o valor de Juros acumulados de R$ 200,00 e o Valor 
Futuro de R$ 10.200,00 desse mês.
• n = 3 representa o final do terceiro mês, onde temos o valor de Juros de R$ 100,00, 
o valor de Juros acumulados de R$ 300,00 e o Valor Futuro de R$ 10.300,00.
• n = 4 representa o final do quarto mês, onde temos o valor de Juros de R$ 100,00, 
o valor de Juros acumulados de R$ 400,00 e o Valor Futuro de R$ 10.400,00.
• n = 5 representa o final do quinto mês, onde temos o valor de Juros de R$ 100,00, 
o valor de Juros acumulados de R$ 500,00 e o Valor Futuro de R$ 10.500,00.
• n = 6 representa o final do sexto mês, onde temos o valor de Juros de R$ 100,00, 
o valor de Juros acumulados de R$ 600,00 e o Valor Futuro final de R$ 10.600,00.
Assim, temos a seguinte Tabela:
Tabela 1
n PV J (1%) Juros acumulados FV = PV + J
0 10.000 0 0 10.000
1 10.000 100 100 10.100
2 10.000 100 200 10.200
3 10.000 100 300 10.300
4 10.000 100 400 10.400
5 10.000 100 500 10.500
6 10.000 100 600 10.600
n = número de meses (período); PV = Valor Presente (10.000); J = Juros (100 por mês); FV = Valor Futuro.
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
 Portanto, o Valor Futuro (FV) final de R$ 10.600,00 é igual ao Valor Presente (VP) 
de R$10.000,00 acrescido do valor dos Juros (J) acumulados de R$ 600,00 ou, 
matematicamente, podemos escrever:
FV = PV + J = 10.000 + 600 = 10.600 = R$ 10.600,00
 Mas o valor dos Juros acumulados de R$ 600,00 é igual ao Valor Presente (PV) de 
R$10.000,00 multiplicado pela Taxa de Juros (i) de 1% e multiplicado pelo período 
(n) de 6 meses ou matematicamente:
J = PV . i . n = 10.000 x 0,01 x 6 = 600 = R$ 600,00
Como FV = PV + J, logo: FV = PV + PV . i . n = PV . (1 + i . n)
e assim podemos escrever:
3ª Fórmula Matemática para Juros Simples: FV = PV . (1 + i . n)
Utilização da calculadora HP 12C ou equivalente para juros simples
A Calculadora Financeira HP 12C calcula para Juros Simples apenas o Valor dos 
Juros Acumulados (J) e o Valor do Montante (M) ou Valor Final (FV). Para esta Unidade 
de Ensino, vamos considerar que a Calculadora Financeira HP 12C, para Juros Simples, 
não calcula a Taxa (i), o Prazo (n) e o Valor do Capital (C) ou Valor Presente (PV).
A Taxa deve ser informada na forma percentual ao ano e o Prazo sempre em dias.
Sequência, para os dados do Exemplo 1:
[ CLX ] 2 ou 3 vezes → para limpar a calculadora.
[ f ] 2 → (2 casas decimais após a vírgula porque estamos trabalhando com 
dinheiro)
[ f ] [ FIN ]
10000 [CHS] [PV]
12 [ i ]
180 [ n ]
[ f ] [INT(i)] 600,00 (valor dos Juros Acumulados)
[ + ] 10.600,00 (valor do Montante ou Valor Final)
Fórmulas para Juros Simples
a) FV = PV + J
b) J = PV . i . n
c) FV = PV (1 + i . n)
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Note:
• A Taxa de Juros (i) é uma Porcentagem e tem que ser transformada em um Número 
Decimal (dividir por 100) quando aplicada a uma fórmula matemática (no exemplo, 
1% = 1 / 100 = 0,01).
• O Calendário Civil é um calendário com 365 dias ou 366 dias, dependendo se no 
ano o mês de fevereiro tem 28 dias ou 29 dias, e o Calendário Comercial tem to-
dos os meses de 30 dias e o ano com 360 dias. VAMOS TRABALHAR COM O 
CALENDÁRIO COMERCIAL.
Variações das fórmulas de juros simples
a) FV = PV + J ou PV = FV – J ou J = FV – PV
b) J PV i n PV
J
i n
i J
PV n
n J
PV i
= ⋅ ⋅ =
⋅
=
⋅
=
⋅
 ou ou ou 
c) FV PV i n PV FV
i n
i
FV
PV
n
= + ⋅( ) =
+ ⋅( )
=
−






1
1
1
 ou ou ouu n
FV
PV
i
=
−





1
Exemplo 2: Quanto rendeu a aplicação de R$ 100.000,00 do Sr. Antônio em um 
banco a Juros Simples de 2% ao mês, por 120 dias? Quanto o Sr. Antônio resgatou?
Dados:
• Valor Presente = R$ 100.000,00;
• i = 2% a.m. = 2 / 100 = 0,02;
• n = 120 dias (como o período da aplicação está em dias e a taxa de juros ao mês, 
temos que transformar o total de dias em meses): n = 120 dias = 120 / 30 = 4 meses
• J = ? e FV = ?
Solução:
Vamos utilizar a 2ª fórmula de Juros Simples para o cálculo dos Juros J:
J = PV . i . n = 100.000 . 0,02 . 4 = 8.000 portanto: J = R$ 8.000,00
Agora vamos utilizar a 1ª fórmula de Juros Simples para o cálculo de FV:
FV = PV + J = 100.000 + 8.000 = 108.000, portanto FV = R$ 108.000,00
Se utilizássemos a 3ª fórmula, teríamos:
FV = PV (1 + i . n) = 100.000 (1 + 0,02 . 4) = 100.000 (1,08) = 108.000, que 
é o mesmo valor obtido anteriormente e, assim, podemos utilizar uma fórmula ou 
a outra.
Utilização da Calculadora HP 12C: Taxa ao ano e Prazo em dias
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Sequência:
[ f ] [ FIN ]
100000 [CHS] [PV]
24 [ i ]
120 [ n ]
[ f] [INT] 8.000,00 (valor dos Juros Acumulados)
[ + ] 108.000,00 (valor do Montante ou Valor Final)
Resposta:
Rendeu a aplicação (Juros) = R$ 8.000,00
Resgatou (FV) = R$ 108.000,00
Desconto Simples
Desconto ou Operação de Desconto é quando se conhece o Valor Futuro de um título 
(Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor de Resgate) e se quer determinar o seu Valor 
Atual (Valor Presente).
Quando uma empresa vende um produto para um cliente qualquer, essa operação 
nem sempre é “à vista”, mas esse valor vai ser pago daqui a 30 ou 60 ou 90 ou 120 dias 
(a prazo). Então o cliente assina um documento (duplicata ou nota promissória ou letra 
ou cheque) e se compromete a pagar esse valor na data estipulada. Mas a empresa tem 
compromissos (necessita pagar funcionários, fornecedores, impostos etc.) e não pode 
esperar pelo prazo acordado.
Os títulos de crédito usados nas operações comerciais, com objetivo de facilitar a 
compra e a venda de mercadorias são: Letra de câmbio; Nota promissória; Cheque; e 
Duplicata (GONSALVES, 2015).
Então, a empresa vai a um banco com esse documento (Valor Futuro) e solicita um 
Desconto, pedindo para que o banco libere hoje um Valor Descontado (Valor Presente) 
para a empresa poder honrar seus compromissos.
O Valor do Documento é o Valor Futuro (FV) que o banco vai receber daqui a X dias 
e o Valor Descontado é o Valor Presente (PV) que a empresa recebe hoje. A diferença 
entre o Valor Futuro (FV) e o Valor Presente (PV) é o Valor de Desconto (D) que o banco 
cobrou para realizar essa operação ou, matematicamente:
D = FV – PV onde:
D = Valor Descontado
FV = Valor Futuro (Valor de Face)
PV = Valor Presente (Valor creditado ou pago para a empresa)
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A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, no-
tadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo (ASSAF 
NETO, 2017).
Segundo ASSAF NETO (2017):
O desconto bancário ou comercial ou por fora, [...] simplificadamente 
por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, propor-
ciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações 
[...] o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando 
custos adicionais ao tomador de recursos.
Em outras palavras, o Desconto Simples (desconto bancário ou desconto comercial) 
envolve cálculos lineares, sendo que a Taxa de Juros (i) no período (n) incide sobre o 
Valor Futuro (FV) e não sobre o Valor Presente.
O Desconto simples é obtido multiplicando-se o Valor de Resgate ou Valor Futuro 
(FV) do título pela Taxa de Desconto (id) e pelo prazo (n) do vencimento, ou:
D = FV . id . n onde:
D = Valor do Desconto
FV = Valor Futuro ou Valor de Resgate ou Valor de Face
id = Taxa de Desconto
n = prazo ou período envolvido
Utilizando-se a fórmula matemática D = FV – PV podemos escrever:
PV = FV – D = FV – FV . id . n Portanto:
PV = FV (1 – id . n)
Fórmulas para desconto simples
a) D = FV – PV
b) D = FV . id . n
c) PV = FV (1 – id . n)
Variações das fórmulas de desconto simples
a) D = FV – PV ou FV = PV + Dou PV = FV – D
b) D FV id n FV D
id n
id D
FV n
n D
FV id
= ⋅ ⋅ =
⋅
=
⋅
=
⋅
 ou ou ou 
c) PV FV id n FV PV
id n
id
PV n
FV
n
PV
= − ⋅( ) =
− ⋅
=
−( )
=
−( )
1
1
1 1
 ou ou ou 
/ / iid
FV
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Exemplo 3: Um título de R$ 10.000,00, com vencimento para daqui a 150 dias, 
foi descontado a uma Taxa de Desconto de 3,0% ao mês. Calcular o Valor Pago e o 
Valor Descontado.
Dados:
• Valor de Resgate ou Valor Futuro (FV) = R$ 10.000,00
• id = 3,0% ao mês = 0,03
• n = 150 dias = 150 / 30 = 5 meses (o período da aplicação estava em dias e tive-
mos que transformar em meses).
• Valor Pago ou Valor Presente (PV) = ?
• Valor Descontado (D) = ?
Solução:
a) Para o cálculo do Valor Descontado, vamos utilizar a fórmula:
D = FV . id . n = 10.000 . 0,03 . 5 = 1.500 = R$ 1.500,00.
b) Para o cálculo do Valor Pago ou Valor Presente, vamos utilizar a fórmula:
PV = FV – D = 10.000 – 1.500 = 8.500 = R$ 8.500,00.
Note que poderíamos ter utilizado a 3ª fórmula:
PV = FV (1 – id . n) = 10.000 (1 – 0,03 . 5) = 10.000 (1 – 0,15) = 10.000 (0,85) =
PV = 8.500 = R$ 8.500,00.
Utilização da Calculadora HP 12C: Taxa id ao ano e Prazo em dias.
Vamos considerar para esta Unidade que a Calculadora Financeira HP 12C calcula 
para Desconto bancário Simples apenas o Valor do Desconto (D) e o Valor líquido 
(Valor Descontado). Para isso, precisamos informar o Valor do Título (valor bruto), 
que na HP 12C, neste caso, é o registrado como PV.
Portanto, para esta Unidade, vamos considerar que a HP 12C não calcula a 
Taxa (id), o Prazo (n) e o Valor bruto a ser descontado.
Sequência:
[ f ] [ FIN ]
10000 [CHS] [PV]
36 [ i ]
150 [ n ]
[ f] [INT(i)] 1.500,00 (Valor do Desconto)
[ – ] 8.500,00 (Valor Pago ou Valor Presente)
14
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Resposta:
Valor Pago ou Valor Presente (PV) = R$ 8.500,00
Valor Descontado (D) = R$ 1.500,00
Juros Compostos
Segundo ASSAF NETO (2017):
O regime de juros compostos considera que os juros formados em 
cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital 
mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render 
juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído 
do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros 
formados em períodos anteriores), e assim por diante. No regime de 
juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre 
juros periodicamente.
Em outras palavras, os Juros obtidos a cada novo período são incorporados ao Ca-
pital, formando um Montante que passará a participar da geração de Juros no período 
seguinte. Dessa forma, não apenas o Capital inicial rende Juros, mas eles são devidos 
a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados ou juros 
sobre juros.
Como foi visto no item 1.1. Conceitos financeiros, temos os mesmos conceitos de 
Capital, Montante e período, ou seja: PV = Valor Presente = C = Capital inicial; FV = 
Valor Futuro = M = Montante; n = Números de períodos.
Mas a Taxa de Juros (i) incide sobre o Montante (PV + J) do período anterior.
Além disso, como foi visto nesse item 1.1, podemos escrever:
1ª Fórmula Matemática de Juros Compostos:
FV = PV + J
Exemplo 4: Paulo tinha um Capital de R$ 100.000,00 que foi aplicado à Taxa de 
1% ao mês, em Juros Compostos, por 3 meses, num banco. Qual o valor final da 
aplicação?
Dados:
• Valor Presente = R$ 100.000,00;
• i = 1% a.m. = 1 / 100 = 0,01;
• n = 3 meses (como o período da aplicação está em meses e a taxa de juros é ao 
mês, então não temos que transformar nada);
• FV = ?
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Solução:
Vamos trabalhar com o valor de Juros Acumulados e vamos construir uma Tabela onde 
os Juros são cobrados a cada período de capitalização, que, neste caso, é mensal.
• n = 0 representa que o Capital ainda não rendeu juros, pois é nesse momento que 
a aplicação se inicia, isto é, no momento em que Paulo fez a aplicação no banco.
• n = 1 representa o final do primeiro mês para o Capital inicial de R$ 100.000,00, 
o valor de Juros de R$ 1.000,00, o valor de Juros acumulados de R$ 1.000,00 e o 
Valor Futuro de R$ 101.000,00 desse mês.
• n = 2 representa o final do segundo mês para o Capital de R$ 101.000,00, onde 
temos para esse segundo mês o valor de Juros de R$ 1.010,00, o valor de Juros 
acumulados de R$ 2.010,00 e o Valor Futuro de R$ 102.010,00 desse mês.
• n = 3 representa o final do terceiro mês para o Capital de R$ 102.010,00, onde 
 temos o valor de Juros de R$ 1.020,10, o valor de Juros acumulados de R$ 3.030,10 
e o Valor Futuro de R$ 103.030,10.
Assim, podemos construir a seguinte Tabela:
Tabela 2
n PV J(1%) Juros Acumulados FV
0 100.000 0 0 100.000
1 100.000 1.000 1.000 101.000
2 101.000 1.010 2.010 102.010
3 102.010 1.020,10 3.030,10 103.030,10
Observe:
• A Remuneração (Juros) de cada período é obtida pela multiplicação do Montante 
(FV) do período anterior pela Taxa de Juros.
• A fórmula do Montante para o período 1 é FV1 = PV + J mas para esse período 
1 temos J = PV. i logo FV1 = PV + PV. i ou colocando-se PV em evidência temos: 
FV1 = PV . (1 + i)
• A fórmula do Montante para o período 2 é FV2 = [FV1] . (1 + i) = [PV. (1 + i)] . 
(1 + i) logo FV2 = PV. (1 + i)²
• A fórmula do Montante para o período 3 é FV3 = [FV2] . (1 + i) = [PV. (1 + i)²] . 
(1 + i). Logo, FV3 = PV. (1 + i)³ e, assim, podemos escrever a 2ª fórmula mate-
mática para Juros Compostos para “n” períodos, que será:
FV = PV (1 + i)n
Note que essa fórmula representa uma potência, com expoente n.
Caso você tenha alguma dificuldade neste ponto, consulte o site https://goo.gl/YiJzG7 
e/ou assista ao vídeo disponível em: https://youtu.be/exZ94gYdqSE.
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Vamos aplicar essa fórmula no Exemplo 4:
FV= 100.000 x (1 + 0,01)³ = 100.000 x (1,01)³ = 100.000 x 1,0303 = 103.030,00.
Note que o resultado de uma fórmula pode resultar num valor aproximado.
Utilização da calculadora HP 12C ou 
equivalente para juros compostos
Para o cálculo de Juros Compostos com a Calculadora Financeira HP 12C, é indis-
pensável verificar se no visor da Calculadora está aparecendo a letra C (juros compos-
tos). A letra C pode ser colocada ou retirada do visor pressionando-se as teclas STO 
e EEX.
Sequência, para os dados do Exemplo 4:
100000 [CHS] [PV]
3 [ n ]
1 [ i ]
[FV] 103.030,10
Fórmulas para juros compostos
a) FV = PV + J
b) FV = PV (1 + i)n
Variações das fórmulas de juros compostos
a) A fórmula para o “Capital ou Valor Presente” será:
PV FV
i n
=
+( )1
b) A fórmula para a “Taxa de Juros Compostos” será:
i FV
PV
n
=





 −
1
1
c) A fórmula para o “período n” será:
n
Ln FV PV
Ln i
n
Log FV PV
Log i
=
( )
+( )
=
( )
+( )
/ /
1 1
 ou 
Note que:
• Podemos representar Loge
x (Logaritmo de base e, onde e = 2,718, que é o 
 número de Euler ou Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural) por Ln x;
17
UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
• Podemos representar Log10
x (Logaritmo base 10 ou logaritmo Decimal) por Log x;
• Propriedade dos Logaritmos: Ln x2 = 2 . Ln x ou Log x2 = 2 . Log x.
Exemplo 5: Uma empresa pagou R$ 200.000,00 no vencimento de um empréstimo 
de Juros Compostos contratado por 180 dias, à Taxa de 5 % a.m. Qual foi o valor 
desse empréstimo?
Dados:
• Valor Futuro = FV = 200.000
• i = 5 % a. m.
• n = 180 dias = 6 meses (porque a taxa de juros foi dada ao mês)
• Valor Presente = PV = ?
Solução 1: Vamos aplicar a Fórmula do Valor Presente
PV FV
i n
=
+( )1
PV =
+( )
=
( )
=
( )
=
200000
1 0 05
200000
1 05
200000
1 3401
149242 59
6 6
, , ,
, (valor aproximado)
Solução 2: Vamos utilizar a Calculadora HP 12C (letra C no visor da Calcula-
dora através das teclas STO e EEX)
Sequência:
200000 [CHS] [FV]
6 [ n ]
5 [ i ]
[PV] 149243,08
Resposta: Valor do Empréstimo = R$ 149.243,08 (o valor do resultado com o 
programa da calculadora HP12C é sempremais correto que o da fórmula).
Exemplo 6: Uma empresa fez um empréstimo de R$  100.000,00 e pagou 
R$ 200.000,00 após 1 ano de empréstimo. Qual a Taxa mensal de Juros Compostos 
contratada no banco?
Dados:
• PV = 100.000
• FV = 200.000
• n = 1 ano = 12 meses (porque está sendo pedida uma taxa de juros mensal)
• i = ? % a. m.
18
19
Solução 1: Vamos aplicar a Fórmula da Taxa de Juros Compostos
i = (FV / PV)1/n – 1 = (200.000 / 100.000)1/12 – 1 = (2)0,0833 – 1 = 1,0594 – 1
i = 0,0594 = 5,94 % a m
Solução 2: Vamos utilizar a Calculadora HP 12C (letra C no visor da Calcula-
dora através das teclas STO e EEX)
Sequência:
200000 [CHS] [FV]
100000 [PV]
12 [ n ]
[ i ] 5,9463 = 5,95 (valor aproximado)
Resposta: Taxa de Juros Compostos = 5,95 % a.m. (o valor do resultado com o 
programa da calculadora HP12C é sempre mais correto que o da fórmula).
Exemplo 7: Qual será a quantidade de meses de que João necessitará para pagar 
um empréstimo de R$ 100.000,00 realizado num regime de Juros Compostos, a 
uma taxa de 3% ao mês, sabendo-se que o valor final a ser pago por João será de 
R$ 142.576,10?
Dados:
• PV = 100.000
• FV = 142.576,10
• i = 3% a. m. = 0,03
• n = ? em meses (que coincide com a taxa de juros, que é mensal)
Solução 1: Vamos aplicar a Fórmula da Taxa de Juros Compostos
n
Ln FV PV
Ln i
Ln
Ln
Ln
=
( )
+( )
=
( )
+( )
=
/ . , / .
,
,
1
142 576 19 100 000
1 0 03
1 42557619
1 03
0 354706
0 029559
11 9873261
( )
( )
=
= =
Ln
n
,
,
,
, (valor aprroximado) = 12 meses
Poderíamos aplicar a fórmula n
Log FV PV
Log i
=
( )
+( )
/
1
 e o resultado de n seria o mesmo.
Solução 2: Vamos utilizar a Calculadora HP 12C (letra C no visor da Calcula-
dora através das teclas STO e EEX)
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Sequência:
100000 [CHS] [PV]
142.576,10 [FV]
3 [ i ]
[ n ] 12
Resposta: n = 12 meses
Análise de taxas
Muitas vezes, no momento da Tomada da Decisão, ao realizar uma operação finan-
ceira nos deparamos com Taxas em “tempos diferentes” e essas diferenças, se não 
forem reajustadas, podem causar conclusões errôneas.
Taxa nominal (in)
É uma Taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização 
de juros.
A Taxa Nominal é muito utilizada no mercado financeiro, na formalização dos 
 negócios, mas não é utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder ao ganho/
custo financeiro do negócio e geralmente aparece em contratos financeiros.
Na Taxa Nominal, emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade 
de tempo dos períodos de capitalização, como, por exemplo: 35% ao ano com capitaliza-
ção mensal; 16% ao ano com capitalização semestral; 8% ao mês com capitalização diária.
Lembrete: Bimestre = 2 meses; Trimestre = 3 meses; Semestre = 6 meses;
Biênio = 2 anos; Triênio = 3 anos.
Taxa efetiva (ie)
É a Taxa cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros e é 
a Taxa que representa o efetivo ganho/custo financeiro do negócio, como, por exemplo: 
40% ao ano com capitalização anual; 18% ao semestre com apuração de juros semes-
trais; 4% ao mês com capitalização mensal.
Taxa efetiva a partir de uma taxa nominal
Obtém-se a Taxa Efetiva para o período de capitalização de juros a partir de uma 
Taxa Nominal, aplicando-se o conceito de Taxas Proporcionais (Juros Simples), através 
da seguinte fórmula:
i i
Ke
n=
20
21
onde:
ie = Taxa Efetiva para o período de capitalização
in = Taxa Nominal
k = número de capitalizações contidas no período da Taxa Nominal
Exemplo 8: Calcular a Taxa Efetiva a partir de uma Taxa Nominal de 36% ao ano, 
com capitalização mensal:
Dados:
• Taxa Nominal = in = 36% a.a.
• Número de capitalizações contidas no período da Taxa Nominal = k = 12 (porque 
representa o número de capitalizações mensais contidas no período da Taxa Nomi-
nal, que é de 1 ano ou 12 meses).
• ie = ?
Solução:
Aplicando-se a fórmula da Taxa Efetiva, temos:
i i
Ke
n= = =
36
12
3% ao mês
Resposta: Taxa Efetiva ie = 3 % a. m.
Taxa equivalente
Uma vez definida a Taxa Efetiva, que é Taxa referente a um período que coincide com 
o período da capitalização dos juros envolvidos, podemos no regime de Juros Com-
postos definir a Taxa Equivalente (iq) da operação financeira, que é uma Taxa que é 
equivalente a uma Taxa Efetiva, mas num período que se quer determinar, e é definida 
através da seguinte fórmula adaptada:
Taxa que eu quero taxa que eu tenho
prazo que eu quero
p= +( )1 rrazo que eu tenho −








1
ou substituindo-se temos
i iq t
n
n
q
t= +( ) −







1 1
iq = Taxa Equivalente para o período que queremos
it = Taxa Efetiva que temos (que é a taxa ie do período de capitalização)
nq = período que queremos
nt = período que temos
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Observação: para Juros Compostos, a partir da definição da Taxa Nominal, da Taxa 
Efetiva e da Taxa Equivalente, não há mais necessidade de se preocupar se a unidade 
de tempo utilizada para o período (n) é a mesma da Taxa de Juros (i), ou seja, agora 
podemos adaptar o período (n) à Taxa de Juros (i) ou a Taxa de Juros (i) ao período (n).
Exemplo 9: A partir da Taxa Nominal de 36% ao ano, cuja Taxa Efetiva é de 3% ao 
mês, determinar a Taxa Equivalente anual.
Dados:
• in = 36% a. a.
• ie = 3% a. m.
• iq = ?
Solução:
Vamos usar a Fórmula adaptada de Taxa Equivalente:
i iq t
n
n
q
t= +( ) −







1 1
iq = Taxa Equivalente para o período que queremos
it = Taxa Efetiva que temos = ie = 3 % a.m. = 0,03
nq = período que queremos = 1 ano
nt = período que temos = 1 mês
1 + it = 1 + 0,03 = 1,03
nq / nt = 1 ano / 1 mês = 12 meses / 1 mês = 12 (sempre transformamos a unidade 
maior em tantas vezes a unidade menor)
iq = [1,03¹² – 1] = 1,4258 – 1 = 0,4258 = 42,58%
Taxa equivalente iq = 42,58% a.a. (é um valor aproximado)
Assim, temos:
Taxa Nominal = 36,00% a.a.
Taxa Efetiva  = 3,00% a. m.
Taxa Equivalente  = 42,58% a.a.
Resposta: Taxa Equivalente anual = 42,58% a.a.
Exemplo 10: A partir da Taxa Nominal de 54% a.a. com capitalização mensal, 
 determine a Taxa Equivalente anual.
22
23
Dados:
• in = 54% a.a. com capitalização mensal
• ie = ?
• iq = ?
Solução:
Como 1 ano = 12 meses, isto implica que k = 12, logo:
i ie n= = =K
54
12
4 5, % ao mês
ie = 4,5 % a. m.
Vamos usar a Fórmula adaptada de Taxa Equivalente:
i iq t
n
n
q
t= +( ) −







1 1
iq = Taxa Equivalente para o período que queremos
it = Taxa Efetiva que temos = ie = 4,5 % a.m.
nq = período que queremos = 1 ano
nt = período que temos = 1 mês
(1 + it) = (1 + 0,045) = (1,045)
nq
nt
ano
mês
meses
mês
Substituindo se temos= = = =
1
1
12
1
12
1
12 - :
iq = [(1,045)¹² – 1] = 1,6959 – 1 = 0,6959 = 69,59 % ao ano (valor aproximado).
iq = Taxa Equivalente = 69,59% a.a.
Assim, temos:
Taxa Nominal = 54,00% a.a. com capitalização mensal
Taxa Efetiva = 4,50% a.m.
Taxa Equivalente = 69,59% a.a.
Resposta: Taxa Equivalente anual = 69,59% a.a.
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UNIDADE 
Matemática Financeira com Juros Simples e Compostos
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Matemática financeira
ALMEIDA, J. T. S. de. Matemática financeira. 1ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
(ebook)
Matemática financeira com conceitos econômicos e cálculo diferencial: utilização da HP-12C e 
planilha Excel
FEIJÓ , R. L. C. Matemática financeira com conceitos econômicos e cálculo dife-
rencial: utilização da HP-12C e planilha Excel. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2015. (ebook)
Matemática financeira
Hazzan, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 7ª ed. São Paulo: Saraiva, 2014. 
(ebook)
Matemática financeira descomplicada para os cursos de economia, administração e 
 contabilidade
OLIVEIRA, G. F. de. Matemática financeira descomplicada: para os cursos de econo-
mia, administração e contabilidade. São Paulo: Atlas, 2013. (ebook)
24
25
ReferênciasASSAF NETO, A. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 
2017. (ebook)
CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada: método algébrico, 
 Hp-12c, Microsoft Excel. 4ª ed. São Paulo: CENGAGE Learning, 2015. (ebook)
GONSALVES, R. A. Matemática financeira: guia para investidores no mercado finan-
ceiro e de capitais. São Paulo: Atlas, 2015. (ebook)
25