Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - Avaliação II

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Acadêmico:
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
Avaliação: Avaliação II - Individual 
Prova:
Nota da Prova: 7,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada
1. Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o
vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos
mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a
alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1),
no sentido de A para B:
 a) u = (0,4,4).
 b) u = (1,4,4).
 c) u = (1,4,2).
 d) u = (1,4,-2).
2. Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar
com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação
damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular,
o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - F.
 b) V - F - F - F.
 c) F - F - F - V.
 d) F - F - V - F.
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3. No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se
relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse
conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades.
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - V - V.
 b) F - F - V - V.
 c) F - V - F - V.
 d) V - F - F - F.
4. Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço
vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um
escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é
sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial
entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (-10,-1,-14).
( ) u x v = (-1,-14,-10).
( ) u x v = (1,14,10).
( ) u x v = (10,-1,14).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - F - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - V - F - F.
 d) F - F - V - F.
5. No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores.
Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na
transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos
o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente
na Engenharia. Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a
seguir:
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções II e III estão corretas.
 b) As opções II e IV estão corretas.
 c) As opções I e IV estão corretas.
 d) As opções I e III estão corretas.
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6. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio
característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que
é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como
treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos,
dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de
aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de
pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma
dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a
sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - V - F - F.
 c) F - F - V - F.
 d) V - V - F - V.
7. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples
visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores
representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos
ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções I, III e IV estão corretas.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) As opções III e V estão corretas.
 d) As opções I e IV estão corretas.
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8. A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de
conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções
pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que
apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - V - F.
 b) F - V - V - F - V.
 c) V - V - F - F - V.
 d) V - F - V - V - F.
9. Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A
respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções I e II estão corretas.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) As opções III e IV estão corretas.
 d) As opções II e III estão corretas.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
10.Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do
problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste
operador:
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 a) [(0,1,0);(1,0,-1)].
 b) [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
 c) [(0,-1,0);(1,0,-1)].
 d) [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
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Prova finalizada com 7 acertos e 3 questões erradas.
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