Resumão Geometria Analítica

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Gustavo Meira - EQ • UEM Geometria Analítica
Geometria Analítica
Vetores
Segmentos Orientados
É um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é a
origem e B é a extremidade do segmento.
● Um segmento (A, A) é chamado de nulo
● (A, B) ≠ (B, A)
Dependem de um sentido, direção e comprimento.
Equipolência
A relação de equipolência é uma relação de equivalência!
Os segmentos orientados são equipolentes se forem ambos
nulos ou se tiverem mesma direção, sentido e comprimento
● Propriedade reflexiva➜ (A, B) ~ (A, B), ou seja, todo
segmento orientado é equipolente à ele mesmo
● Propriedade simétrica➜ (A, B) ~ (C, D) ⇒ (C, D) ~ (A, B)
● Propriedade transitiva➜ (A, B) ~ (C, D) e (C, D) ~ (E, F) ⇒
(A, B) ~ (E, F)
● (A, B) ~ (C, D) ⇒ (A, C) ~ (B, D)
A classe de equipolência do segmento (A, B) é o conjunto
de todos os segmentos orientados equipolentes a (A, B), tal
que (A, B) é chamado de representante da classe. Devido a
propriedade reflexiva, o próprio segmento (A, B) é um
membro dessa classe.
Vetores
É uma classe de equipolência de segmentos orientados.
Um vetor que tem como representantes (A, B) é escrito como
AB (com uma seta em cima). São usualmente escritos como
letras minúsculas com uma setinha em cima (u, v, w...). O
conjunto de todos os vetores é indicado por 𝕍³.
AB = {(X, Y): (X, Y) ~ (A, B)} ➜ obs: vetores não podem ser
equipolentes, somente segmentos orientados.
● Para um ponto P escolhido arbitrariamente e um vetor u,
sempre existirá um ponto B que torne PB = u
● Vetor nulo é aquele que tem como representante um
segmento orientado igual a 0. Indicado por 0 com uma
flecha em cima! 0 = (A, A)
● -u é o vetor oposto ao vetor u, ou seja, se u = (A, B) então
-u = (B, A) tal que -AB = BA
● -(-u) = u
● u = -u ⇒ u = 0
● Indica-se u paralelo à v como: u//v
● Um vetor nulo é paralelo a qualquer vetor
Norma
Norma (comprimento ou módulo) de um vetor é o
comprimento de qualquer um dos seus representantes. É
indicada por ||u||.
● Um vetor com norma 1 é conhecido como vetor unitário
● ||u|| ≥ 0
● ||-u|| = ||u||
Soma de Vetores
Soma
Sendo (A, B) o segmento de u e (C, D) o segmento de v, a
soma de u com v (u + v) é o vetor (A, C).
● AB + BC = AC
● Se os vetores u e v não forem paralelos, é possível "fechar
um triângulo" e achar o vetor resultante ou usar a "regra
do paralelogramo".
● A soma de u com o oposto de v é chamado de diferença
(u - v = u + (-v))
● Propriedade associativa➜ (u + v) + w = u + (v + w)
● Propriedade comutativa➜ u + v = v + u
● Elemento neutro➜ u + 0 = u
● Elemento oposto➜ u + (-u) = 0
Produto de Número Real por Vetor
Multiplicação
O produto entre vetores e números reais é uma operação
externa em 𝕍³. (v = vetor) e ( = número real).α
● Se = 0 ou v = 0, então v = 0α α
● v//vα
● v e v são de mesmo sentido se > 0 e de sentidoα α
contrário se < 0α
● || v|| = | | ||v||α α
● O vetor é chamado de versor de v, tal que gera um
𝑣
 ||𝑣||
vetor de mesma direção e sentido porém unitário
● A propriedade comutativa, associativa e distributiva
também vale para a multiplicação
● (- )v = - v / (-v) = -( v) / (- )(-v) = vα α α α α α
● Dois vetores não-nulos u e v são paralelos se, e somente
se, existe uma escala λ tal que u = λv (v = u/λ)
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Soma de Ponto com Vetor
Soma de Ponto com Vetor
Operação híbrida que permite obter um ponto como
resultado (Geometria afim).
Dados um ponto P e um vetor u, o ponto Q que define o
segmento (P, Q) é um representante de u chamado de soma
de P com u (P + u = Q / PQ = u)
● P + u = Q, logo P + PQ = Q
● A propriedade associativa é verídica nesse caso
● Cancelamento de ponto➜ A + u = A + v ⇒ u = v
● Cancelamento de vetor➜ A + u = B + u ⇒ A = B
● (A - u) + u = A
Ângulos entre Vetores
Ângulos entre Vetores
Sejam u e v dois vetores não nulos, a medida angular entre
u e v é definida por θ do ângulo (PÔQ) sendo (P, O) e (O, Q)
segmentos dos vetores. θ = ang(u, v)
● Vetores não nulos u e v são ortogonais quando formam
um ângulo de 90° entre si (u ⊥ v). O vetor nulo é
ortogonal a qualquer vetor
Dependência Linear
Dependência Linear e Independência Linear
Sendo n um número natural não-nulo, o símbolo (v1, v2, ...
vn) indica a sequência, ou n-upla ordenada, desses vetores
● (u1, u2, ... un) = (v1, v2, ... vn) ⇔ u1, = v1, u2, = v2, un, = vn.
Se n = 2, trata-se de um par ordenado. Se n = 3, trata-se
de uma tripla ordenada.
A seguir tem os conceitos de linearmente dependente
(LD) e linearmente independente (LI) para cada caso:
● Uma sequência (v) é LD se v = 0 e LI se v ≠ 0
● Um par ordenado (u, v) é LD se u//v e LI se não são
paralelos
● Uma tripla ordenada (u, v, w) é LD se são coplanares e LI
quando um dos vetores sai do plano em que os outros
dois estão contidos
● Se n ≥ 4, qualquer sequência de vetores é LD
● Se u = a1v1 + a2v2 + … + anvn , dizemos que u é a
combinação linear de v1 , v2 , vn .
● Os escalares an são chamados de coeficientes da
combinação linear.
Um exemplo é o vetor nulo que é gerado pelos vetores v1 ,
v2 ... vn tal que 0 = 0v1 + 0v2 + … + 0vn . Esta expressão é
chamada de trivial.
A seguir, uma série de proposições sobre LD e LI:
● Se (u, v) é LI, então (u, v, w) é LD se, e somente se, w é
gerado por u, v
● (u, v, w) é LD se, e somente se, um dos vetores é gerado
pelos outros dois
● Se (u, v, w) é LI, então qualquer vetor x é a combinação
linear de u, v, w
● Uma sequência (v1, v2, ... vn), com n ≥ 2, é LD se, e
somente se, algum vetor da sequência é gerado pelos
demais.
● Uma sequência (v1, v2, ... vn), em que 1 ≤ n ≤ 3 é LI se, e
somente se, a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 admite apenas a
solução nula: a1 = a2 = an = 0
● Se (v1, v2, ... vn) é LI, então, para cada vetor gerado por v1,
v2, ... vn, os coeficientes são univocamente determinados,
ou seja:
a1v1 + a2v2 + … + anvn = b1v1 + b2v2 + … + bnvn⇒ … an = bn
● Uma sequência de vetores (v1, v2, ... vn) 1 ≤ n ≤ 3 é LD se,
e somente se, a equação a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 admite
uma solução não-nula, isto é, existem escalares a1, a2, an
tais que a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0
Separação de Ponto e Reta
Considerando um plano π qualquer e dois pontos P e Q
nele que não pertencem a uma reta r. Dizemos que r separa
P e Q quando r contém um único ponto X interior a PQ. r não
separa P e Q quando P e Q pertencem ao mesmo semiplano
π de origem r.
Base
Base
● Base➜ uma tripla
ordenada linearmente
independente E = (e1,
e2, e3) em 𝕍³
● Sendo E = (e1, e2, e3)
uma base, podemos dizer que todo vetor u é gerado por E
e por escalares a1, a2, a3 tal que u = a1e1 + a2e2 + a3e3
● Cada escalar dessa tripla é chamado de coordenada de u
em relação à base E
● a1 é a primeira coordenada, a2 a segunda e a3 a terceira
● u = (a1, a2, a3)E significa que u = a1e1 + a2e2 + a3e3
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A seguir, uma série de proposições sobre base:
● (a1, a2, a3)E + (b1, b2, b3)E = (a1 + b1, a2 + b2, a3 +b3)E
● λ(a1, a2, a3)E = (λa1, λa2, λa3)E
● Os vetores u = (a1, b1, c1)E e v = (a2, b2, c2)E são LD se, e
somente se, a1, b1, c1 e a2, b2, c2 são proporcionais ou os
três determinantes são nulos
a1 b1 a1 c1 b1 c1
a2 b2 a2 c2 b2 c2
● Os vetores u = (a1, b1, c1)E, v = (a2, b2, c2)E e w = (a3, b3, c3)E
são LD se, e somente se,
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = 0
a3 b3 c3
Ortonormalidade
Uma base é ortonormal se e1, e2, e3 são unitários e dois a
dois ortogonais (e1⊥ e2, e2⊥ e3, e1⊥ e3).
● Seja (e1, e2, e3) uma base ortonormal. Se u = αe1 + βe2 +
γe3, então:
||𝑢|| = α2 + β2 + γ2
Essa fórmula não pode ser usada para bases não
ortonormais.
Base Canônica
A base canônica é definida por E = (i, j, k)
● i = (1, 0, 0)
● j = (0, 1, 0)
● k = (0, 0, 1)
Mudança de Base
Dados os vetores u = (x1, x2, x3)E e v = (y1, y2, y3)F e
suponhamos que aij sejam números conhecidos. Podemos
escrever então:
u = x1e1, x2e2, x3e3 = (x1, x2, x3)E
u = y1f1, y2f2, y3f3 = (y1, y2, y3)F
Colocando e como combinação linear, temos que:
u = y1(a11e1 + a21e2 + a31e3) + y2(a12e1 + a22e2 + a32e3) + y3(...
u = (y1a11 +y2 a21 + y3a31)e1 + (y1a12 +y2 a22+ y3a32)e2 + (...)e3
Logo,
x1 = y1a11 +y2a21 + y3a31
x2 = y1a12 +y2a22 + y3a32
x3 = y1a13 +y2a23 + y3a33
Essas relações podem ser escritas como matrizes:
x1 a11 a12 a13 y1
x2 = a21 a22 a23 × y2
x3 E a31 a32 a33 F y3
Essa matriz 3 3 ( ) é chamada de matriz de mudança× 𝑀
𝐸𝐹
de base, de E para F.
Toda matriz de mudança de base possui matriz inversa.
Multiplicando todos os lados pela inversa obtemos o
resultado desejado:
x1 y1
𝑀
𝐸𝐹
−1 x2 = y2
x3 E y3 F
A igualdade fornece um bom método para se calcular (y1,
y2, y3)F conhecendo-se (x1, x2, x3)E. Escreve-se a matriz ,𝑀𝐸𝐹
calcula-se sua inversa e efetua-se a multiplicação de
matrizes indicada no primeiro membro.
Mudança de Base Direta
Sendo B = (u, v, w) e C = (r, s, t), se quisermos transformar
um vetor z = (x1, x2, x3)B em um vetor z na base C, devemos:
● Determinamos que z = (a, b, c)C com essas respectivas
incógnitas
● Igualamos o vetor na base inicial (z)B com o vetor z sem
valores adotados (z)C multiplicado pelos vetores da base
C (supondo que você já saiba os valores de r, s e t de
acordo com a base B):
z = (x1, x2, x3)B = (ar, bs, ct)B
z = a(r1, r2, r3)B + b(s1, s2, s3)B + c(t1, t2, t3)B
z = (ar1 + bs1 + ct1, ar2 + bs2 + ct2, ar3 + bs3 + ct3)B
No último processo, foi realizada a multiplicação de
matrizes de uma forma mais direta.
Por um sistema, comparamos os valores para chegar ao
resultado final:
x1 = ar1 + bs1 + ct1
x2 = ar2 + bs2 + ct2
x3 = ar3 + bs3 + ct3
z = (a, b, c)C
Corolário
● A matriz mudança de base de E para F é a matriz inversa
da matriz mudança de base de F para E.
Produto Escalar
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Produto Escalar
Sejam u (OP) e v (OQ) vetores não-nulos. A medida
angular entre u e v é o ângulo θ (PÔQ). O θ só pode estar
entre o intervalo de 0 ≤ θ ≤ 180, em grau, e 0 ≤ θ ≤ π, em
radiano.
O produto escalar entre os vetores u e v, indicado por u・v é
um número real tal que:
● Se u ou v é nulo, u・v = 0
● Se não são nulo , então:
𝑢 · 𝑣 = ||𝑢|| ||𝑣|| 𝑐𝑜𝑠θ 𝑐𝑜𝑠θ= 𝑢·𝑣||𝑢|| ||𝑣||
||𝑢|| = 𝑢 · 𝑢 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 · 𝑣 = 0
Se u・v > 0, o ângulo é agudo, se é obtuso se u・v < 0.
Se u・v = 0, eles são perpendiculares
● Em uma base ortonormal, u (x1, x2, x3) e v (y1, y2, y3), o
produto escalar u・v = x1y1 + x2y2 + x3y3
● Quaisquer que sejam os vetores u, v e w com λ
pertencente aos reais:
𝑢 · (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 · 𝑣 + 𝑢 · 𝑢 · (λ𝑣) = (λ𝑢) · 𝑣 = λ(𝑢
𝑢 · 𝑣 = 𝑣 · 𝑢 𝑠𝑒 𝑢 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑢 · 𝑢 > 0
Algumas outras propriedades:
● Bilinearidade do produto escalar ➜
𝑢 · (𝑎𝑣 + β𝑤) = 𝑎𝑢𝑣 + β𝑢𝑤
● ||𝑢 + 𝑣||2 = ||𝑢||2 + 2𝑢 · 𝑣 + ||𝑣||2
● Relação de Euler➜ AB・CD + BC・AD + CA・BD = 0
● Desigualdade de Schwartz➜ |𝑢 · 𝑣| ≤ ||𝑢|| ||𝑣||
● Propriedade triangular➜ ||𝑢 + 𝑣|| ≤ ||𝑢|| + ||𝑣||
Projeção Ortogonal
Dados dois vetores não-nulos, a projeção ortogonal de v
sobre u (p) é indicado por projuv, onde p // u e (v - p) ⊥ u
𝑝𝑟𝑜
𝑢
𝑣 = 𝑢·𝑣
||𝑢||2
𝑢 ||𝑝𝑟𝑜𝑗
𝑢
𝑣|| = 𝑢·𝑣||𝑢||
Orientação Espacial
Um triedro é positivo quando, ao fixarmos o terceiro vetor,
a rotação do primeiro vetor em direção ao segundo for em
sentido anti-horário:
Exemplo de base positiva
Exemplo de base negativa
Produto Vetorial
Produto Vetorial
Fixada a orientação 𝕍³, o produto vetorial entre u e v (𝑢 ∧ 𝑣
):
● Se (u, v) é LD, então: u ^ v = 0
● Se (u, v) é LI e θ a medida angular, então:
○ ||u ^ v|| = ||u|| ||v|| senθ
○ u ^ v é ortogonal a u e v
○ (u, v, u ^ v) é uma base positiva
○ Existem dois produtos
vetoriais em 𝕍³
O produto escalar entre
dois vetore é um número
real, já o produto vetorial
entre dois vetores é um vetor!
Seja B = (i, j, k) uma base positiva. Se u = (a1, b1, c1) e v =
(a2, b2, c2), então:
i j k
u ^ v = a1 b1 c1
a2 b2 c2
𝑢 ∧ 𝑣 =− 𝑣 ∧ 𝑢 𝑢 ∧ (λ𝑣) = (λ𝑢) ∧ 𝑣 = λ(𝑢 ∧ 𝑣)
𝑢 ∧ (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 ∧ 𝑣 + 𝑢 ∧ 𝑤
(𝑢 ∧ 𝑣) ∧ 𝑤 =− (𝑣 · 𝑤)𝑢 + (𝑢 · 𝑤)𝑣
𝑢 ∧ (𝑣 ∧ 𝑤) = (𝑢 · 𝑤)𝑣 − (𝑢 · 𝑣)𝑤
Produto Misto
Produto Misto
O produto misto entre u, v e w, nessa ordem, é definido
pelo número real u^v⋅w = (u^v)⋅w = [u, v, w]
● (u^v)⋅w ➜ ||u|| ||v|| sen(ang uv) ||w|| cos(ang [u^v]w)
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● Em relação a uma base ortonormal B = (i, j, k), sejam u =
(a1, b1, c1)B, v = (a2, b2, c2)B e w = (a3, b3, c3)B, então a
determinante definirá o produto misto entre eles
a1 b1 c1
[u, v, w] = a2 b2 c2
a3 b3 c3
● Uma tripla ordenada é, portanto, LD se [u, v, w] for igual a
zero
○ [u, v, w] = 0, então não é base
○ [u, v, w] > 0, então é base positiva
○ [u, v, w] < 0, então é base negativa
● O produto misto é trilinear para quaisquer valores de α e
β
○ [αu1 + βu2, v, w] = α[u1, v, w] + β[u2, v, w]
○ [u, αv1 + βv2, w] = α[u, v1, w] + β[u, v2, w]
○ [u, v, αw1 + βw2] = α[u, v, w1] + β[u, v, w2]
● O produto misto é alternado
○ [u, v, w] = -[v, u, w] = [v, w, u] = -[u, w, v] = [w, u, v] =
-[w, v, u]
● O resultado não se altera somarmos a um dos fatores
uma combinação linear dos outros
○ [u, v, w] = [u, v + αu + βw, w]
● Permutar o símbolo ^ e ⋅ não altera o resultado ➜
u^v⋅w = u⋅v^w
Sistema de Coordenadas
Definição
Relação de um ponto com um sistema E3.
● Seja O um ponto e E = (e1, e2, e3) uma base. O par
ordenado ∑ = (O, E) é o sistema de coordenadas (em E3)
de origem O e base E
● O eixo x é denominado eixo das abcissas; O y é o eixo das
ordenadas; O z é o eixo das cotas
● Um plano coordenado é definido por Oxy se for o plano de
x e y, por exemplo
Proposições
Considerando um sistema (O, E), sejam A = (x1, y1, z1), B =
(x2, y2, z2), u⃗ = (a, b, c) e λ um número real
● AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
● A + λu⃗ = (x1 + λa, y1 + λb, z2 + λc)
● 𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥
1
− 𝑥
2
)2 + (𝑦
1
− 𝑦
2
)2 + 𝑧
1
− 𝑧
2
)2
● Se o determinante de A, B e C (x3, y3, z3), for nulo então
eles são colineares
x1 y1 z1
x2 y2 z2 = 0
x3 y3 z3
Equação de Reta e Plano
Equações de Reta
● Qualquer vetor não-nulo paralelo a uma reta chama-se
vetor diretor dessa reta
● Sendo A um ponto da reta r e u⃗ seu vetor diretor. Um
ponto X pertence a r se (AX, u⃗) é LD / AX = λu⃗
● Equação vetorial da reta r:
r: 𝑋 = 𝐴 + λ𝑢
Onde r é o lugar geométrico dos pontos X.
● Sendo X = (x, y, z), A = (x0, y0, z0), e u⃗ = (a, b, c):
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c)
● Sistema de equações paramétricas da reta
x = x0 + λ a
y = y0 + λ b
z = z0 + λ c
A u⃗
● Sistema de equações da reta r na forma simétrica
𝑥−𝑥
0
𝑎 =
𝑦−𝑦
0
𝑏 =
𝑧−𝑧
0
𝑐
Equações de Plano
Um par de vetores (u⃗, v⃗) LI determina a direção de um
plano
● Seja A um ponto no plano π e (u, v) um par de vetores de
π. X pertence a π se, e somente se, (u, v, AX) é LI
● Equação vetorial do plano π
π: (λ, μ ∈ ℝ)𝑋 = 𝐴 + λ𝑢 + µ𝑣
● Fixando um sistema ∑, e v = (m, n, p), temos o sistema de
equações paramétricas do plano π
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c) + μ(m, n, p)
x = x0 + λ a + μ m
y = y0 + λ b + μ n
z = z0 + λ c + μ p
A u⃗ v⃗
● Equação geral do plano π. n = (a, b, c) [normal]
x - x0 y - y0 z - z0
r s t = 0
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m n p
s t
= a -
r t
= b +
r s
= c
p n m p m n
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
● Sejam ax + by + cz + d = 0 uma equação geral de um
plano π e u = (m, n, p). Então, u//π se, e somente se:
am + bn + cp = 0
● π é paralelo ou contêm um dos eixos coordenados se o
coeficiente da variável correspondente a esse eixo for nulo
● π é paralelo ou contêm dois dos eixos coordenados se os
coeficientes das variáveis correspondentes a esse eixo
forem nulos
Posição Relativa de Retas e Planos
Entre Retas
considerando duas retas (r e s), existem 4 possibilidades de
posições entre elas em E3:
● Reversas➜ somente se (r, s, AB) for LI, onde A e B
pertencem a r e s respectivamente e (r, s) são LI
● Coplanares➜ somente se (r, s, AB) são LD
● Paralelas➜ somente se (r, s) são LD
○ Paralelas distintas➜ A não pertence a s
○ Paralelas coincidentes➜ A pertence a s
● Concorrentes➜ somente se (r, s) são LI e (r, s, AB) LD
Entre Reta e Plano
Para uma reta r = (m, n, p) e um plano π: ax + by+ cz + d =
0, com vetores diretores (u, v) existem 3 possibilidades:
● Transversais➜ a intersecção entre r e π é um único ponto
○ (u, v, r) são LI
○ am + bn + cp ≠ 0
● Paralelos➜ intersecção é vazia
○ (u, v, r) são LD e os pontos de r não estão contidos em
π
○ am + bn + cp = 0 com pontos diferentes
● Contido➜ r ⋂ π = r
○ (u, v, r) são LD com pontos iguais
○ am + bn + cp = 0 com pontos pertencentes
Entre Planos
Existem 3 possibilidades para planos. Considerando π': a'x
+ b'y + c'z + d' = 0 e π'': a''x + b''y + c''z + d'' = 0, eles podem
ser:
● Transversais➜ a intersecção é uma reta
○ a', b', c' e a'', b'', c'' não são proporcionais
● Paralelos coincidentes➜ π' e π'' são iguais
○ a', b', c', d' e a'', b'', c'', d'' são proporcionais
● Paralelos distintos➜ os vetores diretores são
proporcionais mas os pontos não
○ a', b', c' e a'', b'', c'' são proporcionais mas d' e d'' não
Feixe de Planos
Considerando uma reta r e um plano π, temos:
● Feixe de planos paralelos a π➜ dado um plano π: ax +
by + cz + d = 0, a equação
ax + by + cz + ⍺ = 0
descreve, quando ⍺ percorre R, o feixe de planos
paralelos
a π
● Feixe de planos que contêm uma reta r➜ Seja a reta r
uma reta de equações planares:
a'x + b'y + c'z + d' = 0
a''x + b''y + c''z + d'' = 0
O feixe de planos que contêm r é:
⍺(a'x + b'y + c'z + d') + β(a''x + b''y + c''z + d'') = 0
Sob a condição de que ⍺ e β não sejam simultaneamente
nulos
Medida Angular
Está fixado um sistema ortogonal com base positiva. Se
não houver menções explícitas, a medida angular será em
radianos.
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Entre Retas
A medida angular entre duas retas r e s é definida por
ang(r, s) tal que ela considera a
menor medida do ângulo [0,
π/2].
● Considerando φ = ang(r, s),
podemos analisar o sinal de cosφ
cosφ ≥ 0 → cosφ = cosθ
cosφ ≤ 0 → cosφ = -cosθ
Concluímos portanto, com base
no produto vetorial entre r e s que:
𝑐𝑜𝑠θ = |𝑟·𝑠|||𝑟|| ||𝑠||
Entre Reta e Plano
Considerando uma reta r e
um plano π, a medida
angular entre r e π, denotada
por ang(r, π), se baseia no
produto escalar entre a
normal n do plano e da reta,
tal que cosφ = senθ
Assim temos que:
𝑠𝑒𝑛θ = |𝑛·𝑟|||𝑛|| ||𝑟||
Entre Planos
A medida angular entre os
planos π' e π'' é indicada por
ang(π', π'') e é a medida
angular entre as retas r' e r''
perpendiculares aos planos.
𝑐𝑜𝑠θ = |𝑛'·𝑛''|||𝑛'|| ||𝑛''||
Semi-Espaço
Existe o semi-espaço S' e o semi-espaço S''. Entre eles
existe um plano divisório, não pertencente a nenhum desses
dois conjuntos, π: ax + by + cz +d = 0.
Fixando um ponto P ∈ π, uma reta normal n à π e um
ponto X = (x, y,z), temos que:
● Se n⋅PX > 0 ➜ ângulo agudo
● Se n⋅PX < 0 ➜ ângulo obtuso
Em uma análise qualitativa, ax + by + cz + d > 0 pertence a
um semi-plano e ax + by + cz + d < 0 pertence a outro.
Distância
Está fixado (O, E) com E = (i, j, k) uma base ortonormal
positiva.
Entre Pontos
● Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2). A distância d(A, B)
entre A e B é ||BA||, ou seja,
𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥
1
− 𝑥
2
)2 + (𝑦
1
− 𝑦
2
)2 + (𝑧
1
− 𝑧
2
)2
Entre Ponto e Reta
● A d(P, r) é a menor
distância entre os dois que
se pode obter entre P e Q,
considerando Q um ponto
de r que garante essa
distância mínima.
Considerando AB um vetor
diretor de r, podemos escrever que:
∴𝑑(𝑃, 𝑟) = ||𝐴𝑃∧𝑟||||𝑟|| 𝑑(𝑃, 𝑟) =
||𝐴𝑃∧𝐴𝐵||
||𝐴𝐵||
Entre Ponto e Plano
● É a menor distância a ser
obtida d(P, π). Basta
escolher um ponto A de π
e um vetor normal n à π, e
então calcular a projeção
ortogonal de AP sobre n
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||𝑝𝑟𝑜𝑗
𝑛
𝐴𝑃|| = 𝑑(𝑃, π) = |𝐴𝑃·𝑛|||𝑛||
𝑑(𝑃, π) =
| 𝑎𝑥
0
 + 𝑏𝑦
0
 + 𝑐𝑧
0
 + 𝑑 |
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Entre Retas
● A distância entre r e s é calculada a partir da menor
distância de algum ponto que pertencem a elas.
○ Reversas➜ considerando um único plano π que
contém r e é paralelo a s e um ponto B pertencente a s,
podemos dizer que d(r, s) = d(B, π). Escolhendo um
ponto A qualquer de r e tendo r^s como a normal de π,
temos que:
𝑑(𝑟, 𝑠) = |𝐴𝐵·𝑟∧𝑠|||𝑟∧𝑠||
○ Concorrentes➜ d(r, s) = 0
○ Paralelas➜ d(r, s) deve ser calculado a partir de um
ponto escolhido em algum lugar da reta
Entre Reta e Plano
● Menor distância entre pontos de r e π. Escolhemos um
vetor diretor de r e um vetor normal ao plano π, e
calculamos o produto escalar (r⋅n) entre eles
○ Transversal➜ r⋅n ≠ 0 ∴
d(r, π) = 0
○ Contido➜ r⋅n = 0 e
d(r, π) = 0
○ Paralelos➜ r⋅n = 0 e
d(r, π) é a distância de
um ponto qualquer de r
ao plano
Entre Planos
● É a menor distância entre pontos de π' e π''.
Considerando as normais desses planos, temos que fazer
uma análise da dependência linear
○ Transversais➜ (n', n'') é LI∴ d(π', π'')= 0
○ Paralelos➜ (n', n'') é LD∴ d(π', π'') é a distância de
um ponto qualquer de um deles ao outro
Cônicas
Introdução
Sendo duas retas concorrentes em O e não
perpendiculares. Ao girarmos em 360º a reta g
em torno de e, obtemos uma superfície cônica
circular infinita. g é chamada de geratriz e e é o
eixo da superfície.
Parábola
● É o conjunto de todos os
pontos de um plano
equidistantes de um ponto
fixo e de uma reta desse
plano ∴ d(P, F) = d(P, P')
● Foco \ é o ponto F
● Diretriz \ é a reta d
● Eixo \ é a reta e que passa por F e é perpendicular a d
● Vértice \ é o ponto V de intersecção da parábola com seu
eixo
● Equação reduzida
○ Parábola no eixo y
Considerando P(x, y) um
ponto qualquer da
parábola de foco F(0, P/2)
e diretriz de equação y =
-P/2, obtemos uma
equação:
𝑥2 = 2𝑝𝑦
Onde p ≠ 0 é o parâmetro da parábola e, se p > 0, a
parábola tem concavidade voltada para cima, e se p < 0, ela
tem concavidade voltada para baixo.
○ Parábola no eixo x
Agora considerando F(P/2, 0), obtemos a equação reduzida:
𝑦2 = 2𝑝𝑥
Cujas propriedades são as mesmas que as da parábola em
y.
● Translação de eixos \ considerando xOy,
podemos mudar a localização do vértice
da parábola adorando (x = x-h) e (y = y-k)
○ Eixo y \ (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘)
○ Eixo x \ (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)
● Equações paramétricas \ assumimos a
variável ao quadrado igual a t e isolamos
a variável para obter a paramétrica, por exemplo, no eixo y
e x, respectivamente, temos que:
𝑥 = 𝑡 𝑥 = 12𝑝 𝑡
2
,𝑦 = 12𝑝 𝑡
2 𝑡 ∈ ℝ ,𝑦 = 𝑡 𝑡 ∈ ℝ 
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Elipse
É o conjunto de todos os pontos de
um plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos desse plano é
constante∴ d(P, F') + d(P, F") = 2a
● Focos \ são os pontos F' e F"
● Distância focal \ é a distância 2c
entre os focos
● Centro \ é o ponto médio C do
segmento F'F"
● Eixo maior \ é o segmento
A'A" de comprimento 2a que
contém ambos os focos
● Eixo menor \ é o segmento
B'B" de comprimento 2b e
perpendicular a A'A" no seu
ponto médio
● Vértices \ são os pontos A',
A", B' e B"
● Excentricidade \ é o achatamento da elipse (e) definido
por e = c / a
O triângulo B"CF" assume a propriedade a2 = b2 + c2.
● Equação reduzida
○ Eixo maior sobre o x
𝑥2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
= 1
○ Eixo maior sobre o y
𝑥2
𝑏2
+ 𝑦
2
𝑎2
= 1
○ Translação de eixos maiores sobre x e y,
respectivamente
&(𝑥 − ℎ)
2
𝑎2
+ (𝑦 − 𝑘)
2
𝑏2
= 1 (𝑦 − 𝑘)
2
𝑎2
+ (𝑥 − ℎ)
2
𝑏2
= 1
● Equação paramétrica \ com eixos maiores sobre x e y,
respectivamente, obtemos:
𝑥 = 𝑎 · 𝑐𝑜𝑠 θ 𝑥 = 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠 θ
𝑦 = 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛 θ 𝑦 = 𝑎 · 𝑠𝑒𝑛 θ
Definidas para 0 ≤ θ ≤ 2π.
Hipérbole
É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença
das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos
desse plano é constante. |d(P, F') - d(P, F")| = 2a.
● Focos \ são os pontos F' e F"
● Distância focal \ é a distância 2c entre os focos
● Centro \ é o ponto médio C do segmento F'F"
● Vértices \ são os pontos A' e A"
● Eixo real ou transversal \ é o segmento A'A" de
comprimento 2a
● Eixo imaginário ou não transversal \ é o segmento B'B"
de comprimento 2b, em que B'B" ⊥ A'A" em C
● Assíntotas \ retas r e s
● Excentricidade \ (e) em que e = c / a que define a abertura
da hipérbole● Hipérbole equilátera \ a = b, tal que as assíntotas serão
perpendiculares
c2 = b2 + a2
● Equação reduzida
○ Eixo real sobre x
𝑥2
𝑎2
− 𝑦
2
𝑏2
= 1
○ Eixo real sobre y
𝑦2
𝑎2
− 𝑥
2
𝑏2
= 1
○ Centro deslocado (paralelo a x)
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
− (𝑦 − 𝑘)
2
𝑏2
= 1
● Equações paramétricas \ com eixos reais sobre x e y,
respectivamente, obtemos:
𝑥 = ℎ + 𝑎 · 𝑠𝑒𝑐 θ 𝑥 = ℎ + 𝑏 · 𝑡𝑔 θ
𝑦 = 𝑘 + 𝑏 · 𝑡𝑔 θ 𝑦 = 𝑘 + 𝑎 · 𝑠𝑒𝑐 θ
Superfícies Quadráticas
Superfícies de Revolução
É a superfície gerada por uma curva plana (geratriz) que
gira 360º em torno de uma reta no plano da curva.
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É definida por:
𝑥2 + 𝑧2 = 2𝑦
● Eixo x \ substitui (y ou z) por 𝑦2 + 𝑧2
● Eixo y \ substitui (x ou z) por 𝑥2 + 𝑧2
● Eixo z \ substitui (x ou y) por 𝑥2 + 𝑦2
Elipsóides
Consideramos uma elipse
bidimensional. Quando
giramos em torno de um dos
eixos, ela gera uma elipsóide.
𝑥2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
+ 𝑧
2
𝑐2
= 1
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+ (𝑦 − 𝑘)
2
𝑏2
+ (𝑧 − 𝑙)
2
𝑐2
= 1
Hiperbolóides de Uma Folha
A rotação de uma hipérbole é feita
com a intenção de criar-se uma única
superfície, tal que na equação o termo
com o sinal negativo é o eixo em que
ela gira em torno. Considerando uma
hipérbole rotacionando em torno do eixo
Oz, temos:
𝑥2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
− 𝑧
2
𝑐2
= 1
Porém esse negativo pode estar em qualquer um dos
outros termos mantendo o padrão 2 positivos e 1 negativo.
Hiperbolóides de Duas Folhas
Nesse hiperbolóide, há a
formação de duas superfícies
diferentes com a rotação sendo
em torno do eixo real ao qual ela
pertence. Nesse caso, ela gira em
torno do eixo positivo da equação:
− 𝑥
2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
− 𝑧
2
𝑐2
= 1
A rotação sempre acontece no eixo com sinal positivo,
obtendo assim 2 negativos e 1 positivo.
Tipos Sinais Eixo
Elipsóides + + + ...
Hiperbólicas 1 folha
- + + x
+ - + y
+ + - z
Hiperbólicas 2 folhas
+ - - x
- + - y
- - + z
Parabolóide Elíptico
Esse parabolóide consiste na rotação
de uma parábola em torno de um eixo.
Esse eixo é aquele que, na equação,
aparece sem nenhum quadrado e pode
ser isolado. Por exemplo, a equação de
uma parabolóide elíptica que gira em
torno do eixo z é:
𝑧 = 𝑥
2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
Parabolóide Hiperbólico
Nesse parabolóide, a superfície é
formada por planos que, quando
cruzados com eles, geram hipérboles.
Na equação:
𝑧 = − 𝑥
2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
Temos que a parábola tem a concavidade voltada para cima
em z e que a superfície é voltada para baixo em x.
Hiperbolóides de Duas Folhas
Uma reta geratriz g, quando
rotacionada, gera uma superfície cônica
circular. Uma superfície cônica elíptica
que gira em torno do eixo z, por exemplo,
pode ser denotada por:
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𝑧2 = 𝑥
2
𝑎2
+ 𝑦
2
𝑏2
Tal que o termo elevado ao quadrado e isolado representa
o eixo sobre o qual ela gira em torno.
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