UFERSA - Estatística - [Apostila]

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
CAMPUS MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS 
 
 
 
 
Estatística 
(Notas de Aula) 
 
 
 Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha 
 andre.rocha@ufersa.edu.br 
 
 
 
Pau dos Ferros 
 
RN 
 
mailto:andre.rocha@ufersa.edu.br
André Luiz Sena da Rocha 
 
 
 
Tem graduação em Estatística pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN); 
Graduação em Logística pela Universidade Estácio de Sá (UNESA); Graduação em Engenharia de 
Produção (UNESA); Especialização em Engenharia de Segurança do Trabalho pela Universidade 
Cruzeiro do Sul (UNICSUL), Mestrado em Engenharia de Produção (UFRN) e cursa o doutorado em 
Engenharia de Petróleo (UFRN). Têm experiência em Estatística, Controle e gestão da qualidade e 
de processos, Logística, Segurança do Trabalho, Planejamento e controle da produção, Engenharia 
econômica. Atua principalmente na área de Controle Estatístico de Processos off-line e em tempo 
real (on-line), através de cadeias de Markov com uso de critérios econômicos. Foi professor do 
departamento de Estatística na UFRN entre 2011 e 2012, ministrando disciplinas de Estatística 
Aplicada aos cursos de: Engenharia, Matemática, Química, Física, Estatística, Bacharelado em 
Ciências e Tecnologia, Medicina, Biomedicina, Ciências Biológicas, Educação Física, 
Administração, Turismo, Biblioteconomia, Pedagogia e Gestão de Políticas Públicas. Também é 
autor do livro de Estatística utilizado no Ensino à Distância do Curso de Licenciatura em 
Matemática pela Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). Atualmente é professor do 
curso de Engenharia de Produção do Campus Multidisciplinar de Angicos (UFERSA), no entanto, 
no período de 2013 a 2019, foi professor do Campus Multidisciplinar de Pau dos Ferros (UFERSA), 
ministrando a disciplina de Estatística. 
 ÍNDICE 
UNIDADE I - ESTATÍSTICA DESCRITIVA ........................................ 7 
1.1 - NATUREZA E CAMPO DA ESTATÍSTICA ........................................... 7 
1.2 - O MÉTODO ESTATÍSTICO ................................................................ 8 
1.3 – POPULAÇÃO E AMOSTRA ................................................................ 9 
1.4 – CÁLCULO DO TAMANHO DE AMOSTRA ........................................ 11 
1.5 – TIPOS DE AMOSTRAGENS .............................................................. 17 
1.6 – TIPOS DE VARIÁVEIS...................................................................... 19 
1.7 - REPRESENTAÇÃO TABULAR .......................................................... 21 
1.7.1 - Distribuição de Frequências Simples ..................................................................................................................... 24 
1.7.2 - Distribuição de Frequências por classes ................................................................................................................ 26 
 
1.8 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ................................................. 32 
1.8.1 - Gráfico de Setores ........................................................................................................................................ 32 
1.8.2 - Gráfico de Colunas ...................................................................................................................................... 33 
1.8.3 - Gráfico de Barras ......................................................................................................................................... 34 
1.9 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ........................................................ 35 
1.9.1 - Média Aritmética ......................................................................................................................................... 35 
1.9.2 – Mediana ....................................................................................................................................................... 36 
1.9.3 - Moda ............................................................................................................................................................ 39 
1.9.4 – Separatrizes ................................................................................................................................................. 41 
1.10 - MEDIDAS DE DISPERSÃO ............................................................. 45 
1.10.1 – Variância ................................................................................................................................................... 46 
1.10.2 - Desvio Padrão ............................................................................................................................................ 48 
1.10.3 - Coeficiente de Variação ............................................................................................................................. 50 
1.11 - ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS .......................................... 52 
1.11.1 - Esquema dos 5-Números ........................................................................................................................... 52 
1.11.2 – BOX-PLOT ............................................................................................................................................... 53 
LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................... 65 
 
 
UNIDADE II - PROBABILIDADE ....................................................... 81 
2.1 - EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS ....................................................... 82 
2.2 - ESPAÇO AMOSTRAL ....................................................................... 82 
2.3 - EVENTOS ......................................................................................... 83 
2.4 - RESULTADOS EQUIPROVÁVEIS ..................................................... 86 
1.5 – DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE ................................................. 87 
2.6 - PROBABILIDADE CONDICIONAL .................................................... 91 
2.7 - EVENTOS INDEPENDENTES ............................................................ 93 
2.8 – VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL .................................. 95 
2.9 - MODELOS DE PROBABILIDADE DISCRETOS ................................. 96 
2.9.1 – Ensaios de Bernoulli .................................................................................................................................... 96 
2.9.2 - Distribuição Binomial .................................................................................................................................. 97 
2.9.3 - Distribuição de Poisson .............................................................................................................................. 102 
2.10 - PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS ................................. 104 
2.10.1 - Distribuição Exponencial ......................................................................................................................... 104 
2.10.3 – Distribuição Normal ................................................................................................................................ 107 
2.10.4 - Distribuição t de Student .......................................................................................................................... 114 
LISTA DE EXERCÍCIOS ............................................................................... 117 
 
 
UNIDADE III - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ................................ 126 
3.1 - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL .......................................................... 128 
3.1.1 – Distribuição Amostral da Média ............................................................................................................... 128 
3.1.2 – DistribuiçãoAmostral da Proporção ......................................................................................................... 129 
3.2 - ESTIMAÇÃO POR PONTO E INTERVALO ...................................... 130 
3.2.1 - Estimação Pontual ...................................................................................................................................... 130 
3.2.2 - Estimação Intervalar .................................................................................................................................. 130 
3.2.2.1- Intervalo de confiança para a média ................................................................................................................. 132 
3.2.2.2 - Intervalo de confiança para a proporção .......................................................................................................... 136 
3.3 - TESTES DE HIPÓTESES ................................................................. 137 
3.3.1 – Inferência para uma população .................................................................................................................. 140 
3.3.1.1 Teste para a Média quando σ2 é conhecido ........................................................................................................ 140 
3.3.1.2 - Teste para a Média quando σ2 é desconhecido ................................................................................................ 144 
3.3.1.3 - Teste para Proporções ...................................................................................................................................... 148 
3.3.1 – Inferência para duas populações ................................................................................................................ 150 
3.3.1.1 Teste para a diferença entre médias ................................................................................................................... 150 
3.3.1.2 - Teste para diferença entre proporções ............................................................................................................. 155 
3.3.4 - Valor-P ...................................................................................................................................................... 159 
LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................. 162 
 
 
UNIDADE IV - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
SIMPLES ................................................................................................ 169 
4.1 - COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ................................................. 172 
4.1.2 - Teste de correlação........................................................................................................................................245 
4.2 - MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES ............................... 186 
4.2.1 - Determinação da equação de regressão linear simples .............................................................................. 187 
4.2.1 - Estimadores de Mínimos Quadrados ......................................................................................................... 188 
4.2.3 – Resíduos .................................................................................................................................................... 191 
4.2.4 – Inferências sobre 1 ................................................................................................................................... 193 
4.2.4.1 – Estimador da variância de b1 ........................................................................................................................ 193 
4.2.4.2 – Intervalo de Confiança para β1 ..................................................................................................................... 194 
4.2.4.3 – Teste de hipótese sobre β1 ............................................................................................................................ 195 
4.2.3 – Predições ................................................................................................................................................... 196 
4.2.4 – Intervalo de confiança para E(Yh) .............................................................................................................. 197 
4.2.5 – Intervalo de predição para uma nova observação ...................................................................................... 197 
4.2.6 – ANOVA .................................................................................................................................................... 199 
4.2.7 – O Coeficiente de Determinação (R
2
) ......................................................................................................... 201 
4.2.8 – Análise de adequação do modelo .............................................................................................................. 202 
LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................. 208 
REFERÊNCIAS 
ANEXOS 
ANEXO A - DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
ANEXO B - DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 
ANEXO C – DISTRIBUIÇÃO F DE FISHER 
ANEXO D - APROXIMAÇÕES POR ARREDONDAMENTO 
ANEXO E - GABARITO DOS EXERCÍCIOS 
 
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UNIDADE I 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
1.1 - Natureza e Campo da Estatística 
 
Estatística é a ciência que diz respeito à coleta, apresentação e análise de dados quantitativos, de tal 
forma que seja possível efetuar julgamentos sobre os mesmos. 
Ramos da Estatística: 
a) Estatística descritiva  trata da observação de fenômenos de mesma natureza, da coleta de 
dados numéricos referentes a esses fenômenos, da sua organização e classificação através de 
tabelas e gráficos, bem como da análise e interpretação. 
b) Probabilidade estatística  utilizada para analisar situações que envolvem o acaso 
(aleatoriedade). 
c) Inferência estatística  estuda as características de uma população com base em dados 
obtidos de amostras. 
 
OBS: Estatística Indutiva pode ser denominada como inferência. Portanto, a estatística indutiva 
estuda as características de uma população, com base em dados obtidos de amostras. 
 
 
Inferência = Indução + Margem de Erro 
 
 
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1.2 - O Método Estatístico 
A realização de uma pesquisa deve passar, necessariamente pelas fases apresentadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Definição do problema  Saber exatamente o que se pretende pesquisar, ou seja, definir 
corretamente o problema. 
2) Planejamento  determinar o procedimento necessário para resolver o problema, como 
levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. É importante a escolha das perguntas em 
um questionário, que na medida do possível, devem ser fechadas. 
 O levantamento de dados pode ser de dois tipos: Censitário e Amostragem. 
 Outros elementos do planejamento de uma pesquisa são: 
 Cronograma das atividades; 
 Custos envolvidos; 
 Exame das informações disponíveis; 
 Delineamento da amostra. 
 
3) Coleta de Dados  consiste na busca ou compilação dos dados. Pode ser classificado, 
quanto ao tempo em: 
 Contínua (inflação, desemprego, etc); 
 Periódica (Censo); 
 Ocasional (pesquisa de mercado, eleitoral) 
 
4) Crítica dos dados  objetiva a eliminação de erros capazes de provocar futuros enganos. 
Faz-se uma revisão crítica dos dados suprimindo os valores estranhos ao levantamento. 
 
5) Apresentação dos dados  a organização dos dados denomina-se “Série Estatística”. Sua 
apresentação pode ocorrer pormeio de tabelas e gráficos. 
Coletas 
dos 
Dados 
Definição 
do 
problema 
Planejamento 
Crítica 
dos 
Dados 
Apresentação 
dos dados 
Tabelas e Gráficos 
Análise e interpretação 
dos dados 
   
  
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6) Análise e Interpretação dos Dados  consiste em tirar conclusões que auxiliem o 
pesquisador a resolver seu problema, descrevendo o fenômeno através do cálculo de medidas 
estatísticas, especialmente as de posição e as de dispersão. 
 
1.3 – População e Amostra 
 
Inferência Obtenção de resultados para uma população com base em observações 
Estatística extraídas a partir de uma amostra retirada desta população. 
 
 
POPULAÇÃO: 
 É o conjunto de elementos (na totalidade) que têm, em comum, uma determinada 
característica. Pode ser finita, como o conjunto de alunos de uma determinada escola, ou infinita, 
como o número de vezes que se pode jogar um dado. 
 
AMOSTRA: 
 É qualquer subconjunto da população. A técnica de seleção desse subconjunto de elementos 
é chamada de Amostragem. 
 
Exemplo 1.1: Informe a população e amostra para as situações a seguir: 
(A) Para saber a aceitação de um novo remédio para dor de cabeça para pessoas do sexo 
feminino com idades entre 30 a 40 anos, que sofrem de enxaqueca crônica a mais de 10 anos, 
uma empresa selecionou 200 dessas pessoas e realizou um experimento. Indique: 
1) População: Todas as pessoas do sexo feminino de 30 a 40 anos que sofrem de enxaqueca crônica 
a mais de 10 anos. 
2) Amostra: As 200 pessoas com essas características. 
 
(B) Um Engenheiro de Materiais selecionou aleatoriamente 7.589 tijolos, dentre os que foram 
produzidos no dia 24 de junho de 2013, na empresa "Cerâmica e Cia" no turno da manhã, 
para analisar a resistência à compressão de 280 kg. Não houve critérios adicionais na seleção. 
Indique: 
1) População: Tijolos produzidos no dia 24 de junho de 2013, na empresa "Cerâmica e Cia" no 
turno da manhã. 
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2) Amostra: 7.589 tijolos nessas características. 
 
(C) Um engenheiro de computação trabalha numa produção de processadores da marca intel. 
A sua fábrica só trabalha com o modelo "Intel® Core™ i7", sendo cada um construído em 30 
segundos. O engenheiro deseja analisar como está as soldas dos componentes eletrônicos desse 
modelo no último dia de produção da 2º semana do mês de junho de 2013. Para tanto, ele 
orientou os funcionários a realizarem testes em um processador a cada 15 produzidos. O 
tempo diário de produção é de 11 horas. Indique: 
1) População: Todos os 1.320 processadores da marca Intel, modelo Core i7 no último dia de 
produção da 2° semana do mês de junho de 2013. 
2) Amostra: 88 processadores com essas condições. 
 
D) Um engenheiro de produção decide analisar o nível de satisfação da comida do refeitório 
da fábrica no turno da tarde servida para os funcionários do setor de contabilidade. Para 
tanto, dentre esses funcionários, ele sorteou 50 que estão na empresa há mais de 10 anos, 25 
que estão entre 5 e 10 anos e 15 funcionários que estão na instituição abaixo de 5 anos. Após a 
seleção, foi aplicado um questionário indagando sobre a qualidade da comida. Indique: 
1) População: Todos funcionários do setor de contabilidade que comem no refeitório no turno da 
tarde; 
2) Amostra: 90 funcionários com essas condições. 
 
(E) Um aluno de Biblioteconomia está fazendo um levantamento de todas as Dissertações do 
curso de História, Geografia e Pedagogia, defendidas a partir do ano de 2000 e que estão 
cadastradas no banco de dados da Biblioteca Zila Mamede. Dentre elas eles selecionou 10 de 
cada curso e contabilizou as datas de defesa. Indique: 
1) População: Todas as Dissertações do curso de Geografia, História e Pedagogia que estão 
cadastradas no banco de dados da Biblioteca Zila Mamede e foram defendidas a partir do ano de 
2000; 
2) Amostra: As 30 dissertações selecionadas pelo aluno. 
 
 
 
 
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1.4 – Cálculo do tamanho de amostra 
 
Na maioria das pesquisas científicas é praticamente impossível se avaliar todos elementos 
que compõem uma população de interesse de estudo. Isto se deve principalmente ao custo e tempo 
necessário para coletar dados de toda população. 
 
Exemplo: Estudar a condição de saúde bucal das crianças de 12 anos de um município. A população 
de interesse de estudo é muito grande. Teríamos um alto custo e demoraríamos muito tempo para 
coletarmos dados de todas crianças de 12 anos. 
 
Com a finalidade de estudar a população retiramos desta população uma Amostra parte 
representativa que chamamos de amostra e coletamos dados apenas desta amostra. Para representar 
bem uma população a amostra deve ter quantidade e qualidade. 
 
A qualidade da amostra se refere a “como e onde selecionar” os elementos da amostra. Essa 
qualidade é garantida pelo pesquisador delimitando o universo capaz de ser representado; 
representando todos estratos (quando houver); utilizando método aleatório (sorteio) para selecionar 
os elementos da amostra (Amostragem Aleatória Simples, Amostragem Aleatória Estratificada, 
Amostragem Aleatória Sistemática) 
A quantidade da amostra se dá de acordo com a população estudada. O cálculo depende das 
características da população; da pesquisa; do grau de precisão desejado pelo pesquisador; do 
tamanho da população; de como a amostra é selecionada (tipo de amostragem) e das possíveis 
perdas de elementos da amostra. 
 
 
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RELAÇÃO DE QUANTIDADE E QUALIDADE DE POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
 
 
Boa quantidade sem qualidade 
 
Boa qualidade sem quantidade 
 
Boa quantidade e boa qualidade 
 
População é heterogênea 
(alta variabilidade) 
 
População é homogênea 
(não existe variabilidade) 
 
 
 
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O tamanho de amostra depende da variabilidade da variável na população. Pode ser 
determinado a partir da variabilidade da população antes de estudar a população por meio de um 
estudo piloto, informações presentes na literatura ou utilizando a maior variabilidade possível, no 
caso de proporção, p = 0,5. 
A metodologia utilizada nessas notas de aula será a suposição de variabilidade máxima, 
metodologia esta utilizada pelos principais órgãos de pesquisa de opinião do País, como o 
Datafolha. 
O cálculo do tamanho de amostra é desenvolvido a partir da margem de erro e nível de 
confiança. 
Numa pesquisa eleitoral, por exemplo, é praticamente impossível ouvir todas as pessoas 
dentro de um perfil. Por isso, para realizar pesquisas, é necessário desenhar uma amostra de pessoas 
que representem o universo a ser explorado. Essas pessoas podem ser classificadas com base em 
dados demográficos ou comportamentais, dependendo do objetivo da pesquisa. A opinião das 
pessoas que compõem a amostra vai representar a opinião de todas as pessoas que fazem parte do 
universo que está sendo pesquisado. 
A margem de erro é o índice que estima a máxima de erro dos resultados da pesquisa com 
base na amostra selecionada.Por exemplo, se a margem de erro de uma pesquisa é de 3%, isso significa que se 50% dos 
entrevistados fizeram uma afirmação, você deve considerar que esse número, na verdade, pode 
oscilar entre 47% e 53%. 
Quanto maior o índice de margem de erro, menos precisos são os resultados da pesquisa. 
Para diminuir a margem de erro é preciso aumentar o tamanho da amostra. No entanto, é importante 
lembrar que nem sempre é necessário ter uma margem de erro tão baixa, tudo depende do objetivo e 
do contexto da pesquisa. 
Já o nível de confiança de uma pesquisa está ligado diretamente com a margem de erro. Ele 
representa a probabilidade de uma pesquisa ter os mesmos resultados se for aplicada com um outro 
grupo de pessoas, dentro do mesmo perfil de amostra e com a mesma margem de erro. Por exemplo, 
se o nível de confiança de uma pesquisa é de 98%, isso significa que, se ela for aplicada 100 vezes, 
ela daria resultados dentro da margem de erro em 98 casos. 
Normalmente se utiliza 95% para o nível de confiança e par aa margem de erro, percentuais 
entre 1% a 10%. O dafatolha normalmente utiliza 2% de margem de erro e 95% de confiança. 
 
 
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CÁLCULO DO TAMANHO DE AMOSTRA 
 
O cálculo de n é realizado em duas situações. Quando a população é finita e quando ela é infinita. 
Quando temos uma população finita, no entanto, seu valor é desconhecido, calculamos supondo que 
ela é infinita. 
 
TAMANHO DE AMOSTRA PARA POPULAÇÃO INFINITA OU DESCONHECIDA 
 
Supondo que a população é infinita (ou desconhecida), o cálculo da amostra é dado de acordo com 
Bolfarine e Bussab (2005): 
 
  2/2
2
ˆ ˆ1p p Z
n
E
  
 
em que: 
 ̂ = Proporção de elementos que apresentam o fator de interesse (maior valor: 0,5) 
 ̂ = Proporção de elementos que não apresentam o fator de interesse 
E = Margem de erro (para mais e para menos) – varia de 1% a 10%. 
Zα/2 = Nível de confiança (Coeficiente da Distribuição Normal ou Gaussiana). 
 Para 90% de confiança  
 Para 95% de confiança  
 Para 99% de confiança  
 
Exemplo 1.2: Qual o tamanho da amostra para se determinar a proporção de crianças com 
cárie na população de um bairro em Natal: 
 
A) com 95% de confiança e erro de 5%? 
 
 
 
B) com 90% de confiança? 
 
 
  2
2
0,5 1 0,5 1,96
384,16 385
0,05
n crianças
  
  
  2
2
0,5 1 0,5 1,645
270,6 271
0,05
n crianças
  
  
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C) com 99% de confiança? 
 
 
 
Exemplo 1.3: Numa pesquisa para uma eleição presidencial, foram entrevistados 650 
eleitores. Qual seria a margem de erro para essa pesquisa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAMANHO DE AMOSTRA PARA POPULAÇÃO FINITA 
 
Supondo que a população é finita e conhecida, o cálculo da amostra é dado de acordo com Bolfarine 
e Bussab (2005): 
 
 
 
em que: 
D = ( )
 
 
N = Tamanho da amostra 
 ̂ = Proporção de elementos que apresentam o fator de interesse (maior valor: 0,5) 
 ̂ = Proporção de elementos que não apresentam o fator de interesse 
E = Margem de erro (para mais e para menos) – varia de 1% a 10%. 
Zα/2 = Nível de confiança (Coeficiente da Distribuição Normal) 
 
 
 
  
1
1
ˆ ˆ1
N
n
N D
p p

 
 
   
  2
2
0,5 1 0,5 2,575
663,06 664
0,05
n crianças
  
  
   
 
   
2 2
2/2 /2
2
2
/2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ1
0,5 1 0,5 1,96
0,0384 3,8%
650
p p Z p p Z
n E
E n
p p Z
E
n
E
 

     
   
  

  
   
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TAMANHO DE AMOSTRA PARA POPULAÇÃO FINITA 
SUPONDO VARIABILIDADE MÁXIMA 
 
Caso substitua o valor de ̂ =0,5; tem-se o cálculo de amostra supondo variabilidade máxima. 
Dessa forma, o valor de “n” de uma população conhecida seria: 
 
 
 
em que: 
D = ( )
 
 
N = Tamanho da amostra 
E = Margem de erro (para mais e para menos) – varia de 1% a 10%. 
Zα/2 = Nível de confiança (Coeficiente da Distribuição Normal) 
 
Exemplo 1.4: Um instituto de pesquisas foi contratado para avaliar determinado programa de 
televisão em uma pequena cidade do interior, cuja população soma 5.000 habitantes. Deseja-
se um grau de confiança de 95 % e admite-se uma margem de erro de 3 pontos percentuais. 
Quantos habitantes deve-se entrevistar? 
 
Supondo variabilidade máxima, temos: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 1.1: Uma assistente social deseja saber o tamanho da amostra necessário para 
determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde do bairro do Princesinha, 
que pertence a Pau dos Ferros. Não foi feito um levantamento prévio da variabilidade da proporção 
amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 95% de confiança e margem de erro de 
± 5%. Sabendo que para esse estudo será mensurado a opinião do chefe de família de casa 
residência, e que nesse bairro há 450 casas, quantas residências irá compor a amostra? 
 
 4 1 1
N
n
N D

 
   
2 2
/2
0,03
0,0002342
1,96
5.000
879,8 880
4 1 1 4 5.000 1 0,0002342 1
E
D
Z
N
n
N D

   
     
  
   
   
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1.5 – Tipos de amostragens 
 
Como já vimos, a inferência estatística tem como objetivo a estimação de parâmetros para uma 
população tendo como base às informações extraídas através de uma amostra. Neste contexto, o 
estudo dos mais diversos tipos de procedimentos de amostragem se faz necessário. 
 
As técnicas de amostragem podem ser classificadas em dois grandes grupos: a amostragem 
probabilística e a amostragem não probabilística. 
 
1. Amostragem Probabilística: neste grupo encontram-se os planos amostrais que utilizam 
mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um deles 
uma probabilidade, conhecida à priori, de pertencer à amostra. 
2. Amostragem Não Probabilística: neste grupo encontram-se os planos amostrais que não 
utilizam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, e dessa forma, não 
existe nenhuma probabilidade associada à seleção desses elementos. 
 
Ambos os procedimentos têm vantagens e desvantagens. A grande vantagem das amostras 
probabilísticas é medir a precisão da amostra obtida. Tais medidas já são bem mais difíceis para os 
procedimentos do outro grupo. Diante disso, amostras probabilísticas são comumente utilizadas na 
prática. Os tipos de planos de amostragem probabilísticos são os seguintes: 
 
 Amostragem Aleatória Simples: cada elemento da população tem a mesma chance (ou 
probabilidade) de ser selecionado. Os elementos são escolhidos através de sorteio. Para isso, 
tabelas de números aleatórios são frequentemente utilizadas. Por exemplo, selecionar 5 
alunos de uma turma usando a lista de chamada. 
 
 Amostragem Estratificada: a população é dividida em estratos (ou grupos) homogêneos, 
sendo selecionada uma amostra aleatória simples de cada estrato. Por exemplo, selecionar 
alunos de 5ª a 8ª série de uma determinada escola. Neste caso, cada série corresponde a um 
estrato, e de cada estrato uma amostra aleatória simples dos alunos é extraída, lembrando 
que pra tanto seria necessário sorteio a partir da lista de chamada também. 
 
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 Amostragem Sistemática: os elementos são selecionados segundo uma regra pré-definida. 
É bastante utilizada quando os elementos da população estão arranjados em uma ordem. Por 
exemplo, se em uma concessionária deseja-se estimar o preço total dos seus carros a partir 
de uma amostra de 10 carros selecionar possuindo para tanto uma lista dos carros em ordem 
de preço do maior para o menor, ou do menor para o maior. Uma observação importante é 
que, por exemplo, se os elementos escolhidos estiverem em ordem não se deve pegar os 
primeiros elementos, ou os últimos, ou os do meios, deve-se percorrer elementos de cada 
parte. 
 
Exercício 1.1: Informe o tipo de amostragem. 
a) Para saber a aceitação de um novo remédio para dor de cabeça para pessoas do sexo 
feminino com idades entre 30 a 40 anos, que sofrem de enxaqueca crônica a mais de 10 
anos, uma empresa selecionou 200 dessas pessoas e realizou um experimento. 
TIPO DE AMOSTRAGEM: 
 
b) Um Engenheiro de Materiais selecionou aleatoriamente 7.589 tijolos, dentre os que foram 
produzidos no dia 24 de junho de 2013, na empresa "Cerâmica e Cia" no turno da manhã, 
para analisar a resistência à compressão de 280 kg. Não houve critérios adicionais na 
seleção. 
TIPO DE AMOSTRAGEM: 
 
c) Um engenheiro de computação trabalha numa produção de processadores da marca intel. 
A sua fábrica só trabalha com o modelo "Intel® Core™ i7", sendo cada um construído em 
30 segundos. O engenheiro deseja analisar como está as soldas dos componentes 
eletrônicos desse modelo no último dia de produção da 2º semana do mês de junho de 2013. 
Para tanto, ele orientou os funcionários a realizarem testes em um processador a cada 15 
produzidos. O tempo diário de produção é de 11 horas. 
TIPO DE AMOSTRAGEM: 
 
d) Um engenheiro de produção decide analisar o nível de satisfação da comida do refeitório 
da fábrica no turno da tarde servida para os funcionários do setor de contabilidade. Para 
tanto, dentre esses funcionários, ele sorteou 50 que estão na empresa há mais de 10 anos, 
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25 que estão entre 5 e 10 anos e 15 funcionários que estão na instituição abaixo de 5 anos. 
Após a seleção, foi aplicado um questionário indagando sobre a qualidade da comida. 
TIPO DE AMOSTRAGEM: 
 
e) Um aluno de Biblioteconomia da UFRN está fazendo um levantamento de todas as 
Dissertações do curso de História, Geografia e Pedagogia, defendidas a partir do ano de 
2000 e que estão cadastradas no banco de dados da Biblioteca Zila Mamede. Dentre elas 
eles selecionou 10 de cada curso e contabilizou as datas de defesa. 
TIPO DE AMOSTRAGEM: 
 
1.6 – Tipos de variáveis 
 
É condição inerente a uma população natural existir variação quanto aos atributos que lhe 
podem ser estudados. Portanto, a variabilidade é uma característica comum aos dados de 
observação e experimentos. Um atributo sujeito à variação é descrito em Estatística por uma 
variável. 
 Nominal 
 Qualitativa 
 Ordinal 
Variável 
 Discreta 
 Quantitativa 
 Contínua 
 
Variável Qualitativa (não mensurável):os dados podem ser distribuídos em categorias mutuamente 
exclusivas. Por exemplo, sexo (masculino, feminino), cor, causa de morte, grupo sanguíneo, etc. 
- Nominal: as categorias podem ser permutáveis (não existe ordem natural dos seus níveis); 
Exemplo: [masculino, feminino], [sim, não], [a favor, contra]; 
 
- Ordinal: as categorias descrevem uma ordenação natural dos seus níveis. 
Exemplo: [péssimo, ruim, regular, bom, ótimo]. 
 
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Variável Quantitativa (mensurável): os dados são expressos através de números. Por exemplo, 
idade, estatura, peso, etc. 
- Discreta: Assumem valores que podem ser associados aos números naturais (1, 2, 3, ...). Dá 
uma ideia de contagem. 
Exemplo: Número de irmãos dos 30 alunos da turma de Engenharia 
 [0, 1, 2, 5, 3, 4, 1, 0, 2, 3, 5, 4, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 3, 2 , 3, 4, 2, 1, 2]. 
- Contínua: Assume infinitos valores em um dado intervalo. Dá uma ideia de medição. 
Exemplo: altura e/ou peso de animais ou de pessoas. 
[1.70, 1.57, 1.80, 1.94, 1.68, 1.71] 
 
Exemplo 1.5: Suponha uma corrida dos 100 metros rasos. O tipo de variável muda de acordo 
com que você classifica a variável. Se classifica pelos nomes dos corredores (Qualitativa 
Nominal) ou pela ordem de chegada (Qualitativa Ordinal), ou conta quantos atletas passam pela 
linha de chagada (Quantitativa Discreta) ou o tempo que cada leva para chegar (Quantitativa 
Contínua). 
 
 
 
Exercício 1. 2: Classifique com relação ao tipo de variável as seguintes informações: 
a) Resultado de uma inspeção de peça fabricada 
(“Defeituosa”;“Não-defeituosa”); 
 
 
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b) Tempo em horas de alimentação de energia por um gerador de fábrica; 
 
c) Temperatura em graus Celsius utilizada no cozimento de telhas e tijolos 
(“abaixo de 900 °C” , “entre 900 a 1.000 °C”, “Acima de 1.000 °C”); 
 
d) Número de carros fabricados pela FORD em certo dia; 
 
e) Dias de manutenção nas máquinas de mistura de tintas em 4 indústrias 
(”Sábado”, ”Terça”, ”Sexta”, “Segunda”); 
 
f) Força em toneladas exercida para a ruptura de um cinto de segurança; 
 
g) Quantidade de soldas realizadas numa montagem de uma placa mãe (PC); 
 
h) Marcas de cimento usados numa obra 
(“Campeão”,“Poty”,“Mauá”,“Cimpor”); 
 
i) Espessura em milímetros de uma chapa galvanizada; 
 
j) Quantidade de parafusos utilizados na fabricação de um avião. 
 
1.7 - Representação Tabular 
 
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas, distribuídas de modo ordenado, segundo algumas 
regras práticas e obedecendo (ainda) à Resolução nº 886/66, de 26 de outubro de 1966, do Conselho 
Nacional de Estatística. As tabelas devem conter: 
 
a) Título - O quê? (fenômeno). Onde? (época). Quando? (local). 
b) Cabeçalho - indica o conteúdo das colunas 
c) Coluna Indicadora - especifica o conteúdo das linhas 
d) Cabeçalho da coluna indicadora - indica o conteúdo da coluna indicadora 
e) Corpo - caselas ou células, onde são registrados os dados. 
f) Rodapé - notas e identificação da fonte de onde foram coletados os dados. 
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Tabelas com grandes números de dados são cansativas e não dão uma visão rápida e geral do 
fenômeno. Dessa forma, é necessário que os dados sejam organizados em uma tabela de 
distribuição de frequências. Estas podem ser simples (dados não-agrupados) ou por classes (dados 
agrupados). 
A seguir veremos exemplos de uma distribuição de frequências simples (dados ordinais, 
nominais e discretos) e por classes (dados contínuos): 
 
Tabela 1.1 – Estudo sobre o nível de satisfação de uma disciplina da UFERSA em 2012.2 
(Dados Qualitativos Ordinais) 
Opinião Frequência Frequência (%) 
Péssimo 27 23,28% 
Ruim 54 46,55% 
Regular 15 12,93% 
Bom 16 13,79% 
Ótimo 4 3,45% 
Total 116 100% 
Fonte:Dados Fictícios 
 
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Tabela 1.2 – Tipo de material mais utilizado no setor de Engenharia Civil no 
RN segundo 370 empresas (dados qualitativos nominais) 
Tipo de material Frequência Frequência (%) 
Ferro 80 21,62% 
Aço 115 31,08% 
Ferro Galvanizado 146 39,46% 
Alumínio 21 5,68% 
Cobre 8 2,16% 
Chumbo 80 21,62% 
Total 370 100% 
Fonte: Dados Fictícios 
 
 
Tabela 1.3 – Estudo sobre o número de computadores por setor da UFERSA 
(dados quantitativos discretos) 
Nº de PC’s por setor Frequência Frequência (%) 
8 15 30% 
12 21 42% 
15 9 18% 
18 5 10% 
Total 50 100% 
Fonte: Dados Fictícios 
 
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Tabela 1.4 – Temperatura de cozimento de cem mil tijolos de 8 furos 
Temperatura (°C) Frequência Frequência (%) 
 700 |- 800 5.018 5,02% 
 800 |- 900 8.514 8,51% 
 900 |- 1.000 63.157 63,16% 
1.000 |- 1.100 12.489 12,49% 
1.100 |-| 1.200 10.822 10,82% 
Total 100.000 100% 
Fonte: Dados Fictícios 
 
1.7.1 - Distribuição de Frequências Simples 
 
Série estatística para dados nominais, ordinais e discretos, organizados em uma tabela. 
 
Construção de uma Distribuição de Frequências: 
Para a construção de uma distribuição de frequências os seguintes componentes são necessários: 
 
 Dados Brutos: são os dados apresentados desordenadamente, da forma como foram coletados. 
 
Exemplo: Peso (kg) de 14 blocos de concreto (dados brutos): 
74 58 69 80 74 95 56 74 76 81 60 57 64 62 
 
 Rol: são os dados apresentados em ordem crescente. 
 
Exemplo: Peso (kg) de 14 blocos de concreto (em forma de rol): 
56 57 58 60 62 64 69 74 74 74 76 80 81 95 
 
 
 
 
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Construção de uma Distribuição de frequências simples 
 
1. Ordenar os dados brutos em forma de rol (ordem crescente) 
2. Listar todos os elementos diferentes, numa coluna de nome “X”. 
3. Listar a frequência de todos os elementos diferentes numa coluna de nome "fi" ou "frequência". 
4. Somar todos os elementos da coluna "fi" (total). 
 
Exemplo 1.6: Numa pesquisa feita para detectar o número de filhos de empregados de uma 
multinacional, foram encontrados os seguintes valores: 
 
1 4 2 5 3 2 0 3 2 1 5 4 2 5 0 
3 2 4 2 3 2 3 2 1 4 2 1 3 4 2 
 
Solução: 
 Rol (dados em ordem crescente): 
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 
 
 Tabela de Distribuição de Frequências: 
 
Tabela 1.5 - Número de filhos por empregado de uma multinacional 
Número de filhos (X) fi f i% 
0 2 6,7 
1 4 13,3 
2 10 33,3 
3 6 20 
4 5 16,7 
5 3 10 
Total 30 100 
Fonte: Dados Fictícios 
 
Algumas considerações ou conclusões: 
Qual o número de funcionários que não tem filhos? Qual o seu percentual? 
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Quantos funcionários têm cinco filhos e qual o seu percentual? 
A maioria dos funcionários tem quantos filhos? E a minoria? Informe o percentual de ambos. 
 
1.7.2 - Distribuição de Frequências por classes 
 
Série estatística para dados contínuos. Os números são agrupados em classes, com suas respectivas 
frequências absolutas, relativas e percentuais, com o objetivo de facilitar ao analista o seu estudo. 
 
Os seguintes componentes são utilizados apenas em distribuição de frequências em classes: 
 
 Amplitude Total (A): é a diferença entre o maior valor do rol (LS) e o menor valor (LI). 
 
A = LS - LI 
 
 Número de Classes (c): corresponde à quantidade de classes, nas quais serão agrupados os 
elementos do rol. Para determinar c, utiliza-se a fórmula de Sturges: 
 
C = 1 + (3,33333.....) · log(n) 
 
 em que n = número de elementos do rol. 
 
 Amplitude ou Intervalo de Classe (i): geralmente utilizam-se intervalos iguais, obtidos através 
da fórmula: 
i = A/C 
 
Construção de uma Distribuição de frequências por classes 
a) Ordenar os dados brutos em forma de rol (ordem crescente) 
b) Calcular a amplitude total: A = LS - LI 
c) Calcular o número de classes e arredondar o valor final para um número inteiro utilizando 
a regra de arredondamento: 
C = 1 + (3,33333.....) • log(n) 
 
d) Calcular o intervalo entre classes: i = A / C. 
OBS: Lembre-se que o valor de "C" deve estar arredondado para um número inteiro. 
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e) A 1º coluna será a das classes. O menor número dos dados em rol será o limite inferior da 
primeira classe (“LI” da fórmula utilizada na amplitude total “A”), a partir do qual todas as 
outras classes serão definidas a partir deste número, somando ele ao intervalo entre 
classes. 
 
Exemplo: Suponha que os dados abaixo representam as notas de 20 alunos de uma disciplina de 
Estatística. 
 
7,4 7,4 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,8 7,8 7,9 
8,0 8,0 8,0 8,0 8,3 8,5 8,5 8,5 8,8 8,9 
 
Como podemos ver, o menor número é 7,4 (LI = 7,4). Já o maior número é 8,9 (LS = 8,9). A 
quantidade de números é igual a 20 (n = 20). Logo, podemos calcular a amplitude total, o intervalo 
entre classes e o número de classes (sendo este arredondando para um número inteiro ao final). 
 
A = LS - LI = 8,9 - 7,4 = 1,5. 
 
C = 1 + 3,333 · log (n) = 1 + 3,333 · log (20) = 1 + 3,333 · 1,301 = 1 + 4,33 = 5,33 ≈ 5. 
 
i = A / C = 1,5 / 5 = 0,3. 
 
Como o valor de C foi 5, então teremos 5 classes em nossa tabela. Cada classe terá um limite 
inferior e um limite superior. 
 
Para a primeira classe, o limite inferior será sempre o menor valor dos dados, ou seja, o LI. Assim, 
para o nosso exemplo, o limite inferior da 1º classe será 7,4. 
 
Já o limite superior dessa classe será dado pela soma do limite inferior com o intervalo entre 
classes, ou seja, LSClasse = LI + i = 7,4 + 0,3 = 7,7. Logo, os limites inferior e superior da primeira 
classe são 7,4 e 7,7. 
 
Utilizando o mesmo critério, para a segunda classe, o limite inferior será o limite superior da 
classe anterior, ou seja, 7,7. Já o limite superior será 7,7 + 0,3 = 8,0. Faremos isso até termos as 5 
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classes previamente estabelecidas. Ao término, o limite superior da última classe será o maior 
valor dos dados, ou seja, o LS = 8,9. 
 
f) Para indicar o intervalo, utilizaremos o símbolo |- . No exemplo, o limite inferior da 
primeira classe é igual a 7,4 e o limite superior da classe será igual a 7,7 (7,4 + i = 7,4 + 
0,3). Assim, indicaremos este intervalo como : 7,4 |- 7,7. 
 
Isso representa todos os números que estão entre 7,4 e o mais próximo possível de 7,7, porém, 
caso haja um número igual ao limite superior dessa classe, este deverá ser computado apenas 
na próxima classe (para o Exemplo, na 2º classe, sendo esta: 7,7 |- (7,7 + 0,3) = 8,0). 
 
g) Uma vez definidas as classes, a tabela de frequências pode ser construída, a partir da 2º 
coluna de nome “frequência” ou simplesmente “fi”, fazendo-se o processo de contagem, 
que consiste em verificar a qual classe cada dado pertence. 
 
Vamos terminar de construira tabela do exemplo. 
 
Exemplo: Notas de 20 alunos de uma disciplina de Estatística. 
 
7,4 7,4 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,8 7,8 7,9 
8,0 8,0 8,0 8,0 8,3 8,5 8,5 8,5 8,8 8,9 
 
A = LS - LI = 8,9 - 7,4 = 1,5. 
C = 1 + 3,333 · log (n) = 1 + 3,333 · log (20) = 1 + 3,333 · 1,301 = 1 + 4,33 = 5,33 ≈ 5. 
i = A / C = 1,5 / 5 = 0,3. 
Notas de 20 alunos de uma turma de Estatística 
Notas Frequência Frequência (%) 
7,4 |- 7,7 6 30% 
7,7 |- 8,0 4 20% 
8,0 |- 8,3 4 20% 
8,3 |- 8,6 4 20% 
8,6 |-| 8,9 2 10% 
Total 20 100% 
Fonte: Dados Fictícios 
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OBSERVAÇÔES 
 Perceba que o número 7,7 foi contado apenas na segunda classe, pois a primeira classe é 
composta pelos alunos que tiraram a nota de 7,4 até o mais próximo possível de 7,7, mas 
não chega a este valor. 
 Excepcionalmente na última classe, fechamos o intervalo de ambos os lados e contamos o 
maior valor nesta classe, logo, apenas na última classe, contamos todos os alunos que 
tiraram notas entre 8,6 e 8,9. 
 O percentual foi calculado a partir de uma regra de 3 simples: fi% = (fi / Total) · 100. 
 Não se deve esquecer em momento algum de informar o título e fonte da tabela. 
 Em algumas situações, pode-se utilizar uma distribuição de frequências por classes para 
dados discretos quando todos os números ou a maioria são diferentes. 
 
Exemplo 1.7: Construa de uma Distribuição de Frequências com CLASSES para os dados 
referentes ao Peso (kg) de 14 blocos de concreto: 
 
56 57 58 60 62 64 69 74 74 74 76 80 81 95 
 
Solução: 
Amplitude Total (A): A = LS – LI = 95 – 56 = 39. 
 
Número de Classes (C): C = 1 + (3,33333.....) · log(n) = 1 + 3,333 · log (14) = 4,82 ≈ 5. 
 
Intervalo de Classe (i): A=39 e C=5  i = A/C = 39/5 = 7,8. 
 
Peso de blocos de concreto 
Peso (kg) fi fi% 
56,0 |- 63,8 5 35,71% 
63,8 |- 71,6 2 14,28% 
71,6 |- 79,4 4 28,58% 
79,4 |- 87,2 2 14,28% 
87,2 |-| 95 1 7,14% 
Total 14 100% 
Fonte: Dados Fictícios 
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Exemplo 1.8: Um determinado hospital está interessado em analisar a quantidade de creatinina (em 
miligramas por 100 mililitros) encontrada na urina (de 24 horas) de seus pacientes internados com 
problemas renais. Os dados são os seguintes: 
 
1,51 1,65 1,58 1,54 1,65 1,40 1,61 1,08 1,81 1,38 1,56 1,83 
1,69 1,22 1,22 1,68 1,47 1,68 1,49 1,80 1,33 1,83 1,50 1,46 
1,67 1,60 1,23 1,54 1,73 1,43 2,18 1,46 1,53 1,60 1,59 1,49 
1,46 1,72 1,56 1,43 1,69 1,15 1,89 1,47 2,00 1,58 1,37 1,40 
1,76 1,62 1,96 1,66 1,51 1,31 2,29 1,58 2,34 1,66 1,71 1,44 
1,66 1,36 1,43 1,26 1,47 1,52 1,57 1,33 1,86 1,75 1,57 1,83 
1,52 1,66 1,90 1,59 1,47 1,86 1,73 1,55 1,52 1,40 1,86 2,02 
 
Solução: 
 Rol (dados em ordem crescente): 
1,08 1,15 1,22 1,22 1,23 1,26 1,31 1,33 1,33 1,36 1,37 1,38 
1,40 1,40 1,40 1,43 1,43 1,43 1,44 1,46 1,46 1,46 1,47 1,47 
1,47 1,47 1,49 1,49 1,50 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,54 
1,54 1,55 1,56 1,56 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,60 
1,60 1,61 1,62 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68 
1,69 1,69 1,71 1,72 1,73 1,73 1,75 1,76 1,80 1,81 1,86 1,86 
1,86 1,86 1,86 1,86 1,89 1,90 1,96 2,00 2,02 2,18 2,29 2,34 
 
 Amplitude Total (dá uma ideia do campo de variação dos dados): 
A = LS - LI = (2,34) - (1,08) = 1,26 
Analisando-se a quantidade de creatinina encontrada na urina dos 84 pacientes verificou-se que, 
ocorreu a variação de 1,26 no seu campo (de 1,08 a 2,34). 
 
 Estabelecer o Número de Classes (c): 
c = 1 + (3,3333.....) · log(n) = 1 + (3,3333....) · log(84) = 7,414  c = 7 
 
 Estabelecer o Intervalo de Classe (i): 
 
i = A / c = (1,26) / 7 = 0,18 
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Quantidade de creatinina (ml) encontrada na urina de 84 pacientes com problemas renais. 
Classes fi fi % 
1,08 ├ 1,26 5 5,9 
1,26 ├ 1,44 13 15,5 
1,44 ├ 1,62 32 38,1 
1,62 ├ 1,80 18 21,4 
1,80 ├ 1,98 11 13,1 
1,98 ├ 2,16 2 2,4 
2,16 2,34 3 3,6 
Total 84 100 
Fonte: Dados fictícios 
 
Observação 1: O melhor valor para representar cada classe é o ponto médio (Pm), o qual se obtém 
pela fórmula: 
Pm = Li + (i / 2), ou ainda, Pm = (Li + Ls) / 2 
 
Observação 2: 1,08 |- 1,26, intervalo fechado à esquerda (pertencem a classe valores iguais ao 
extremo inferior) e aberto à direita (não pertencem a classe valores iguais ao extremo superior). De 
forma análoga, 2,16 |-| 2,34, intervalo fechado à esquerda e à direita. 
 
Exercício 1.3: Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente 
usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque 
é uma característica importante no processo. Um tipo de solução pra ataque químico foi estudada, 
usando uma amostra de 50 pastilhas. As taxas observadas de ataque (10
-3
 mils/min) são dadas a 
seguir: 
 
2,1 4,2 2,7 28,2 9,9 9 2 6,6 3,9 1,6 14,7 9,6 16,1 8,1 8,2 20,2 6,9 
4,3 3,3 1,2 4,1 18,4 0,2 6,1 13,5 7,4 0,2 8,3 0,3 1,3 14,1 1,0 2,4 2,4 
16,2 8,7 24,1 1,4 8,2 5,8 1,6 3,5 12,2 18 26,7 3,7 12,3 23,1 5,6 0,4 
 
 
 
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1.8 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Todo o gráfico deve apresentar título (pode ser colocado tanto acima como abaixo) e escala 
(crescem da esquerda para a direita e de baixo para cima). As legendas devem ser colocadas à 
direita ou abaixo do gráfico. A seguir vemos os principais tipos de gráficos: 
 
1.8.1 - Gráfico de Setores 
 
Também conhecido como Gráfico de Pizza, este gráfico é usado quando cada valor representa uma 
parte de um todo. É, então, usado um círculo de raio qualquer, com a área ou ângulo total sendo 
proporcional ao total (100%) da série de dados a representar e a área ou ângulo de cada setor 
circular sendo proporcional a cada dado da série. 
 
Exemplo de um gráfico de setores 
 
Tabela 1.6: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010 
Marca da Ração Percentual (%) 
Caninu’s 18 
Campeão 15 
Foster 24 
Pedigree 43 
Fonte: Dados Fictícios 
 
 
Figura 1.1: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010 
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1.8.2 - Gráfico de Colunas 
 
As variações quantitativas da tabela são representadas por colunas dispostas verticalmente ou 
horizontalmente. É usado para representar qualquer tipo de série. 
 
Tabela 1.7: Principais causas de morte nos EUA em 2004 
Tipo de morte Frequência Percentual (%) 
Acidentes de carro 856 23,70 
Álcool 457 12,65 
Armas de fogo 985 27,27 
Cigarro 247 6,84 
Doenças Infecciosas 112 3,10 
Doenças Venéreas 98 2,71 
Drogas 631 17,47 
Obesidade 124 3,43 
Outras 102 2,82 
Total 3612 100 
Fonte: Ie Estatísticas, 2004. 
 
Exemplo de um Gráfico de Colunas 
 
Figura 1.2: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010 
 
 
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1.8.3 - Gráfico de Barras 
 
Exemplo de um Gráfico de Barras 
 
Figura 1.3: Principais causas de morte nos EUA em 2004PVE004 – Estatística – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha 
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1.9 – Medidas de Tendência Central 
 
 
Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e gráficos, constituem a informação básica 
do problema. Mas é conveniente apresentar medidas que mostrem a informação de maneira 
resumida. 
 Medidas de Tendência Central são medidas que tendem para o centro da distribuição e têm a 
capacidade de representá-la como um todo. Dão o valor do ponto em torno do qual os dados se 
distribuem. As principais são: Média Aritmética, Mediana e Moda e algumas. 
 
1.9.1 - Média Aritmética 
 
A média aritmética pode ser definida em dois tipos: populacional ( ) e amostral ( X ). Abaixo é 
apresentada a média para dados apresentados em forma de rol. 
 
A média será: 1
soma de todos os elementos do rol
número de elementos do rol
n
i
i
x
X
n
 

 
 
Exemplo 1.9: Número de tomadas a serem trocadas em 12 hotéis de Natal (50, 62, 70, 86, 60, 64, 
66, 77, 58, 55, 82, 74)  X =67 
 
Análise: O número médio de tomadas para serem trocadas é de 67 por hotel. 
 
DESVANTAGENS NO USO DA MÉDIA 
 
A média nem sempre é confiável. Essa medida de tendência central perde eficiência quando na 
distribuição dos dados, existe a presença de outliers (valores extremos ou valores discrepantes). 
Nesse caso, a saída seria utilizar outra medida de tendência central, sendo esta a mediana. Veja o 
exemplo a seguir: 
 
 
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Exemplo 1.10: Seja as idades em anos completos de 8 pessoas: 
 
20 21 22 20 19 23 22 21 
 
1
20 21 22 20 19 23 22 21
21
8
X anos
      
  
Se adicionarmos uma pessoa com 101anos (valor extremo superior), teremos como idade média 
dessas 9 pessoas aproximadamente 30 anos. 
 
20 21 22 20 19 23 22 21 101 
 
2
20 21 22 20 19 23 22 21 101
29,88 30
9
X anos
       
   
 O fato de adicionarmos um outlier superior inflacionou a idade média de 21 para 30 anos, 
superestimando a mesma. Para situações como essa é mais aconselhável utilizar a Mediana, pois a 
mesma é insensível à valores discrepantes . 
 
1.9.2 – Mediana 
 
Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de elementos. Isto é, 
é o valor que ocupa o centro da distribuição, de onde se conclui que 50% dos elementos ficam 
abaixo dela e 50% ficam acima. 
 
Colocados em ordem crescente, a mediana (Med ou Md) é ou valor que divide a amostra, ou 
população, em duas partes iguais. Aconselha-se seu uso quando há presença de valores extremos na 
distribuição dos dados. Uma vez que a Mediana é insensível aos outliers. 
 
 
 
0 Med 100% 
 
Assim, para se calcular a mediana para dados em rol, serão utilizados dois critérios distintos, um 
quando o tamanho da amostra (n) é par e outro quando é ímpar. 
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 Se “n” for ímpar: 
 
EMed = elemento central (de ordem 
º
1
2
n  
 
 
) 
 
º
1
2
Med
n
E
 
  
  
 
 Se “n” for par: 
 
Med = média aritmética dos dois elementos centrais (de ordem 
º
2
n 
 
 
 e 
º
1
2
n 
 
 
) 
 
º º
1
2 2
2
Med
n n
E
   
   
   
 
Exemplo 1.11: Dados em rol de tamanho ímpar: 
 
Seja uma amostra do tempo de uso, em anos, de onze capacitores utilizados em máquinas de 
costura: 
 
1 1 3 3 3 5 8 9 9 11 12 15 19 
 
º
13 1
7 elementodo rol 8anos
2
MedE
 
   
 
 
 
Interpretação: Como a mediana resultou em 8 anos, então, metade dos capacitores apresentam 
entre 1 a 8 anos de uso, e a outra metade apresenta entre 8 a 19 anos de uso. 
 
 
 
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Exemplo 1.12: Dados em rol de tamanho par: 
Seja uma amostra do tempo de uso, em anos, de doze capacitores utilizados em máquinas de 
costura: 
1 1 3 3 3 5 8 9 9 11 12 15 19 21 
º º º º
12 12
1 1
6 72 2 2 2
2 2 2
5 8
6,5
2
Med
n n
elemento elemento
E
anos de uso
          
                            
   
   
   

 
 
Interpretação: Como a mediana resultou em 6,5 anos, então, metade dos capacitores apresentam 
entre 1 a 6 anos e meio de uso, e a outra metade apresenta entre 6 anos e meio a 21 anos de uso. 
 
Exercício 1.4: Calcule e interprete a mediana para os dados abaixo: 
a) Número de peças com defeitos em 16 dias de produção. 
10 114 61 248 105 12 204 94 124 230 59 159 15 198 164 19 
 
 
b) Peso em quilogramas de 13 blocos de concreto. 
50,7 51,4 52,8 55,4 56 60,7 65,8 71 71 78,4 81,2 90,1 91,4 
 
 
c) Quantidade de creatinina (em miligramas por 100 mililitros) encontrada na urina (de 24 horas) de 
pacientes internados com problemas renais. 
1,08 1,15 1,22 1,22 1,23 1,26 1,31 1,33 1,33 1,36 1,37 1,38 
1,40 1,40 1,40 1,43 1,43 1,43 1,44 1,46 1,46 1,46 1,47 1,47 
1,47 1,47 1,49 1,49 1,50 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,54 
1,54 1,55 1,56 1,56 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,60 
1,60 1,61 1,62 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68 
1,69 1,69 1,71 1,72 1,73 1,73 1,75 1,76 1,80 1,81 1,86 1,86 
1,86 1,86 1,86 1,86 1,89 1,90 1,96 2,00 2,02 2,18 2,29 2,34 
 
 
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1.9.3 - Moda 
 
É o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes, ou 
ainda "o valor que ocorre com maior frequência num conjunto de dados, isto é, o valor mais 
comum“. 
 
Exemplo: Na série 3, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9  Mo = 7 
 
 SÉRIE UNIMODAL (TEM UMA ÚNICA MODA) 
Exemplo: Na série 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8  Mo = 6 
 
 SÉRIE BIMODAL (OCORREM DUAS MODAS) 
Exemplo: Na série 2, 5, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 10  Mo1 = 5 e Mo2 = 9 
 
 SÉRIE TRIMODAL (OCORREM TRÊS MODAS) 
Exemplo: Na série 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9  Mo1 = 4, Mo2 = 7 e Mo3 = 9 
 
 SÉRIE POLIMODAL (OCORREM QUATRO OU MAIS MODAS) 
Exemplo: Na série 0, 0, 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 11, 12, 12, 13, 13  
Mo1 = 0, Mo2 = 3, Mo3 = 8, Mo4 = 12 e Mo5 = 13 
 
 SÉRIE AMODAL (NÃO EXISTE MODA) 
Exemplo: Na série 0, 1, 3, 4, 7, 8  não existe moda 
 
 
Moda de Pearson (MoP) 
 
Utilizada mais especificamente, juntamente com X e Med, para mostrar o comportamento da 
distribuição, em relação a concentração ou não de seus elementos. 
3 - 2PMo Med X 
 
Utiliza-se a MoP para a análise da assimetria. Existem dois tipos de assimetria e apenas um de 
simetria: 
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a) Assimetria à esquerda ou negativa: 
oPMMedX  
A cauda da distribuição está do lado esquerdo do gráfico; 
 
b) Simétrica: XMedMoP  (concentração no centro); 
 
c) Assimetria à direita ou positiva: XMedMoP  
A cauda da distribuição está do lado direito do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A forma como averiguar a simetria de uma distribuição por esse método, não permite 
a possibilidade de comparação entre medidas de duas ou mais distribuições. Por esse motivo, 
veremos maisadiante outra forma de averiguar sobre a simetria de uma distribuição. 
 
 
B 
C A 
Moda < Mediana < Média Média < Mediana < Moda 
 
Moda = Mediana = Média 
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Exemplo 1.13: Tempo de SETUP, em minutos, de 10 máquinas de corte de chapas de aço para o 
corte de chapas de alumínio. Calcule a Moda de Pearson e interprete. 
 
5,8 6,0 6,2 7,0 7,8 7,9 8,0 8,1 8,5 9,4 
 
5,8 6 6,2 7 7,8 8 8 8,1 8,5 9,4
7,57 7,6
10
X
        
   
   
ºº
Med ( )
1 5 elemento 6 elemento 7,8 82 2
7,9 minutos
2 2 2
Medn par E
n n
  
     
   
 
 
Calculando a Moda de Pearson, temos: 
   3 - 2 3 7,9 2 7,6 8,5PMo Med X    
 
Interpretação: Como a média é menor que a mediana e este também é inferior a moda de Pearson, 
então os dados são assimétricos à esquerda, ou seja, a distribuição poderá ser representada dessa 
forma, o que significa que a maioria das máquinas levam mais tempo de SETUP para cortar chapas 
de alumínio: 
 
 
 
1.9.4 – Separatrizes 
 
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, 
não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana, já que se baseiam em sua 
posição na série. Essas medidas - os quartis, os percentis e os decis - são, juntamente com as 
medianas, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. 
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Os quartis, decis e percentis são muito similares à mediana, uma vez que também 
subdividem a distribuição de medidas de acordo com a proporção das frequências observadas. 
Enquanto a mediana divide a distribuição em duas metades, os quartis dividem-se em quatro 
quartos, os decis em 10 partes e os pontos percentis dividem a distribuição em 100 partes. 
 
Mediana (Me) divide em duas partes iguais 
Quartis (Q1, Q2 e Q3) dividem em quatro partes iguais 
Decis (D1, D2, ..., D9) dividem em dez partes iguais 
Percentis (P1, P2, ..., P99 ) dividem em cem partes iguais 
 
São utilizadas para se conhecer, com precisão, as distribuições dos dados como um todo. As 
separatrizes podem ser utilizadas tanto em dados não-agrupados (em forma de rol ou em 
distribuição de frequência simples) tanto quanto em dados agrupados (distribuição de frequências 
em classes). 
 
Relação visual das separatrizes 
 
!-------------------!-------------------! 
Md 
 
 
!---------!---------!---------!---------! 
Q1 Q2 Q3 
 
 
!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----! 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
 
!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------! 
 P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 
 
 
SEPARATRIZES PARA DADOS NÃO-AGRUPADOS 
 
Primeiro encontra-se a posição e em seguida identifica a classe para cada separatriz. As posições 
são calculadas da seguinte maneira: 
 
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 1 – Posição da Mediana: PMe = 
2
n
 
 2 – Posição dos Quartis: PQx = 
 . n
4
x
 , x = 1, 2, 3 
 3 – Posição dos Decis: PDx = 
 . n
10
x
 , x = 1, 2, ..., 9 
 4 – Posição dos Percentis: PPx = 
 . n
100
x
 , x = 1, 2, ..., 99 
em que: 
x refere-se à determinação da separatriz (exemplo para quartil, x=1,2,3); 
n refere-se ao número de elementos dos dados ou distribuição. 
 
Exemplo 1.14: Considere o tempo (anos) de 24 máquinas utilizadas numa indústria. Calcule os 
Quartis. 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 32
 33 35 38 39 42 44 46 48 50 54 57 
 
Calculando os quartis, temos: 
1
2
3
1 24
6 elemento = 22 anos
4 4
2 24
12 elemento = 29 anos
4
3 24
18 elemento = 42 anos
4
o
Q
o
Q
o
Q
x n
P
P Mediana
P
 
  

  

 
 
 
Em relação aos quartis, encontramos os 6º, 12º e o 18º elemento da distribuição dos dados, que 
correspondem aos números 22, 29 e 42. Assim, podemos concluir que 25% das máquinas têm idade 
de até 22 anos de uso, como também metade delas têm até 29 anos e 25% têm ao menos 42 anos. 
25% das máquinas têm mais de 42 anos de uso na indústria. 
 
OBS: No Exemplo, todos os quartis resultaram num elemento inteiro (Q1 = 6º elemento; Q2 = 12°; 
Q3 = 18°). No entanto, nem sempre isso ocorrerá, pois é possível que o elemento de uma separatriz 
resulte num valor decimal, como pode ser visto no Exemplo a seguir: 
 
 
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Exemplo 1.15: Dados em que o elemento as separatriz é decimal: 
 
12 13 17 19 21 22 22 
 
1
1 7
1,75 elemento=???
4 4
o
Q
x n
P
 
   
 
Nesse exemplo, o 1º quartil resultou no elemento 1,75°, ou seja, o Q1 se encontra entre o 1° e o 2° 
número dos dados em rol. O procedimento será realizar uma ponderação entre esses dois elementos, 
na qual será dado maior peso ao 2º elemento, uma vez que a separatriz está mais próxima dele que o 
1º. A seguir será apresentado a metodologia para esse procedimento: 
 
 
METODOLOGIA QUANDO O ELEMENTO DA SEPATRIZ É DECIMAL 
 
       1Sx Sxi i iP x x x pd    
 
xi = Primeiro número da ordem da separatriz 
xi+1 = Segundo número da ordem da separatriz 
pdSx = Parte decimal do valor de PSx 
 
No Exemplo 1.15, temos que: 
 
  12 13 12 0,75 12,75SxP      
 
OBS: Quando o elemento da separatriz resultar num valor decimal, mesmo se a variável for 
discreta, deverá ser utilizado este procedimento, no entanto, recomenda-se que ao final, arredonde 
o nº para um valor inteiro. 
 
 
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Exercício 1.5: Considere o tempo (anos) de 26 máquinas utilizadas numa indústria. Calcule as 
separatrizes abaixo: 
 
 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 32
 33 35 38 39 42 44 46 48 50 54 57 61 62 
 
Calcule e interprete: 
a) 3º quartil; 
 
b) 4º decil e 6º decil; 
 
c) 17º e 85º percentil. 
 
1.10 - Medidas De Dispersão 
 
Utilizaremos o termo dispersão para indicar o grau de afastamento de um conjunto de 
números em relação a sua média, pois ainda que consideremos a média como um número que tem a 
faculdade de representar uma série de valores ela não pode por si mesma, destacar o grau de 
homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. O nosso 
objetivo é construir medidas que avaliem a representatividade da média, para isto usaremos as 
medidas de dispersão. 
 Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não 
são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica. 
Se observarmos as seguintes sequências: 
 
X: 70, 70, 70, 70, 70 
Y: 67, 70, 70, 71, 72 
Z: 1, 44, 70, 70, 165 
 
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos: 
 
350
 70
5
ix
X X
n
   

 
iy 350
Y 70
n 5
  

 
iz 350
Z 70
n 5
  

 
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Observamos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética igual a 70. 
Calculando a mediana para os três, dará também o mesmo resultado, ou seja, 70. Assim, 
pensaríamos que essas três variáveis são iguais, no entanto, são sequências completamente distintas 
do ponto de vista da variabilidade de dados. 
 
Na sequência X, não há variabilidade dos dados. A média 70 representa bem qualquer valor 
da série. Na sequência Y, a média 70 representa bem a série, mas existem elementos da série 
levemente diferenciados da média 70. Na sequência Z, existem muitos elementos bastante 
diferenciados da média 70. Concluímos que a média 70 representa otimamente a sequência X, 
representa razoavelmente bem a sequência Y, mas não representa bem a sequência Z. 
 Nosso objetivo é construir medidas que avaliem a representatividade da média. Para 
isto, usaremos as medidas de dispersão. 
 Observe que na sequência X os dados estão totalmente concentrados sobre a média 70, não 
há dispersão de dados. Na sequência Y, há forte concentração dos dados sobre a média 70, mas há 
fraca dispersão de dados. Já na série Z há fraca concentração de dados em torno da média 70 e forte 
dispersão de dados em relação à média 70. 
As principais medidas de dispersão absolutas são: amplitude total, variância, desvio padrão e 
coeficiente de variação. 
 
1.10.1 – Variância 
 
 È a medida de dispersão mais utilizada. É definida como sendo o quociente entre a soma 
dos quadrados dos desvios e o número de elementos. É classificada em dois tipos: 
Variância Populacional ( 2 )  
 
2
2 i
X X
N




 
 
Variância Amostral (s
2
)  
 
2
2
1
iX X
S
n




 
 
OBS: O valor da variância eleva a unidade de medida ao quadrado. Por exemplo, dados em anos, 
o resultado da variância será dada em anos quadrados. Veja o exemplo a seguir. 
 
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Exemplo 1.16: Calcule a variância da estatura do tempo em anos do funcionamento de 5 geradores 
de certa indústria automobilística: 
 
1,92 1,72 1,82 1,80 1,84 
 
Antes de calcular a variância, é necessário calcular a média ( X ). Logo: 
 
1,92 1,72 1,82 1,80 1,84 9,1
1,82
5 5
X anos
   
   
           
         
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
1,92 1,82 1,72 1,82 1,82 1,82 1,80 1,82 1,84 1,82
1 5 1
0,1 0,1 0 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0,0004 0,0004
4 4
0,0208
0,0052 anos .
4
iX X
S
n
         
 
 
         
  
 

 
Exercício 1.6: Calcule a variância do número de incisões feitas em três crianças numa cirurgia dos 
membros superiores e inferiores. Comenta sobre a variabilidade. 
 
Laboratório 
Corpo de prova 
I II III IV 
A 2,59 1,45 1,09 4,79 
B 1,99 1,99 1,99 1,99 
C 0,80 0,01 3,98 7,59 
 
 
ATENÇÃO: “Desvantagem” do uso da variância 
 
No cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença )x(x i  , a unidade de 
medida da série fica também elevada ao quadrado. 
Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade de medida da série. Se os dados 
são expressos em metros, a variância é expressa em metros quadrados. No entanto, em algumas 
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situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso, por exemplo, em que os 
dados são expressos em litros. A variância será expressa em litros quadrados. 
Logo, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou 
seja: variância não tem interpretação. Nesse caso, o que podemos fazer? 
 
Solução: Utilizar o DESVIO PADRÃO como medida. 
 
 
1.10.2 - Desvio Padrão 
 
 Medida de dispersão que apresenta as propriedades da variância e apresenta a mesma 
unidade de medida dos dados. É a raiz quadrada da variância. 
 
Notações: 
1) Quando a sequência de dados representa uma população a variância será denotada por 
2 e o 
desvio padrão correspondente por  . 
2) Quando a sequência de dados representa uma amostra a variância será denotada por 
2S e o 
desvio padrão correspondente por S. 
Desvio Padrão Populacional (σ)  
 
2
iX X
N




 
 
Desvio Padrão Amostral (s)  
 
2
1
iX X
S
n




 
 
OBS: Quanto maior o valor do desvio padrão significa que mais dispersos estão os elementos 
em torno de sua média. 
 
 
Exercício 1.7: Calcule o desvio-padrão do Exercício 1.6. 
 
 
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Interpretação do Desvio Padrão 
 
O desvio padrão é, sem dúvida, a mais importante das medidas de dispersão. É fundamental 
que o interessado consiga relacionar o valor obtido do desvio padrão com os dados da série. Quando 
uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica ( MoMdX  ), 
podemos afirmar que os intervalos: 
] x ,x[   contém aproximadamente 68% dos valores da série. 
]2 x ,2x[   contém aproximadamente 95% dos valores da série. 
]3 x ,3x[   contém aproximadamente 99% dos valores da série. 
 
 
OBS: Quando a distribuição não é perfeitamente simétrica, estes percentuais apresentam pequenas 
variações para mais ou para menos, segundo o caso. Ou seja, na presença de assimetria ou outliers, 
as três propriedades definidas acima não ocorrem com exatidão. 
 
 
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Exemplo: Suponha uma série com média 100x e desvio padrão 5 , podemos interpretar estes 
valores da seguinte forma: 
 
1. Os valores da série estão concentrados em torno de 100. 
2. O intervalo [95, 105] contém aproximadamente 68% dos valores da série. 
O intervalo [90, 110] contém aproximadamente 95% dos valores da série. 
 O intervalo [85, 115] contém aproximadamente 99% dos valores da série. 
 
 
1.10.3 - Coeficiente de Variação 
 
 Dissemos antes que, por serem as unidades do desvio-padrão as mesmas que as unidades dos 
dados originais, é mais fácil entender o desvio-padrão do que a variância. No entanto, aquela 
mesma propriedade torna difícil comparar a variação para valores originados de diferentes 
populações, ou seja, quando as medidas de duas ou mais variáveis são expressas em unidades 
diferentes como peso/altura, capacidade/comprimento, etc. Usa-se então o Coeficiente de Variação 
(CV), que é uma medida relativa, que expressa o desvio padrão como uma porcentagem da média 
aritmética e ele não tem unidade específica. Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a 
distribuição. Quanto mais distante, mais dispersas. 
O CV mede a dispersão em relação à média. É a razão entre o desvio padrão e a média. O 
resultado obtido dessa operação é multiplicado por 100, para que o coeficiente de variação seja 
dado em porcentagem. 
100
s
CV
X
 
 
ANÁLISE: 
1. DISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15% 
2. DISPERSÃO MÉDIA: 15% ≤ CV ≤ 30% 
3. DISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30% 
 
 
OBS.: Um CV alto indica que a dispersão dos dados em torno da média é muito grande. 
 
 
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Exemplo 1.17: Alturas e Pesos de Homens. Usando os dados amostrais de alturas e pesos de 40 
homens de uma turma de estatística, encontramos as estatísticas dadas