MULTIPLOS E DIVISORES

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MÚLTIPLOS E DIVISORES 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
CONJUNTO DOS NÚMEROS (ℕ)
O conjunto dos números naturais é formado pelos números positivos, incluindo o zero (0). 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }
Podemos afirmar que o conjunto dos números naturais é infinitos, ou seja, não tem fim. 
REVISÃO – DIVISÃO EXATA E NÃO EXATA
 Divisão Exata
Um divisão é exata quando o resto é igual a zero.
Ex:
12 é divisível por 3, pois o quociente é 4 e o resto é zero.
Divisão Não Exata
Um divisão não exata quando o resto é diferente de zero.
Ex:
7 não é divisível por 2, pois o quociente é 3 e o resto é 1.
MÚLTIPLOS – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero.
O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.
O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1.
O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.
Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5):
M(2) = {0,2,4,6,8,…}
M(5) = {0,5,10,15,20,…}
1 - Represente os múltiplos dos números a seguir:
M (6) = 
 M (3) = 
 M (9) =
 M (7) =
Para lembrar:
O conjunto dos múltiplos de um número Natural é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.
Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…}
Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
DIVISORES – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0.
Ex:
D(12) é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
D(36) é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
D(48) é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.
Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número.
Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 6, indicado por D(6), e dos divisores de 10, isto é, D(9):
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(9) = {1, 3, 9}
VAMOS PRATICAR 
1 – Represente os múltiplos dos números a seguir:
M(4) = {___ , ___ , ___, ___, ___, ...}
M(5) = {___ , ___ , ___, ___, ___, ...}
M(3) = {___ , ___ , ___, ___, ___, ...}
M(6) = {___ , ___ , ___, ___, ___, ...}
2 – Represente os divisores dos números a seguir:
D(13)=
D(10) =
D(16)=
D(24)=
NÚMEROS PRIMOS
Os números primos são números que possuem apenas dois divisores, o número 1 e ele mesmo.
P={ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, ...}
Ex:
Divisores de 5: 1 e 5.
Divisores de 13: 1 e 13.
Divisores de 31: 1 e 31.
DÚVIDA ??
NÚMERO COMPOSTO 
O QUE É NÚMERO COMPOSTO ?
Todo número que não é um número primo é um número composto. Assim, no conjunto dos números naturais, um elemento pode ser primo ou composto.
Mas a final, o que é um número composto ?
São números que possuem mais de dois divisores.
FATORAÇÃO OU DECOMPOSIÇÃO COM NÚMEROS PRIMOS 
Um número composto pode ser decomposto em sua forma fatorada. Essa forma é apenas o produto entre os números primos que originaram o números composto em questão.
Ex:
360 2
180 2
 90 2
 45 3
 15 3
 5 5
 1 2x2x2x3x3x5
Exercício
1- Faça a fatoração em números primos dos números compostos a seguir:
56
24
25
 9
32 
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
O que é MDC ?
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
Divisor é aquele que divide um número e obtém um resultado exato.
Comum é quando o mesmo número divide os números envolvidos no exercício.
Máximo é o maior número encontrado.
COMO CALCULAR O MDC ?
Primeiramente vamos encontrar os divisores dos números dados: D(12) e D(18).
D(12)= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores comuns: 1, 2, 3 e 6.
MDC(12,18) = 6
Uma outra maneira de calcular o mdc ( máximo divisor comum) é através da fatoração com os números primos.
12, 18 2
 6, 9 2
 3, 9 3
 1, 3 3
 1, 1 2 x 3 = 6
MDC (12, 18) = 6
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O que é MMC ?
O mínimo múltiplo comum é o menor dos múltiplos comuns aos números de um conjunto.
Múltiplos são aqueles números que resultam da multiplicação de um número pelos números naturais.
Comum é quando o mesmo número é múltiplo dos números envolvidos no exercício.
Mínimo é o menor número entre todos os encontrados.
COMO CALCULAR O MMC ?
Primeiramente vamos encontrar os múltiplos dos números dados: M(2) e M(3).
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…}
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}
Múltiplos comuns: 6, 12, 18,...
MMD(2,3)= 6
Existe outra maneira de calcular o MMC (mínimo múltiplo comum), através da fatoração com os números primos.
30, 36 2
15, 18 2
15, 9 3
 5, 3 3
 5, 1 5
 1, 1 
MMD(30, 36) = 180
 
MMC(4,6)=
MMC (3,9)=
MMC (2,8)=
MMC (4,8,10)=
MMC (8,12,20)=