Múltiplos e divisores MDC e MMC

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Nivelamento em Matemática Básica
Múltiplos e divisores: MDC e MMC
Apresentação
Entender as relações numéricas é extremamente importante na matemática, podendo auxiliar na resolução de problemas mais complexos. Ao estudar as propriedades dos números inteiros destacam-se aqui três tipos de conjuntos muito importantes: o conjunto dos múltiplos de um número, o conjunto dos divisores de um número inteiro e o conjunto dos números primos.
A partir dos conjuntos dos múltiplos, é possível definir o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números; e a partir dos conjuntos dos divisores, surge a ideia de máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números. Já os números primos, além de serem importantes para a decomposição de números inteiros, utilizada para o cálculo do MMC e MDC de forma mais rápida, também podem aparecer em problemas aplicados.
Nesta Unidade de Aprendizagem, são definidos os números primos, os conjuntos dos múltiplos e dos divisores. Além disso, conceituam-se e calculam-se o MMC e o MDC por meio da resolução de problemas.
Bons estudos.
Desafio
O MMC e o MDC têm diversas aplicações práticas, mesmo que muitas vezes sejam associados à resolução de problemas numéricos puros. No caso do MDC, ele pode ser utilizado quando se trabalha com divisões, quando é necessário ter o maior número possível de itens em um agrupamento.
Por exemplo, quando se deseja formar equipes mistas, mas com o mesmo número de pessoas, contendo o maior número possível de integrantes em cada equipe, ou quando se deseja cortar um tecido retangular em partes iguais, mas que tenha o maior comprimento possível. Já o MMC é utilizado quando a aplicação envolve a noção de múltiplos.
Imagine que você é professor de matemática e propõe um desafio aos seus alunos. Você tem 36 livros e 60 canetas a serem distribuídos pelo maior número de alunos, e cada um, ao final, deverá ter a mesma quantidade de cada material. Defina qual é o maior número possível de alunos que irão receber a mesma quantidade de livros e canetas e quantos de cada item cada aluno receberá.
Padrão de Resposta Esperada:
Infográfico
Os conceitos de múltiplos, divisores, MMC e MDC estão presentes em inúmeros problemas, tanto dentro da própria matemática quanto em outras áreas do conhecimento. Desse modo, compreender suas definições e propriedades é fundamental na resolução de problemas.
O Infográfico a seguir reforça as definições de múltiplo, divisor, MMC e MDC e mostra exemplos de cada um desses conceitos.
Exercícios
1. Os números primos são um subconjunto dos números inteiros e são muito úteis no estudo do MMC e do MDC.
Considerando esse tema da matemática, a alternativa que apresenta a definição correta e alguns exemplos de números primos no conjunto dos inteiros positivos é:
A. Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
B. Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
C. Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
D. Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
E. Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 2 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5 e 21.
Você acertou!
B. Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
No conjunto dos inteiros positivos, número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11. Se se estender para todo o conjunto dos inteiros, pode-se considerar que um número primo p tem exatamente quatro divisores: ±1 e ±p.​​​​​​​
2. Conhecer o conjunto dos múltiplos de um número inteiro é muito útil tanto na resolução de problemas aplicados como no desenvolvimento de conceitos matemáticos. Nesse caso, o MMC, por exemplo, pode ser utilizado como ferramenta na adição e subtração de frações ou mesmo na resolução de situações em que dois ou mais números inteiros são comparados.
Ana está estudando sobre múltiplos de um número para aprender, depois, sobre MMC. Ajude a Ana a definir o conjunto dos múltiplos do número 6.
A. M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,...}.
B. M(6) = { 6,12,18,24,30,36,42,... }.
C. M(6) = { 1,2,3,6 }.
D. M(6) = { 0,1,2,3,6 }.
E. M(6) = { 6,12,24,48,96,... }.
Você acertou!
A. M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,...}.
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicar esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido pelo produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
3. O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito e pode ser obtido pela multiplicação desse número, pela sequência dos números naturais. Já o conjunto dos divisores de um número natural n é finito, começa no 1 e termina no próprio n, estando incluídos entre eles todos os números que m, tal que n/m é inteiro. Considere que Carlos tem 50 canetas e deseja dividi-las em grupos, de maneira que não sobre nenhuma.
Assim, ele precisa encontrar os divisores do número 50, que são:
A. D(50) = { 0,50,100,150,... }.
B. D(50) = { 50,100,150,.. }.
C. D(50) = { 2,5,10,25,50 }.
D. D(50) = { 1,2,5,10,25 }.
E. D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
Você acertou!
E. D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que, ao dividir o número n por eles, obtém-se como resto zero. Assim, é possível concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que, ao dividir 50 por eles, obtém-se como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
4. Em situações aplicadas, é comum comparar fenômenos que ocorrem de tempos em tempos, mas que em algum período ocorrem simultaneamente. Nesses casos utiliza-se a ideia de MMC. Considere que Beatriz pinta seu cabelo de 45 em 45 dias e Sofia pinta de 105 em 105 dias. Hoje, as duas se encontraram no salão, pois têm a mesma cabeleireira.
Daqui a quantos dias Beatriz e Sofia se encontrarão no mesmo salão?
A. 105 dias.
B. 315 dias.
C. 18 dias.
D. 7 dias.
E. 1 dia.
Você acertou!
B. 315 dias.
5. Os múltiplos e divisores de um número são aplicados no estudo do MDC e MMC, que facilitam resoluções de problemas cotidianos da matemática e suas aplicações.
Considerando estes cinco tópicos, marque a alternativa correta:
A. Um número é sempre divisor de todos os seus divisores.
B. O número 1 é sempre o menor múltiplo natural de um número e o maior múltiplo é o próprio número.
C. O máximo divisor comum dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
D. O conjunto dos divisores de um número é finito, e o zero é o divisor de todos os números.
E. O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
Você acertou!
E. O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
Tentativa: 1Acertos: 5 / 5Nota: 100 %Envio: 17/02/2024
Na prática
A ideia de número primo pode ser utilizada não apenas na própria matemática para calcular o MMC e MDC, mas também em problemas aplicados.
Veja o exemplo a seguir sobre como esse conceito pode ser utilizado na organização de livros em uma prateleira.