Matemática 8º e 9º Ano - Aula 3 - Números Inteiros

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NÚMEROS INTEIROS 
 
Um pouco de história 
Foi difícil a aceitação da ideia da existência de números negativos, os próprios 
gregos, na Antiguidade, reconhecidos como grandes pensadores e responsáveis pelo 
desenvolvimento dado à Geometria, não conheciam o número negativo. Mas os hindus 
do século VII já usavam quantidades negativas. 
Um deles, chamado Bramagupta, estabeleceu regras de sinais para operar com 
números negativos, envolvendo esses números em um pequeno círculo ou usando um 
apóstrofo sobre eles para distingui-los dos demais. Outro notável matemático hindu, 
Bháskara, interpretava os números negativos como “perda” ou “dívida”. Entretanto, os 
hindus se recusavam a aceitar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela 
ideia de número. 
Os árabes, divulgadores e continuadores da cultura matemática hindu, não 
trouxeram nenhum acréscimo a essa questão. 
Foi somente por volta do século XII que o italiano Leonardo de Pisa, conhecido 
como Fibonacci, em uma obra sobre Álgebra, interpreta a resposta negativa de um 
problema como número. Fibonacci afirmou: “Este problema não tem solução, a menos 
que interpretemos a dívida como sendo um número negativo”. 
Assim, pouco a pouco, os números negativos foram aceitos como números até 
que, em 1659 (século XVII), letras foram usadas pela primeira vez para representar tanto 
os números positivos quanto os negativos. 
Após muitos séculos, ter se afirmado ser impossível efetuar a subtração a - b 
quando a fosse menor que b (a < b), situações cotidianas como as que envolvem indicação 
de altitudes, profundidade do mar, escalas de temperatura, dívidas, resultados financeiros 
de uma empresa revelaram o significado de tais subtrações. 
 
Números com sinais 
Explorando situações-problema. 
Imagine um comerciante que trabalha com sacos de trigo de 25 kg cada um. 
Antigamente, os comerciantes tinham o seguinte hábito: se algum deles vendesse, por 
exemplo, 20 kg de trigo, desenhava com carvão um traço na frente do número 20 para 
indicar que naquele saco havia 20 kg a menos que a quantidade original. 
Por outro lado, se ele, despejasse em outro saco os 5 kg que sobraram, desenhava 
o número 5 com dois traços em forma de cruz na frente, para indicar que agora havia 5 
kg a mais que a quantidade original. 
 
Foram procedimentos como esses que auxiliaram os matemáticos na criação de 
um novo número, o número com sinal: 
- 20 (lemos menos vinte) expressa uma falta de 20 kg; 
+5 (lemos mais cinco) expressa um excesso de 5 kg. 
 
Explorando situações-problema 
Durante uma repentina onda de frio, a temperatura baixou 3°C no primeiro dia; 
no seguinte, mais 5°C; e no terceiro dia, outros 5°C. No quarto dia, subiu 9°C. Represente, 
por um número com sinal, quanto a temperatura baixou. 
Resolução: Vamos utilizar o sinal - para indicar as temperaturas que baixaram e 
com o sinal + as temperaturas que subiram. 
1° dia → baixou 3°C → -3 
2° dia → baixou 5°C → -5 
3° dia → baixou 5°C → -5 
4° dia → subiu 9°C → +9 
Durante os 4 dias a temperatura baixou 13 °C e subiu 9 °C, podendo ser 
representado por: 
-13 + 9 = -4. 
Como o resultado foi negativo, a temperatura baixou 4°C ou -4°C . 
 
Um trem parte de uma estação com 180 passageiros. Anotamos os passageiros 
que sobem em cada estação com o sinal +, e os que descem com o sinal -. 
 
Quantos passageiros desembarcaram na última estação? Resolução: 
Passageiros que subiram → + 180 + 45 + 36 + 24 = + 285; Passageiros que 
desceram → - 85 - 75 - 55 = - 215. 
+ 285 - 215 = + 70 
Desceram na última estação 70 passageiros. 
Números Inteiros 
Os números +1, +2, +3, +4, ..., +10, ..., +25, ..., +100, ... são chamados de 
números inteiros positivos. Os números -1, -2, -3, -4, ..., -10, ..., -25, ..., -100, ... são 
chamados de números inteiros negativos. 
O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero 
é chamado conjunto dos números inteiros. 
As diferenças a - b entre dois números naturais a e b possuem significados 
distintos, conforme o caso: 
• quando a ≥ b, representa um número natural; 
• quando a < b, representa um número negativo. 
 
Números inteiros na reta numérica (representação geométrica) 
A representação geométrica do conjunto dos inteiros é feita a partir da 
representação de N na reta numerada; basta acrescentar os pontos correspondentes aos 
números negativos: 
 
 
Representação dos números inteiros 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. 
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Conforme você pôde observar, todo número natural é também um número 
inteiro; portanto N ⸦ Z. 
 
 
Subconjuntos de Z 
Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
Conjunto dos números inteiros não-negativos: Z+ = { 0, 1, 2, 3, ...} 
Conjunto dos números inteiros não-positivos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0} 
Conjunto dos números inteiros positivos: Z *+= { 1, 2, 3, ...} 
Conjunto dos números inteiros negativo: Z *- = {..., -3, -2, -1} 
 
Números opostos ou simétricos 
Observe a reta numérica inteira: 
 
Note que os números +2 e -2 estão associados a pontos que estão à mesma 
distância do zero, mas situados em lados opostos na reta. Dizemos então, que +2 e -2 são 
números opostos ou simétricos. 
Dois números inteiros são ditos opostos ou simétricos um do outro quando os 
pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Note que números opostos apresentam soma zero; assim, o oposto de 1 é -1, e o 
oposto de -1 é 1, pois 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0. 
No geral, dizemos que o oposto de um número a é -a, e vice-versa. 
Particularmente o oposto de zero é o próprio zero. 
 
Módulo de um número inteiro 
Explorando situação-problema 
 
Qual a distância (em passos) do menino até o zero? Qual a distância (em passos) 
da menina até o zero? 
Resolução: O menino está a uma distância de 3 passos do zero enquanto que a 
menina está a uma distância de 4 passos. Neste caso não importa o sentido em que eles 
caminham, o que importa é a distância percorrida. 
Nos dois casos, verifica-se que a distância ou afastamento de cada ponto em 
relação à origem é sempre um número natural. Essa distância ou afastamento denomina-
se módulo do número inteiro. 
Assim, damos o nome de módulo, ou valor absoluto, de um número n à distância 
da origem ao ponto que representa o número n e indicamos por | n |. 
Assim, | 5 | = 5 e | -2 | = 2. 
Observe que: 
O módulo de um número inteiro qualquer é sempre um número natural. 
Os módulos de dois números inteiros opostos são sempre iguais (ex: | -2 | = | 2| 
= 2). 
O módulo de zero é zero. 
No geral, dizemos: |x | = x se x > 0 e |-x | = x se x < 0.