ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UMA CASA LOTÉRICA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO E TEORIA DAS FILAS

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ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE 
UMA CASA LOTÉRICA ATRAVÉS DA 
SIMULAÇÃO E TEORIA DAS FILAS 
 
Matheus Barbosa Silva (UEPA ) 
matheusbarbosa.eng@gmail.com 
REIDSON DUARTE SANTOS (UEPA ) 
reidsonduarte@gmail.com 
Victor Rodrigues Matos (UEPA ) 
vict0r-r0drigues@hotmail.com 
Alex Fagundes Brito (UEPA ) 
alex.fagundesb@gmail.com 
 
 
 
Este artigo consiste em fazer uma análise do sistema de filas de uma 
casa lotérica, através de duas ferramentas da Pesquisa Operacional: 
simulação e teoria das filas, também com o intuito de fazer um 
comparativo entre ambas. A estratégia dee pesquisa adotada foi a de 
visita in loco para coleta de dados e em seguida o tratamento dos 
mesmos, com o auxílio de softwares. O estudo mostrou qual ferramenta 
é a mais eficaz para análise de um sistema de filas. Concluiu-se que a 
simulação é a melhor escolha para se obter uma análise mais 
minuciosa, e conseguir melhorias no atendimento. 
 
Palavras-chave: Pesquisa Operacional, simulação, teoria das filas 
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO 
Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil 
João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. 
 
 
 
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1. Introdução 
Há milhares de anos, os índios tinham como estratégia de guerra a formação de filas em suas 
caminhadas pela floresta, onde cada um pisava na pegada daquele que estava a sua frente para 
que o último apagasse seus próprios passos e os de todo grupo, dessa forma não deixavam 
vestígios para o inimigo. Tal hábito deu origem à expressão “fila indiana”. 
Atualmente as filas são muito utilizadas para prestação de serviços, formando assim um 
sistema que busca melhorar o atendimento. De acordo com Prado (1999), o estudo das filas se 
iniciou em 1908 com uma abordagem matemática. A partir do advento do computador na 
década de 50, a modelagem de fila pôde ser analisada através da simulação, que consiste em 
processo que permite a obtenção de conclusões sobre o desempenho de um sistema, com a 
tentativa de imitar o funcionamento do sistema real por meio de um modelo. 
Segundo Andrade (2000), outro método utilizado para tratar de problemas de 
congestionamento de sistemas, onde clientes solicitam serviços, é o da teoria das filas. A 
teoria das filas tem como objetivo encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e 
que ao mesmo tempo seja viável economicamente para o provedor do serviço. 
O presente artigo tem como finalidade analisar o sistema de filas de uma agência lotérica, 
utilizando as ferramentas citadas anteriormente, e comparar seus resultados. A agência 
escolhida para análise se localiza no Pará, no município de Marabá, Bairro Nova Marabá, está 
no mercado há 4 anos, possui 3 guichês de atendimento e 4 funcionários. 
 
2. Referencial teórico 
2.1 Teoria das filas 
Segundo Taha (2008) o estudo de filas trata-se do processo de quantificação do tempo de 
espera em uma fila de um determinado sistema, sendo o seu principal objetivo reduzir os 
tempos de espera e custos inerentes ao mesmo. Prado (1999) diz que, além disso, a teoria das 
filas permite com que seja feito o estudo para que se encontre o melhor arranjo do layout do 
sistema de atendimento. 
Taha (2008) afirma: “Os principais protagonistas de uma situação de fila são o cliente e o 
servidor”. Tal afirmação deve-se em função de que o cliente é gerado por uma fonte 
 
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(população) e ao sair dela é direcionado a alguma instalação de serviço (servidor), que poderá 
ser atendido no momento de sua chegada se não houver uma fila na instalação, ou caso 
contrário não. 
Ao utilizar a teoria de filas, podem-se tomar decisões sobre a fila de espera, levando a uma 
melhor produtividade (MARSUDI; SHAFEEK, 2014). 
Prado (1999) diz que o intervalo médio de chegada de clientes ao sistema é: ·,onde IC 
é intervalo de chegada dos clientes à fila, o λ é o ritmo com que os mesmos chegam. O tempo 
médio de atendimento (TA) é descrito por em que µ é o ritmo de atendimento do 
serviço prestado. 
 
2.1.1 Características de uma fila 
Algumas características são essenciais e determinantes para o bom funcionamento de uma 
fila. Os componentes são: 
a) Processo de chegada: é um processo estocástico que se desenvolve no tempo e no 
espaço, de acordo com a lei da probabilidade. Assim, é preciso conhecer qual a 
distribuição de probabilidade que descreve o tempo entre as chegadas. As mais 
utilizadas são a de Poisson, Erlang, hiperexponencial, e arbitrária; 
b) Distribuição do tempo de serviço: assim como no processo de chegada, também 
necessita de uma distribuição de probabilidade do tempo de serviço. De acordo com 
Andrade (2000) o tempo de atendimento pode ser: regular, onde a duração de todos os 
atendimentos é a mesma, ou aleatória, na qual cada cliente necessita de um tempo 
próprio de atendimento, sendo esta situação mais comum. 
c) Disciplina da fila: descreve a maneira que os clientes deixam a fila para serem 
atendidos. A disciplina mais como é o FIFO (First In, First Out), onde o primeiro a 
entrar é o primeiro a sair. Também é utilizado o LCFS (Last Come, First Served), em 
que o último a chegar é o primeiro a ser atendido, além de disciplinas que contam com 
prioridade no atendimento. 
d) Número de servidores: aponta a quantidade de pontos de atendimento do sistema que 
podem servir os clientes paralelamente. Se o sistema possuir mais de um servidor, são 
duas as situações possíveis: um sistema de fila única para todos os servidores 
 
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(exemplo: serviços bancários) ou um de múltiplas filas, no qual cada fila é destinada a 
um servidor (exemplo: caixas de supermercado). 
e) População: número de clientes que podem chegar ao sistema de filas. Teixeira (2004) 
diz que o tamanho da população pode ser finita ou infinita. 
f) Capacidade do sistema: indica o número máximo de clientes que o sistema pode 
atender, sendo finita ou infinta. Caso seja finita, quando o sistema estiver lotado 
nenhum cliente pode entrar até que algum outro saia. 
 
2.1.2 Notação de Kendall 
Segundo Ferreira Filho (2007), em 1953, D. G. Kendall criou uma notação para sistemas de 
filas que é hoje amplamente utilizada. Essa notação consiste na forma A/S/m/B/K/SD, onde: 
 A (Arrival Process): descreve a distribuição do tempo entre chegadas 
 S(Service Time Distribution): a distribuição do tempo de serviço; 
 m: o número de servidores; 
 B (Buffer): a capacidade total de usuários no sistema; 
 SD (Service Discipline): a disciplina de atendimento. 
 
2.1.3 Modelos de filas 
Utilizando a notação de Kendall é possível determinar diversos modelos de fila, sendo que 
para cada uma das características existem vários valores. Segue a representações mais comuns 
para as distribuições: 
 M: distribuição Markoviana, Exponencial ou Poisson; 
 Ek: distribuição de Erlang com parâmetro K; 
 Hk: distribuição Hiperexponencial com parâmetro K; 
 D: distribuição Determinística; 
 G: distribuição Genérica. 
Como exemplos de modelo, pode-se citar o M/M/1, onde se caracteriza sistema constituído 
por fila única sendo atendida por um servidor e M/M/c, o qual tem mais de um servidor 
também atendido por fila única. 
 
 
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2.2 Simulação de Monte Carlo 
De acordo com Chwif (2015) a palavra simulação possui diversos significados em que a 
maioria exprime que “simulação é o ato de representar algo”, que pode ser classificada em 
computacional (necessita de um computador ou software para ser realizada) ou não 
computacional (a representação não é realizada por um computador). Em pesquisa 
operacional utiliza-se, geralmente, a simulação computacional onde são realizados vários 
testes em busca da otimização de determinado sistema. 
A simulação computacional classifica-se em diversos tipos, sendo uma delas é a Simulação de 
Monte Carlo (SMC). Segundo Gujarati (2002) a técnica baseia-se eno uso de números 
aleatórios e probabilidades para a solução de problemas. O nome Monte Carlo surgiu de um 
Cassino localizado em Mónaco, o método foi criado por Von Neumann para solucionar 
problemas de física nuclear em 1944, e foi utilizado no projeto Manhattan na criação da 
bomba atômica. 
Para Lustosa et al. (2004), a simulação de Monte Carlo trata-se de um método que “utiliza a 
geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis do sistema que se deseja 
investigar”. Os números são obtidos por meio de artifícios aleatórios (ex: tabelas, roletas, 
sorteios) ou diretamente de softwares, através de funções específicas. 
A cada iteração, o resultado é armazenado e, ao final de todas as iterações, a sequência de 
resultados gerados é transformada em uma distribuição de frequência que possibilita calcular 
estatísticas descritivas, como média, valor mínimo, valor máximo e desvio-padrão, cabendo 
ainda ao executor das simulações a prerrogativa de projetar cenários futuros de operação do 
sistema em análise. 
A Simulação de Monte Carlo tem aplicações em problemas de tomada de decisão que envolve 
risco e incerteza, ou seja, situações nas quais o comportamento das variáveis envolvidas com 
o problema não é de natureza determinística. Para executar a SMC e necessário seguir os 
seguintes passos: 
 Definir as variáveis envolvidas no sistema em análise com base em dados passados ou 
em estimativas subjetivas dos administradores; 
 Construir as distribuições de frequência (absoluta, relativa e acumulada) para cada 
uma das variáveis definidas; 
 
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 Definir, para cada variável considerada, os intervalos de classe (de incidência dos 
números aleatórios) com base nas distribuições de frequência acumulada projetadas; 
 Gerar números aleatórios; 
 Incidir números aleatórios gerados nos intervalos de classe de cada variável; 
 Simular os experimentos. 
Para se obter uma correta execução da SMS, Lustosa et al. (2004) apontam que a simulação 
deve ser repetida mais de cem vezes para que se tenha uma amostra significativa. Porém, não 
há determinação quanto ao número máximo de simulações que devem ser feitas. 
 
2.2.1 Teste Qui-quadrado 
Conti (2009) afirma que Qui-quadrado é um teste de hipóteses que busca encontrar um valor de 
dispersão para duas variáveis nominais, associado a variáveis qualitativas, que não depende de 
parâmetros populacionais, como variância e média. 
O principio deste método é comparar proporções, ou seja, possíveis discrepâncias entre as 
frequências observadas e aguardadas em um determinado evento. O teste tem como finalidade 
testar a adequabilidade de um modelo probabilístico a um conjunto de dados observados. 
Esse recurso busca avaliar erros aleatórios, partindo de uma hipótese de nulidade (H0), que é o 
que ocorre na população, por uma de não nulidade (H1) que é formulada por um estudo, 
definido a partir do nível de significância (α) e da quantidade de graus livres. 
Supondo que se observou um conjunto de eventos possíveis (E1, E2,..., En) que ocorreram em 
determinadas frequências (fo1, fo2,..., fon), chamadas de frequências observadas, e que podem 
ser comparadas às frequências esperadas ou teóricas (fe1, fe2..., fen) procedentes de modelos de 
probabilidade. Assim para resolver tal questão é utilizado o teste qui-quadrado, que indicará o 
quanto a frequência observada se aproxima da esperada. 
De acordo com Spiegel (1981), a medida de discrepância entre as frequências observadas e as 
esperadas pode ser atribuída pela estatística 
 
(qui-quadrado), que é obtida pela seguinte 
equação: 
 
 
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Se 
 
 = 0, as frequências observadas e esperadas são iguais. 
Se > 0, quanto maior o valor, maior será a discrepância. 
 
3. Metodologia 
A pesquisa está classificada em quantitativa e qualitativa, segundo Prodanov e Freitas (2013) 
uma pesquisa quantitativa é aquela que tudo pode ser quantizado buscando a relação causa-
efeito do fenômeno analisado, quanto que a pesquisa qualitativa não necessita de uso de dados 
quantizados, mas apenas da análise da relação do mundo real com o sujeito, sendo os dados 
analisados de forma indutiva pelo pesquisador. 
Para o desenvolvimento deste estudo utilizou-se conhecimentos de pesquisa operacional sobre 
teoria das filas. As informações contidas neste trabalho foram coletadas por meio de um 
levantamento de campo realizado numa agência lotérica. 
Realizou-se a análise do tempo de atendimento dos caixas e o intervalo de chegada de cliente 
novos na fila, com o intuito de conhecer o potencial de um operador de caixa e do fluxo de 
pessoas naquele local para que somente assim seja possível auxiliar no processo de 
gerenciamento do controle e propor melhorias no atendimento. 
O processo se concentrou na cronometragem do tempo de atendimento em que um cliente 
passava em atendimento no caixa da lotérica, essa análise do tempo para se obter um cálculo 
cada vez mais preciso só e possível mediante a coleta de no mínimo 50 amostras de tempos, 
sendo assim, neste trabalho foram coletadas 65 amostragens para estudo. 
Simultaneamente foram coletadas 65 amostragens de tempo em que chegavam novos clientes 
na fila da agência. Essa análise consistiu em saber o intervalo de tempo da última pessoa na 
fila até a chegada de um novo cliente na fila, para que fosse possível efetuar o tratamento dos 
dados para o trabalho. 
Todas essas analises de tempo, somente foram possíveis e seguras mediante ao uso de um 
cronometro de mão, o que possibilita o mínimo possível de erros na coleta de cada 
amostragem de tempo. 
 
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Em seguida, foi feito o tratamento de dados para execução do teste qui-quadrado e simulação. 
O tratamento foi realizado com o auxílio dos programas R, RStudio, e Excel. 
 
4. Resultados 
4.1 Gráficos de Dispersão 
Depois de efetuada a coletada dos dados, foi utilizado o software Excel para tratar os mesmos 
com a finalidade de verificar como estavam dispersos os tempos de atendimento da fila (TA) 
quanto do intervalo de chegada de clientes (IC) ao sistema, para tal adotou-se como critério de 
exclusão o percentil de 95%. Abaixo segue gráficos antes da exclusão dos pontos que estão 
acima da linha limite de dispersão representada na cor laranja sendo que tal linha é o percentil 
de 95%, ela mostra que todos os elementos que estão abaixo da linha (reta) estão dentro da 
média de dispersão e o que está acima deve ser excluído. 
 
Gráfico 1 – Intervalo de chegada de clientes (IC) 
 
 
 
Gráfico 2 – Tempo de atendimento (TA) 
 
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No gráfico 1 foram excluídos os 3 pontos acima da linha que possuem os seguintes valores: 
3,82 minutos; 5,25 minutos; e 4,87 minutos. No gráfico 2 os três pontos acima da linha com 
valores de 5,57 minutos; 5,78 minutos; e 6,18 minutos. 
 
4.2 Tabelas de frequência e histograma 
A partir da exclusão de tais pontos montou-se uma tabela de frequência relativa para o 
intervalo de chegada (IC) e uma para o tempo de atendimento (TA), em que foi considerada 
cinco classes de intervalo para ambas as tabelas. 
 
Tabela 1 – Intervalo de chegada 
 
 
Tabela 2 – Tempo de atendimento 
 
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Na tabela 1(intervalo de chegada) o tamanho do intervalo entre classes foi de 0,50 minutos, 
onde o valor mínimo de todos os elementos analisados referentes ao intervalo de chegada foi 
de 0,02 minutos e máximo de 2,50 minutos, sendo o intervalo que mais possui frequência é o 
número 1 (0,02 – 0,52) com taxa de frequência de 44 %. Na tabela 2 (tempo de atendimento) 
o tamanho do intervalo de classes foi de 0,75 minutos em que o menor valor de todos os 
elementos analisados foi correspondente a 0,17 minutos e e o maior de 3,93 minutos. A classe 
que mais se repetiu foi a de número 2, com taxa de frequência de 35%. Abaixo se encontra os 
respectivos histogramas de IC e TA. 
 
Gráfico 3 – Intervalo de chegada (IC) 
 
 
Gráfico 4 – Tempo de atendimento (TA) 
 
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Através dos histogramas tanto para o intervalo de chegada de clientes como para o tempo de 
atendimento é possível definir a possível distribuição que cada um possui. No caso do 
histograma de IC (intervalo de chegada) percebe-se que a possível distribuição que deve ser 
utilizada é exponencial e no histograma de TA (tempo de atendimento) a distribuição de 
Poisson, no entanto faz-se necessário realizar o teste aderência. 
 
4.3 Teste de aderência 
Para se montar o teste de aderência, que tem como objetivo definir como os dados estão 
distribuídos estatisticamente optou-se por usar a classificação do teste Qui – Quadrado, pois o 
mesmo não depende de parâmetros populacionais como variância e média, onde se utilizou o 
nível de significância de 5%, com base nisso foi calculado no Crystal Ball o teste de 
aderência, em que se adotou duas hipóteses para o P- valor: 
H0 (Hipótese de nulidade) – a frequência verificada não possui diferenças significativas em 
relação as esperadas. 
HA (Hipótese de não nulidade) – as frequências verificadas possuem diferenças em relação às 
esperadas. 
Após ter sido executado o teste foi gerado pelo Crystal Ball os gráficos abaixo para IC e TA 
com seus respectivos valores para P-valor nas figuras 1 e 2. 
 
Gráfico 5 – Intervalo de chegada 
 
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Figura 1 – Intervalo de chegada – P valor 
 
 
Conforme pode ser verificado no gráfico 5 e na figura 1 referente aos dados de P- valor , 
sendo o mesmo 0.144, o intervalo de chegada assume a hipótese de H0, pois a frequência 
verificada não possui diferença em relação as frequências esperadas, logo é válido adotar a 
distribuição exponencial para IC, pois o valor da taxa da exponencial também é igual a 1,47 
minutos em relação ao ritmo de chegada. 
 
 
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Gráfico 6 - Tempo de atendimento 
 
 
 
Figura 2 – Tempo de atendimento – P valor 
 
 
Quanto ao gráfico 6 e a figura 2 do P valor que igual a 0,003 referente ao tempo de 
atendimento, assume a hipótese de HA na qual diz que os valores observados (verificados) 
são diferentes dos esperados, em função disso a distribuição exponencial não é adequada para 
o tempo de atendimento, pois o ritmo de atendimento esperado não é o mesmo., no entanto 
para fins didáticos será adotado que a distribuição exponencial atende ao TA. 
 
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4.4 Simulação 
Após definir o modelo de distribuição como também os ritmos: atendimento 1,96 clientes por 
minuto e chegada de clientes como 1,47 clientes por minuto, foi gerado através do cristal ball 
1000 números aleatórios, que foram inseridos no R para que fosse realizado a simulação de 
Monte Carlo, que resultou nos dados abaixo em que se compara a teoria das filas com a 
simulação de Monte Carlo. 
 
Tabela 3 – Comparação entre teoria das filas e simulação 
 
 
A partir da tabela acima, nota-se que nenhum dos dados entre a teoria das filas e os dados por 
simulação são iguais, isso é devido à teoria das filas ser baseada em médias, que dessa forma 
não oferece uma margem de desvio seguro, pois tende a superotimizar o problema. Quanto a 
simulação ela baseia-se na geração de números aleatórios que no qual possuem uma margem 
de segurança maior que o da teoria das filas que permite assim analisar o problema de forma 
mais próxima do modelo real. 
 
 5. Conclusões 
Com base nos dados deste trabalho, pode-se concluir que quando se busca apenas analisar 
uma fila de um sistema qualquer, há necessidade de não apenas entender, mas também de 
melhorar o próprio sistema, o uso da simulação é a melhor escolha para isso, pois através dela 
é possível alterar o ritmo do sistema e projetar diversos cenários futuros para o mesmo. 
 
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Um problema que ocorre com a teoria das filas é que a mesma baseia-se em um calculo sobre 
médias e isso faz com que a margem de erro possa ser alta, fazendo com que o sistema seja 
superotimizado, refletindo assim um problema quando se tenta melhorar o mesmo, devido a 
uma grande possibilidade de erro. 
Sugere-se como tema para trabalhos futuros, a proporção em que um mal arranjo de layout 
interfere no sistema de fila e como o tempo de atendimento de uma fila pode influenciar no 
faturamento de uma empresa. 
 
Referências 
ANDRADE, E L. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. 2. Ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
CHWIF, L.; MEDINA, A. Modelagem e Simulação de Eventos Discretos: Teoria & Aplicações. São Paulo: 
Editora dos Autores, 2006. 
CONTI, FÁTIMA - Muitas Dicas. Disponível em <http://www.cultura.ufpa.br/dicas/> Acesso em: 29 de agosto 
de 2015. Laboratório de Informática - ICB – UFPA 
FERREIRA FILHO, JOSÉ MARTINS. Processos Estocásticos e Teoria das Filas. Disponível em: 
<http://www.iceb.ufop.br/deest/p3f1l_d3p4rt4m3nt03st/arquivos/0.661335001390983227.pdf>Acesso em: 28 
de agosto de 2015. 
GUJARATI, D.N. Econometria básica. 3ª edição. São Paulo: Makron Books, 2002. 
LUSTOSA, P. R. B.; PONTE, V. M. R.; DOMINAS, W. R. Simulação. In: CORRAR, L. J.; THEÒPHILO, C. 
R. (Org.). Pesquisa Operacional para decisão em contabilidade e administração. São Paulo: Atlas, 2004. 
MARSUDI, M.; SHAFEEK, H. The Application of Queuing Theory in Multi-Stage Production Line. 
Proceedings of the 2014 International Conference on Industrial Engineering and Operations Management. Bali, 
Indonesia, January, 2014. 
PRADO, D. S. Teoria das Filas e da Simulação. Belo Horizonte, MG: Editora de Desenvolvimento Gerencial. 
Série Pesquisa Operacional, Vol. 2, 1999. 
PRODANOV, C. C.; FREITAS E.C. Metodologia do Trabalho Científico: métodos e técnicas da pesquisa e 
do trabalho acadêmico [livro eletrônico]. 2. Ed. Novo Hamburgo, 2013.277p. Disponível em 
<http://feevale.br/cultura/metodologia-do-trabalho-cientifico---2edicao>. Acesso em: 28 de Julho de 2015. 
SPIEGEL, M.R. Estatística. São Paulo: Mc Graw Hill, 1981. 
TAHA,HAMDY A. Pesquisa Operacional: uma visão geral – 8 . ed – São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2008. 
 
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TEIXEIRA, M.M. Introdução à Teoria das Filas. Disponível em: 
<http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/ST565/intro-filas.pdf>. Acesso em: 29 de Agosto de 2015.