CALCULO INTEGRAL - Aula e Exercicios

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Caro estudante, nesta unidade vamos introduzir novos conceitos, estritamente ligados 
às derivadas. O conceito de integral é bem assimilado por estudantes que tiverem bom domínio 
da derivada e de todas as técnicas de derivação, pois, integral é uma operação inversa da 
derivada. 
Portanto recomenda-se que o estudante faça uma revisão da unidade 3 para melhor se integrar 
nesta unidade. Boa sorte 
 Lê com atenção as definições e acompanhe atentamente os exemplos resolvidos, resolva os 
mesmos exemplos para consolidar as matérias novas aprendidas. 
No final da unidade você irá encontrar exercícios propostos que deverá resolver sóozinho. 
O recurso à consulta da solução deve ser depois de ter tentado sóozinho ou em grupo de estudo. 
 
Parte A 
 
Algumas considerações teóricas 
1. Primitiva e Integral indefinido 
Definição 1: Se D é um conjunto de números reais e f é uma função de D em R, diz-se que uma 
função F de D em R é uma primitiva de f se a derivada de F for igual a f, isto é F’(x) = f(x). Se f 
tiver uma primitiva, diz-se que f é primitivável. 
Exemplo: Determinar a primitiva da função ( ) 23xxf = . 
Segundo a definição, verifica-se imediatamente que a primitiva de ( ) 23xxf = é ( ) 3xxF = . 
Visto que ( ) 23 3xx =′ . 
Observa-se facilmente que se a função f(x) admite uma primitiva, esta não é única. 
Assim no exemplo precedente, poderíamos tomar como primitivas as funções seguintes: 
( ) 3xxF = , ( ) 13 += xxF , ( ) 53 −= xxF 
ou em geral ( ) CxxF += 3 (onde C é uma constante arbitrária). 
Teorema 1: Se F1 e F2 são quaisquer duas primitivas de f, no intervalo D, a sua diferença é 
uma constante. 
Definição 2: Chama-se integral indefinida da função f(x) e denota-se por ∫ dxxf )( a toda 
expressão da forma ( ) CxF + , em que ( )xF é uma primitiva de f(x). Assim por definição, 
∫ += CxFdxxf )()( , se )()( xfxF =′ . 
A integral também é conhecida como antiderivada. 
A partir da definição da integral podemos constatar o seguinte: 
1. A derivada dum integral indefinido é igual à função a integrar, isto é, se )()( xfxF =′ então 
( ) ( ) )()()( xfCxFdxxf =′+=′∫ . 
2. O diferencial dum integral indefinido é igual à expressão sob o sinal de integral (soma) 
( ) dxxfdxxfd )()( =∫ . 
3. O integral indefinido do diferencial duma certa função é igual à soma desta função e duma 
constante arbitrária ∫ += CxFxdF )()( 
• Propriedades do integral indefinido 
Teorema 2. O integral indefinido da Soma algébrica de duas ou várias funções é igual à soma 
algébrica dos seus integrais. [ ] ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫ ∫∫ +=+ )()()( . 
Teorema 3. O integral indefinido do produto de uma constante por função é igual ao produto da 
constante pela integral da função. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( . 
• Primitivas de algumas funções elementares 
Nas fórmulas que se segue C designa uma constante arbitrária: 
1. ( )∫ −≠++=
+
1
1
1
α
α
α
α Cxdxx 2. ∫ += Cxx
dx ln 
3. ∫ +−= Cxsenxdx cos 4. ∫ += Csenxxdxcos 
5. ∫ += Ctgxx
dx
2cos
 6. ∫ +−= Cgxxsen
dx cot2 
7. ∫ +−= Cxtgxdx cosln 8. ∫ += Csenxgxdx lncot 
9. ∫ += Cedxe xx 10. ∫ += Ca
adxa
x
x
ln
 
11. ∫ +=+ Ca
xarctg
axa
dx 1
22 12. ∫ +−
+
=
−
C
xa
xa
axa
dx ln
2
1
22 
13. ∫ +=
−
C
a
xarcsen
xa
dx
22
 14. ∫ +±+=
±
Caxx
ax
dx 22
22
ln
 
 
 
Exemplos: 
Calcule os seguintes integrais: a) ∫ dxx3 b) ( )∫ +− dxxsenxx 52 c) ∫ + 24 x
dx 
Resolução: 
a) Cxdxx +=∫ 43 4
1 
b) ( )∫ +− dxxsenxx 52 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+−=+− dxxsenxdxxdxdxxsenxdxxdx 2
1
5252 = 
CxxxCxxx +++=++−−⋅= 32
2
3
2
3
2cos5
2
3
)cos(5
2
2 
c) ∫ + 24 x
dx = ∫ + 222 x
dx = Cxarctg +
22
1 
 
 EXERCÍCIOS: 
 I Calcular 
 
1) ∫ dxx5 2) ( )∫ + dxxx 
3) ∫ − dx
xx
x
)
4
3( 4) ∫ x
dxx2 
5) dx
xxx∫ ++ )2
41( 2 6) ∫ 4 x
dx 
7) ∫
− 29 x
dx 8) ∫ − 21 x
dx 
9) ( )∫ + dxe x2 10) ( )∫ + dxxx cos5 
 
==========/////========== 
2. Método de Substituição 
 
Considerações Teóricas: - Integração por mudança de variável (ou método de substituição) 
 
Há casos em que a função integranda se “assemelha” a uma função que se sabe integrar. É o que 
acontece, por exemplo com o integral dxx∫ 3cos em relação a ∫ duucos . 
 
Então, a substituição da variável x por uma nova variável de integração u, criteriosamente 
relacionada com x, permite simplificar o cálculo do integral. Assim, no exemplo considerado, 
convém fazer xu 3= , donde, se 3=
dx
du
 ou seja, dudx =3 donde, então segue que dudx
3
1
= e, 
assim tem-se: 
CxsenCusenududuudxx +=+=== ∫∫∫ 33
1
3
1cos
3
1
3
1cos3cos 
 
Deste modo, podemos dizer que o método de integração com recurso à mudança de variável 
consiste em: 
 
• Definir uma nova variável )(xgu = , onde )(xg é escolhida de tal modo que, 
quando escrita em termos de u, o integrando é mais simples do que quando escrita 
em termos de x. 
 
• Transformar o integral com relação a x num integral com relação a u, através da 
substituição de )(xg onde quer que seja por u e dxxg )(' por du . 
 
• Integrar a função resultante de u. 
 
• Reescrever a resposta em termos de x, através da substituição de u por ).(xg 
Outros exemplos/exercícios: 
- Calcular dxxxI ∫ += 13 32 . 
Resolução: 
- Aqui, a substituição pode ser: 13 += xu ; dxxdu 23= ou seja, 23x
dudx = , e portanto o 
integral calcula-se fazendo: 
∫∫ +==⋅⋅= Cuduux
duuxI 2/32/12
2
3
2
3
3 
Que passando à variável x fica, 
CxI ++= 2/33 )1(
3
2
. 
EXERCÍCIOS: 
II Calcular : 
 
1) dxxx 2)1(
32 ⋅+∫ 2) ∫ dxxsen )2( 
3) ∫ dxxex
2
2 4) dxxx 13 32 +∫ 
5) dx
x
x
∫
2)(ln
 6) dxex
x32∫ 
7) dxxsenx∫ − )5(1)5cos( 8) dxe x∫ −355 
9) dxxx 132 −∫ 10) dx
xx
xx
∫ +−
−
13
2
23
2
 
11) 
( )∫ + 3232
2cos
xsen
xdx 12) ∫ +12x
xdx 
13) ∫ ++
+ dx
xx
x
32
1
2 14) ∫ + 32
cos
senx
xdx 
15) ∫ + x
x
e
dxe
2
2
2
 16) ∫
− 231 x
dx 
17) ∫
− 2916 x
dx 18) ∫
− 29 x
dx 
19) ∫ + 49 2x
dx 20) ∫ − 294 x
dx 
21) ∫
− 6
2
5 x
dxx 22) ∫ − 253 x
dx 
23) ∫ + xsena
xdx
22
cos 24) ∫ ++ 522 xx
dx 
25) ∫ +− 423 2 xx
dx 26) ∫ ++ 132 xx
dx 
27) ∫ +− 562 xx
dx 28) ∫ +− 122 2 zz
dz 
29) ∫ +− 223 2 xx
dx 30) ( )∫ +−
−
1173
76
2 xx
dxx 
 
=====///===== 
 
Soluções 
I 
1) Cx +
6
6
 2) Cxxx ++
3
2
2
2
 
3) Cxxx +− 2
10
16 4) Cxx +2
5
2
 
5) Cx
xx
++−− 281 6) Cx +4 3
3
4
 
7) Cxarcsen +
3
 8) C
x
x
+
−
+
1
1ln
2
1
 
9) Cex x ++2 
10) Csenx
x
++
5ln
5
 
 
 
II 
1) Cx ++ 42 )1(
4
1
 2) Cx +− )2cos(
2
1
 
3) Cex +
2
 4) Cx ++ 2
3
3 )1(
3
2
 
5) Cx +
3
)(ln 3
 6) Cex +
3
3
1
 
7) Cxsen +−− 2
3
)]5(1[
15
2
 
8) Ce x +−35 
9) Cx +− 2
3
3 )1(
9
2
 10) Cxx ++− 13ln3
1 23 
11) 
( )
C
xsen
+
+
−
2232
1
12
1
 12) Cx ++1ln
2
1 2 
13) ( ) Cxx +++ 32ln
2
1 2 14) Csenx ++ 32ln
2
1
 
15) ( ) Ce x ++ 22ln
2
1
 16) Cxarcsen +3
3
1
 
17) Cxarcsen +
4
3
3
1
 18) Cxarcsen +
3
 
19) Cxartg +
2
3
6
1
 20) C
x
x
+
−
+
32
32ln
12
1
 
21) C
x
x
+
−
+
5
5ln
56
1
3
3
 22) Cxarcsen +
3
5
5
1
 
23) C
a
senxarctg
a
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛1 24) C
xarctg ++
2
1
2
1
 
25) Cxarctg +−
11
13
11
1
 26) C
x
x
+
++
−+
532
532ln
5
1
 
27) C
x
x
+
−
−
1
5ln
4
1
 
28) Cxarctg +− )12( 
29) Cxarctg +−
5
13
5
1
 30) Cxx ++− 1173ln
2 
 
3. Calcular usando o Método de Integração por partes 
 
Considerações Teóricas 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto, 
[ ] )()()()()()( xgxfxgxfxgxf
dx
d ′+′= 
Integrando ambos os lados, obtemos 
[ ] ∫ ∫∫ ′+′= dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx
d )()()()()()( 
ou 
∫ ∫ ′+′=+ dxxgxfdxxgxfCxgxf )()()()()()( 
Ou 
Cdxxgxfxgxfdxxgxf +′−=′∫ ∫ )()()()()()( 
 
Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade 
de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos 
∫ ∫ ′−=′ dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()( (1) 
A qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos 
tornar um problema de integração mais simples.Na prática, é usual reescrever (1) fazendo 
dxxfduxfu )()( ′=⇒= 
dxxgdvxgv )()( ′=⇒= 
Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1): 
∫ ∫−= vduuvudv (2) 
 
Exemplo 
 Calcule: ∫ dxxex 
Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma ∫udv 
Uma maneira de fazer isso é colocar 
 
para que, dxdu = e ∫ == xx edxev 
Deste modo, a partir de (2) 
 
Observação: 
1. A parte escolhida como dv tem de ser facilmente integrável. 
2. ∫ vdu não pode ser mais complicada que ∫udv . 
 
EXERCÍCIOS: 
 
I Integração por partes – Achar: 
1. dxxx ln2∫ 2. dxxx∫ +1 
3. dxsenxx∫ 2 4. dxex x23∫ 
5. ∫ dxxx ln 6. ∫ dxxsenx 
7. ∫ dxxex 8. dxxx∫ + 8)5( 
9. ∫ dxxx ln2 10. dxex x∫ 2 
 
Soluções: 
1. Cxxx +−
9
ln
3
33
 
2. Cxxx ++−+ 2
5
2
3
)1(
15
4)1(
3
2
 
3. Cxxsenxxx +++− cos22cos2 
4. Cexeexex
xxxx
+−+−
8
3
4
3
4
3
2
222223
 
5. Cxx +− )
2
1(ln
2
2
 
6. Cxxsenx +− cos 
7. Cexe xx +− 
8. Cxxx ++−+ 109 )5(
90
1)5(
9
1
 
9. Cxxx +− 3
3
9
1ln
3
 
10. Cxxex ++− )22( 2 
 
 
4. Calcular os integrais contendo o trinómio quadrático 
 
Considerações Teóricas 
I - Consideremos o integral ∫ ++ cbxax
dx
2 
Transformando o denominador numa soma ou diferença de quadrados podemos encontrar integrais 
de tabela. 
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++=++
a
cx
a
bxacbxax 22 =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++
a
c
a
b
a
bx
a
bxa
22
2
22
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += 2
22
42 a
b
a
c
a
bxa 
Se considerarmos k
a
b
a
c
±=− 2
2
4
 podemos ter 
∫ ++ cbxax
dx
2 = ∫
±⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 2
2
2
1
k
a
bx
dx
a
 
Fazendo a substituição dtdxt
a
bx =⇒=+
2
, logo 
∫ ++ cbxax
dx
2 = ∫ ± 22
1
kt
dt
a
 que é um integral de tabela. 
 
Exemplo: Calcule ∫ ++ 30123 2 xx
dx 
Resolução: ∫ ++ 30123 2 xx
dx = =
++∫ 1043
1
2 xx
dx
=
+−++∫ 104443
1
2 xx
dx
( )∫ ++ 623
1
2x
dx 
Fazendo a substituição dtdxtx =⇒=+ 2 , logo 
( )∫ ++ 623
1
2x
dx = ( ) C
tarctg
t
dt
+⋅=
+
∫ 66
1
3
1
63
1
22
Cxarctg ++=
6
2
63
1 
 
II - Consideremos o integral 
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2 
O método de substituição sugere que no numerador da fracção tenhamos a derivada do 
denominador, isto é, ( ) baxcbxax
dx
d
+=++ 22 . 
Assim: 
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
( )
dx
cbxax
a
AbBbax
a
A
∫ ++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −++
= 2
2
2
2 Este integral pode ser escrito na forma 
duma soma de dois integrais e retirando os factores constantes do integral, temos: 
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
( ) dx
cbxax
bax
a
A
∫ ++
+
= 2
2
2 ∫ ++⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
cbxax
dx
a
AbB 22
 
O segundo integral é I que já sabemos cacular. Fazendo a substituição 
( ) dtdxbaxtcbxax =+⇒=++ 22 , logo 
( ) CcbxaxCt
t
dt
cbxax
dxbax
+++=+==
++
+
∫∫ 22 lnln
2 , então 
 
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2 = +++= cbxaxa
A 2ln
2
C
kt
dt
a
AbB
a
+
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − ∫ 222
1
 
 
Exemplo: Calcule 
( )
∫ +−
+
84
1
2 xx
dxx
 
Resolução: 
( )
∫∫ =+−
+
=
+−
+ dx
xx
x
xx
dxx
84
22
2
1
84
1
22 ∫ =+−
++− dx
xx
x
84
2442
2
1
2
( )
∫ =+−
+− dx
xx
x
84
642
2
1
2
( )
∫ ++−
−
=
84
42
2
1
2 xx
dxx
∫ +− 84
6
2
1
2 xx
dx 
Fazendo a substituição, no 1º integral temos ( ) dtdxxtxx =−⇒=+− 42842 , 
No segundo integral transformemos o denominador numa soma de quadrados 
( ) 42844484 222 +−=+−+−=+− xxxxx 
+∫ t
dt
2
1
( )
=
+−∫ 42
6
2
1
2x
dx
( )
=+
−
+=
+−
+ ∫∫ C
xarctgt
x
dx
t
dt
2
2
2
3ln
2
1
22
3
2
1
22
 
Cxarctgxx +−++−=
2
2
2
384ln
2
1 2 
III - Consideremos o integral ∫
++ cbxax
dx
2
 
Fazendo transformações algébricas e mudança de variável análoga ao caso I reduzimos este 
integral a: 
• ∫
± 22 kt
dx para a > 0 
• ∫
− 22 tk
dx
 para a < 0 
 
Exemplo: Calcule ∫
−− 21228 xx
dx
 
 
Resolução: 
=
−−
∫ 21228 xx
dx
∫
+− )2(28 2 xx
dx
∫
−++−
=
)6612(28 222 xx
dx
∫
+−+
=
2)6(3628 x
dx
∫
+−
=
22 )6(8 x
dx 
Fazendo a substituição dtdxtx =⇒=+ 6 , logo 
∫
+− 22 )6(8 x
dx
=+=
−
= ∫ C
tarcsen
t
dt
8)8 22
Cxarcsen ++
8
6 
 
IV - Consideremos o integral ( )∫
++
+
cbxax
dxBAx
2
 
Fazendo transformações algébricas e mudança de variável análoga ao caso II e III reduzimos este 
integral a: 
( )
∫
++
+
cbxax
dxBAx
2
( ) dx
cbxax
bax
a
A
∫
++
+
=
2
2
2 ∫ ++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
cbxax
dx
a
AbB
22
 Ou seja 
• 
( )
∫
++
+
cbxax
dxBAx
2
+= ∫ t
dt
a
A
2 ∫ ±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
222 kt
dx
a
AbB para a > 0 
• 
( )
∫
++
+
cbxax
dxBAx
2
+= ∫ t
dt
a
A
2 ∫ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
222 tk
dx
a
AbB para a < 0 
Que são integrais de tabela. 
 
Exemplo: Calcule 
( )
∫
++
+
104
35
2 xx
dxx
 
Resolução: 
( )
=
++
+
∫ 104
35
2 xx
dxx dx
xx
x
∫
++
+⋅
104
32
2
5
2
( )
=
++
+−+⋅
= ∫ dxxx
x
104
3442
2
5
2
( )
=
++
+−+⋅
= ∫ dxxx
x
104
31042
2
5
2
( )
−
++
+
∫ 104
42
2
5
2 xx
dxx
=
++
∫ 104
7
2 xx
dx 
Fazendo a substituição, no 1º integral temos ( ) dtdxxtxx =+⇒=++ 421042 . 
No segundo integral transformemos o denominador numa soma de quadrados 
( ) 6210444104 222 ++=+−++=++ xxxxx , então: 
= −∫ t
dt
2
5
( ) ( )
=
++
∫ 22 62
7
x
dx ( ) ( ) =+++++− Cxxt 22 622ln75
Cxxxxx +++++−++= 1042ln71045 22 
 
EXERCÍCIOS: 
Calcular os integrais contendo o trinómio quadrático 
1. ∫ ++ 2082 2 xx
dx 2. ∫ −−
+ dx
xx
x
52
3
2 
3. ( )∫ +−
−
235
23
2 xx
dxx 4. ( )∫ +−
−
1
13
2 xx
dxx 
5. dx
xx
xxx
∫ +−
+−
12
456
2
234
 6. ∫
−− 2432 xx
dx 
7. ∫
++ 21 xx
dx 8. ∫
+ 22 SaS
dS 
9. ∫
−− 2375 xx
dx 10. ( )∫ + 53xx
dx 
11. ∫
−− 232 xx
dx 12. ∫
++
+ dx
cbxax
bax
2
2
 
13. ( )∫
−+
−
211663
3.
xx
dxx
 14. ( )∫
−+
+
2443
3.
xx
dxx
 
 
Soluções: 
1. Cxarctg ++
6
2
62
1 
2. ( )
( )
C
x
xxx +
−+
−−
+−−=
16
16ln
6
252ln
2
1 2 
3. ( ) Cxarctgxx +−−+−
31
310
315
11235ln
10
3 2 
4. ( ) Cxarctgxx +−++−
3
12
3
11ln
2
3 2 
5. Cxarctgxxxx +−++−+−
7
14
72
112ln
4
1
2
2
2
3 
6. Cxarcsen ++
41
38
2
1
 
7. Cxxx +++++ 1
2
1ln 2 
8. CSaSaS ++++ 22ln 
9. Cxarcsen ++
109
76
3
1 
10. ( ) Cxxx ++++ 531256ln
3
1
 
11. Cxarcsen ++
17
32
 
12. Ccbxax +++22 
13. Cxx +−+− 211663
11
1 
14. Cxarcsenxx +−+−+−
2
12
4
7443
4
1 2 
 
 
5. Integração de Fracções Racionais 
 
Considerações Teóricas 
Uma função ,
)(
)()(
xg
xfxF = onde f(x) e g(x) são polinómios, é chamada uma fracção racional. Se 
o grau de f(x) é menor que o grau de g(x), F(x) é chamada própria; caso contráario F(x) é dita 
imprópria. 
 
Uma fracção racional imprópria pode ser expressa como soma de um polinómio e uma fracção 
racional própria. 
Por Exemplo: 
1
1
1
1
22
3
+
−
−=
+
+
x
xx
x
x
 
Toda fracção racional própria pode ser expressa como uma soma de fracções mais simples 
(fracções parciais) cujos denominadores são da forma ( )nbax + e ( )ncbxax ++2 sendo n um 
número inteiro positivo. Vamos apenas estudar os seguintes casos, dependendo da natureza dos 
factores do denominador: 
 
I – Factores lineares distintos. 
A cada factor linear ax + b ocorrendo uma vez no denominador de uma fracção racional própria, 
corresponde uma única fracção parcial da forma ,
bax
A
+
onde A é uma constante a ser 
determinada. 
 
Exemplo: Calcule 
( )
∫ −+
+
xxx
dxx
6
1
23 
Consideremos a fracção própria 
32)3)(2(
1
6
1
23 +
+
−
+=
+−
+
=
−+
+
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x então: 
)2()3()3)(2(1 −++++−=+ xCxxBxxxAx 
( ) AxCBAxCBAx 6)23(1 2 −−++++=+ 
 
Método geral: Consiste na resolução do sistema de equações: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
−=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−+
=++
15
2
10
3
6
1
16
123
0
C
B
A
A
CBA
CBA
 
Método prático: Substituindo na equação )2()3()3)(2(1 −++++−=+ xCxxBxxxAx os 
valores x = 0 ⇒ 
6
1)20(0)30(0)30)(20(10 −=⇒−++++−=+ ACBA 
 x = 2 ⇒ 
10
3)22(2)32(2)32)(22(12 =⇒−++++−=+ BCBA 
 x = -3 ⇒ ( ) ( )
15
2)23(3)33(3)33)(23(13 −=⇒−−−++−−++−−−=+− CCBA 
 
( )
=
−+
+
∫ xxx
dxx
6
1
23 =+
−
−
+− ∫∫∫ 315
2
210
3
6
1
x
dx
x
dx
xdx
=++−−+−= Cxxx 3ln
15
22ln
10
3ln
6
1 C
xx
x
+
+⋅
−
15 26
10 3
3
2
ln 
 
II – Factores lineares repetidos. 
 
A cada factor ax + b ocorrendo n vezes no denominador de uma fracção racional própria, 
corresponde uma soma de n fracções parciais da forma 
( ) ( )
,2
21
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
+
++
+
+
+
L onde os A’s são constantes a serem determinadas. 
 
Exemplo: Calcule 
( )
∫ +−−
+
1
53
23 xxx
dxx 
Consideremos a fracção própria 
( )2223 111)1)(1(
1
1
53
−
+
−
+
+
=
−+
+
=
+−−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
xxx
x 
então: ( ) ( )( ) ( )111153 2 ++−++−=+ xCxxBxAx 
Para x = -1 ⇒ ( )
2
1)11()11(11)11(53 2 =⇒+−+−−+−+−−=+− ACBA 
 x = 1 ⇒ ( ) 4)11()11(11)11(53 2 =⇒++−++−=+ CCBA 
Para determinar a outra constante usamos qualquer outro valor de x, por exemplo x = 0 
 x = 0 ⇒ ( ) 5)10()10(10)10(50 2 =+−⇒++−++−=+ CBACBA 
Logo: 
2
154
2
1
−=⇔=+− BB 
 
( )
=
+−−
+
∫ 1
53
23 xxx
dxx
( )∫∫∫ −+−−+ 21412
1
12
1
x
dx
x
dx
x
dx =+
−
−−−+= C
x
xx
1
41ln
2
11ln
2
1 
C
xx
x
+
−
−
−
+
=
1
4
1
1ln
2
1 
 
III – Factores quadráticos distintos. 
A cada factor quadrático irredutível ax2 + bx + c ocorrendo uma vez no denominador de uma 
fracção racional própria, corresponde uma única fracção parcial da forma ,2 cbxax
BAx
++
+
onde A 
e B são constantes a serem determinadas. 
Exemplo: Calcule 
( )
( ) ( )∫ ++
+++
31
3
22
23
xx
dxxxx 
 
Consideremos a fracção própria 
31)3)(1(
3
2222
23
+
+
+
+
+
=
++
+++
x
DCx
x
BAx
xx
xxx 
 
Portanto: ( )( ) ( )( )133 2223 +++++=+++ xDCxxBAxxxx 
 
ou seja: ( ) ( ) ( ) DBxCAxDBxCAxxx +++++++=+++ 333 2323 
 
então: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
13
1
CA
CA e 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
33
1
DB
DB 
 
Logo A = 0, C =1, B = 1 e D = 0. 
 
( )
( ) ( ) =+++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
++
+++
∫ ∫∫∫ 3131
1
31
3
222222
23
x
xdx
x
dxdx
x
x
xxx
dxxxx 
 
CxarctgxCxarctgx +++=+++= 3ln3ln
2
1 22 
 
 
 EXERCÍCIOS: 
 
Integração de Fracções Racionais – Achar: 
 
1. ∫ − 42x
dx
 2. dx
xx
x
∫ −−
−
)2)(1(
12
 
3. ∫ +++ )5)(3)(1( xxx
xdx
 4. dx
xx
xx
∫ −
−+
4
8
3
45
 
5. ∫ + )1( 2xx
dx
 6. ∫ −+
+
xxx
dxx
6
)1(
23 
7. dx
x
x
∫ −
+
1
2
3
2
 8. dx
xx
xxx
∫ −
−−−
23
34 1
 
9. ∫ +− 2)1)(1( xx
xdx
 10. ∫ +− xxx
dx
23 2
 
11. ∫ + xx
dx
3 12. dxxx
xxx
∫ ++
+++
23
2
24
23
 
 
Soluções: 
 
 
1. C
x
x
+
+
−
2
2ln
4
1
 
2. C
x
x
+
−
−
1
)2(ln
3
 
3. C
xx
x
+
++
+
)1()5(
)3(ln
8
1
5
6
 
4. C
x
xxxxx +
+
−
++− 3
5223
)2(
)2(ln4
23
 
5. C
x
x
+
+1
ln
2
 
6. C
xx
x
+
+
−
15/26/1
10/3
)3(
)2(ln 
7. Cxarctgx ++−−
3
12
3
32)1ln( 
8. C
x
x
x
x
+
−
+−
1
ln21
2
2
 
9. C
x
x
x
+
+
−
+
+
−
1
1ln
4
1
)1(2
1
 
10. C
x
xx +
−
−−−
1
11lnln 
11. C
x
x
+
+ 1
ln
2
 
12. Cxarctgx +++ 2ln 2 
 
 
 
 
 
6. Aplicações do Integral Indefinido 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Se a função custo marginal é 
12
240)('
+
+=
x
xC , onde x é o número de unidades 
produzidas, e, se o custo para produzir 6 unidades for $ 700.00, então a função custo é dada 
por: 
(A) ...43.457|12|ln40 +++ xx 
(B) ...56.462|12|ln40 +++ xx 
(C) C
x
x +
+
+
12
240 
(D) C
x
x +
+
+
12
140 
(E) ...43.457
12
140 +
+
+
x
x 
 
2. A função Receita marginal da venda de x centenas de um certo bem é xxR 004.010)(' −= . 
Se a receita da venda de 500 unidades desse mesmo bem é $ 1000.00, então a função receita 
total é dada por: 
 
(A) 3500002.010 2 −− xx (B) 05.950002.010 2 +− xx 
(C) 95.39002.010 2 −− xx (D) 20.400002.010 2 +− xx 
(E) Nenhuma das alternativas 
 
3. A taxa estimada de produção de petróleo de um certo poço t anos após a produção ter 
começado é dada por ttetR 1.0100)( −= milhares de barris por ano. Encontre uma expressão 
que descreva a produção total de petróleo no final do ano t. 
[ Sol.: 10000)10(1000)( 1.0 ++−= − tetR t ] 
 
4. Supondo que a circulação actual do semanário “Savana” é de 3000 exemplares por semana. O 
editor-chefe do semanário projecta uma taxa de crescimento de 3/254 t+ exemplares por 
semana, daqui a t semanas pelos próximos 3 anos. Com base nessa projecção qual será a 
circulação do semanário daqui a 125 semanas? 
[Sol.: 87512)125( =S exemplares/semana] 
 
5. A velocidade de um carro (em pés/segundo) t segundos após partir do repouso é dada pela 
função )300(;2)( ≤≤= tttf . Determine a posição do carro em qualquer instante t. 
[Sol.: 2/33/4)( ttf ⋅= ] 
 
6. Uma Companhia de Relógios fabrica relógios de pulso a um custo marginal diário de produção 
associado à função 8009.0000009.0)(' 2 +−= xxxC , onde )(' xC é medida em 
dólares/unidade e x denota o número de unidades produzidas. Sabendo-se que a gerência 
determinou que o custo fixo diário incorrido na produção desses relógios é de $ 120.00, 
determine o custo total incorrido pela Companhia ao produzir os primeiros 500 relógios de 
pulso/dia. 
[Sol.: $ 3 370.00] 
 
7. A Cannon Precision Instruments Corporation fabrica um certo tipo de “flash” electrónico 
automático. O lucro marginal estimado associado à produção e venda desses “flashes” 
electrónicos é 20004.0)( +−= xxL dólares/unidade/mês. O custo fixo da Cannon para 
produzir e vender estes “flashes” é $ 16 000/mês. Com que nível de produção a Cannon realiza 
um lucro máximo? Qual é o lucro mensal máximo? 
[Sol.: 5000 unidades; $ 34 000] 
 
8. A taxa de variação do preço unitário p (em dólares) de botas femininas Apex é dada por 
2/32 )16(
250)('
x
xxp
+
−
= , onde x é a quantidade demandada diariamente em unidades de 
centenas. Encontre a função demanda para essas botas se a quantidade demandada diariamente 
é de 300 pares )3( =x quando o preço unitário é de $ 50/par. 
[Sol..: 216/250)( xxp += ] 
 
9. O número de telespectadores de um noticiário na TV, introduzido na temporada de 2005, tem 
crescido à taxa de ( ) 3/12123 −+ t milhões de telespectadores/ano em seu t-ésimo ano no ar, 
sendo )61( ≤≤ t . O número de telespectadores do programa durante o seu primeiro ano no ar 
é dado por 3/22
5 )(9 milhões. Determine quantos telespectadores são esperados para a 
temporada 2010. 
[Sol.: .... ] 
 
 
7. Integral Definido 
Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] 
utiliza-se a notação: dxxfS
b
a∫= )( 
 
A ideia desta notação utilizando um S 
comprido é generalizar a noção de 
somatório. Isto porque intuitivamente a 
integral de f(x) pode ser entendida como a 
soma de pequenos rectângulos de base dx e 
altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área 
deste rectângulo. A soma de todas estas 
pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, 
fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma: 
 ∑
=
Δ
n
i
i xxf
0
)( onde 
n
abx −=Δ 
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais se divide o intervalo (b-a), f(xi) é o 
valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando n for muito 
grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da 
integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite ∫∑ ==Δ
=
∞→
b
a
n
i
in
Sdxxfxxf )()(lim
0
 esteja 
definido. 
Definimos ∫
b
a
dxxf )( quando a < b. Portanto outros casos são definidos da seguinte maneira : 
• 0)( =∫
a
a
dxxf 
• se a < b, então ∫
a
b
dxxf )( = - ∫
b
a
dxxf )( 
Propriedades da integral definida: 
• =∫
b
a
dxxkf )( ∫
b
a
dxxfk )( , para qualquer constante k ∈ IR 
• [ ]∫ ±
b
a
dxxgxf )()( = ∫
b
a
dxxf )( ± ∫
b
a
dxxg )( , desde que as funções f e g sejam 
integráveis no intervalo [a, b]. 
• ∫
c
a
dxxf )( + ∫
b
c
dxxf )( ∫=
b
a
dxxf )( , se a função f é integrável no intervalo [a, b] e 
c∈[a, b] tal que a < c <b 
• Teorema do valor médio para integrais: ∫
b
a
dxxf )( = (b-a)f(x0) para algum x0 entre a e b. 
• Se )()()()( ufuF
du
ddxxfuF
u
a
=⇒= ∫ 
 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
Se f(x) é contínua no intervalo de integração[a, b] e se F(x) é uma integral indefinida de f(x) então: 
)()()()( aFbFxFdxxf b
a
b
a
−==∫ 
 
Exemplo: Calcule a) ∫
3
1
xdx b) ∫ +
10
4 2x
dx
 
 
Resolução: a) 628
2
2
2
4
2
224
2
24
2
=−=−==∫
xxdx 
 b) [ ] 2ln6ln12ln2ln
2
10
4
10
4
=−=+=
+∫ xx
dx
 
 
EXERCÍCIOS: 
 Calcule: 
 
1. ∫ −
2
2/3
17)32(2 dxx 2. dxxxsenx )4()24(
3
1
2∫ −− 
3. dx
x
xe
∫
1
ln
 4. dxxx∫ −
5
3
2 9 
5. dxeee xxx ])[(
2ln
1ln
2 +∫ 6. dxxxsen cos1
2/
2/
2∫
−
−
π
π
 
7. ∫
−
−⋅−−
2
1
223 )23()12( dxxxx 8. dxxx∫
−
−−
0
6
2 6 
9. dxx∫
4
2
23 10. ∫ −−
2
1
38 dxx 
11. ∫
36
4 x
dx
 12. dxxx )24( 3/1
8
1
3/1 −+∫ 
13. dte
t
∫
1
0
2 14. dxx )1(
8
1
3∫ + 
15. ∫
2/3
2/
π
π
dxsenx 16. ∫ +
1
0
21 x
dx
 
17. ∫
e
x
dx
1
 18. ∫
x
a
dxx
3
2 
19. dxsenx
x
∫
0
 20. ∫ −
z
x
dx
1 12
 
21. ∫
2/
0
2cos
π
dx 22. dxxsenx 2
2/
0
cos∫
π
; sugestão cos x=t 
23. ∫ +
2
1
)52( dxx 24. ∫ +−
1
0
2 )32( dxxx 
25. dxx∫
−
+
1
1
2)1( 26. ∫
−
2/
2/
2
cosπ
π xsen
dxx
 
27. ∫
π
0
cos dxx 28. dtt
x
∫ −
1
21 
29. ∫
3
1
2 3 dxex x 30. ∫
−
−
π
π
π
2
)8( dxxsen 
 
=====///===== 
 
 
Soluções : 
1. 18/1 2. 0 
3. 2/1 
4. 
3
64
 
5. 
6
23
 6. 
2
π
 
7. 9 
8. 
2
9π
 
9. 56 10. 3 
11. 842362 =− 12. 54 
13. )1(2 2
1
−e 14. 4
73
 
15. 
2
2
 16. 4
π
 
17. 1 18. 3/)4( 3 −x 
19. 
2
2 2 xsen 
20. )12ln( −z 
21. 
4
π
 
22. 3/1 
23. 8 24. 3/7 
25. 3/8 26. 12 − 
27. 0 28. 21 x−− 
29. )(
3
1 27 ee − 
30. 0 
==========/////========== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Integrais Impróprios 
 
A integral definida ∫
b
a
dxxf )( é chamada imprópria quando 
1. O integrando f(x) tem um ou mais pontos de descontinuidade no intervalo [a, b], ou 
2. Um dos (ou os dois) dois limites de integração é infinito. 
 
1. Integrando Descontínuo 
 
a) Se f(x) é contínuo no intervalo [a, b[ mas descontínuoa em x = b, definimos, 
 dxxfdxxf
b
a
b
a ∫∫
−
→ +
=
ε
ε
)(lim)(
0
. Desde que o limite exista. 
 
b) Se f(x) é contínuo no intervalo ]a, b] mas descontínuo em x = a, definimos, 
 dxxfdxxf
b
a
b
a ∫∫ +→ += εε )(lim)( 0 . Desde que o limite exista. 
 
c) Se f(x) é contínuo no intervalo [a, b] excepto e x = c ∈ [a, b] definimos 
 ∫∫∫ +→
−
→ ++
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
δδ
ε
ε
)(lim)(lim)(
00
. Desde que ambos os limites existam. 
 
Obs. Os integrais deste tipo denominam-se integrais impróprios de segunda espécie. 
 
Exemplo: Calcule a) ∫
−
2
0 24 x
dx
 b) 
( )∫ −
4
0 22x
dx 
Resolução: a) ∫
−
2
0 24 x
dx
o integrando é descontínuo em x = 2. Então, 
∫
−
2
0 24 x
dx
=
−
= ∫
−
→ +
ε
ε
2
0 20 4
lim
x
dx ε
ε
−
→ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
2
0
0 2
lim xarcsen ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
−
=
+→
0
2
2lim
0
arcsenarcsen ε
ε
2
1 π==arcsen 
 
 b) 
( )∫ −
4
0 22x
dx o integrando é descontínuo em x = 2, um valor entre os limites de 
integração 0 e 4. Então, 
( )
=
−∫
4
0 22x
dx 
( ) ( )∫∫ +→
−
→ −
+
− ++
4
2 20
2
0 20 2
lim
2
lim
δδ
ε
ε x
dx
x
dx
 
4
2
0
2
0
0 2
1lim
2
1lim
δ
δ
ε
ε
+
→
−
→ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
++ xx
= 
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
−
−
−
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−
−
=
++ →→ 22
1
24
1lim
2
1
22
1lim
00 δε δε
∞=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
++ →→ δε δε
1
2
1lim
2
11lim
00
 
O integral 
( )∫ −
4
0 22x
dx é divergente. 
Obs. Se o ponto de descontinuidade for desconsiderado, obtemos 
( )
1
2
1
2
4
0
4
0 2
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
−∫ xx
dx . 
Este resultado é absurdo porque 
( )22
1
−x
 é sempre positivo 
 
3. Limites de Integração Infinitos 
 
• Se f(x) é contínua em todo o intervalo [a, U] definimos: 
 dxxfdxxf
U
aUa ∫∫ +∞→
+∞
= )(lim)( . Desde que o limite exista. 
 
• Se f(x) é contínua em todo o intervalo [u, b] definimos: 
 dxxfdxxf
b
uU
b
∫∫ −∞→∞− = )(lim)( . Desde que o limite exista. 
 
• Se f(x) é contínua, definimos: 
 =∫
+∞
∞−
dxxf )( +∫−∞→ dxxf
a
uU
)(lim dxxf
U
aU ∫+∞→ )(lim . Desde que ambos os limites 
existam. 
 
Exemplo: Calcule a) ∫
∞+
1 2x
dx
 b) ∫ ∞−
0 2 dxe x 
 
Resolução: a) 111lim1limlim
1
1 21 2
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−==
∞+→+∞→+∞→
∞+
∫∫ uxx
dx
x
dx
U
u
U
U
U
 
 b) ∫∫ == −∞→∞−
0 20 2 lim
u
x
u
x dxedxe
2
1
22
1lim
2
lim
202
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞−→−∞→
u
u
u
x
u
ee
 
EXERCÍCIOS: 
 Calcule: 
 
1. ∫
+∞
+0
21 x
dx
 2. ∫
∞− +
0
21 x
dx
 
3. ∫
+∞
∞− +
21 x
dx
 4. ∫ −
1
0 1 x
dx
 
5. ∫
−
1
1
2x
dx
 6. ∫
−
1
0
21 x
xdx
 
7. dxe x∫
∞
−
0
 8. 0(;
0
22
>
+
∫
∞
a
xa
dx
 
9. ∫
−
1
0
21 x
dx
 10. ∫
∞
0
5x
dx
 
11. ∫
1
0
ln xdx 12. ∫
∞
0
dxsenxx 
13. ∫
∞
1 x
dx
 14. ∫
+∞
∞− ++ 22
2 xx
dx
 
15. ∫
1
0
3 x
dx
 16. ∫
2
0
3x
dx
 
17. ∫
∞
−1 2 1xx
dx
 18. ∫
−
1
1
4x
dx
 
19. )0()(
0
>∫
∞
− adxbxsene ax 20. )0()(cos
0
>∫
∞
− adxbxe ax 
 
==========/////========== 
 
Soluções 
1. 2/π 2. 2/π 3. π 4. 2 
5. Divergente 6. 1 7. 1 8. a2/π 
9. 2/π 10. 4/1 11. -1 12. Divergente 
13. Divergente 14. π 15. 2/3 16. Divergente 
17. 2/π 18. Divergente
19. 22 ba
b
+
20. 22 ba
b
+
 
 
 
9. Aplicações do Integral Indefinido 
 
Algumas considerações teóricas 
 
 
Seja )()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫ , onde )(xF é primitiva de )(xf ou seja )()(' xfxF = . Ora, 
assumindo que a função integranda )(xf como a taxa de variação de uma função )(xF , pode-se 
dizer que o integral definido da taxa de variação de uma função num intervalo, ∫
b
a
dxxf )( , dá a 
variação total da função no intervalo, )()( aFbF − . 
 
Assim, tem-se: 
 
(i) )()()(' aRbRdqqR
b
a
−=∫ → O integral da receita marginal num intervalo como a 
variação total da receita nesse intervalo 
(ii) )()()(' aCbCdqqC
b
a
−=∫ → O integral do custo marginal num intervalo como a 
variação total do custo nesse intervalo 
(iii) )()()(' aLbLdqqL
b
a
−=∫ → O integral do lucro marginal num intervalo como a 
variação total do lucro nesse intervalo 
 
 
 
Exemplo: Na comercialização, em dólares, de um certo produto, a receita marginal é dada por 
20020)(' +−= qqR e o custo marginal é dado por qqC 20)(' = . Para o intervalo 51 ≤≤ q , 
obtenha: 
a) A variação total da receita. [Resp: 560)1()5()('
5
1
=−=∫ RRdqqR ] 
b) A variação total do custo. [Resp: 240)1()5()('
5
1
=−=∫ CCdqqC ] 
c) A variação total do lucro. [Resp: 240)1()5()('
5
1
=−=∫ LLdqqL ] 
 
 
Em termos de interpretação gráfica da variação total do lucro da alínea c), pode ser entendido como 
correspondendo à área entre a curva da receita marginal 20020)(' +−= qqR , e a curva do custo 
marginal qqC 20)(' = , no intervalo 51 ≤≤ q . 
 
 
 
Valor Médio de uma função: 
 
- Se f(x) for uma função continua no intervalo ];[ ba , o valor médio m da função f(x) neste 
intervalo é definido por: 
 
∫⋅= −
b
a
ab
dxxfm )(1 . 
 
 
 
Volume de um Sólido de Revolução: 
 
- Se uma função contínua tal como )(xf entre ax = e bx = for rodada em torno do eixo X, 
origina-se um sólido de revolução, cujo volume pode ser expresso simbolicamente como: 
 
∫ ⋅=
b
a
dxxfV 2)]([π . 
 
 
 
Excedente do consumidor: 
 
- Uma função procura )(1 xfp = , relaciona os vários preços que os consumidores estão dispostos 
a pagar por quantidades diferentes de um bem. Se o equilíbrio no Mercado ocorrer em );( oo px , 
com todos os consumidores a pagarem o mesmo preço, então os consumidores que tenham 
adquirido o bem, mesmo que a um preço superior, têm um benefício. O benefício total para os 
consumidores, designado por excedente do consumidor é dado pela fórmula: 
 
∫ −=
0
0
00)(
x
xpdxxfConsumidordoExcedente 
 
 
 
Excedente do produtor: 
 
- Por outro lado, uma função oferta )(2 xgp = , representa os preços aos quais os produtores 
oferecem quantidades diferentes de um bem. Se o equilíbrio de Mercado ocorrer em ),( 00 px , os 
produtoresque fornecem o bem a preços inferiores a po obtêm um benefício. O ganho total dos 
produtores, excedente do produtor é dado pela fórmula: 
∫−=
0
0
00 )(
x
dxxfxpProdutordoExcedente . 
 
 
 
 
Valor Futuro de um Fluxo de Renda (VF): 
 
 
- A renda gerada numa empresa não é calculada apenas no final de um ano, de um mês ou de uma 
semana. A renda gerada pode ser calculada diariamente em vários instantes; nesse sentido, 
podemos falar de um fluxo de renda. É comum uma empresa, ao gerar uma renda, investi-la para 
obter juros, acumulando assim as rendas geradas e os juros obtidos no investimento de tais rendas; 
nesse sentido, podemos falar do valor acumulado de um fluxo de renda. 
 
Podemos utilizar o integral definido para calcular o valor futuro acumulado de um fluxo de renda, 
ou seja calcular com o integral definido o valor acumulado por uma empresa quando a renda gerada 
é investida continuamente e no processo de acumulação, os juros são obtidos por capitalização 
contínua. 
 
Em vários instantes a renda gerada compõe o fluxo de renda mas por simplicidade consideramos 
anual a taxa de geração de renda. Tal taxa será dada pela função )(xR , onde x representa o tempo 
dado em anos. 
 
Temos a expressão que dá o valor futuro acumulado (VFA) de um fluxo de renda ou 
simplesmente, valor futuro de um fluxo de renda, após N anos, onde )(xR é a taxa na qual a renda 
é gerada anualmente e i é a taxa de juros compostos continuamente: 
 
dxexReVFFuturoValor
N
ixiN ∫ −==
0
)(. 
 
Exemplo: - Para a Empresa A, um produto gera uma renda a uma taxa de 500 000 dólares por ano. 
Ao ser obtida, tal renda é aplicada várias vezes ao dia a uma taxa anual de 8% composta 
continuamente. Qual será o VFA para esse fluxo de renda após 5 anos? 
 
Resolução: Com efeito, tem-se, dxeeVF x∫ −=
5
0
08,05.08,0 500000 , ou seja; 
dxeeVF x∫ −=
5
0
08,004,0500000 . 
 
 
Calculando o integral indefinido correspondente dxe x∫ − 08,0 pelo método de substituição 
obtém-se 
 
[ ]
79,3073904
121,4.500000
5,12500000
4,0
5
0
08,04,0
=
==
==
=−= −
e
eeVF x
L
 
 
Assim o valor futuro acumulado é de 3073904,79. 
 
 
=====///===== 
 
 
 
Valor Presente de um Fluxo de Renda: 
 
 
Existem ainda, situações em que é interessante conhecer o valor presente de um fluxo de renda, ou 
seja, para um certo período, qual o capital que deve ser aplicado inicialmente para que no final 
desse período, o montante obtido seja equivalente ao valor futuro de um fluxo de renda 
correspondente. 
 
Considerando um fluxo de renda onde )(xR é a taxa na qual a renda é gerada anualmente e i é a 
taxa de juros compostos continuamente, vimos que, após N anos, o valor futuro do fluxo de 
renda é dado por 
dxexReVF
N
ixiN ∫ −⋅=
0
)( . 
 
Com a mesma taxa i de juros compostos continuamente, se aplicarmos um capital inicial P após 
N anos, obtém-se um montante iNePA .= , e tal montante deve ser igual ao Valor Futuro do 
Fluxo de Renda 
∫⋅=
N
ixiNiN dxexReeP
0
)(. 
 
Dividindo ambos os membros da igualdade por iNe obtém-se o capital inicial (valor presente do 
fluxo de renda) que aplicado inicialmente, iguala o montante ao valor futuro do fluxo de renda 
∫ −=
N
ixdxexRP
0
)( . 
Assim temos a expressão que dá o valor presente de um fluxo de renda onde N é o número de 
anos, )(xR é a taxa na qual a renda é gerada anualmente e i é a taxa de juros compostos 
continuamente: 
 
dxexRVPesenteValor ix
N
−∫==
0
)(Pr 
 
==========/////========== 
 
Exemplos/exercícios: 
 
(E-1) – Numa Empresa, a produção duma máquina é vendida e proporciona uma renda a uma taxa 
de 25000 dólares por ano. Ao ser obtida tal renda é aplicada várias vezes ao dia a uma taxa anual de 
10% composta continuamente. Qual o valor presente dessa máquina considerando que a sua vida 
útil é de 15 anos e mantidas as mesmas taxas de renda e de juros nesse período? 
 
 
Resolução: O valor presente da máquina será o valor presente do fluxo de renda gerado por ela. 
Tem-se, portanto, ∫ −=
15
0
)( dxexRVP iN e, substituindo 15=N , 25000)( =xR e 1.010.0 ==i , 
obtém-se 
 
∫ ∫ −− ⋅==
15
0
15
0
1.01.0 2500025000 dxedxeVP xx 
[ ]
( )
00.194225
769.725000
)10(1025000
1025000
01.0151.0
15
0
1.0
=
=⋅≅
≅−−−⋅=
=−⋅=
⋅−⋅−
−
ee
eVP x
 
 
Donde, o valor presente da máquina é de 194225.00 dólares. 
 
 
 
(E-2) – Uma companhia calcula que a taxa de renda produzida por uma máquina no tempo t será, 
em dólares t1005000 − por ano. Determinar o valor presente deste fluxo contínuo de rendimentos 
durante os próximos quatro anos, com uma taxa de juros de 6%. 
 
 
Resolução: - Com efeito usamos a fórmula 
 
dxexRVP ix
N
−∫=
0
)( 
 
e, sendo txR 1005000)( −= , 4=N e 06.0%6 ==i , o valor presente deste fluxo de 
rendimento é 
 
∫ −−=
4
0
06.0)1005000( dtetVP t . 
 
Ora, usando o método de integração por partes obtém-se: 
 
17098
592723025
06.0
1
06.0
10023025
06.0
1)100(
06.0
1)1005000(
)1005000(
4
0
06.0
4
0
06.0
4
0
06.0
4
0
06.0
=
=−≅
≅⋅
−
⋅−≅
≅⋅
−
−
−⋅
−
⋅−=
=−=
−
−
−
−
∫
∫
t
t
t
t
e
e
et
dtetVP
 
 
 
=====///===== 
 
 
 
 
 
Montante e Valor Presente de uma Anuidade 
 
 
Uma anuidade é uma sequência de pagamentos feitos em intervalos regulares de tempo. O período 
de tempo durante o qual tais pagamentos são efectuados é chamado de prazo da anuidade. Embora 
os pagamentos não precisem de ser iguais em valor, eles são iguais em muitas aplicações 
importantes, e assumiremos aqui que eles são iguais para as nossas análises. Exemplos de 
anuidades são depósitos regulares numa poupança, pagamentos mensais de hipoteca e pagamentos 
mensais de seguro. 
 
O montante de uma anuidade é a soma dos pagamentos mais os juros obtidos. Uma fórmula para 
calcular o montante de uma anuidade A pode ser deduzida com a ajuda da fórmula, 
 
∫ −⋅=
N
ixiN dxexReVF
0
)( . 
Considerando: 
• P = Valor de cada pagamento; 
• i = Taxa de juros compostos continuamente; 
• N = Prazo da anuidade; 
• m = Número de pagamentos 
 
 
E, se os pagamentos dentro da anuidade constituem um fluxo de renda constante de mPxR =)( 
dólares ao ano. Com este valor de )(xR , a fórmula anterior dá-nos portanto, 
( ),1
1
)(
0
00
−=
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⋅=⋅=
−
−
−− ∫∫
iN
iN
iN
Nix
iN
N
ixiN
N
ixiN
e
i
mP
ii
emPe
i
emPeVF
dxmPeedxexReVF
 
 
 
O que nos leva à fórmula de cálculo do montante de uma anuidade seguinte: 
 
 
=====///===== 
 
 
 
Montante de uma Anuidade: 
 
 
O montante de uma anuidade é dado pela fórmula )1( −= iNe
i
mPA , onde, P, i, N e m são como 
definido anteriormente (P =Valor de cada pagamento; i =Taxa de juros compostos continuamente; 
N=Prazo da anuidade; m=Número de pagamentos). 
 
 
=====///===== 
 
 
 
Valor Presente de uma anuidade: 
 
De forma análoga ao que foi visto para o cálculo do montante de uma anuidade, agora, partindo da 
fórmula de cálculo de valor presente de um fluxo de renda, 
 
dxexRVP ix
N
−∫=
0
)( , 
pode deduzir-se a fórmula para calcular o valor presente de uma anuidade. 
 
∫∫ −− ==
N
ix
N
ix dxmPedxexRVP
00
)( . 
Isto é, 
 
Nix
i
emPVP
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
−
, ou seja, ( )iN
iN
e
i
mP
ii
emPVP −
−
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−= 11 
 
Donde, o valor presente de uma anuidade é dado pela fórmula 
 
)1( iNe
i
mPVP −−= 
 
(Com P =Valor de cada pagamento; i =Taxa de juros compostos continuamente; N=Prazo da 
anuidade; m=Número de pagamentos). 
 
 
=====///===== 
 
 
Exemplos/exercícios: 
 
[1] - No dia 1 de Janeiro de 2000, J.P., depositou 2,000 dólares numa conta de aposentadoria que 
paga juros à taxa de 10% ao ano compostos continuamente. Assumindo que ele deposite 2.000 
dólares anualmente nesta conta, quanto ele terá no início do ano 2016. 
 
Resolução: 
- Utilizando a fórmula )1( −= iNe
i
mPA , com 2000=P , 1.0%10 ==i , anosN 16= 
e 1=m , tem-se: 
 
65,060.79)1(
1.0
20001 6.1 ≅−⋅⋅= eA . 
 
Ou seja, no início do ano 2016, J.P., terá aproximadamente79.061 dólares na sua conta. 
 
 
 [2] – O proprietário de uma loja de ferramentas deseja estabelecer um fundo do qual ele possa tirar 
1000 dólares por mês durante os próximos dez anos. Se o fundo rende juros à taxa de 9% ao ano 
compostos continuamente, quanto dinheiro ele necessita para estabelecer o fundo? 
 
Resolução: 
 - Seja 1000=P ; 09.0%9 ==i ; 10=N e 12=m . Com efeito, usando a fórmula 
 
)1( iNe
i
mPVP −−= , 
tem-se: 
;04,124.79]1[
09.0
12000)1( )10()09.0( ≅−⋅=−= ⋅−− ee
i
mPVP iN 
 
Isto é, seriam necessários 79.124 dólares para estabelecer esse fundo. 
 
=====///===== 
 
 
 
 
 
Perpetuidades: 
 
Como antes foi visto, o valor presente de uma anuidade é dado pela expressão 
 
∫ −=
N
ixdxexRVP
0
)( 
 
ou ainda, 
 
( )iN
N
ix e
i
mPdxemPVP −− −=⋅≅ ∫ 1
0
. 
 
Agora, se os pagamentos de uma anuidade continuam indefinidamente, tem-se então o que é 
chamado de Perpetuidade. Assim o Valor Presente de uma Perpetuidade pode ser aproximado 
pelo integral impróprio 
 
∫
∞
−=
0
)( dxexRVP ix , ou melhor, dxemPVP ix∫
∞
−⋅≅
0
 
 
obtida da expressão anterior, fazendo o período de anuidade, N, tender para o infinito. 
 
Logo, 
 
=⋅=⋅≅ ∫∫ −∞→
∞
− dxemPdxemPVP
b
ix
b
ix
00
lim 
 
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=⋅= −
∞→
−
∞→ ∫
b
ix
b
b
ix
b
e
i
mPdxemP
00
1limlim 
 
i
mP
i
e
i
mP ib
b
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−= −
∞→
11lim . 
 
 
Assim, o Valor Presente (PV) de uma Perpetuidade é dado pela expressão 
 
i
mPVP = , 
 
(onde m é o número de pagamentos por ano, P é o valor de cada pagamento e i é a taxa de juros 
composta continuamente) 
 
 
 
 
 
Exemplo/exercícios: 
 
[E-1] - Uma família deseja criar um fundo de bolsas de estudo para uma Faculdade. Se uma bolsa 
de estudos no valor de 5000 dólares for concedida anualmente começando dentro de 1 ano, 
encontre o valor da doação que eles precisam fazer agora, assumindo que este fundo renderá juros a 
uma taxa de 8% ao ano compostos continuamente. 
 
 
Resolução: 
O valor da doação é, neste caso, dado pelo valor presente de uma perpetuidade, com 
1=m , 5000=P e 08.0%8 ==i . Donde, usando a fórmula 
i
mPVP = , tem-se: 
500.62
08.0
50001
=
⋅
=VP Dólares. 
 
 
Suponha que um fluxo de renda continue indefinidamente. Então, o valor presente de tal fluxo pode 
ser calculado a partir da fórmula para o valor presente de um fluxo de renda fazendo T tender para 
infinito. Logo, o valor presente solicitado é dado por 
 
∫
∞
−=
0
)( dxexRVP ix 
 
[E-2] - Suponha que um indivíduo tem um poço de petróleo no seu quintal que gera um fluxo de 
renda dado por xexR 02.020)( −= , onde )(xR é expresso em milhares de dólares por ano e x é o 
tempo em anos a partir do presente. Assumindo que a taxa de juros predominante num futuro 
previsível é de 10% ao ano compostos continuamente, qual é o valor presente do fluxo de renda? 
 
 
Resolução: 
 
- Assim, o valor presente pretendido será, 
 
∫
∞
−− ⋅=
0
10.002.020 dxeeVP xx ∫
∞
−⋅=
0
12.020 dxe x 
 
∫ −∞→⋅=
b
x
b
dxeVP
0
12.0lim20 [ ]bx
b
e 0
12.0lim
12.0
20 −
∞→
⋅−= 
 
[ ]1lim
3
500 12.0 −⋅−= −
∞→
b
b
eVP 667.166
3
500
≅= 
 
Isto é, o valor presente desse fluxo de renda é de aproximadamente 166.667 dólares. 
 
 
=====///===== 
EXERCÍCIOS / PROBLEMAS DE APLICAÇÃO: 
 
 
1. Um oleoduto de uma plataforma de perfuração está avariado, derramando petróleo a uma taxa 
de )8035( +t barris por hora. Quantos barris serão derramados no primeiro dia? 
[Sol.: 12000 ] 
 
2. A função custo marginal de uma empresa é 1104)(' 2 +−== xxxCCmg , onde x representa 
o número de unidades produzidas diariamente. Os custos fixos são de 340 USD por dia. Qual é 
o custo total )()( xCxCT = decorrente da produção de x unidades por dia? 
[Sol.: 340110223
3
1
)( ++−= xxxxC ] 
3. O custo marginal de um produto é dado por 180
12
1)(' 2 +−== xxxCCmg . Qual é o custo 
total )()( xCxCT = da produção de cinco unidades adicionais, se três delas já estiverem a ser 
actualmente produzidas? 
[Sol.: 97,885)3()8( =− CC ] 
 
4. O lucro marginal de um industrial é dado por 140803)(' 2 ++−=Π xxx . Calcule o lucro Π 
decorrente de se aumentar a produção de duas para quatro unidades. 
[Sol.: 704)2()4( =Π−Π ] 
 
5. Os custos de manutenção de uma fábrica, )(tM , aumentam com o envelhecimento da fábrica e 
do equipamento. Se os custos de manutenção da fábrica aumentarem a uma taxa anual de 
900075)(' 2 += ttM dólares, onde t representa o número de anos, calcule os custos totais de 
manutenção da fábrica do quarto ao sexto ano. 
[Sol.: 21800)4()6( =− MM ] 
 
6. Considere que numa dada comunidade, a taxa normal de consumo de água em biliões de galões 
é dada por tettW 02,0)(' += , onde 0=t representa 1980. Calcule o nível total de consumo de 
água )(tW para o período de 1980 – 1990. 
[Sol.: 61)02,0
10
0
()( =∫ += dt
tettW biliões de galões] 
 
7. Numa mina de zinco extrai-se o minério a uma taxa 
t
ttZ 2218)(' −= . Calcule o montante 
total de minério extraído entre: a) o ano 0 e o ano 9; e b) o ano 0 e o ano n. 
[Sol.: nntZbttZa 4429)();597000)() −== ] 
 
8. Dez mil dólares foram depositados num banco a uma taxa de juro nominal/ano de 8%, 
composta continuamente. Calcule o valor médio do dinheiro nos próximos 5 anos. 
[Sol.: - 12296
5
0
08,010000
05
1
=∫
−
= dttem ] 
 
 
9. Numa mina de ouro extrai-se o minério a uma taxa de tetG 016,08,4)(' = toneladas. Calcule a 
extracção total entre: a) o ano 0 e o ano 10; b) o ano 0 e o ano n. 
[Sol.: )1016,0(300)();52)117351,1(300)() −=≈−= netGbtontGa ] 
 
 
10. Na comercialização em dólares, de um certo produto, a receita marginal é dada por 
10010)(' +−= qqR e o custo marginal é dado por qqC 5,2)( = . Para o intervalo 82 ≤≤ q , 
obtenha: 
a) A variação total da receita 
b) A variação total do custo 
c) A variação total do lucro 
d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida na alínea anterior 
[Sol.: a) ∫ =+−
8
2
300)10010( dqq ; b) ∫ =
8
2
755,2 qdq ; c) 225
8
2
, =∫ dqL ; d)A 
variação do lucro é dada pela área entre as curvas da receita marginal e custo 
marginal no intervalo 82 ≤≤ q ] 
 
11. Na comercialização, em dólares, de uma peça automática, a receita marginal é dada por 
23)(' qqR = e o custo marginal é dado por 27)( =qC . Para o intervalo 31 ≤≤ q ., obtenha: 
a) A variação total da receita 
b) A variação total do custo 
c) A variação total do lucro 
d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida na alínea anterior 
[Sol.: a) ∫ =
3
1
2 263 dqq ; b) ∫ =
3
1
5427dq ; c) ∫ −=
3
1
28'dqL ; d) A variação do 
lucro é dada pela área entre as curvas da receita marginal e custo marginal no 
intervalo 31 ≤≤ q ] 
 
12. Calcule o excedente do consumidor (CS) para cada uma das seguintes curvas de procura nos 
pontos indicados: 
a) 75,10;3375 2 ==−= oo pxxp }; 
b) 14,20;
5
350
==
+
= oo pxx
p . 
[Sol.: 30,283);2000) == CSbCSa ] 
 
13. Para uma certa população a propensão marginal a consumir é dada por 7,0)(' == ycCmg 
sendo o consumo c uma função da renda y dos consumidores. 
a) Obtenha a variação total da poupança quando a renda variar no intervalo 15001000 ≤≤ y 
b) Obtenha a função consumo sabendo que, para uma renda de USD1000 o consumo é de 
USD910 
[Sol: a) A variação do consumo é de USD350 ; b) 2107,0)( += yyc ] 
 
14. Numa Empresa, a produção marginal de alimentos beneficiados é dada por 3' qP = , onde 
q representa o capital investido em equipamentos. A produção é dada em toneladas e o capital 
investido em equipamentos. A produção é dada em toneladas e o capital em milhares de reais. 
a) Obtenha a variação total da produção quando o capital investido varia de 2 até 5 milhares 
de dólares 
b) Obtenha a função produção sabendo que, para 10 mil dólares investidos em equipamentos, 
resulta uma produção de 2500 toneladas de alimentos. 
[Sol: a) A variação da produção é de 152,25 toneladas; b) 
4
)(
4qqp = ] 
 
15. Calcule o excedente do produtor (PS) para cada uma das seguintes curvasde oferta nos pontos 
indicados: 
a) 85,5;6042 ==++= oo pxxxp ; 
b) 8,144;
4
15 ==+= oo pxxp . 
[Sol.: 144)33,33) == PSbPSa ] 
 
16. Na compra de um modelo de TV, a função demanda é dada por qqp 2001000)( −= . 
a) Encontre o excedente do consumidor se o preço de mercado da TV é $400,00. 
b) Represente graficamente o excedente do consumidor encontrado na alínea anterior 
[Sol.: … … …] 
 
 
17. Na venda de um modelo de TV, a função oferta é dada por 25050)( += qqp . 
a) Encontre o excedente do produtor se o preço de mercado da TV é $400,00 
b) Represente graficamente o excedente do produtor encontrado na alínea anterior 
 
[Sol.: a) 00,225$=EP ; b) O gráfico neste caso é a área compreendida entre a recta de 
equação 25050)( += qqp e a recta horizontal 400=op ] 
 
 
18. Na compra de sapatos, a função demanda é dada por 23108)( qqp −= . 
a) Encontre o excedente do consumidor se o preço de mercado é $60,00 
b) Represente graficamente o excedente do consumidor encontrado na alínea anterior. 
[Sol.: … … …] 
 
19. Na venda de sapatos, a função oferta é dada por 123)( 2 += qqp . 
a) Encontre o excedente do produtor se o preço de mercado é $60.00 
b) Represente graficamente o excedente do produtor encontrado na alínea anterior. 
 
[Sol.: a) 00,128$=EP ; b) O gráfico neste caso é a área compreendida entre a curva de 
equação 123)( 2 += qqp e a recta horizontal 60=op ] 
 
20. O stock de uma empresa após t meses é dado por 244825)( tttN −+= para 120 ≤≤ t . 
Calcule o stock médio, m, durante o primeiro trimestre do ano. I. É., nos primeiros três meses. 
[ Sol.: ∫ =⋅
−
=
3
0
85)(
03
1
dttNm ] 
 
21. Um fabricante introduziu uma nova técnica, o que possibilitou uma taxa de poupança anual de 
2400)(' ttS −= dólares. O custo marginal de produção tttCCmg 20)(' 2 +== em dólares 
por ano também sofreu um acréscimo devido à nova técnica. 
a) Durante quanto tempo será a utilização da nova técnica lucrativa? 
b) Determine o montante total T poupado durante esse período. 
 
[ Sol.: a) 10=t ; e, fazendo: 100)200102(22022400 =⇔=−+⇔+=− tttttt ; b) 
N.B.: - esboçar primeiro os dois gráficos no mesmo sistema de coordenadas e 
encontrar o ponto comum, depois b) achar os limites de integração )10;0( == tt 
e resolver o integral, ∫ =−=
10
0
33,2333)](')('[ dttCtST ]. 
 
22. Segundo as estimativas dos engenheiros, o custo de um novo produto é de 156)( += xxCT . 
Calcule o custo médio mCM e = decorrente da produção das primeiras 64 unidades. 
[Sol.: 47. 47)(
1
=∫
−
=
b
a
dxxf
ab
m ] 
 
23. Para uma empresa, um determinado produto gera uma renda a uma taxa de $200.000,00 por 
ano. Ao ser obtida, tal renda é aplicada várias vezes ao dia a uma taxa anual de 10% composta 
continuamente. Qual o valor futuro acumulado para esse fluxo de renda após 4 anos? 
[Sol.: 21,709.983$=VF ] 
 
24. Numa empresa, a produção de uma máquina é vendida e proporciona uma renda a uma taxa de 
$40.000,00 por ano. Ao ser obtida, tal renda é aplicada várias vezes ao dia a uma taxa anual de 
12% composta continuamente. Qual o valor presente dessa máquina, considerando uma vida 
útil de 10 anos e mantidas as mesmas taxas de renda e de juros nesse período? 
[Sol.: 47,075.1=VF dólares] 
 
25. Determine o valor futuro de um fluxo de renda, em que a renda é gerada segundo uma taxa 
dada por 20010)( += xxR (milhares de dólares/ano), a capitalização contínua é feita a uma 
taxa anual de 10% e o período é de 4 anos. 
[Sol.: … … …] 
 
26. Uma companhia calcula que a taxa de renda produzida por uma máquina no tempo t será 
t1005000 − dólares por ano. Determinar o valor presente deste fluxo contínuo de rendimentos 
durante os próximos quatro anos, com uma taxa de juros de 6%. 
[Sol.: 17098)1005000(
4
0
06,0 =−∫ − dtet t dólares] 
 
27. O dono de um cinema está a considerar dois planos alternativos para reformas do cinema. O 
plano A exige um desembolso de 250.000 dólares, enquanto o plano B requer um desembolso 
de 180.000 dólares. Foi estimado que, adoptando o plano A, resultaria um fluxo de renda 
líquida gerado à taxa de 000.630)( =xf dólares por ano, enquanto o plano B resultaria num 
fluxo de renda gerado à taxa de 000.580)( =xg dólares por ano pelos próximos 3 anos. Se a 
taxa de juros pelos próximos 5 anos for de 10% ao ano, qual dos dois planos gerará maior renda 
líquida ao final dos 3 anos? 
 
[Sol.: Fazendo: 
- Para o plano A, ∫ ≅≅−−
3
0
1.0 845.382.1000.250000.630 Kdxe x . 
 - Para o plano B, ∫ ≅≅−−
3
0
1.0 254.323.1000.180000.580 Kdxe x . 
Assim, conclui-se que o plano A geraria uma renda maior no final dos 3 anos] 
 
28. Suponha que uma indústria está perante um problema de escolha entre dois métodos de 
produção de um dado produto. Quando x unidades do produto estão sendo produzidas, os 
métodos I e II têm os respectivos custos marginais CI e CII a seguir indicados. Então qual o 
método de produção mais barato, se 4000 unidades estão sendo produzidas tendo em conta que, 
1000/
2
1000
5)( xI e
xxC −⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−= , e 
2
4003)(
+
+=
x
xCII . 
 
[Sol.: 476.18])1000/(5[
4000
0
1000/2 ≅⋅−= ∫ − dxexT xI ; 
041.15])2/(4003[
4000
0
2 ≅++= ∫ dxxTII . Donde se conclui que o 
método II é que poderá conduzir a um custo de produção global 
mais baixo] 
 
 
29. Estima-se que um determinado investimento gerará renda à taxa de 000.200)( =xR 
dólares/ano pelos próximos 5 anos. Determinar o valor presente desse investimento se a taxa de 
juros prevalecente é de 8% ao ano compostos continuamente. 
[Sol.: 824.200 dólares] 
 
 
30. Determine o valor de uma anuidade com pagamentos de 250,00 dólares/mês por um período de 
20 anos rendendo juros à taxa de 8% ao ano compostos continuamente. 
[Sol.: 148.239 dólares] 
 
 
31. Um indivíduo deposita 150 dólares/mês numa poupança que rende juros de 8% compostos 
continuamente. Calcular o montante que ele terá na sua conta após 15 anos. 
[Sol.: 52.203,00 dólares] 
 
32. Uma Família deseja estabelecer uma conta de custódia para financiar a educação dos seus 
filhos. Se eles depositarem 200 dólares/mês por um período de 10 anos numa conta poupança 
rendendo juros de 9% ao ano compostos continuamente, qual será o saldo da poupança ao fim 
desse período? 
[Sol.: ....dólares] 
 
33. Estime o valor presente de uma anuidade se os pagamentos são de 1200 dólares/mês por um 
período de 15 anos e a conta rende juros à taxa de 10% ao ano compostos continuamente. 
[Sol.: 11.869,00 dólares] 
 
34. Um grupo de ex-estudantes de uma universidade deseja instituir uma bolsa anual no valor de 
1500 dólares a partir do próximo ano. Se o fundo de bolsa de estudos rende juros a uma taxa de 
8% ao ano compostos continuamente, encontre o valor da doação que estes necessitam de fazer 
hoje. 
[Sol.: 18.750 dólares] 
 
35. O valor presente de um fluxo perpétuo de renda que flúi continuamente a uma taxa )(tP 
dólares/ano é dado pela fórmula ∫
∞
−=
0
)( dxetPVP rt , onde r é a taxa anual de juros compostos 
continuamente. Usando a fórmula devida, encontre o valor presente de um fluxo perpétuo de 
renda líquida dada pela expressão, ttP 4000000.10)( += dólares por ano. 
[Sol.: 2
000.4000.10
r
rVP += dólares, (sug. 0lim =
∞→ rbb e
b
)] 
 
36. O valor capital (valor presente de venda) CV de uma propriedade que pode ser alugada numa 
base perpétua por R dólares anualmente é aproximado pela fórmula ∫
∞
−≈
0
Re dtCV it , onde i é 
a taxa de juros contínua predominante. 
a) Mostre que iRCV /= 
b) Encontre o valor capital de propriedade que pode ser alugada por 10.000 dólares/ano 
quando a taxa de juros contínua predominante é de 12%. 
[Sol.: ... ...]