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DESCRIÇÃO Introdução a variáveis aleatórias discretas, distribuições Bernoulli e binomial, distribuições geométrica e hipergeométrica, distribuição de Poisson. PROPÓSITO Compreender os conceitos associados às variáveis aleatórias discretas e as principais distribuições discretas de probabilidade. PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador. OBJETIVOS MÓDULO 1 Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais MÓDULO 2 Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial MÓDULO 3 Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica MÓDULO 4 Descrever a distribuição de Poisson VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS MÓDULO 1 Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais INTRODUÇÃO Iniciaremos o estudo de um dos tópicos mais importantes da teoria das probabilidades. Aqui serão vistos todos os conceitos fundamentais que nos levarão ao bom entendimento de variáveis aleatórias discretas unidimensionais e das principais distribuições de probabilidades discretas. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X que associa o número real X(s) a cada elemento s ∈ S é chamada variável aleatória. X : S →ℝ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Considere o experimento aleatório de lançar 3 moedas. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras nesse experimento. S = { (C, C, C), (C, C, K), ... , (K, K, K)} X : , onde os valores que X assume são 0, 1, 2 e 3. Por exemplo: X({C, C, C)) = 3, X((C, C, K) = 2, ... X((K, K, K) = 0. Seja X uma variável aleatória que representa o número de acidentes de trânsito por dia em determinado local. X=0, 1, 2, 3, … Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Seja X uma variável aleatória. Se os possíveis valores assumidos por X forem finitos ou infinitos enumeráveis, dizemos que X é uma variável aleatória discreta. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE (FUNÇÃO DE MASSA DE PROBABILIDADE) É uma função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória uma probabilidade dada por: P(X=X) OU SIMPLESMENTE P(X) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Devendo satisfazer às seguintes condições: I) PXI>0 II) ∑PXI=1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 3. Considere o exemplo do lançamento de 3 moedas. Determine a distribuição da probabilidade desse experimento e obtenha seu respectivo gráfico. X 0 1 2 3 Somatório P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 Fonte: Wikipedia FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (REPARTIÇÃO) Seja X uma variável aleatória discreta. Define-se por função distribuição acumulada a seguinte expressão: FXX=PX≤X Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES A) LIMX→-∞ FXX=FX-∞=0 B) LIMX→∞ FXX=FX∞=1 C) PA<X≤B=FB-FA D) SE X1<X2→F(X1)(X1)<F(X2)(X2) E) FX (X) É CONTÍNUA À DIREITA Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 4. Exemplo do lançamento das 3 moedas. Determine a função distribuição acumulada. FXX= 0 , SE X<0, PX<0=0 18, SE 0≤X<1, FX0=PX≤0=1848, SE 1≤X<2, FX1=PX≤1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ESPERANÇA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO OU MÉDIA) Seja X uma variável aleatória. O valor esperado ou média de uma variável aleatória é representado pela seguinte expressão: ΜX=EX=∑XX.PX=X Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 5. Exemplo das 3 moedas. Seja X: “Número de caras no lançamento de 3 moedas”. Então, a esperança matemática de X é dada por: EX=0.PX=0+1.PX=1+2.PX=2+3.PX=3 EX=0.18+1.38+2.38+3.18=32 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES Considere X e Y variáveis aleatórias e a e b constantes. Então: a) E(aX)=a.E(X); b) E(aX±b)=a.E(X)±b; c) E(aX±bY)=a.E(X)±b.E(Y); d) E(XY)=E(X).E(Y), se X e Y forem independentes; e e) E(XY)=E(X).E(Y)+cov(X,Y), se X e Y não forem independentes. Em que cov(X,Y)=[(X-E(X))(Y-E(Y))] é chamada covariância de X e Y. VARIÂNCIA Seja X uma variável aleatória discreta. Então, a variância de X é dada por: VX=∑X(X-ΜX)2PX=X VX=EX-X-2=EX2-EX2, EM QUE EX2=∑XX2PX Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES Sejam X e Y variáveis aleatórias e a e b constantes, então: a)Va=0 b) VaX+b=a2.VX c) V (X+Y)=V(X)+V(Y), se X e Y forem independentes, caso contrário: d) V(aX±bY)=a2.V(X)+b2.V(Y)±2ab.cov(X,Y), Em que cov(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y) é a covariância. MÃO NA MASSA 1. CONSIDERE UMA MOEDA HONESTA. JOGA-SE ESSA MOEDA 4 VEZES. SEJA X A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE CARAS. QUAIS OS POSSÍVEIS VALORES DESSA VARIÁVEL ALEATÓRIA? A) {0, 1, 2, 3} B) {1, 2, 3} C) {0, 1, 2, 3, 4} D) {1, 2, 3, 4} E) {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA O VALOR ESPERADO DO NÚMERO DE CARAS? A) 1 B) 2 C) 5/2 D) 3 E) 10/3 3. UM JOGADOR PARTICIPA DE UM JOGO DE APOSTA QUE CONSISTE EM LANÇAR UM DADO. SE O DADO RESULTAR EM FACE 6, ELE GANHA R$10,00, CASO CONTRÁRIO, ELE PERDE R$5,00. DEPOIS DE 2 RODADAS, OU SEJA, DE LANÇARMOS O DADO DUAS VEZES, QUAL A PROBABILIDADE DESSE JOGADOR TER GANHO POSITIVO? A) 1/36 B) 1/6 C) 5/18 D) 11/36 E) 1/3 4. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA O GANHO ESPERADO DO JOGADOR? A) -5 B) 0 C) 5 D) 10 E) 20 5. SUPONHA QUE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA TENHA A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE: X 0 1 2 3 P(X = X) 0,10 0,30 0,40 0,20 DETERMINE A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA X = 2. ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A) 0,1 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,7 E) 0,8 6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA A VARIÂNCIA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X? A) 0,81 B) 1,7 C) 3,7 D) 4,2 E) 4,64 GABARITO 1. Considere uma moeda honesta. Joga-se essa moeda 4 vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras. Quais os possíveis valores dessa variável aleatória? A alternativa "C " está correta. Veja que, no lançamento de uma moeda 4 vezes, podem ocorrer de 0 a 4 faces cara! 2. Considerando o enunciado anterior, qual seria o valor esperado do número de caras? A alternativa "B " está correta. Para determinar o valor esperado de X, precisamos inicialmente apontar a distribuição de probabilidade de X, ou seja, definir a probabilidade de cada um dos seus possíveis valores. Para facilitar o cálculo dessas probabilidades, considere o seguinte espaço amostral associado ao experimento de lançar 4 moedas: S=C, C, C,C, C, C,C, K, C,C, K, C, C,K,C,C,K, C, C,C,C,C,K,K, C,K,C,K,C,K,K,C,K,C,C,K,K,C,K,C,K,K,C,C,K, K (K,K,K,K) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Daí, X 0 1 2 3 4 P(X = x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Simplificando o resultado das probabilidades, temos: X 0 1 2 3 4 P(X = x) 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, o valor esperado de X é dado por: EX=0.PX=0+1.PX=1+2.PX=2+3.PX=3+4.P(X=4) EX=0.116+1.14+2.38+3.14+4.116=14+34+34+14=84=2 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL 3. Um jogador participa de um jogo de aposta que consiste em lançar um dado. Se o dado resultar em face 6, ele ganha R$10,00, caso contrário, ele perde R$5,00. Depois de 2 rodadas, ou seja, de lançarmos o dado duas vezes, qual a probabilidade desse jogador ter ganho positivo? A alternativa "D " está correta. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 4. Considerando o enunciado anterior, qual seria o ganho esperadodo jogador? A alternativa "A " está correta. Para calcular o ganho esperado, basta aplicar a fórmula da esperança matemática EX=(-10).PX=-10+5.PX=5+20.PX=20 EX=-10.2536+5.1036+20.136=-25036+5036+2036=-18036=-5 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Suponha que uma variável aleatória tenha a seguinte distribuição de probabilidade: X 0 1 2 3 P(X = x) 0,10 0,30 0,40 0,20 Determine a função de distribuição acumulada para X = 2. Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa "E " está correta. Observe que a função de distribuição acumulada é dada por: FXX=0, SE X < 0 PX<0=00,1, SE 0≤X≤1 FX(0)=P(X≤0)=0,1 0,4, SE 1 ≤X<2 FX(1)=P(X≤1)=0,1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, Fx(2)=0,8 6. Considerando o enunciado anterior, qual seria a variância da variável aleatória X? A alternativa "A " está correta. Note que a variância de X é dada por: V X=EX2-EX2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, EX=0×0,1+1×0,3+2×0,4+3×0,2=0+0,3+0,8+0,6=1,7 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal e EX2=02×0,1+12×0,3+22×0,4+32×0,2=0+0,3+1,6+1,8=3,7 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Logo, VX=3,7-1,72=0,81 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Um banco oferece seguro residencial que cobre acidentes como incêndio e catástrofe no valor de R$100.000,00. Esse banco cobra do segurado uma taxa anual de R$1.000,00. Sabendo que a probabilidade de ocorrer incêndio ou qualquer tipo de catástrofe em um ano é de 0,001, qual será o lucro esperado por cliente do banco? RESOLUÇÃO ESPERANÇA (VALOR ESPERADO) VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. UMA FAMÍLIA PRETENDE TER 3 FILHOS. SUPONDO QUE A CHANCE DE TER UM MENINO É A MESMA DE TER UMA MENINA, E SENDO X A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE MENINAS, DETERMINE A CHANCE DE X SER NO MÍNIMO IGUAL A 2. A) 1/8 B) 3/8 C) 1/2 D) 5/8 E) 7/8 2. UM ESTUDANTE PODE ESCOLHER NO MÍNIMO UMA E NO MÁXIMO 4 DISCIPLINAS PARA FAZER NO SEMESTRE. A PROBABILIDADE DE QUE O ESTUDANTE ESCOLHA 1, 2, 3 OU 4 DISCIPLINAS NO SEMESTRE É DE, RESPECTIVAMENTE, 1/20, 1/4, 2/5 E 3/10. SABENDO QUE PARA CADA DISCIPLINA ESCOLHIDA ELE PAGA R$300,00, QUAL É A DESPESA ESPERADA DESSE ESTUDANTE? A) 525 B) 640 C) 735 D) 885 E) 910 GABARITO 1. Uma família pretende ter 3 filhos. Supondo que a chance de ter um menino é a mesma de ter uma menina, e sendo X a variável aleatória que representa o número de meninas, determine a chance de X ser no mínimo igual a 2. A alternativa "C " está correta. Para resolver a questão, precisamos determinar inicialmente a distribuição de probabilidade de X. Assim, X 0 1 2 3 P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Daí, PX≥2=PX=2+PX=3=38+18=12 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. Um estudante pode escolher no mínimo uma e no máximo 4 disciplinas para fazer no semestre. A probabilidade de que o estudante escolha 1, 2, 3 ou 4 disciplinas no semestre é de, respectivamente, 1/20, 1/4, 2/5 e 3/10. Sabendo que para cada disciplina escolhida ele paga R$300,00, qual é a despesa esperada desse estudante? A alternativa "D " está correta. Considere a variável aleatória D: “Despesa com disciplina”. Então, para uma disciplina, o estudante terá uma despesa de R$300,00, para duas disciplinas terá uma despesa de R$600,00, e assim por diante, de forma que a distribuição de probabilidade de X é dada por: D 300 600 900 1200 P(D = d) 1/8 3/8 3/8 1/8 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ED=300.120+600.14+900.25+1200.310=15+150+360+360=885 Logo, a despesa esperada será de R$885,00. Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 2 Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial INTRODUÇÃO A ideia do estudo das distribuições de probabilidade é determinar uma formulação matemática para fenômenos que ocorrem frequentemente no cotidiano ou que se deseja calcular. A seguir, apresentaremos duas das principais distribuições discretas de probabilidade que têm características em comum e muitas aplicações práticas. DISTRIBUIÇÕES DE BERNOULLI E BINOMIAL DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Considere uma única tentativa de um experimento que só tem dois possíveis resultados: Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q, na qual p+q=1. Seja a variável aleatória X que representa o sucesso nessa única tentativa. Então, podemos dizer que X pode assumir dois valores: 0 (fracasso) e 1 (sucesso). X 0 1 P(X=x) q p Assim, a função de probabilidade da variável X pode ser dada por: PX=X=PX.Q1-X Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal NOTAÇÃO: X~BERNOULLI(P) ESPERANÇA MATEMÁTICA (MÉDIA) Como vimos, o conceito de esperança ou média é mais uma informação que é interessante conhecermos sobre a distribuição de probabilidade. Assim, EX=0.Q+1.P=P Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal VARIÂNCIA Assim como a média, a variância é outra informação importante sobre o comportamento da dispersão em torno da média da distribuição de probabilidade. Dessa forma, VX=EX2-EX2 COMO EX2=02.Q+12.P=P E EX=P VX=EX2-EX2=P-P2=P.1-P=P.Q Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Observe que o desenvolvimento da distribuição de Bernoulli servirá como passo inicial para a formulação matemática de problemas que já resolvemos na parte de probabilidade básica. No entanto, essa distribuição é limitada pelo fato de termos apenas uma única tentativa no experimento. Veremos a seguir uma generalização da distribuição de Bernoulli. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A distribuição binomial abrange uma quantidade significativa de aplicações e, por isso, tem grande importância dentro do estudo das probabilidades. Vejamos como se caracteriza e quais informações podemos obter dessa distribuição. Considere agora n tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento que admite apenas dois possíveis resultados: Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q, na qual p+q=1. Seja X = o número de sucessos nas n tentativas . Desejamos determinar a função de probabilidade de X, ou seja, P(X=x). Desse modo, considere inicialmente um resultado particular (RP) dado por: RP→SSS…S⏟KFFF…F⏟N-K Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como as tentativas são sucessivas e independentes, temos: PRP=PSSS…S⏟KFFF…F⏟N-K=PK.QN-K Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Considerando todas as possíveis maneiras de combinar os sucessos, temos: PX=K=NKPK1-PN-K, K=0, 1, …, N Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal NOTAÇÃO: X~B(N,P) EXEMPLO 1. Considere um atirador amador que tem 50% de chances de acertar um alvo. Suponha que atirou 40 vezes em um alvo. Qual a probabilidade do atirador ter acertado o alvo 15 vezes? Solução: PX=15=4015.1215.1225=0,036 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Interpretação: A chance de sucesso do atirador é de aproximadamente 4%, apenas. ESPERANÇA MATEMÁTICA EX=∑XX.PX=∑X=0NX.NXPX1-PN-X=∑X=1NX.NXPX1-PN-X= =∑X=1NX.N!X.X-1!.N-X!.PX1-PN-X=∑X=1NN!X-1!.N-X!.PX1-PN-X FAÇA Y = X-1 =∑Y=0N-1N.N-1!Y!.N-Y-1!.PY+11-PN-Y-1=∑Y=0N-1N.N-1X-1.PY.P1.1-PN-X= =NP∑Y=0N-1N-1Y.PY.1-P(N-1)-Y Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Do binômio de Newton, temos x+an=∑k=0nnkxkan-k, daí por analogia ∑Y=0N-1N-1Y.PY.1-P(N-1)-Y=(P+1-P)N=1N=1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto,EX=NP VARIÂNCIA Vimos que a variância de uma variável aleatória é dada por: VX=EX2-E(X)2 Como já calculamos E(X) no item anterior, precisamos calcular a E(X2 ). Assim, EX2=∑XX2.PX=∑X=0NX2.NXPX1-PN-X=∑X=1NX2.NXPX1-PN-X= =∑X=1N[XX-1+X.NXPX1-PN-X= =∑X=1NXX-1.NXPX1-PN-X+∑X=1NX.NXPX1-PN-X⏟NP= =∑X=2NXX-1.NXPX1-PN-X+NP=∑X=2NN!X-2!N-X!PX1-PN-X= =N(N-1).P2∑X=2NN-2X-2PX-21-PN-X+NP Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo y = x-2, temos: EX2= N N-1.P2∑Y=0N-2N-2YPY1-PN-Y-2⏟(P+1-P)N-2=1+NP Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Daí, EX2= N(N-1).P2+NP Agora, calculando a variância de X, temos: VX=EX2-EX2=N(N-1).P2+NP-NP2= =N2P2-NP2+NP-N2P2=NP-NP2=NP1-P=NPQ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, VX=NPQ MÃO NA MASSA 1. UM DADO É LANÇADO UMA ÚNICA VEZ. SEJA A VARIÁVEL ALEATÓRIA X QUE REPRESENTA A RETIRADA DE UM NÚMERO PAR NESSE ÚNICO LANÇAMENTO. QUAL O VALOR ESPERADO DE X? A) 1/6 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/2 E) 2/3 2. UMA MOEDA NÃO VICIADA É LANÇADA 10 VEZES. DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE OBTER EXATAMENTE 2 CARAS. A) 0,01 B) 0,04 C) 0,07 D) 0,10 E) 0,15 3.CONSIDERANDO O ENUNCIANDO DA QUESTÃO ANTERIOR, A PROBABILIDADE DE OBTERMOS NO MÍNIMO 2 CARAS É APROXIMADAMENTE: A) 0,90 B) 0,92 C) 0,95 D) 0,97 E) 0,99 4. UM CASAL QUER TER 5 FILHOS. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE, DESSES 5 FILHOS, NO MÁXIMO UM SEJA MENINO? ADMITA QUE A PROBABILIDADE DE NASCER MENINO SEJA IGUAL A DE NASCER MENINA. A) 0,112 B) 0,157 C) 0,188 D) 0,212 E) 0,250 5. NUMA FÁBRICA DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS, 2% DA PRODUÇÃO É FORMADA POR ITENS DEFEITUOSOS. UM LOTE É ACEITO PELO COMPRADOR SE TIVER NO MÁXIMO 3% DOS DISPOSITIVOS DEFEITUOSOS. ADMITA QUE UM LOTE TENHA 100 DISPOSITIVOS. QUAL A PROBABILIDADE QUE O COMPRADOR REJEITE O LOTE? A) 0,14 B) 0,20 C) 0,25 D) 0,30 E) 0,33 6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS DEFEITUOSOS EM 10 LOTES. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 GABARITO 1. Um dado é lançado uma única vez. Seja a variável aleatória X que representa a retirada de um número par nesse único lançamento. Qual o valor esperado de X? A alternativa "D " está correta. Note que a variável aleatória X se caracteriza como uma distribuição de Bernoulli, pois temos uma única tentativa de um experimento, nesse caso, o lançamento do dado, com dois resultados possíveis, sucesso quando o resultado do dado for par e fracasso quando o resultado for ímpar. Além disso, sabemos que o valor esperado da distribuição de Bernoulli é p, que é a probabilidade de sucesso, portanto, a resposta é 1/2, visto que p = 3/6 = 1/2. 2. Uma moeda não viciada é lançada 10 vezes. Determine a probabilidade de se obter exatamente 2 caras. A alternativa "B " está correta. Seja X: “Obter cara no lançamento de uma moeda”. Veja que esse experimento se caracteriza como uma distribuição binomial, visto que temos 10 tentativas sucessivas e independentes de um experimento, que nesse caso é o lançamento da moeda. Além disso, só temos dois resultados possíveis para a variável aleatória que conta o número de caras, sucesso com probabilidade p = 1/2 e fracasso com probabilidade q = 1/2. Assim, SE X~BN,P⇒PX=X=NXPX1-PN-X Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Daí, PX=2=102122128=0,044 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3.Considerando o enunciando da questão anterior, a probabilidade de obtermos no mínimo 2 caras é aproximadamente: A alternativa "E " está correta. Considere a variável aleatória X que representa o resultado cara. PX≥2=1-PX<2=1-PX=0+PX=1 =1-1001201210+101121129=0,9893 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. Um casal quer ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que, desses 5 filhos, no máximo um seja menino? Admita que a probabilidade de nascer menino seja igual a de nascer menina. A alternativa "C " está correta. Seja a variável aleatória X que representa o número de meninos. Logo, PX≤1=PX=0+PX=1=50120125+51121124=0,188 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Numa fábrica de dispositivos eletrônicos, 2% da produção é formada por itens defeituosos. Um lote é aceito pelo comprador se tiver no máximo 3% dos dispositivos defeituosos. Admita que um lote tenha 100 dispositivos. Qual a probabilidade que o comprador rejeite o lote? A alternativa "A " está correta. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 6. Considerando o enunciado da questão anterior, determine o número médio de dispositivos eletrônicos defeituosos em 10 lotes. A alternativa "C " está correta. Sabendo que o valor esperado de uma binomial com parâmetros n e p é igual a np, temos: EX=NP=100×0,02=2 Como queremos a média para 10 lotes, temos: 10×2=20 dispositivos. Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Um aluno está cursando a disciplina de Estatística na faculdade de Engenharia. Nas duas primeiras avaliações ele obteve notas 10 e 9, respectivamente. No entanto, falta ainda a última avaliação na qual professor aplicará um teste de múltipla escolha contendo 50 questões, cada uma com 5 itens. Sabe-se que a média para passar na disciplina é 7 e que o aluno só precisa obter uma nota 2 para ser aprovado. O aluno, acreditando estar praticamente aprovado na disciplina, decide não estudar. Na aplicação do teste, ele observa que não sabe nenhuma das questões e decide escolher aleatoriamente os itens de todas as perguntas. Qual a probabilidade desse aluno obter exatamente um 2 nesse teste? RESOLUÇÃO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. UMA FÁBRICA DE MOTORES DE VENTILADORES MONTA 120 MOTORES POR MÊS E SEPARA 20 ITENS PARA INSPEÇÃO. SABE-SE QUE, DOS MOTORES MONTADOS MENSALMENTE, 6 NÃO FUNCIONAM. QUAL A PROBABILIDADE DE TODOS OS MOTORES INSPECIONADOS FUNCIONAREM BEM? A) 0,05 B) 0,12 C) 0,15 D) 0,30 E) 0,36 2. UMA COMPANHIA REALIZA INSPEÇÃO EM CARREGAMENTOS DE FORNECEDORES, DE MODO A DETERMINAR PRODUTOS NÃO CONFORMES. CONSIDERE QUE UM LOTE CONTENHA 1000 ITENS, SENDO 1% DOS PRODUTOS NÃO CONFORMES. QUAL É O TAMANHO NECESSÁRIO DA AMOSTRA, DE MODO QUE A PROBABILIDADE DE ESCOLHER, NO MÍNIMO, UM ITEM NÃO CONFORME NA AMOSTRA, SEJA NO MÍNIMO 0,90? A) 200 B) 212 C) 220 D) 229 E) 241 GABARITO 1. Uma fábrica de motores de ventiladores monta 120 motores por mês e separa 20 itens para inspeção. Sabe-se que, dos motores montados mensalmente, 6 não funcionam. Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem bem? Seja a variável aleatória X: “O motor funcionar”. Assim, calcular a probabilidade que todos funcionem bem equivale a determinar a probabilidade que nenhum funcione. Daí, PX=0=2000,0500,9520=0,3585 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes. Considere que um lote contenha 1000 itens, sendo 1% dos produtos não conformes. Qual é o tamanho necessário da amostra, de modo que a probabilidade de escolher, no mínimo, um item não conforme na amostra, seja no mínimo 0,90? Seja X a variável aleatória que representa a quantidade de itens não conformes. Dessa forma, podemos dizer que X segue um binomial (n, p = 0,01). Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no mínimo um item não conforme na amostra seja de, no mínimo, 0,90. PX≥1≥0,9⇒1-PX<1≥0,90⇒PX=0≤0,1 ⇒N00,0100,99N≤0,1⇒ ⇒0,99N≤0,1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para resolver essa desigualdade, aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade. Assim, LN0,99N≤LN0,1⇒N≤LN 0,1LN 0,99=229,11≃229 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 3 Descrever as distribuiçõesgeométrica e hipergeométrica INTRODUÇÃO A seguir veremos mais duas distribuições de probabilidades com características parecidas com as distribuições de probabilidades anteriores, mas que mantêm suas próprias particularidades e que também contemplam uma vasta gama de aplicações. Neste módulo, tal como fizemos no anterior, vamos partir da caracterização das distribuições geométrica e hipergeométrica e, em seguida, trataremos das informações (média e variância) inerentes a essas distribuições. DISTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA E HIPERGEOMÉTRICA DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA Considere tentativas sucessivas e independentes de um experimento aleatório que só admite dois possíveis resultados: Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q, em que p+q=1. Seja a variável aleatória X: “Número de tentativas até a ocorrência do 1º sucesso”. Assim, X pode assumir os seguintes valores: X=1→S→PX=1=P X=2→FFS→PX=2=QP X=3→FFFS→PX=3=Q2P ⋮ X=K→FFF…F⏟K-1 S→PX=K=QK-1P Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Logo, a função de probabilidade de X é: PX=X=QX-1.P=1-PX-1P Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal NOTAÇÃO: X~G(P) EXEMPLO 1. A chance de encontrar o monitor de Estatística na sala de monitoria é de 20%. Qual a probabilidade de que um aluno tenha que ir à sala do monitor 4 vezes para encontrá-lo pela primeira vez? Solução: PX=4=(0,8)4-1.0,2=0,83.0,2=0,1024 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Interpretação: A probabilidade de que o aluno vá até a sala do monitor 4 vezes até encontrá-lo pela primeira vez é de aproximadamente 10%. ESPERANÇA MATEMÁTICA EX=∑XX.PX=∑X=1∞X.QX-1.P=P.∑X=1∞X.QX-1=P.∑X=1∞DDQQX=P.DDQ∑X=1∞QX EX=P.DDQQ1-Q=P1-Q-1.QP2=1P Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, E(x)=1/p VARIÂNCIA De acordo com os conceitos vistos no módulo inicial, a variância é definida por: V(X)=E(X2)-E(X)2 Como já conhecemos o valor da esperança, temos agora que determinar: EX2=∑XX2.PX=∑X=1∞X2.QX-1.P=P∑X=1∞X2.QX-1=P∑X=1∞XX-1+X.QX-1= = P∑X=1∞XX-1.QX-1+P∑X=1∞X.QX-1⏟EX=1P=PQ∑X=1∞XX-1.QX-2+1P= =PQ∑X=1∞D2DQ2QX+1P=PQD2DQ2∑X=1∞QX⏟Q1-Q+1P=PQD2DQ2Q1-Q+1P= =PQ2(1-Q)3+1P=2PQP3+1P=2Q+PP2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Daí, VX=2Q+PP2-1P2⇒VX=QP2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Logo, VX=QP2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Considere uma população com N elementos dos quais r têm determinada característica. A retirada de um desses r elementos é definida como sucesso. Retiramos dessa população uma amostra sem reposição de tamanho n. Seja X a variável aleatória que conta o número de sucessos na amostra. Do conceito de probabilidade frequentista, temos: PX=X=N(X)N(S) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Em que n(x) é o número de eventos favoráveis a x e n(S) o número de eventos favoráveis ao espaço amostral (S). Porém, n(S) equivale ao número de maneiras de selecionar uma amostra de tamanho n, ou seja, nS=Nn. Além disso, observe que temos rx de escolher os x sucessos (elementos com certa característica) e N-rn-x maneiras de escolher os outros n-x indivíduos sem a característica. Daí, PX=X=RX.N-RN-XNN, 0≤X≤N E X≤R Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal NOTAÇÃO: X~HIPERGEOMÉTRICA(N,R,N) EXEMPLO 2. Em uma população de 100 peças, sabe-se que 20 são defeituosas. Retira-se uma amostra de 10 peças. Qual a probabilidade de obtermos 2 peças defeituosas? Solução: Veja que o sucesso é a retirada da peça defeituosa, ou seja, a característica de interesse é que a peça seja defeituosa. Dessa forma, para determinar tal probabilidade, podemos empregar a distribuição hipergeométrica, visto que essas peças defeituosas fazem parte de uma população e dessa população será retirada uma amostra. Assim, PX=2=202.80810010≈0,32 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Interpretação: A probabilidade de retirar uma peça defeituosa de uma amostra de tamanho 10 retirada de uma população de tamanho 100 é de aproximadamente 32%. ESPERANÇA MATEMÁTICA EX=∑X=0NXPX=X=∑X=0NXRX.N-RN-XNN=∑X=1NXRX.N-RN-XNN Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para desenvolver esse quociente entre combinações, precisamos usar algumas identidades conhecidas, tais como: X.RX=RR-1X-1 E NN=NNN-1N-1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ASSIM, EX=∑X=1NRR-1X-1.N-RN-XNNN-1N-1=NRN∑X=1NR-1X-1.N-RN-XN-1N-1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo y = x-1, temos: EX=NRN∑Y=0N-1R-1Y.(N-1)-(R-1N-1-YN-1N-1=NRN∑Y=0N-1P(Y=Y|N-1,R-1,N-1) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Observe que ∑y=0n-1PY=yN-1,r-1,n-1=1 , pois é a função de probabilidade hipergeométrica com parâmetros N-1, r-1 e n-1. Logo, EX=NRN Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal VARIÂNCIA Para o cálculo da variância, vamos omitir a demonstração pela quantidade excessiva de cálculos. Dessa forma, a variância da distribuição hipergeométrica é dada por: VX=NP1-P.N-NN-1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA 1. NO LANÇAMENTO DE UM DADO, QUAL A PROBABILIDADE DE TER QUE LANÇÁ-LO QUATRO VEZES PARA SE OBTER FACE DOIS PELA PRIMEIRA VEZ? A) 0,1 B) 0,15 C) 0,2 D) 0,25 E) 0,3 2.A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR DETERMINADO PRODUTO NA PRATELEIRA DE UM SUPERMERCADO É DE 1/3. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE SE TENHA QUE IR AO SUPERMERCADO NO MÁXIMO 2 VEZES PARA ENCONTRAR O PRODUTO PELA PRIMEIRA VEZ? A) 1/3 B) 1/2 C) 5/9 D) 2/3 E) 7/9 3. CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A MÉDIA E A VARIÂNCIA, RESPECTIVAMENTE, DE IDAS AO SUPERMERCADO? A) 1 e 3 B) 2 e 4 C) 2 e 3 D) 3 e 6 E) 3 e 9 4. UMA URNA CONTÉM 10 BOLAS BRANCAS E 20 BOLAS PRETAS. RETIRA-SE UMA AMOSTRA DE 5 BOLAS SEM REPOSIÇÃO. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE ESSA AMOSTRA TENHA 2 BOLAS BRANCAS? A) 0,05 B) 0,125 C) 0,185 D) 0,25 E) 0,36 5. SABE-SE QUE 10% DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR DETERMINADA MÁQUINA SÃO DEFEITUOSAS. RETIRA-SE UMA AMOSTRA DE TAMANHO 30 DE UMA POPULAÇÃO DE 150 PEÇAS PRODUZIDAS EM UM DIA. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 5 PEÇAS SEJAM DEFEITUOSAS? A) 0,05 B) 0,10 C) 0,15 D) 0,20 E) 0,25 6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, DETERMINE A MÉDIA DE PEÇAS DEFEITUOSAS NA AMOSTRA. A) 0,3 B) 0,5 C) 1,0 D) 1,5 E) 2,0 GABARITO 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ter que lançá-lo quatro vezes para se obter face dois pela primeira vez? A alternativa "A " está correta. Veja que o problema trata do número de tentativas para se obter um evento pela primeira vez. Portanto, possui a característica da distribuição geométrica. Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas até a ocorrência da primeira face dois. Então, X~G(p=1/6) e vimos que: SE X É UMA GEOMÉTRICA ⇒PX=X=QX-1P Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então, P(X=4)=(5/6)3(1/6)=0,096. Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2.A probabilidade de se encontrar determinado produto na prateleira de um supermercado é de 1/3. Qual a probabilidade de que se tenha que ir ao supermercado no máximo 2 vezes para encontrar o produto pela primeira vez? A alternativa "C " está correta. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA 3. Considerando os dados da questão anterior, qual seria a média e a variância, respectivamente, de idas ao supermercado? A alternativa "D " está correta. Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior tem distribuição geométrica com parâmetro p = 1/3. Temos: EX=1p=11/3=3 VX=qp2=2/31/9=6 4. Uma urna contém10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Retira-se uma amostra de 5 bolas sem reposição. Qual a probabilidade de que essa amostra tenha 2 bolas brancas? A alternativa "E " está correta. Observe que temos uma população de 30 bolas e que será retirada uma amostra de 5 bolas na qual se quer calcular a probabilidade de termos 2 bolas brancas, que é uma característica que está dentro da população. Portanto, temos que a questão se caracteriza como uma distribuição hipergeométrica. Assim, PX=X=RX.N-RN-XNN Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Nessa questão temos N=30, r=10, n=5 e x=2. Daí, PX=2=102.2033010=0,3599 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Sabe-se que 10% das peças produzidas por determinada máquina são defeituosas. Retira-se uma amostra de tamanho 30 de uma população de 150 peças produzidas em um dia. Qual a probabilidade de que 5 peças sejam defeituosas? A alternativa "B " está correta. Seja a variável aleatória X: “Número de peças defeituosas na amostra”. Nesse caso, X segue uma distribuição hipergeométrica, em que N=150, r=15, n=30 e x=5. Assim, PX=5=155.1352515030=0,1019 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Considerando o enunciado da questão anterior, determine a média de peças defeituosas na amostra. A alternativa "A " está correta. Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior segue uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=150, r=15 e n=30, temos: EX=NP, EM QUE P=RN DAÍ, P=15/150=0,01⇒E(X)=30×0,01=0,3. Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Numa população de 10.000 habitantes, temos que 0,5% dessa população sofre de certa doença. Retira-se uma amostra de tamanho 80 dessa população. Qual a probabilidade que nessa amostra tenhamos 10 pessoas com essa doença? RESOLUÇÃO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. NOS AEROPORTOS DE CERTO PAÍS, A PROBABILIDADE DE UM METAL PEQUENO NÃO SER DETECTADO NO RAIO-X É DE 0,2. UM PASSAGEIRO QUE ESTÁ VIAJANDO PELO MODAL AÉREO, NESSE PAÍS, VAI FAZER VÁRIAS CONEXÕES. SABE-SE QUE ELE ESQUECEU UMA MOEDA NO BOLSO. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE O PASSAGEIRO SÓ TENHA A MOEDA DETECTADA NO TERCEIRO RAIO-X? A) 0,01 B) 0,03 C) 0,05 D) 0,10 E) 0,11 2. UM ESTACIONAMENTO DE UM CENTRO COMERCIAL TEM CAPACIDADE PARA 180 CARROS, SENDO 30 VAGAS PARA IDOSOS. SABENDO QUE 20 VAGAS ESTÃO OCIOSAS NESSE ESTACIONAMENTO, QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 3 DESSAS VAGAS SEJAM DE IDOSOS? A) 0,10 B) 0,15 C) 0,25 D) 0,35 E) 0,50 GABARITO 1. Nos aeroportos de certo país, a probabilidade de um metal pequeno não ser detectado no raio-X é de 0,2. Um passageiro que está viajando pelo modal aéreo, nesse país, vai fazer várias conexões. Sabe-se que ele esqueceu uma moeda no bolso. Qual a probabilidade de que o passageiro só tenha a moeda detectada no terceiro raio-X? A alternativa "B " está correta. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o passageiro terá que passar no raio-X para que a moeda seja detectada pela primeira vez. Então, X~G(p=0,80). Assim, PX=3=0,220,8=0,032 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. Um estacionamento de um centro comercial tem capacidade para 180 carros, sendo 30 vagas para idosos. Sabendo que 20 vagas estão ociosas nesse estacionamento, qual a probabilidade de que 3 dessas vagas sejam de idosos? A alternativa "C " está correta. Seja X a V.A. que representa as vagas de idosos nesse estacionamento. Portanto, X é uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=180, r=30 e n=20. Assim, PX=3=303.1501718020=0,25 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 4 Descrever a distribuição de Poisson INTRODUÇÃO A distribuição que veremos agora tem relevante papel no estudo da probabilidade, visto que se trata da distribuição que calcula a probabilidade de eventos discretos que ocorrem em intervalos contínuos, o que agrega uma quantidade considerável de aplicações. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Antes de definir a distribuição de Poisson, é importante conceituar o que é um processo de Poisson, pois como veremos, as probabilidades calculadas por essa distribuição se referem a este tipo de processo. PROCESSO DE POISSON É um processo no qual eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (tempo, comprimento, área, volume...). EXEMPLO Exemplos de processos de Poisson Acidentes de trânsito por dia. Focos de incêndio por área. Número de chamadas telefônica por minuto. Número de trocas de pneu por km2. Seja X a variável aleatória discreta que representa o número de sucesso em um processo de Poisson. Então, dizemos que X segue uma distribuição de Poisson, com a seguinte função de probabilidade: PX=X=E-Λ.ΛXX! , X=0, 1, 2,… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Em que λ é a taxa média de ocorrência. NOTAÇÃO: X~P(Λ) ESPERANÇA MATEMÁTICA EX=∑XX.PX=∑X=0∞X.E-Λ.ΛXX!=∑X=1∞X.E-Λ.ΛXX!=E-Λ.Λ.∑X=1∞ΛX-1X-1!=⏟EΛΛ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, EX = Λ VARIÂNCIA Para o cálculo da variância, usaremos a mesma estratégia utilizada no cálculo da média. Assim, VX=EX2-EX2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como já conhecemos o valor da esperança de X, vamos calcular inicialmente a E(X2 ). Dessa forma, EX2=∑XX2.PX=∑X=0∞X2.E-Λ.ΛXX!=∑X=1∞X2.E-Λ.ΛXX!=∑X=1∞XX-1+X.E-Λ.ΛXX!= =E-Λ∑X=1∞XX-1.ΛXX!+E-Λ∑X=0∞X.ΛXX!⏟Λ=E-Λ∑X=2∞ΛX(X-2)!+Λ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo y = x-2, temos: EX2=E-ΛΛ2∑Y=0∞ΛX(Y)!⏟EΛ+Λ=E-Λ.Λ2.EΛ+Λ=Λ2+Λ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, VX=EX2-EX2=Λ2+Λ-Λ2=Λ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, VX=Λ Note que na distribuição de Poisson, a média é igual à variância. Essa distribuição se aplica a eventos raros. λ é proporcional ao intervalo contínuo considerado no problema. Os eventos são independentes. EXEMPLO 1. Sabe-se que o número de acidentes em determinada via segue uma distribuição de Poisson com média de 9 acidentes por ano. Qual a probabilidade de que em determinado mês não ocorram acidentes nessa via? Solução: Observe que a média está dada em meses, mas pede a probabilidade em anos. No entanto, como sabemos que uma das propriedades da distribuição de Poisson é a proporcionalidade, então, se em um ano ocorrem nove acidentes, em um mês ocorrerão 9/12 = 3/4 acidentes (λ = 0,75). Assim, PX=0=E-0,75.0,7500!≈0,47 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Interpretação: A probabilidade de que não ocorra acidente na via em determinado mês é de aproximadamente 47%. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMENTÁRIO Essa aproximação foi muito útil durante o tempo em que os recursos computacionais eram escassos. Há alguns anos, a maioria dos estudantes usavam calculadoras simples para resolver problemas que envolvessem cálculos matemáticos e não tinham computadores pessoais. Além disso, mesmo as calculadoras mais potentes tinham limitações quanto ao cálculo do fatorial. Portanto, para resolver essa limitação, aproximava-se a distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Faça a média da Poisson igual à média da Binomial, ou seja, λ=np e suponha que λ não é muito grande. Vimos da distribuição de Poisson que o número de sucessos pode ser dado por 0,1,2,…. Considere o caso de termos zero sucessos, assim, utilizando a distribuição binomial, teríamos: PX=0=N0P0QN=QN Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas, como λ=np→p=λ/n. Daí, PX=0=QN=1-PN=1-ΛNN Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalNota: LIMN→∞ 1-ΛNN=E-Λ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Generalizando, temos: PX=N=NXΛNX1-ΛNN-X LIMN→∞ NXΛNX1-ΛNN-X LIMN→∞ N!X!.N-X!ΛNX1-ΛNN-X LIMN→∞ NN-1…N-X+1NXΛXX!1-ΛNN1-ΛN-X LIMN→∞ NN.N-1N.N-2N…N-X+1NX.ΛXX!1-ΛNN1-ΛN-X LIMN→∞ 1.1-1N.1-2N.1-3N…1-X-1N.ΛXX!1-ΛNN1-ΛN-X LIMN→∞ 1.1-1N.1-2N.1-3N…1-X-1N⏟1.ΛXX!1-ΛNN1-ΛN-X LIMN→∞ ΛXX!1-ΛNN1-ΛN-X=E-ΛΛXX! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, podemos aproximar a distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Essa aproximação é boa quando n > 50 e p < 0,10. MÃO NA MASSA 1) UM POSTO POLICIAL RECEBE EM MÉDIA 2 CHAMADAS POR DIA. QUAL A PROBABILIDADE DE RECEBER EXATAMENTE 3 CHAMADAS EM UM DIA? A) 0,10 B) 0,15 C) 0,18 D) 0,20 E) 0,25 2. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE POSTO RECEBER 7 CHAMADAS EM UMA SEMANA? A) 0,01 B) 0,02 C) 0,03 D) 0,04 E) 0,05 3. UM JORNAL REGISTRA EM MÉDIA 3 ERROS ORTOGRÁFICOS A CADA 5 PÁGINAS IMPRESSAS. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM JORNAL COM 30 PÁGINAS CONTENHA EXATAMENTE 8 ERROS? A) 0,001 B) 0,002 C) 0,003 D) 0,004 E) 0,005 4. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE JORNAL REGISTRAR MENOS DE 2 ERROS EM UMA PÁGINA? A) 0,50 B) 0,62 C) 0,75 D) 0,82 E) 0,88 5. UMA OUVIDORIA RECEBE 5 RECLAMAÇÕES POR HORA. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE RECEBA APENAS UMA RECLAMAÇÃO EM 10 MINUTOS? A) 0,36 B) 0,42 C) 0,48 D) 0,54 E) 0,60 6. UMA FIRMA VISITA OS CLIENTES QUE COMPRARAM O SEU PRODUTO. SE A PROBABILIDADE DE DEFEITO DO PRODUTO FOR DE 0,01, QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM 1000 VISITAS OCORRAM NO MÍNIMO 3 DEFEITOS? A) 0,956 B) 0,967 C) 0,975 D) 0,986 E) 0,997 GABARITO 1) Um posto policial recebe em média 2 chamadas por dia. Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em um dia? A alternativa "C " está correta. Seja X a variável aleatória discreta que representa chamadas por dia. Veja que X representa o sucesso (chamadas) em um processo de Poisson, em que eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (dia). Assim, pode-se dizer que X~P(λ=2), ou seja, PX=X=E-ΛΛXX! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Daí, PX=3=E-2233!=0,18 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria a probabilidade desse posto receber 7 chamadas em uma semana? A alternativa "B " está correta. Observe que, na questão anterior, a média λ era de 2 chamadas por dia. Utilizando a propriedade de proporcionalidade de λ, temos que em uma semana λ = 14 (2 x 7). Logo, PX=7=E-141477!=0,02 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. Um jornal registra em média 3 erros ortográficos a cada 5 páginas impressas. Qual a probabilidade de que um jornal com 30 páginas contenha exatamente 8 erros? A alternativa "D " está correta. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 4. Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria a probabilidade desse jornal registrar menos de 2 erros em uma página? A alternativa "E " está correta. Observe que, se em 5 páginas a média λ é igual a 3, portanto, em uma página, teremos 3/5 erros. Então, PX<2=PX=0+PX=1=E-3/53/500!+E-3/53/511!=0,88 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Uma ouvidoria recebe 5 reclamações por hora. Qual a probabilidade de que receba apenas uma reclamação em 10 minutos? A alternativa "A " está correta. Seja a variável aleatória X: “Reclamações por hora”. Logo, X~P(λ=5). No entanto, o problema pede a probabilidade de que receba apenas uma reclamação em 10 minutos. Portanto, em 10 minutos, λ = 5/6. Assim, PX=1=E-5/65/611!=0,36 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Uma firma visita os clientes que compraram o seu produto. Se a probabilidade de defeito do produto for de 0,01, qual a probabilidade de que em 1000 visitas ocorram no mínimo 3 defeitos? A alternativa "E " está correta. Observe que a questão poderia ser resolvida por meio de uma distribuição Binomial, pois temos que a variável aleatória, digamos X, representa o número de defeitos (sucessos) nas visitas, isto é: X~BN=1000, P=0,01 Dessa forma, a solução poderia ser obtida por: PX≥3=1-PX<3=1-PX=0+PX=1+PX=2= =1-01000(0,01)0(0,99)1000+11000(0,01)1(0,99)999+21000(0,01)1(0,99)999=0,9973 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Note que quanto maior o valor de x a calcular, mais trabalhoso seria o montante dos cálculos. Além disso, teríamos que trabalhar com os fatoriais das combinações. Dessa forma, para facilitar os cálculos poderíamos usar a distribuição de Poisson para resolver esta questão. Nesse caso, consideraremos a aproximação da distribuição Binomial pela distribuição de Poisson, bastando fazer λ = np = 1000 x 0,01 = 10. Assim, P(X≥3)=1-P(X<3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= =1-E-101000!+E-101011!+E-101022!=0,9972 Observe que os resultados são bem aproximados. Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRÁTICA O número de mortes por febre amarela no Brasil é de 4 por ano. Qual a chance de que em seis meses morra no máximo 1 pessoa? RESOLUÇÃO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. SUPONHA QUE A INCIDÊNCIA DE DETERMINADA DOENÇA NA POPULAÇÃO SEJA DE 1 CASO A CADA 100.000 HABITANTES. EM UMA CIDADE DE 500.000 HABITANTES, DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR EXATAMENTE 2 CASOS DESSA DOENÇA NA REFERIDA CIDADE. A) 0,04 B) 0,08 C) 0,12 D) 0,16 E) 0,20 2. SABE-SE QUE EM MÉDIA 5 LÂMPADAS SE QUEIMAM A CADA 1000 LÂMPADAS TESTADAS. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM UM TESTE DE 10.000 LÂMPADAS, EXATAMENTE 40 LÂMPADAS SE QUEIMEM? A) 0,02 B) 0,04 C) 0,08 D) 0,16 E) 0,20 GABARITO 1. Suponha que a incidência de determinada doença na população seja de 1 caso a cada 100.000 habitantes. Em uma cidade de 500.000 habitantes, determine a probabilidade de se encontrar exatamente 2 casos dessa doença na referida cidade. A alternativa "B " está correta. Seja a variável aleatória X: “Incidência da doença por habitante”. Veja que X~P(λ=1). Portanto, em uma cidade de 500.000 habitantes, X será uma Poisson com λ = 5. Assim, PX=2=E-5522!=0,08 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. Sabe-se que em média 5 lâmpadas se queimam a cada 1000 lâmpadas testadas. Qual a probabilidade de que em um teste de 10.000 lâmpadas, exatamente 40 lâmpadas se queimem? A alternativa "A " está correta. Veja a probabilidade de uma lâmpada queimar com probabilidade 0,01 e poderíamos resolver utilizando a distribuição binomial. No entanto, para evitar, usaremos a distribuição de Poisson com λ = 100. PX=40=E-50504040!=0,02 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Aqui abordamos os conceitos fundamentais associados às variáveis aleatórias discretas. Além disso, apresentamos as principais distribuições discretas de probabilidade, entre as quais, as de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica e de Poisson. Cada distribuição de probabilidade exerce um papel importante para o cálculo de probabilidades de fenômenos comuns que acontecem no nosso dia a dia. Todos os conceitos adquiridos neste tema são essenciais não apenas para a continuidade do estudo da teoria das probabilidades, mas também para o bom entendimento de modelos estatísticos. AVALIAÇÃO DO TEMA: REFERÊNCIAS Fonseca, J. S.; Martins, G. A. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996. Meyer, P. Probabilidade – Aplicações à Estatística. 2. ed. São Paulo: LTC, 1987. Morettin, P. A.; Bussab, W. de O. Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. Morettin, P. A. Estatística Básica – Probabilidade e Inferência. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. EXPLORE+ Para saber maissobre os assuntos tratados neste tema, assista Ao canal IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, YouTube. CONTEUDISTA Paulo H. C. Maranhão CURRÍCULO LATTES
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