Estruturas Algébricas

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Disciplina: Introdução às Estruturas Algébricas Período 2020.____ 
 Curso:_______________________ 
 Data: __/__/___ 
 Professor: José de Brito Silva 
 Aluno(a):______________________________________________________Mat:________________ 
 
 
 1ª Avaliação 
 
 
1- Mostre que (ℝ,∗) é um grupo abeliano, onde 𝑎 ∗ 𝑏 = √𝑎3
3
+ √𝑏3
3
 . 
 
2- Construa a tábua de operações de 𝑆3. 
 
3- Seja 𝐺 um grupo multiplicativo e 𝑎 ∈ 𝐺. Prove que 𝑁(𝑎) = {𝑥 ∈ 𝐺; 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎} é 
subgrupo de 𝐺. 
 
4- Sejam 𝐺 e 𝐽 grupos multiplicativos, 𝑓: 𝐺 → 𝐽 um homomorfismo de 𝐺 em 𝐽 e 𝐻 um 
subgrupo de 𝐽. Prove que 𝑓−1(𝐻) = {𝑥 ∈ 𝐺; 𝑓(𝑥) ∈ 𝐻} é subgrupo de 𝐺. 
 
5- Mostre que o grupo (ℚ, +) não é do tipo finito. 
 
6- Seja Aut(𝐺) o conjunto de todos os automorfismos do grupo 𝐺. Prove que (Aut(𝐺), ∘) 
é um grupo. 
 
7- Prove que todo grupo cíclico infinito tem dois, e somente dois, geradores. 
 
8- Seja 𝐺 um grupo finito de ordem par. Mostre que o número de elementos de 𝐺 de 
ordem 2 é impar. 
 
9- Determine todos os automorfismos do grupo de Klein. 
 
10- Seja 𝐺 = [𝑎] um grupo cíclico de ordem 𝑠 e 𝐺′ = [𝑏] um grupo cíclico de ordem 𝑡. 
Demonstre que existe um homomorfismo 𝜑: 𝐺 → 𝐺′, tal que 𝜑(𝑎) = 𝑏𝑘 se, e 
somente se, 𝑠𝑘 é um múltiplo de 𝑡. 
 
Boa Prova. 
Não existe vitória sem Sacrifício!!!