areas de figuras planas

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CÁLCULO DE ÁREA DAS
FIGURAS PLANAS
Profª Andréia Rodrigues Alves
ÁREAS
ÁREA
A reunião de um polígono com sua região interior é denominada
superfície do polígono. A medida da superfície é expressa por
um número real positivo e é chamada área do polígono.
Para medirmos a superfície do polígono precisamos compará-la
com uma unidade de medida de área. Essa unidade de medida
corresponde a uma figura unitária, isto é, de dimensões unitárias.
A partir daí, podemos verificar quantas vezes essa figura unitária
“cabe” na região que queremos medir.
A unidade de área utilizada é uma região quadrada cujo lado
mede uma unidade de comprimento. Qualquer região quadrada
cujo lado meça 1 terá, por definição, área igual a 1.
ÁREAS
ÁREA
A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado.
ÁREA
Utilizamos o conceito de área em várias situações do
cotidiano:
⚫ determinar a extensão de um terreno;
⚫ quantidade de lajotas para revestir um piso;
⚫ quantidade de tinta necessária para pintar uma casa, etc.
Exemplo: determinar a quantidade de lajotas quadradas com 15
cm de lado para revestir o piso de um banheiro de 2,3 m de
largura por 3 m de comprimento.
ÁREAS
Figuras equivalentes
(equidecomponíveis)
São figuras que mesmo tendo formatos diferentes, possuem
a mesma área.
Uma propriedade interessante é:
“Se dois polígonos têm a mesma área, sempre é possível 
decompor um deles em polígonos menores, dois a dois 
congruentes, de modo a preencher o outro.”
ÁREAS
Figuras equivalentes
(equidecomponíveis)
Exemplos:
⚫ Transformação de um paralelogramo em um retângulo;
⚫ Transformação de um hexágono regular em seis
triângulos equiláteros.
ÁREAS
Como se expressa o tamanho de sua superfície?
RETÂNGULO
ÁREAS
A área de um retângulo é a multiplicação do seu comprimento 
por sua largura. A = CxL ou A = BxH
Considere um pequeno quadrado unitário, isto é, de área 1
u.a. Vamos ver quantos quadrados com lado igual a 1 u.c.
podemos enfileirar para preencher o retângulo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
16 u.c.
4
u
.c
.
Comprimento = base
L
a
rg
u
ra
=
a
lt
u
ra
O retângulo tem área de 16 x 4 (u.c.)² = 64 (u.c.)²
ÁREAS
QUADRADO
Vamos rearrumar os 64 quadradinhos de modo a formar um
quadrado de 8 linhas e 8 colunas.
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
la
d
o
lado
A área de um quadrado é a multiplicação dos seu dois lados.
A = LxL = L²
Como se expressa o tamanho de sua superfície?
PARALELOGRAMO
ÁREAS
b
h
A = b . h
ÁREAS
PARALELOGRAMO
Somente 24 pequenos quadrados de 1 u.a. estão na superfície
interna. Os outros estão parte dentro e parte fora.
Como calcular sua área?
ÁREAS
TRIÂNGULO
Vamos tentar preencher o triângulo com os quadradinhos.
A
lt
u
ra
h
ÁREAS
TRIÂNGULO
Vamos desenhar um paralelogramo e dividi-lo em duas partes
iguais.
Base = b
O que temos? Dois triângulos!!!
Sendo a área do paralelogramo base x altura, a área do triângulo
é base x altura
2
E QUANDO NÃO SE TEM BASE E/OU
ALTURA?????
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO
DOS LADOS E DO SENO
a b
c
h
α β
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
sen β = h / b => h = b ∙ senβ
A = c ∙ a ∙ sen α
2
A = c ∙ b ∙ sen β
2
ÁREAS
4 m
ÁREAS
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO
DOS LADOS E DO SENO
Determine a área do triângulo abaixo.
45º
2 2 m
2 4 sen45º
A =
2
2
2
2
A = 2  4 
( 2)
2
2
A = 4 
2
A = 4 
2 
=4m2
ÁREAS
TEOREMA DE HEIRÃO, HERON
OU HERÃO
P = 9 + 7 + 14
2
= 30 = 15
2
A² = 15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A² = 15 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 1
A² = 720
A = √720 ≈ 26,8 cm²
EXEMPLO - TEOREMA DE HERON
ÁREAS
ÁREAS
EXERCÍCIOS
Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos
lados mede 6cm. Calcule sua área.
2
A =
a . b . senCˆ
L
L
60º
ÁREAS
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Empregando a fórmula
3
2
L L 
A = 2
3
4
L2
A =
ÁREAS
EXERCÍCIOS
5) Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais
com medidas de 5 cm. A área deste triânguloé:
a) 20 cm2.
d) 18 cm2.
b) 10 cm2. c) 24 cm2.
e) 12 cm2.
Somente 40 pequenos quadrados de 1 u.a. estão na superfície
interna. Os outros estão parte dentro e parte fora.
Como calcular sua área?
ÁREAS
TRAPÉZIO
Vamos tentar preencher o trapézio com os quadradinhos.
ÁREAS
TRAPÉZIO
ÁREAS
TRAPÉZIO
a
lt
u
ra
Base menor
O triângulo amarelo
será girado de 180º no
sentido horário
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base menor
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base menor
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base maior
ÁREAS
TRAPÉZIO
a
lt
u
ra
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base menor
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base menor
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base menor
ÁREAS
TRAPÉZIO
Base maior
a
lt
u
ra
Base maior Base menor
Área do trapézio = A1 +A2
A1 A2
A1 = Área triângulo com base maior 
A2 = Área triângulo com base menor
ÁREAS
TRAPÉZIO
a
lt
u
ra
Base maior Base menor
Área do trapézio = (base maior x altura) + (base menor x altura)
2 2
Área do trapézio = (base maior + base menor) x altura
2
a
lt
u
ra
Base maior Base menor
Área do trapézio = (B + b) x h
2
ÁREAS
TRAPÉZIO
ÁREAS
EXERCÍCIOS
6 m
Somente 16 pequenos quadrados de 1 u.a. estão na superfície
interna. Os outros estão parte dentro e parte fora.
Como calcular sua área?
ÁREAS
LOSANGO
Vamos tentar preencher o losango com o quadrado unitário.
ÁREAS
LOSANGO
Vamos marcar as diagonais do losango.
Agora vamos mover o losango para baixo e fazer alguma
observações.
d
ÁREAS
LOSANGO
Destaquemos as diagonais.
Diagonal maior = D 
Diagonal menor = d
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Vamos movimentar os dois triângulos debaixo para cima.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
Movimento dos triângulos.
D
d
ÁREAS
LOSANGO
RESULTADO: Um retângulo novamente!!!!
D
Área do losango = D x d
2
Área do losango = D x d
2
ÁREAS
LOSANGO
Portanto,
ÁREAS
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
0
centro
BA .
D
AB diâmetro
C
CD cordaraio raio
flecha
ÁREAS
CIRCUNFERÊNCIA
arco
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano 
equidistantes de um outro ponto fixo chamado centro.
C = 2r → Comprimento ou perímetro
r
ÁREAS
CÍRCULO
Do latim - circulus (anel, aro), é a reunião de uma
circunferência e seu interior. Trata-se do conjunto de todos
os pontos pertencentes a circunferência e seu interior.
πr
r
DEMONSTRAÇÃO DO CÍRCULO
Duas ou
mais circunferências com o
mesmo centro, mas com
raios diferentes são
circunferências concêntricas.
ÁREAS
CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS
Coroa circular (ou anel) é uma região limitada por dois círculos 
concêntricos.
ÁREAS
COROA CIRCULAR
rO
R
A = .(R2 − r 2 )
ÁREAS
COROA CIRCULAR
Chama-se coroa circular a região do plano compreendida entre dois 
círculos concêntricos.
A = .R2 −  . r 2
ÁREAS
EXERCÍCIO
Calcule a área colorida, sabendo que o quadrado tem lado 2 e as 
curvas são derivadas de arcos de circunferência.