Movimentos Bi e Tridimensionais na Física

Prévia do material em texto

Movimentos bi e tridimensional 35 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Introdução 
 O movimento unidimensional que vimos no capítulo anterior é um 
caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em 
duas ou três dimensões. Se o movimento de um corpo está completamente 
restrito a um plano, ele é denominado movimento plano ou bidimensional. 
Neste caso, a posição é especificada através de coordenadas polares (r, θ) ou 
cartesianas (x, y), como indicadas na Fig. 3.1. 
 
22 yxr += 
x = r cosθ 
y = r senθ 
tgθ = y/x 
Fig. 3.1 – Posição de um corpo no plano xy. 
 Para o caso do movimento no espaço (3 dimensões) a posição do 
corpo é especificada em coordenadas esféricas (r, θ, φ) ou cartesianas(x, y, z), 
indicadas na Fig. 3.2. 




θ=
φθ=
φθ=
cosrz
sensenry
cossenrx
 
 
x/ytg
z/yxtg
zyxr
22
222
=φ
+=θ
++=
 
Fig. 3.2 - Posição de um corpo no espaço. 
3 
MOVIMENTOS BI E 
TRIDIMENSIONAL 
θ 
x 
x 
y 
r 
P y 
θ 
y 
y 
z 
z 
r 
x 
x 
φ 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
36
 Para movimentos planos e espaciais, as grandezas cinemáticas 
( aev,r
rrr
) não são necessariamente paralelas como acontece no movimento 
unidimensional. Desta forma, é de importância fundamental tratar estas 
grandezas vetorialmente. 
 Se no tempo t1 a posição do corpo for descrita pelo vetor posição 1r
r
e 
no tempo t2, pelo vetor posição 2r
r
, podemos dizer que o deslocamento sofrido 
pelo corpo é dado por 12 rrr
rrr
−=∆ onde r
r
∆ não é necessariamente a 
distância percorrida pelo corpo. Havendo um deslocamento r
r
∆ num intervalo 
de tempo ∆t = t2 – t1, podemos definir as velocidades média ( )mv
r
 e instantânea 
( )vr da forma: 
t
r
vm ∆
∆
=
r
r
 
dt
rd
t
r
limv 0t
rr
r
=
∆
∆
= →∆ 
 Vemos que a velocidade sempre existirá quando houver mudanças no 
módulo e/ou direção do vetor posição. A variação temporal de um vetor pode 
ser analisada através da variação temporal de suas componentes, da forma: 
k̂
dt
dz
ĵ
dt
dy
î
dt
dx
vk̂zîyîxr ++=⇒++=
rr
 
e isto pode ser feito porque os versores k̂ e ĵ,î não variam com o tempo. 
 Exemplo: Vamos determinar a velocidade de um corpo cujo vetor 
posição é dado por: ĵt3ît4r 2 +=
r
. Tomando-se as derivadas temporais das 
componentes de r
r
 temos: 
ĵ3ît8dt/rdv +==
rr
 
Vamos usar este exemplo para demonstrar uma relação importante. Podemos 
escrever: 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 37 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ît4ĵt3îtt8ĵt3ît4ĵtt3îtt4ttr 222 ∆+∆+∆++=∆++∆+=∆+
r
 No caso em que ∆t é muito pequeno, (∆t)2 << ∆t e o termo (∆t)2 pode 
ser desprezado. Assim, 
( ) ( ) ( ) tvtrrtrttr ∆+=∆+=∆+ rrrrr 
e dizemos que esta é uma aproximação de primeira ordem em ∆t, já que o 
termo (∆t)2 foi desprezado. A aceleração do corpo é definida como: 
dt
vd
t
v
lima 0t
rr
r
=
∆
∆
= →∆ 
e, portanto, sempre haverá aceleração quando houver mudanças do vetor 
velocidade, seja em módulo, direção ou sentido. 
 Exemplo: A velocidade de um corpo é dada por ( ) k̂tĵtît3tv 32 ++=r . 
Logo, a aceleração é dada por ( ) k̂t3ĵît6ta 2++=r 
3.2 Decomposição de movimentos 
 Do fato que k̂
dt
dz
ĵ
dt
dy
î
dt
dx
v ++=
r
 tiramos que dt/dxv x = , vy = 
dy/dt e dt/dzv z = , de modo que se olharmos para cada componente, o 
movimento do corpo pode ser analisado independentemente, ou seja, a 
velocidade na direção x só depende da variação da coordenada x com o tempo, 
etc. Este resultado pode ser generalizado e o movimento espacial de um corpo 
pode ser tratado independentemente em cada uma das três direções. 
Resumindo, temos o chamado princípio da independência dos movimentos ou 
princípio de Galileu: 
 “Quando um corpo se encontra sob a ação simultânea de dois ou mais 
movimentos, cada um se processa como se os demais não existissem”. 
 Em outras palavras, a posição do móvel depois de um intervalo de 
tempo sob a ação do movimento composto é a mesma que resultaria se o 
móvel se deslocasse por etapas em cada direção. Como um exemplo típico, 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
38
consideremos o caso de um barco com velocidade vb atravessando um rio cuja 
correnteza tem velocidade vr. O barco percorrerá uma trajetória que consiste 
em deslocar-se vrt na direção do rio e vbt na direção perpendicular, como 
mostra a Fig. 3.3. Assim, ĵvîvv e ĵtvîtvr brbr +=+=
r
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.3 - Movimento de um barco num rio com correnteza. 
3.3 Movimento acelerado 
 Podemos generalizar o que vimos para o movimento unidimensional 
escrevendo: 
( ) dttvrr
t
0
0 ∫+=
rrr
 
( ) ( ) dttavtv
t
0
0 ∫+=
rrr
 
A integração de vetores pode ser executada componente a 
componente, como no caso da derivação. Portanto, 
( )dttvrr
t
0
z
0
zz ∫+= 
e assim por diante. No caso da aceleração ser constante temos: 
tavv 0
rrr
+= e 200 tatvrr
2
1 rrrr ++= 
î 
vr 
vr t 
vb t 
ĵ 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 39 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
 Podemos analisar este movimento através do sistema de equações: 
Para a velocidade: Para a posição: 
tavv
tavv
tavv
z
0
zz
y
0
yy
x
0
xx
+=
+=
+=
 
2
z2
10
z
0
zz
2
y2
10
y
o
yy
2
x2
10
x
0
xx
tatvrr
tatvrr
tatvrr
++=
++=
++=
 
Vamos em seguida ver alguns exemplos de movimento acelerado. 
a) Lançamento de projétil 
 Um caso importante de movimento plano é aquele onde temos: 
ĵga −=
r
 (com g = 9.8 m/s2) que corresponde ao movimento de um corpo 
atirado de maneira arbitrária. Neste caso, o movimento será acelerado na 
direção y e não acelerado nas demais. Vamos imaginar a situação em que o 
corpo é lançado obliquamente de maneira a formar um ângulo θ com a 
superfície, como mostrado na Fig. 3.4 
 
θ=
θ=
senvv
cosvv
0
0
y
0
0
x 
 
 
 
Fig. 3.4 – Lançamento oblíquo de um projétil. 
 Tomando-se o eixo x paralelo à superfície e o eixo y na vertical, a 
velocidade inicial v0 pode ser decomposta em cosvv 00x θ= e 
θ= senvv 0oy . Na direção x não existe aceleração, porém na direção y 
temos ay = -g de modo que: 
( )
( )


θ+=+=
θ==
tcosvxtvxtx
cosvvtv
00
0
x0
0
0
xx
 
θ 
v0 
y 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
40
( )



−+=
−θ=−=
2
2
10
y0
o
0
yy
tgtvyty
tgsenvtgv)t(v
 
 Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equações 
( )( )0x0 v/xxt −= e substituindo no segundo obtemos: 
( ) 2
0
x
0
0
x
00
y0 v
xx
g
v
xx
vyy
2
1





 −
−
−
+= 
que representa uma trajetória parabólica como indicada na Fig.3.5. A altura 
máxima pode ser calculada tomando-se dy/dx = 0. Assim, 
( )
g
vv
xx0
v
xx
g
v
v 0x
0
y
0max0
x
0
0
x
0
y
2 +=⇒=
−
− 
e substituindo em y(t) tiramos: 
( )
g
v
yy
20
y
0max
2
1+= 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.5 - Movimento parabólico decorrente do lançamento oblíquo. 
 Vamos tomar x0 = y0 = 0 e calcular qual é o alcance do projétil ao 
longo do eixo x. Para isto fazemos y = 0 e assim obtemos: 
( )20x
2
0
x
0
y
v
Rg
R
v
v
0
2
1−= 
0
v
r
 
θ 
ymax 
xmax x0 R 
x 
y 
y0 
0 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 41 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
Descartando a solução R = 0, que corresponde ao início do movimento, temos 
R = g/vv2 0x0y , e usando-se θ=θ= cosvv e senvv 00x00y obtemos: 
( )
g
2senv
R
2
0 θ= 
de onde concluímos que o ângulo que apresenta o maior alcance é θ = 45o 
b) Movimento circular 
 Este deslocamento é caracterizado pelo fato de que o módulo do 
deslocamento permanece constante. Assim, imaginamos o raio vetor que 
descreve o movimento entre t e t + ∆t. O ângulo ∆θ varrido pelo raio vetor 
durante o intervalo de tempo ∆t permite o cálculo da velocidade angular como 
ilustrado na Fig. 3.6. 
t
lim
dt
d
0t ∆
θ∆
=
θ
=ω →∆ 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.6 – Movimento circular. 
 Quando ω é constante, temos ∫ ω=ω=θ
t
0
tdt e assim podemos 
escrever: x = r cosωt e y = r senωt, ou em notação vetorial: 
 
rĵtsenrîtcosr
dt
vda
ĵtcosrîtsenr
dt
rdv
ĵtrsenîtcosrr
222 r
r
r
r
r
r
ω−=ωω−ωω−==
ωω+ωω−==
ω+ω=
 
θ 
t 
t+∆t 
∆θ 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
42
que é sempre oposta a direção radial. Portanto, r/vraa 22 =ω==
r
 visto 
que ω= rv
r
 e esta aceleração é conhecida como “centrípeta” por estar 
dirigida ao ponto central do movimento e é uma característica importante do 
movimento circular uniforme. 
c) Movimento ciclóide 
 É o movimento de um ponto da borda de um disco rodando, conforme 
mostra a Fig. 3.7. Considerando um sistema de eixos no qual x é paralelo ao 
chão, temos a combinação de um movimento translacional uniforme com um 
movimento circular uniforme. Para o movimento translacional, xt = x0 + vxt e, 
para o movimento circular, x0 = r cosωt e y0 = r senωt. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.7 - Movimento ciclóide. 
Desta forma, 
tsenryy
tcosrtvxx
0
x0
ω+=
ω++=
 
Ao utilizarmos a notação vetorial e fazendo x0 = y0 = 0, 
( ) ĵtsenrîtcosrtvr x ω+ω+=
r
 
r 
x 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 43 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
( )
c
222
x
rĵtsenrîtcosr
dt
vda
ĵtcosrîtsenrv
dt
rdv
r
r
r
r
r
ω−=ωω−ωω−==
ωω+ωω−==
 
 Exemplo: Considere um disco descendo um plano inclinado, 
formando um ângulo θ com a horizontal, como mostrado na Fig. 3.8. Vamos 
determinar x(t) e y(t) de um ponto localizado na borda do disco. Escolhendo o 
eixo x da maneira indicada na figura, temos ax = g senθ e ay = 0. Então, x = xt 
+ xc, y = yt + yc β+θ+=⇒ cosrtseng
2
1
tvx 20x e β+= senrtvy
0
y , 
onde β ≠ ωt (movimento acelerado) é o ângulo que o disco rodou. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.8 – Disco descendo um plano inclinado 
3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas 
polares 
 Vamos considerar um movimento circular no qual o corpo percorre 
um comprimento de arco s, que está associado a um ângulo θ de acordo com: s 
= rθ, sendo r o raio da trajetória. A velocidade tangencial é: 
ω=
θ
== r
dt
d
r
dt
ds
v 
θ 
r 
P 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
44
 Para representar v
r
, vamos introduzir os versores r̂ e θ̂ , que são 
adequados para se trabalhar com coordenadas polares. O versor r̂ tem a 
mesma direção e sentido do vetor posição r
r
. O versor θ̂ é perpendicular a r
r
 
e tangente ao círculo, apontando para a direção em que θ e s crescem como 
indica a Fig. 3.9. Desta forma, podemos escrever r
r
 e v
r
 em coordenadas 
polares da seguinte maneira: 
θθ=θ=
=
ˆ
dt
drˆvv
r̂rr
r
r
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9 – Movimento plano descrito por coordenadas polares. 
 Devemos notar que r̂ e θ̂ são versores que variam com o tempo. Para 
encontrar esta variação em termos dos versores î e ĵ que são fixos vemos 
que ĵsenîcosr̂ θ+θ= e ĵcosîsenˆ θ+θ−=θ . Desta forma, 
( )
( ) r̂
dt
dĵsenîcos
dt
d
dt
ˆd
ˆ
dt
dĵcosîsen
dt
dĵcos
dt
dîsen
dt
d
dt
r̂d
θ−=θ+θθ−=θ
θθ=θ+θ−θ=θθ+θθ−=
 
 Uma vez que conhecemos a maneira pela qual r̂ e θ̂ variam com o 
tempo, podemos encontrar v
r
 e a
r
 a partir de r
r
 . 
î 
θ 
y 
x 
θ̂
r̂
r
r
ĵ 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 45 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
r̂
dt
d
r
dt
ˆd
dt
d
r
dt
vd
a
ˆ
dt
d
r
dt
r̂d
r
dt
rd
v
r̂rr
2





 θ−=
θθ
==
θ
θ
===
=
r
r
r
r
r
 
onde foi suposto que ω = dθ/dt é constante. Como dθ/dt = v/r, temos 
( ) r̂rr̂r/va 22 ω−=−=r , que é a aceleração centrípeta no movimento circular 
uniforme. 
 Se o movimento for uniformemente acelerado, isto é, se dω/dt = α = 
constante, a expressão para a aceleração se modifica. Tomando a derivada de 
θω= ˆrv
r
 temos: 
r̂rˆr
dt
ˆdˆ
dt
dra 2ω−θα=




 θω+θω=
r
 
de onde vemos que além da aceleração centrípeta surge uma aceleração 
tangencial dada por θα ˆr . 
A descrição de um movimento retilíneo através de coordenadas 
polares é feita baseando-se na Fig. 3.10. Podemos relacionar vr e vθ da 
seguinte forma: 
vx = vr cosθ - vθ senθ 
vy = vr cosθ + vθ senθ 
ou 
vr = vx cosθ + vy senθ 
vθ = -vx senθ + vy cosθ 
 
 
 
 
 
Fig. 3.10 – Descrição de um movimento retilíneo através de coordenadas polares. 
θ 
y 
x 
θ̂ r̂
r
r v
r
θ 
θ 
vy 
vx 
vr vθ 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
46
 Para o caso que estamos tratando, vx = v e vy = 0. Portanto, vr = v 
cosθ e vθ = v senθ, ou seja: 
θθ−θ= ˆsenvr̂cosvv
r
 
Exercícios 
1 – Considere um cilindro de raio R rolando sem deslizar num plano 
horizontal. O centro de massa do cilindro possui aceleração a. Qual é a 
aceleração angular do cilindro? Qual é o ângulo β que o cilindro roda 
como função do tempo? 
2 – Dois corpos A e B estão em movimentos circular uniformes de trajetórias 
concêntricas com raios ra e rb e velocidades angulares ωa e ωb. Determine 
a velocidade relativa entre os dois corpos. 
3 – Determinar a aceleração de um corpo que desliza pela rosca de um 
parafuso com passo h e raio R. Despreze o atrito e considere que o corpo 
partiu do repouso. 
4 – É necessário lançar da terra uma bola por cima de uma parede de altura H 
que se encontra a uma distância S (Fig. 3.11).Qual é a menor velocidade 
inicial com que a bola pode ser lançada? 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.11 – Lançamento de projétil sobre uma parede de altura H. 
0
v
r
H 
S 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 47 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
5 – Uma bala é disparada de um canhão com velocidade v0. Determine a 
região geométrica onde a bala certamente não cairá. 
6 – Um plano inclinado forma um ângulo α com o plano xy, conforme mostra 
a Fig. 3.12. Um corpo é lançado com velocidade v0, formando um ângulo 
θ com o eixo y. Desprezando o atrito calcule: xmax, zmax e o tempo que o 
projétil demora para retornar ao eixo y. 
7 – Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 20 m/s. Sabendo-se que ela 
ficou 2 s no ar, calcule: 
a) o ângulo de lançamento (com a horizontal) 
b) a altura máxima atingida 
c) o alcance 
d) outro ângulo de lançamento para o qual a pedra terá o mesmo alcance. 
(Neste caso o tempo será diferente de 2 s). 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.12 – Lançamento oblíquo num plano inclinado. 
8 – Um corpo translada com velocidade v = 5 m/s sobre um plano horizontal 
sem atrito. Subitamente ele encontra pela frente um plano inclinado 
(também sem atrito) de ângulo θ = 300 e altura H = 0,8 m, conforme 
mostra a Fig. 3.13. Tomando-se g = 10 m/s, pergunta-se: 
a) a que distância d do final do plano inclinado o corpo cairá? 
b) qual é a altura máxima que o corpo atingirá? 
 
 
0
v
r
θ α y 
x 
z 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
48
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.13 - Lançamento oblíquo de um corpo por meio de uma rampa. 
9 – Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade v0 = 100/ 3 m/s 
formando um ângulo θ = 600 com a horizontal. Outro corpo é lançado 1 
segundo depois, com a mesma velocidade v0, porém na horizontal e de 
uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Suponha que haja uma colisão 
entre os dois corpos e que g = 10 m/s2. 
a) Em que instante de tempo ocorre a colisão? 
b) Qual deve ser o valor de H para que a colisão ocorra? 
c) Quais as coordenadas x e y da colisão? 
3.10 – Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade v0 segundo um 
ângulo θ com a horizontal. Outro corpo é lançado com a mesma 
velocidade v0, porém na horizontal e de uma altura H, como mostra a 
Fig. 3.14. Qual deve ser o valor de H tal que eles atinjam o mesmo 
ponto no eixo Ox? 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.14 - Lançamento de dois corpos. 
 
x 
H 
θ 
ymax 
d 
v
r
v0 
H v0 
O x 
θ 
 
 
 
 
 
 
Movimentos bi e tridimensional 49 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 
 
 
3.11 - Mostre que o movimento de um projétil lançado com v0 e θ é descrito 
pela parábola: y x
v
g
g x
v
v
g
y
x
y
( ) = − −






0
2
0
0
2
2 2
, com v0x = v0 cosθ e v0y = v0 
senθ. b) Encontre o ângulo α que a trajetória faz com a horizontal para 
qualquer x (tgα = dy/dx), c) Encontre xmax correspondente ao topo da trajetória 
(tg α = 0). d) Encontre o alcance R, fazendo α = π−θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimentos bi e tridimensional 
 
 
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 
 
 
50